PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐBài 1.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài 1 Tìm m để phương trình: ( 4 9) x 2( 2 3) x 1 0
Giải
Đặt: t=3x (t>0)
Phương trình thành: ( ) 2 ( )
2 2 4 2 4 1
2
2
2 1
m
− +
⇔ =
− + (t ≠1)
Xét hàm số: ( ) 422 4 1
2 1
f t
− +
=
− + với:
0 1
t t
>
≠
2
'( )
( 2 1)
f t
=
− +
2
1
2
t
t
=
=
Bảng biến thiên:
2
2
4 1 4
2 1
f t
t t
− +
− +
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ≥m 0
Bài 2 Tìm m để phương trình: 4x−4m(2x− =1) 0có nghiệm
Giải
4x−4m 2x− = ⇔1 0 4x−4 2m x+4m=0
Đặt: t=2x (t>0)
Phương trình thành: t2−4mt+4m=0 (1)
( )
2 4 1
2
4
1
t
m
t
− (t ≠1)
Xét hàm số: ( ) 2
1
t
f t t
=
− với:
0 1
t t
>
≠
(loại)
( ) '
f t
( )
f t
1 2
0
0
1
0
1
4
Trang 22
2
'( )
( 1)
f t
t
−
=
− ;
2
t
t
=
Bảng biến thiên:
2
1
1 1 1
t
f t
t
t t
→+∞ = →+∞ = →+∞ = +∞
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y=4m và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm ⇔4m<0hoặc 4m≥4 ⇔ <m 0hoặc m≥1
Bài 3 Tìm m để phương trình: m.2x+2−x− =5 0 có nghiệm
Giải
1
2
x
Đặt: t=2x (t>0)
Phương trình thành: mt 1 5 0
t
5 1t m
t
−
⇔ = (t>0) Xét hàm số: 2
5 1 ( ) t
f t
t
−
= với: t∈(0;+∞) 2
4
'( ) t t
f t
t
0
5
t
t
=
=
Bảng biến thiên:
2
5 1
5 1
1
f t
t
−
−
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm 25
4
m
⇔ ≤
(loại)
( )
'
f t
( )
f t
1
0
2
0
+∞
(loại)
( )
'
f t
( )
f t
2 5
0
0
− +
−∞
0 25
4
Trang 3Bài 4 Tìm m để phương trình: (3 2 2+ ) (x+ −3 2 2)x−2m=0 có nghiệm
Giải
(3 2 2+ ) (x+ −3 2 2)x−2m=0
Vì: (3 2 2 3 2 2+ )( − ) =1
Đặt: t= +(3 2 2)x (t>0) ( ) 1
3 2 2 x
t
Phương trình thành: t 1 2m t2 1 2m
+
Xét hàm số:
2 1 ( ) t
f t
t
+
= với: t∈(0;+∞) 2
2
1
'( ) t
f t
t
−
1
t
t
= −
Bảng biến thiên:
1 1 1
1
f t
t
t
−
−
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y=2m và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔2m≥ ⇔ ≥2 m 1
Bài 5 Tìm m để phương trình: 25x+ 1−5x+ 2+ =m 0 có nghiệm
Giải
25x+ −5x+ + = ⇔m 0 25.5x−25.5x+ =m 0
Đặt: t=5x (t>0)
Phương trình thành: 25t2−25t = −m (1)
Xét hàm số: f t( ) 25= t2−25t với: t∈(0;+∞)
'( ) 50 25
f t = t− ; '( ) 0 50 25 0 1 (0; )
2
Bảng biến thiên:
(loại)
( )
'
f t
( )
f t
1
0
0
+∞
2
+∞
( ) '
f t
( )
f t
1 2
0
0
+∞
0
25 4
−
Trang 4Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y= −m và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm 25 25
⇔ − ≥ − ⇔ ≤
Bài 6 Tìm m để phương trình: 1 1 2 1 0
Giải
Đặt: 1
3
x
t
= ÷ (t>0)
2
t
t
+
Xét hàm số:
2 1 ( )
2
t
f t t
+
=
− với:
0 2
t t
>
≠
2
2
4 1
'( )
2
f t
t
− −
=
t
t
= +
= ⇔ − − = ⇔
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm 1
2
m
⇔ < − hoặc
Bài 7 Tìm m để phương trình: 91 + − 1 x2 −(m+2 3) 1 + − 1 x2 +2m+ =1 0 có nghiệm
Giải: Điều kiện: 1−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤0 1 x 1
Đặt: t=31 + − 1 x2 (t>0)
2
1
x
−
t = ⇔ =x ; ta có: t( )− =1 3 ; t( )1 =3 ; t( )0 =9
Do đó: x∈ −[ 1;1]⇒ ∈t [ ]3;9
2
t
− +
−
Xét hàm số: ( ) 2 2 1
2
f t
t
− +
=
− với:
0 2
t t
>
≠
2
2
4 3
'( )
2
f t
t
− +
=
− ;
[ ]
3
t
t
= ∉
Bảng biến thiên:
( )
'
f t
( )
f t
0
0
+
2+ 5 2
+∞
−
2− 5
+∞
−∞
1 2
−
4 2 5+
−
( ) '
f t t( )
Trang 5Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm 4 64
7
m
⇔ ≤ ≤
Bài 8 Tìm m để phương trình: log(x2 + 2mx)− log(x− = 1) 0 có nghiệm
Giải
log x + 2mx − log x− = ⇔ 1 0 log x + 2mx = log x− 1 (1)
2 2
1
1 0
1
2
x x
x
>
− >
⇔ + = − ⇔ − + − =
Xét hàm số: 2 1
2
y
x
− + −
= với x>1 ; ' 2 22 2
4
x y
x
=
1
x
x
= − ∉ +∞
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm 1
2
m
⇔ < −
Bài 9 Tìm m để phương trình: ( ) 2( ) ( ) ( )
m− x− − m+ x− + − =m có nghiệm x
thỏa mãn điều kiện x<3
Giải Điều kiện: 2 2 3
3
x
x x
>
<
Đặt: t=log3(x−2) ; 2< < ⇔ < − < ⇒x 3 0 x 2 1 log3(x− = <2) t 0
m− t − m+ t m+ − = ⇔m t − + = + +t t t
2
2
2 3
2 1
m
+ +
− +
Xét hàm số:
2 2
2 3 ( )
2 1
f t
+ +
=
− + với: t<0
2
2 2
'( )
2 1
f t
=
− + ;
2
t
t
= ∉ −∞
Bảng biến thiên:
4 –
−
−∞
'
y x
y
-1
1 2
−
0
−
−∞
Trang 6Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm x thỏa 1 3
⇔ ≤ <
Bài 10 Tìm m để phương trình: ( )
log
2
mx
+ có nghiệm duy nhất
Giải
( )
log
mx
+
m x
Xét hàm số: f x( ) x2 2x 1
x
0
x x
> −
≠
2
2
1
'( ) x
f x
x
−
1
x
x
= − ∉ − +∞
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ <m 0 hoặc m=4
Bài 11 Tìm m để phương trình: 2log 2(x+ = 4) log 2( )mx có nghiệm.
Giải
2
4
4 0
4
x x
x
> −
+ >
( ) '
f t
( )
f t
1 3
1
−
3
( )
'
f x
( )
f x
+∞
−∞
0
+
0
+∞
Trang 7Xét hàm số:
2 4 4
f x
x
= với: x x> −04
≠
2
2
4
'( ) x
f x
x
−
2
x
x
= −
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số f t( ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ≤m 0 hoặc m≥ 8
Bài 12 Tìm m để phương trình:
2
12 3
Giải Điều kiện: 12 3− x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤0 2 x 2
2
12 3
⇔ + − = (1) Đặt: y x= + 12 3− x2 , với x∈ −[ 2; 2]
Trên khoảng (−2; 2) ta có:
2
' 1
y
2
2 2
x
≤ ≤
⇔ =x 1
Phương trình thành: y m=
Bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ − ≤ ≤2 m 4
( )
'
f x
( )
f x
+∞
−∞
0
+
0
+∞
-4
0
+
-1
2
−
0
x
'
y
2
− +