Chuong II _ Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (3 tiết)

Về kiến thức - Hiểu và ghi nhớ được khái niệm và các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit - Hiểu và ghi nhớ các công thức tính đạo hàm của hai hàm số nói trên.. Về kỹ năng - Biết vận

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

§5 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (3 tiết) TIẾT 34: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiết 1)

I MỤC TIÊU:

1 Về kiến thức

- Hiểu và ghi nhớ được khái niệm và các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Hiểu và ghi nhớ các công thức tính đạo hàm của hai hàm số nói trên

2 Về kỹ năng

- Biết vận dụng các công thức để tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit

3 Về tư duy và thái độ

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới Có tinh thần hợp tác trong học tập

- Rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng làm việc theo nhóm

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:

1 Chuẩn bị của GV:

Ngoài giáo án, phấn bảng… còn có:

- Bảng phụ

2 Chuẩn bị của HS:

Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có:

- Kiến thức cũ về đạo hàm và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.

Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức, như: thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề

Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp.

2 Kiểm tra bài cũ.

3 Bài mới.

Trong bài này ta luôn giả thiết  là một số dương khác 1 và J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó.

HĐ 1: Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit

Cho hs tính:

Hãy nhận xét sự tương ứng giữa

mỗi giá trị của x và giá trị 2x

(log2x)?

Từ đó dẫn dắt đến định nghĩa hàm

Hs thực hiện yêu cầu

sự tương ứng là 1:1

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Ta luôn giả thiết 0 <a 1

1 Khái niệm hàm số mũ và lôgarit.

số mũ, hàm số lôgarit.

Tìm tập xác định hàm số y = ax ?

Tương tự tìm txđ của hs y = log2x?

Gv nêu chú ý: Khi không cần nhấn

mạnh đến cơ số thì ta goi tắt là hàm

số mũ (hàm số lôgarit)

D = R D= R* +

ĐỊNH NGHĨA: Cho 0 < a  1

Hàm số y = ax là hàm số mũ

cơ số a

Hàm số y = logax là hàm số lôgarit cơ số a

- Hàm số logarit cơ số 10

y = logx

- Hàm số lôgarit cơ số e:

y = lnx

- y =ex = exp(x)

HĐ 2: Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

HĐTP1: Giới thiệu tính liên tục

của hàm số mũ và lôgarit.

Ta thừa nhận hàm số mũ, hàm số

lôgarit liên tục trên tập xác định của

nó Tức là có

0

lim

xx ax = … (x R)

0

lim

xx logax = … (x0 R*

+) Điền vào … trên?

0

lim

xx ax = ax

0 0

lim

xx logax = logax0

2 Một số giới hạn liên quan đếm hàm số mũ và hàm số lôgarit.

a) Hàm số mũ, hàm số lôgarit

liên tục trên tập xác định của

nó Tức là có

x0 R :

0

lim

xx ax = a x0

 x0R* :

0

lim

xx logax = logax0

HĐTP2: Tái hiện kiến thức về hàm

số liên tục.

H1 Tìm các giới hạn sau:

a) lim 1x

 

b) 2

8

lim log

c)

0

s inx

lim log

a) limx   e x

1

= 0

b) lim8

x log2x = log28 = 3 c) sinx x 1 khi x0 0

lim

x log sinx x = 0

HĐTP3: Hình thành định lý 1.

Đã biết limt (1+1

t )t = e lim

t  (1+1

t )x = e , tính lim0

1 ) 1

Cho hs thảo luận để tìm ghạn trên

? Hãy tính giới hạn của ln x x

1 ) 1 ( 

từ đó suy ra giới hạn của ln( 1x x)

Đặt 1 x

t  , được 0

lim

1 ) 1 (  = e

0

lim

x)

1 ln(  =

0

lim

x ln

x

x

1 ) 1 (  = lne = 1

b) Ta có:

0

lim

1 ) 1 (  = e (1)

ĐỊNH LÝ 1:

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

 Giáo viên nêu định lí 1

Hướng dẫn chứng minh (3)

Đặt t = ex -1

Hs chứng minh

0

lim

x)

1 ln(  = 1 (2)

0

lim

e x  1 = 1 (3)

HĐ 3: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Ta sẽ chứng tỏ được rằng hàm số

mũ và hàm số lôgarit có đạo hàm

tại mọi điểm thuộc tập xác định của

nó

HĐTP1: Hình thành định lý 2.

Hãy nêu cách tính đạo hàm của một

hàm số, áp dụng tính đạo hàm của

hs y = ex Cho hs thảo luận nhóm,

sau đó các nhóm cử đại diện trình

bày

Dựa vào đạo hàm hàm số y = ex

Hãy tính đạo hàm của hs y =ax

GV trình bày nội dung định lý 2

Cho x số gia x

y

 = ex+ x-ex = ex(e

x

 -1) x

y





e e

x x





lim0

x

e e

x x





=

exlim0

x

e x





= ex

 (ex)’ = ex (ax )’= ( lna x

e )’ = (exlna)’ = lna.ax

3 Đạo hàm của hàm số mũ

và hàm số lôgarit.

a) Đạo hàm của hàm số mũ.

ĐỊNH LÝ 2:

 a x 'a xlna; (ex)' = ex

' '( ) ln

a u x a a; (eu(x))' = u'(x)eu(x)

HĐTP2: Củng cố định lý 2.

Yêu cầu HS thực hiện ví dụ 1 và

hoạt động 2

H2 Tìm đạo hàm của các hàm số

sau:

a) (x+1)e2x

b) e x sinx

HS làm theo sự hướng dẫn của giáo viên

a) [(x+1)e2x]’ = (x+1)’e2x + (x+1)(e2x)’ = e2x + 2(x+1)(e2x) = (2x+3) (e2x)

b) [e xsinx]’ =

x e

x e

x

x

2

1



Ví dụ 1: Tính đạo hàm của

hàm số: y = (2x2 + 1)ex

Giải:

y' = (4x+1)ex + ex (2x2+ 1)

= 2(x+1)2ex

HĐTP 3: Tiếp cận định lí 3

Tính (lnx)’ ?

Cho hs thảo luận nhóm, sau đó các

nhóm cử đại diện trình bày

Hd

x

y





= … =

x

x x

x



 ) 1 ln(

1

kq?

? Hãy đổi logax sang cơ số e:

? Tính (logax)’

? Từ kq trên tính (lnu(x))’ ,

(logau(x))’ ?

Tổng kết lại thành định lý 3

Cho x số gia x

y= ln(x+x) – lnx

x

y





= …=

x

x x

x



 ) 1 ln(

1

0

lim

x

  x

y



 =

0

lim

x

 

x

x x

x



 ) 1 ln(

1

=1

x

logax = lnlna x (logax)' =

'

x



(lnu(x))’ = (u u((x x)))'

log ( ) ' '( )

( )ln

a

u x

u x

u x a



b) Đạo hàm của hàm số lôgarit.

ĐỊNH LÝ 3:

a) Với mọi x > 0

log ' 1

ln

a x

x a

 ;lnx' 1

x

 a) Nếu hàm số u = u(x) > 0

 x  J 

log ( ) ' '( )

( )ln

a

u x

u x

u x a



ln ( ) ' '( )

( )

u x

u x

u x



HĐTP 4: Củng cố định lý 3.Cho

HS làm hoạt động 3 ( trang 105)

H3 Chứng minh rằng: [ln(-x)]’ = 1x

Đặt –x = u(x) được (lnu(x))’ = (u u((x x)))' =

x

x



 )' (

=

x

1

 [ln(-x)]’ =

x

1

Từ định lý 3 và bài toán trong hoạt

động 3 ta có hệ quả sau:

HỆ QUẢ: a) ln x' 1

x

 với  x  0

b) ln ( ) ' '( )

( )

u x

u x

u x

 (u(x)0 và có đạo hàm trên J)

4 Củng cố

- Định nghĩa hàm số mũ và lôgarit

- Một số công thức giới hạn

- Các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

5 Hướng dẫn công việc ở nhà.

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

- Học lý thuyết

- Đọc trước phần còn lại của bài

TIẾT 35: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiếp)

I MỤC TIÊU:

Qua bài học HS cần:

1 Về kiến thức:

- Biết cách khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Nắm được cách vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit

2 Về kỹ năng

- Rèn luyện kỹ năng lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit

3 Về tư duy và thái độ:

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới Có tinh thần hợp tác trong học tập

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:

1 Chuẩn bị của GV:

Ngoài giáo án, phấn bảng còn có: Bảng phụ

2 Chuẩn bị của HS:

Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có:

- Kiến thức cũ về hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hàm số

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.

Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp.

2 Kiểm tra bài cũ.

3 Bài mới.

HĐ4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs mũ lôgarit

HĐTP 1:Sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hsy = a x

- Nêu các bước khảo sát sự

biến thiên của một hàm số ?

- Tính y'

- Nhận xét dấu của ax

- Căn cứ vào đâu dể biết dấu

của y’

Khi nào lna >0, lna <0?

 xét sự biến thiên của hs

dựa vào hai trường hợp của

hệ số a

TH a > 1

- Dựa vào bbt cho biết TGT

của hàm số y = ax

HS đứng tại chỗ trả lời

y’ = axlna Nhận xét ax >0,

R

x 



Căn cứ vào dấu của lna

lna > 0  a > 1 lna < 0  0 < a < 1

T = [0 ; +)

4 Sự biến thiên và đồ thị của hàm

số mũ và hàm số lôgarit

a) Hàm số mũ y = a x

* TH1: a > 1

 y' > 0  x  hàm số đồng biến trên R

Ta có limx a x

  = +  lim x

   =0  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi x  - là y = 0

Ta có bảng biến thiên:

x - 0 +

Cho học sinh quan sát đồ thị

H2.1 và cho học sinh nhận

xét về các dặc điểm của đồ

thị hàm số y = ax

T/h 0 < a < 1

Cho học sinh thực hiện hđ 4

sgk

H4 a) Hãy kết luận về tiệm

cận ngang của hàm số y = ax

b) Lập bảng biến thiên

- Nhận xét về đặc điểm của

đồ thị hàm số ở hình 2.2

Tổng kết và cho học sinh ghi

nhớ

Quan sát và nhận xét

Đặc điểm của đồ thị:

(i) Luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

(ii) Nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành

lim x

  =0  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi x  + là y

= 0

- Đồ thị hàm số y = (1/2)x cũng có các đặc điểm (i) và (ii) như trường hợp a > 1

y = ax

+ 1

0

3 6 9

x

y y  3 x

O Hình 2.1

* TH2: 0<a < 1

 y' < 0  x  hàm số nghịch biến trên R

limx a x

  = 0  TCN y = 0 (x +)

Ta có bảng biến thiên:

x - 0 +

y = ax

0 1

+

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

2 4 6 8

x y

O

y= x

y=( / ) x

Hình 2.2

GHI NHỚ:

Hàm số y = ax

* TXĐ: R, TGT: (0;+ )

* Đồng biến trên R khi a > 1, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.

* Đồ thị:

- Đi qua điểm (0;1)

- Nằm ở phía trên trục Ox.

- Nhận Ox làm tiệm cận ngang.

* Đồ thị có một trong hai dạng sau:

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

x

O

a

a > 1

x y

O

y=a x

a

0 < a <1

HĐTP 1:Sự biến thiên và vẽ

đồ thị của hs y = log a x

Tương tự như đối với hàm số

y = ax GV yêu cầu HS tự

khảo sát và điền vào phiếu

học tập đã được chuẩn bị

trước

(GV treo bảng phụ 1)

- Nhận xét về tiệmcận của

hàm số y = logax

Cho HS quan sát hình 2.4 vẽ

2 đồ thị hàm số y = log2x và

log1/2x

Yêu cầu HS nhận xét đặc

điểm đồ thị

(treo bảng phụ 2)

- Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x =

0 làm tiệm cận đứng

- Đặc điểm của đồ thị hàm số y = logax:

(i) luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) (vì loga1

= 0) (ii) Nằm hoàn toàn về bên phải trục tung (vì x

> 0)

b) Hàm số y = log a x

(Bảng phụ 1)

(Bảng phụ 2)

Yêu cầu HS làm Hoạt động 5

(trang108)

H5 Lập bảng biến thiên của

hàm số y = logax khi a > 1 và

0 < a < 1

GV tổng kết lại thành bảng

HS thực hiện HĐ5 theo sự hướng dẫn của giáo viên

GHI NHỚ:Hàm số y = logax

ghi nhớ.

Yêu cầu HS nhận xét về hai

đồ thị hàm số y = ax và y =

logax

- Gọi (G1) là đồ thị của hàm số y = ax và (G2)

là đồ thị của hàm số y

= logax thì (G1) đối xứng với (G2) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

* TXĐ: R*+, TGT: R

* Đồng biến trên R*+ khi a > 1, nghịch biến trên R*+ khi 0 <a < 1.

* Đồ thị:

- Đi qua điểm (0;1)

- Nằm ở bên phải trục Oy.

- Nhận Oy làm tiệm cận đứng.

* Đồ thị có một trong hai dạng sau:

x y

O a p

p q

q

loga

x

ya

y=x

M

M'

a > 1

x

y

O y=a x

p

q p

M'

0 < a < 1

4 Củng cố toàn bài

- Hai bảng ghi nhớ về hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, lôgarit

5 Hướng dẫn công việc ở nhà

- Học lý thuyết

- Làm bài tập trang 111-113

V PHỤ LỤC

Bảng phụ 1:

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

Một số kết quả khi khảo sát hàm số y = logax Hàm số y = logax với a > 1 Hàm số y = logax với 0<a <1

* y' > 0  x  TXĐ:(0;+)

* Hàm số đồng biến trên (0;+); TGT: R

* lim log0 a

0

lim loga

* y' < 0  x  TXĐ:(0;+)

* Hàm số nghịch biến trên (0;+); TGT: R

* lim log0 a

0

lim loga

Bảng phụ 2:

-3 -2 -1

1 2 3

x y

O

2

log

y x

1 2

log

y x

Hình 2.4

TIẾT 36: BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

I MỤC TIÊU:

Qua bài học HS cần:

1 Về kiến thức:

- Củng cố lại lý thuyết về hàm số mũ và hàm số lôgarit mà học sinh đã được học trong giờ

lý thuyết

- Củng cố các công thức tính giới hạn và đạo hàm Cách vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm

số lôgarit

2 Về kỹ năng

- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị hàm số

3 Về tư duy và thái độ.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới Có tinh thần hợp tác trong học tập

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:

1 Chuẩn bị của GV:

- Hệ thống bài tập

2 Chuẩn bị của HS:

- Kiến thức lý thuyết đã học

- Bài tập đã được chuẩn bị ở nhà

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.

Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp.

2 Kiểm tra bài cũ.

Câu hỏi 1: Nêu các công thức tính đạo hàm của hàm mũ, logarit

Câu hỏi 2: Nêu tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, logrit

Câu hỏi 3: 3  2

2

ln 1 1

3

x

x e





GV: Gọi HS lên bảng Nhận xét và cho điểm

3 Bài mới.

HĐ1: Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 48 (112) Tính các giới hạn sau:

a) lim 2 3 2

0

x

x x







b)

lim

x

x

 



a)

1

3

3 lim

3 0









x e x x

b)

lim

x

x

 



=

0

lim

x





= 2 – 5 = -3

Bài 53 (113)

Tính các giới hạn sau:

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh

a)

0

ln(1 3 )

lim

x

x x





0

ln 1

lim

x

x

x





a) 0

ln(1 3 ) lim

x

x x





=3

HĐ2: Rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 49 (112)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yx1e2x

b) y = 2 4

1

x

c) y = 1 

2

e  e

d) y = 1 

2

e e

a) y'2x1e2x

b) y' =   4

4

1

x

x

e

 c) y' = 1 

2

e e

d) y' = 1 

2

e  e

Bài 54 (113) Tính đạo hàm của các

hàm số sau:

a) y = (3x – 2)ln2x

1 ln

c) y = ln 1

1

x

x 

d)  2

ln 1 x

y

x





a) 2 2 3 2 ln

x



 b)

2

1

x x





 c) ' ln 1

x y

ln 1 2

1





x y

HĐ3: Rèn luyện kỹ năng xét tính đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số mũ và lôgarit

Bài 50-55 (112-113) Xét tính đồng

biến và nghịch biến của hàm số:

a)

3

x

y  

  b)

3

x

y 



c) log2

e

y x d)

1 log ;

a



? Để xét tính đơn điệu của hàm số ta

phải xét đại lượng nào?

- Ta phải so sách cơ số a với số 1

- Hàm số đồng biến: a) và d) vì cơ số lớn hơn 1

- Hàm số nghịch biến: b) và c) vì cơ số nhỏ hơn 1

Bài 51 – 56 (113): Vẽ đồ thị của các

hàm số sau:

a) y =  2 x

b) y = 2

3

x

 

 

 

c) y = loglog 2 x

d) y = 2

3

log x

Chú ý rằng Hai hàm số câu a và d đối

xứng nhau, hai hàm số ở câu b và d

đối xứng nhau qua đt y = x

-4 -2

2 4 6

x

y

 2

x

y 

2 log

-2

2 4

x

y

2 3

x

y  

 

2 3

log

y x

4 Củng cố toàn bài.

Chú ý cho học sinh 3 dạng toán

5 Hướng dẫn học bài ở nhà.

- Xem lại các bài toán đã chữa

- Ôn tập các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit, các công thức tính giới hạn, tính đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit, các kỹ năng giải toán để tiết sau kiểm tra một tiết

V.PHỤ LỤC.

1 Phiếu học tập.

2 Bảng phụ.

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh