bài 1 : phương pháp qui nạp toán

Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N* ta thực hiện:... Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* ta thực hiện:.

Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai

b) ∀ n ∈ N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai

P(n): “ < n +100 ” và Q(n): “ 3n 2n > n ” với n ∈ N*

Xét hai mệnh đề chứa biến:

§3.

§4.

§1.

§1.

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1:

Bước 2:

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

n = k

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Bước3 :

( giả thiết quy nạp)

, với k ≥ 1

Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N* ta thực hiện:

Chứng minh rằng với n∈N* thì :

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1)

Giải:

B1) Khi n = 1:

B2) Đặt VT = Sn Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 Tức là:

Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) B3) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 Nghĩa là:

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2

Thật vậy:

Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2

Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*.

VT = 1, VP = 12 = 1 Vậy (1) đúng.

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 22

9 = 32

16 = 4 2

25 = 5 2

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2 2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Chứng minh rằng với n∈N* thì n3 – n chia hết cho 3.

Giải : Đặt A

n = n3 – n

B1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3

B2) Giả sử với n = k ≥ 1, ta có:

Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp)

B3) Ta chứng minh Ak+1 3

Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1

= (k3- k) +3(k2+k)

= Ak+ 3(k2+k)

Ak … 3 và 3(k2+k) 3 nên Ak+1 … 3

Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi n∈N*.

Ví dụ 2:

 Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số

tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì :

•Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với:

n = k+1

•Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên

bất kỳ: n = k ≥ p

2

n

+ + + + − =

Bài1 : Chứng minh rằng với , ta cĩ đẳng thức sau:

*

n ∈N

Bài3 : Chứng minh rằng với mọi

LUYỆN TẬP

Bài2 : Chứng minh rằng với , ta cĩ:

a) n3 + 3n2 +5n chia hết cho 3.

*

b) 13n – 1 chia hết cho 6

(2)

(3)

n ∈ N* và

Dặn dò:

Về nhà học bài, làm bài tập Hoạt động 2/81

và bài tập 1, 2 (trang 82 SGK).

Xem trước bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”.

 Khi n = 1, ta có:

Giải

1(3.1+1)

2

VT = 2 =

 Giả sử (2) đúng với n=k≥1, tức là:

=> Đẳng thức (2) đúng với n = 1

 Ta phải chứng minh (2) cũng đúng với n=k+1, nghĩa là:

2

k

k k

S = + + + + k − = +

1 2 5 8 3 1 3( 1) 1

k

S + = + + + + k − + k + −

Thật vậy:

(đpcm) (gtqn)

Vậy đẳng thức (2) đúng với mọi n N ∈ *

(2)

( 1) 3( 1) 1

2

k + k + +

=

2

2

3 6 4

2

2

k + k + + +k

=

( 1) 3( 1) 1

2

=

n(3n+1)

2 5 8 3 1

2

n

Bài1: Chứng minh rằng với , ta cĩ đẳng thức sau:

*

∈

n N

Bài2: a) n 3 + 3n 2 +5n chia hết cho 3.

Giải

 Với n=1 thì E1=9 3

Giả sử En đúng với n = k ≥1 nghĩa là:

Ek= k3+3k2+5k 3 (gtqn)

 Ta phải chứng minh Ek+1 3, tức là:

Ek+1= (k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) 3 

Thật vậy:

Ek+1 = (k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) = k 3 +3k 2 +5k+3k2+9k+9= E k+3(k2+3k+3) Theo giả thiết quy nạp thì Ek 3

ngoài ra 3(k2+3k+3) 3 nên E k 3 (đpcm)

Vậy E k chia hết cho 3 với mọi n N ∈ *

Đặt En= n3 + 3n2 +5n

Bài2 : b) 13n – 1 chia hết cho 6

Đặt Fn = 13n – 1



 Giả sử với n = k thì ta có: Fk =13k -1 6 (gtqn)

 Với n = 1 thì F1=131-1=12 6

 Ta phải chứng minh : Fk+1 6, tức là:

Fk+1 = 13k+1 -1 6

Thật vậy:

Fk+1 = 13k+1 -1 = 13.13k -13+12=13(13k - 1) + 12 =13Fk+12

Theo giả thiết quy nạp thì Fk 6, ngoài ra 12 6 nên Fk+1 6  (đpcm)



Vậy Fn =13 n – 1 chia hết cho 6

Giải

Bài3 : Chứng minh rằng với mọi n ≥3 Ta có:

>

n

3 8n

Giải

Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta cĩ:

(3)

 Với n=3 thì 33 > 8.3 => Bđt (3) đúng với n=3

 Giả sử bđt (3) đúng với n=k > 3, nghĩa là:

: 3k > 8k (gtqn)

 Ta phải chứng minh bđt (3) đúng với n=k+1, tức là

3k+1 > 8(k+1)

<=> 3 3k > 3.8k = 24k

<=> 3k+1 > 8k+8+16k-8 <=> 3k+1 > 8(k+1)+16k-8

Do 16k-8 > 0 (với k ≥ 3) => 3k+1 > 8(k+1) (đpcm)

Vậy 3 n > 8n với mọi n ≥3

3k > 8k

Trả lời:

a) n = 1 : 3 < 101 (Đ)

n = 2 : 9 < 102 (Đ)

n = 3 : 27 < 103 (Đ)

n = 4 : 81 < 104 (Đ)

n = 5 : 243 < 105 (S)

Q(n): “ > n ”

a) n = 1 : 2 > 1 (Đ)

n = 2 : 4 > 2 (Đ)

n = 3 : 8 > 3 (Đ)

n = 4 : 16 > 4 (Đ)

n = 5 : 32 > 5 (Đ)

b) ∀n∈N* thì P(n) sai,

vì khi n = 5 thì P(5) sai

b) Q(n) có đúng với ∀n∈N*

không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n

Bước 1:

Bước 2:

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ: n = k

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Bước3 :

( giả thiết quy nạp).

, với k ≥ 1.

Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên

n ∈ N* ta thực hiện: