TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD.. Chøng minh d vµ d’ chÐo nhau.[r]
Trang 1Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 1
A BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1 Cho PT log x32 + log x 1 2m 1 0.23 + − − =
a) Giải PT khi m = 2
b) Tìm m ñể PT ñã cho có nghiệm trên 1;3 3
2 Tìm m ñể PT sau có nghiệm
9 + − − (m + 2).3 + − + 2m 1 + = 0.
3 Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên (0; 1)
2
2
4 log x − log x + = m 0.
4 Chứng minh phương trình xx 1+ = (x 1) + x có
nghiệm dương duy nhất
5 Giải các phương trình sau
3
2
8
2
2 (3x) (27x )
5 2
x 2x 1 x
x x x
1) log (x 3) log (x 1) log 4x.
2) 16 log x 3log x 0.
3) 2 2 3 4) log (5 4) 1 x.
ln x 5) f '(x) 0 khi f (x) 6) 2 3 1.
x
8)
3
2
2
x x 1 x x 2
10) log 2 2 log 4 log 8.
11) 4 2 2(2 1) sin(2 y 1) 2 0.
1 12) 2(log x 1) log x log 0.
4 13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0.
14) 9 10.3 1 0 15)
+
x x
2 co
3 2 1.
18) 1 log (9 6) log (4.3 6).
19) log (x 8) log (x 26) 2 0.
20) 125 50 2 21) 8 18 2.27
22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1.
23) 6.9
+
+
=
2
s x cos x 1 2 cos x cos x 1
2 cos x cos x 1
13.6 6.4 0.
2
2
24) 3 2 3x 2 25) 3 5 6x 2.
26) ln(2x 3) ln(4 x ) l n(2x 3) ln(4 x ) 27) log x 14.log x 40.log x 0.
28) log (x 5x 6) log log (x 3)
29) log (4 4) x log (2 3).
30) 9 6 2
+ +
−
2
2
2
2
2 2
x
1 log x 1 log x
1 log x 1 log x 32) log (125x).log x 1
1 34) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) 2
35) log (e 2) log (e 3) 3.
36) log (x 1) 6 log x 1 2 0.
3 37) log 3 4
− − +
=
=
−
2x 1
3.log x 2 log x.
1 38) log (4 15.2 27) 2 log 0.
4.2 3
41) log (2x x 1) log (2x 1) 4.
42) 3.8 4.12 18 2.27 0.
44)
+
=
−
2
3
2
x 3
2
log (x 1) log (2x 1) 2.
4 45) (2 log x) log 3 1.
1 log x 46) e e 2 ln(x 1 x ).
47) log 1 x 2 48) e tan x.
| x | 49) 2 7.2 7.2 2 0.
51) 2 log 2x 2 log (9x 1
−
π
− +
−
+ + − ) = log3x 1− (3x 1) −
Trang 2Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit
xa.nguyenvan@gmail.com
2
2
6
2
5 log (3x)
log (2x) log 6 log (4x )
3
53) 12.3 3.15 5 20 54) x 36 x 0.
55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4.
57) log x 2log x 2 l og x.log x.
58) log
+
2
2 2
2
2
2x 4x 5
59) log x log x log x log x.
60) (log 2x log 2x ) log x
(log log ) log x 2.
61) log (x x 1).log (x x 1)
2 20
3
log x log 3
log (x x 1).
62) log (9 5.3 ) 4 63) log (log (9 6)) 1.
64) 3 2 9 2 0 65) 3 2 3
66) log (9 4.3 2) 3x 1.
67) 6.4 13.6 6.9 0 68) 27 x 30.
68
+
+
( 6 35 ) ( 6 35 )
) log (2 4) x log (2 12) 3.
69) ( 3 8 ) ( 3 8 ) 6 70) 3.4 2.9 5.6
6 Cho phương trình
2
(x 1).log (x + + − 3) 2m 2x + 2.log (x + + + = 3) m 1 0.
a) Giải phương trình khi m = -1
b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên [ ]− 1;1
7 Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy
nhất: m( 5 1) + x+ (m + 2)( 5 1) − x = (2m 1).2 + x
8 Cho phương trình 4x − 4m.(2x− = 1) 0.
a) Giải PT khi m = 1
b) Tìm m ñể PT có 2 nghiệm trái dấu
9 Chứng minh PT 4 (4xx 2+ = 1) 1 có ñúng 3 nghiệm
thực phân biệt
10 Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên [32; +∞):
2
log x + log x − = 3 m(log x − 3).
11 Gải biện luận theo m phương trình
a) 5 + + − 5 + + + = x + 2mx + m.
2
b) log m log m log m 0.
12 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 < x1≤ x2 < 4 :
2
(m 1) log (x − − − 2) (m 5) log (x − − + − = 2) m 1 0.
13 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+ x22 > 1:
2
2 log (2x − + x 2m 4m ) log (x − + + mx − 2m ) = 0.
14 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
log + (x + mx + + + m 1) log − x = 0.
15 Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
(m 1).4 + + (3m 2).2 − + − 3m 1 + = 0.
B BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
16 Giải các bất phương trình
log x log x
x
1) log (4 4) log (2 3.2 ) 2) log x log 3.
3) 15.2 1 2 1 2 4) log x log (x 1) 5) log x 2.log (x 1) log 6 0 6) log ( 2x) 2.
7) f '(x) 0 khi f (x) x log 2 8) 2x 2 9
+
+
1 x x x 1 1 x 1 x
3 2
4
) log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1).
10) 8 2 4 2 5 11) 5 5 24 12) log x 4 log x 2(4 log x ).
13) log x log x 0 14) 25 15 2.9
15) log (2 1) log (2 2) 2.
16) log log
−
+ π
2
2 2
x 1
x 2x
x x
x x x x 2
(x 2x x ) 0.
x 2
log x log (2x 1)
log (2x 1) log x 23) 8 3.2 16 0 24)
−
−
−
+ − <
−
+
+
2 log (2 − − ≤ − 1) x 1.
Trang 3Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 3
2
5
x 1 2
1
2
x
3
3 2
x
25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0.
x 3x 2
26) log 0 27) ( 5 2) ( 5 2)
x
2x 3 28) log (log (9 72)) 1 29) log (log ) 0.
x 1 30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2.
31) ln ln(x x 1) 0 32) log (
2
−
+
+
+ − − + >
2
5
2
3
2
log x log x
x 2 ) 1.
x 2
33) log 2x 3x 1 log (x 1)
34) 3 2 5.6 0 35) log (3x) log x 11.
37) (log 8 log x ).log 2x 0.
2.3 2
3 2 40)
+ +
− − − −
+
+ >
+
−
−
2
2
2 3
2
x log (log ( 2log x 1) 3)
2
2 x
logx.(log x log x 3) 0.
41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0.
1
3 1
3
44) log (log (3 9)) 1 45) log log 0.
x 4 46) x 8.e x(x
+ − +
−
+ >
≥
+
− >
2
x 1
2
x
.e 8).
47) log ( x 3 x 1) 2log x 0.
48) 3x 5x 2 2x
3 2x 3x 5x 2 (2x) 3
49) ( ) 3.( ) 12 50) x 32.
31 52) log log (2
16
−
− − − − −
−
− − + + >
x 2
) 2 53)log (2x) 1.
54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0.
17 Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x:
2 m
a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0.
b) log (x 2x m 1) 0.
+
− + + >
18 Cho bất PT m.4x+ (m 1).2 − x 2+ + − > m 1 0 a) Giải bất phương trình khi m 5.
6
= b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x
19 Giải biện luận theo m bất phương trình
2 1 2
1 a) log (log x) log (log x) log 2.
2 b) log (x mx 1) 1.
+ + <
20 Tìm m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với
∀ ∈ −∞ ∪ +∞
m.4 − + (m 1).10 + − − 25 + − > 0.
21 Cho bất PT m.9x+ 4(m 1).3 − x+ > m 1.
a) Giải BPT khi m = 2
b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x
22 Tìm tập xác ñịnh của hàm số
2 5 2
a) y 1 log (x 5.x 2).
b) y log (x 2).log 2 2.
:
−
23 Tìm m ñể hệ
3
x 1 3x m 0
log x log (x 1) 1
− − − <
có nghiệm
24 Tìm m ñể bất PT sau nghiệm ñúng với mọi x ≤ 0 :
m.2 + + (2m 1).(3 + − 5) + + (3 5) < 0
25 Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm
log − (x − > 1) log − (x + − x 2).
26 Tìm x > 1 ñể BPT 2
2(x x) m
log + (x m 1) 1 + − < nghiệm ñúng với mọi 0 m < ≤ 4.
C BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
27 Chứng minh với mọi a > 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất
x y
e e ln(1 x) ln(1 y)
.
y x a
− = + − +
− =
28 Chứng minh HPT sau có nghiệm dương duy nhất
x
2
y
2
y
e 2007
x
e 2007
−
−
Trang 4Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit
xa.nguyenvan@gmail.com
4
4
29 Giải các hệ phương trình
x
− +
−
x
x y
y
log (x 2x 3x 5y) 3
log (y 2y 3y 5x) 3
6 3 12
=
4
2 2
1
y
5 2
2 log y 2 log y 5 3 2 1152
log (x y) 2
4 log y 5
−
+ =
x
log (6x 4y) 2
log (6y 4x) 2 3log (9x ) log y 3
2 2 2
ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 5
x y x 1
ln(1 x) ln(1 y) x y
+ = +
17)
2 2
log (3x y) log (3x y) 1
log x 3 5 log y 5
.
3 log x 1 log y 1
19)
2x y
log(3x y) log(y x) 4 log 2 0
−
−
20)
2 2 (y x)(xy 2)
.
ln x ln y (y x)(xy 2011)
.
2 − 2 − (2x y 1)
22)
e e (log y log x)(xy 1)
.
23)
2 log (x 16) log (x 16)
3x 1
x 4
+ <
D BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT
30 Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng
3 + 3 + 3 ≥ 3 + 3 + 3
31 Cho a, b, c dương và thoả mãn a + b = c CMR: a) Nếu x > 1 thì ax + bx < c x
b) Nếu x < 1 thì ax+ bx > c x
32 So sánh hai số e π và e
π
33 Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, chứng minh rằng
(a + b ) < (a + b )
34 Chứng minh rằng
1
1
3x
1
2 x
2 x
2 x
c) e 1 x , x 0.
2 x d) e cos x 2 x , x
2
− +
π
> + + ∀ >
ℝ
ℝ
35 Tìm GTLN, NN của hàm số
x
a) y = 2 trên ñoạn [ ]− 1;1 b) y = x ln x trên ñoạn 1;1
e
2
c) f (x) = x − ln(1 2x) − trên ñoạn [− 2; 0 ]
d) f (x) = − x ln x + 3 trên khoảng (0; +∞).
2
ln x e) g(x)
x
= trên ñoạn 1; e3
36 Cho hàm số
2x 1 2x 1
a
f (x)
1 a
−
−
= + với a là hằng số dương Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt
n
A f ( ) f ( ) f ( ).
Chứng minh rằng
2 n
n 2n 2
2
37 Chứng minh rằng
a) a ln b − b ln a > ln a − ln b, với 0 < a < b < 1
b) (2 + 2 − ) ≤ (2 + 2 − ) , với a ≥ > b 0.
c) 27 + 27 + 27 ≥ 3 + + 3 3 , với a + b + c = 0
Trang 5
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Tọa ñộ ñiểm : Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz
1). M x ; y ;z( M M M)⇔OM=x iM+yMj z k+ M
2). Cho A x ; y ; z( A A A)và B x ; y ; z( B B B)ta có:
AB = (x − x ; y − y ;z − z )
AB = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )
3). Nếu M chia ñoạn AB theo tỉ số k (MA=kMB) thì ta có :
ðặc biệt khi M là trung ñiểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :
II/ Tọa ñộ của véctơ: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oyz
1). a=(a ;a ;a )1 2 3 ⇔ =a a i1+a j a k2+ 3
2). Cho a =(a ;a ;a )1 2 3 và b =(b ;b ; b )1 2 3 ta có :
••••
1 1
2 2
3 3
=
•••• a± =b (a1±b ;a1 2±b ;a2 3±b )3
•••• k.a=(ka ;ka ;ka )1 2 3
•••• a.b = a b cos(a; b) =a b1 1+a b2 2+a b3 3
a = a +a +a
III/ Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
1). Nếu a =(a ;a ;a )1 2 3 và b =(b ;b ; b )1 2 3 thì 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
b b b b b b
2). Vectơ tích có hướng c= a, b vuông góc vơi hai vectơ a
và b
Chương 3:
Trang 6xa.nguyenvan@gmail.com
2
3). a, b = a b sin(a, b) 4).SABC 1 [AB, AC]
2
=
5) V HộpABCDA’B’C’D’ =[AB, AC].AA '
6).V Tứdiện ABCD =1[AB, AC].AD
6
1). a
và b
cùng phương
a kb
a, b 0 k R : a kb a kb
a kb
=
⇔ = ⇔ ∃ ∈ = ⇔ =
2). a
và b
vuông góc ⇔a.b = ⇔0 a b1 1+a b2 2 +a b3 3 =0
3). Ba vectơ a, b, c
ñồng phẳng ⇔a, b c =0(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)
4). A,B,C,D là bốn ñỉnh của tứ diện ⇔ AB, AC, AD
không ñồng phẳng
5). Cho hai vectơ không cùng phương a
và b
, khi ñó vectơ c
ñồng phẳng với a
và b
⇔ ∃k,l ∈R sao cho c=ka+lb
6). G là trọng tâm của tam giác ABC
G
G
G
x
3
y
3
z
3
=
⇔ =
+ +
=
7). G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔GA+GB GC++GD=0
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính F=AB, AC (OA 3CB) +
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật ñó
c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp
Bài 2: Cho bốn ñiểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn ñỉnh của tứ diện
b) Tìm tọa ñộ trọng tâm G của tứ diện ABCD
c) Tính các góc của tam giác ABC
d) Tính diện tích tam giác BCD
e) Tính thể tích tứ diện ABCD và ñộ dài ñường cao của tứ diện hạ từ ñỉnh A
Bài 3: Cho a =(0;1; 2); b =(1; 2;3); c=(1;3;0); d =(2;5;8)
a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ a, b, c
không ñồng phẳng
b) Chứng minh a, b, d
ñồng phẳng và phân tích vectơ d
theo hai vectơ a, b
c) Phân tích vectơ u =(2; 4;11) theo ba vectơ a, b, c
Trang 7
xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3)
a) Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình hộp
b) Tính thể tích hình hộp
c) Chứng tỏ rằng AC’ ñi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’
d) Tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc của D lên ñoạn A’C
Bài 5: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của A lên ba trục tọa ñộ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Ozx
a) Tìm tọa ñộ các ñiểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3
b) Chứng minh rằng N1N2⊥ AN3
c) Gọi P,Q là các ñiểm chia ñoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác ñịnh k ñể PQ//M1N1
§2 MẶT PHẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Phương trình mặt phẳng:
1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với
A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong ñó n =(A;B;C)là một vectơ pháp tuyến của nó
2). Mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n =(A;B;C)làm vectơ pháp tuyến có dạng
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3). Mặt phẳng (P) ñi qua M0(x0;y0;z0) và nhận a =(a ;a ;a )1 2 3 và b =(b ;b ; b )1 2 3 làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
a a a a a a
b b b b b b
II/ Vị trí tương ñối của hai mặt phẳng
1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
•••• (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
•••• (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
•••• (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2). Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 cắt nhau Phương trình chùm mặt phẳng xác ñịnh bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong ñó m2 + n2 ≠ 0)
III/ Khoảng cách từ một ñiểm ñến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) ñến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức:
d(M , )
α =
Trang 8xa.nguyenvan@gmail.com
4
IV/ Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0
2 2 2 2 2 2
P Q
n n A.A' B.B ' C.C ' cos cos(n , n )
n n A B C A ' B ' C '
ϕ = ⇔ ⊥ ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau
• Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz
B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của ñoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau
b) Viết phương trình tham số ñường thẳng (∆) là giao tuyến của hai mặt phẳng ñó c) Chứng minh rằng ñường thẳng (∆) cắt trục Oz Tìm tọa ñộ giao ñiểm
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa ñộ tai ba ñiểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC e) Chứng tỏ rằng ñiểm O gốc tọa ñộ không thuộc mặt phẳng (P) từ ñó tính thể tích
tứ diện OABC
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0
a) Viết phương trình mp (Q) ñi qua gốc tọa ñộ và song song với mp (P)
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O
và vuông góc với mặt mp(P)
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa ñộ ñến mặt phẳng (P)
(TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ñi qua A(-1;2;3)
c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy
d) Lập phương trình mặt phẳng (χ) ñi qua gốc tọa ñộ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và ñiểm M(2;1;-1)
a) Tính ñộ dài ñoạn vuông góc kẽ từ M ñến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình ñường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P)
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) ñi qua ñiểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc 450
Trang 9xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0, (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0 trong
không gian Oxyz
a) Xác ñịnh giá trị k và m ñể hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc ñó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) ñến ñường thẳng (d)
§3 ðƯỜNG THẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Phương trình ñường thẳng:
1). Phương trình tổng quát của ñường thẳng: Ax By Cz D 0
A ' x B' y C 'z D ' 0
(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
2). Phương trình ttham số của ñường thẳng :
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
Trong ñó M0(x0;y0;z0) là ñiểm thuộc ñường thẳng và a =(a ;a ;a )1 2 3 là vectơ chỉ phương của ñường thẳng
3). Phương trình chính tắc của ñuờng thẳng : 0 0 0
Trong ñó M0(x0;y0;z0) là ñiểm thuộc ñường thẳng và a =(a ;a ;a )1 2 3 là vectơ chỉ phương của ñường thẳng
II/ Vị Trí tương ñối của các ñường thẳng và các mặt phẳng:
1). Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng :
Cho hai ñ.thẳng (∆) ñi qua M có VTCP a
và (∆’) ñi qua M’ có VTCP a '
•••• (∆) chéo (∆’) ⇔ a,a ' MM ' ≠0
•••• (∆) cắt (∆’) ⇔ a, a ' MM ' =0 với a,a ' ≠0
•••• (∆) // (∆’) ⇔ [a, a ']=0
∉ ∆
•••• (∆) ≡ (∆’) ⇔ [a, a ']=0
∈ ∆
2). Vị trí tương ñối của ñường thẳng và mặt phẳng:
Cho ñường thẳng (∆) ñi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a =(a ;a ;a )1 2 3 và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n =(A;B;C)
•••• (∆) cắt (α) ⇔ a.n ≠0
Trang 10xa.nguyenvan@gmail.com
6
•••• (∆) // (α) ⇔ a.n 0
M ( )
∉ α
•••• (∆) nằm trên mp(α) ⇔ a.n 0
M ( )
∈ α
III/ Khoảng cách:
1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆) đi qua M0 cĩ VTCP a
0
d(M, )
c.đáy a
2). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
(∆) đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP a
, (∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP a '
hộp
đáy
[a,a'].MM' V d( , ')
S [a,a']
IV/ Gĩc :
1). Gĩc giữa hai đường thẳng :
(∆) đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP a =(a ;a ;a )1 2 3
(∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP a =(a ' ;a ' ;a ' )1 2 3
a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a, a ')
a a ' a a a a ' a ' a '
2). Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
(∆) đi qua M0cĩ VTCP a =(a ;a ;a )1 2 3 , mp(α) cĩ VTPT n =(A;B;C)
Gọi φ là gĩc hợp bởi (∆) và mp(α)
Aa +Ba +Ca sin cos(a, n)
B/ BÀI TẬP:
Bài 1:
a) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1)
và B(4;1;2)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) và vuơng gĩc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
c) Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng 2 4 0
+ − + =