Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

ĐẠI SỐ 11Chương III: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Tiết 37 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.. Kiến thức Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước bắt buộc theo

ĐẠI SỐ 11

Chương III: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Tiết 37 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức

Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định

2 Kĩ năng

Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí

3 Thái độ

Tự giác, tích cực trong học tập

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.

1 Chuẩn bị của GV

Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu,

2 Chuẩn bị của HS

Đọc trước bài và ôn lại một số kiến thức về mệnh đề

III – TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.

1 Ổn định tổ chức

11B 1 Ngày giảng : Sỹ số:

11B 2 Ngày giảng : Sỹ số:

2 Kiểm tra bài cũ

- Thông qua các hoạt động trong giờ học

3 Nội dung bài mới

Hoạt động 1: Tìm hiểu phương pháp quy nạp toán học

GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ1

- Với n = 1, 2, ,3 ,4 ,5 Hãy kiểm tra tính

đúng – sai của P(n) và Q(n) ?

- Với mọi n  N * thì P(n) và Q(n) đúng hay

sai?

HS: Trả lời câu hỏi của GV

GV: Khẳng định muốn chứng tỏ một kết

luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng

trong mọi trường hợp Muốn chứng tỏ một

kết luận sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường

hợp sai là đủ Để CM những mệnh đề đúng

với mọi n ta sử dụng PP quy nạp

I Phương pháp quy nạp toán học H1- sgk

Trả lời:

- Với n = 1, 2, 3, 4, 5 ta có P(1), P(2), P(3), P(4) đúng, P(5) sai, còn Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) đều đúng

- Với mọi n  N* thì P(n) sai vì khi n = 5 thì P(5) là sai

- Với mọi n  6 thì Q(n) đúng, song ta vẫn chưa thể khẳng định được Q(n) đúng với mọi n

 N*

*) Phương pháp quy nạp toán học

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với

n=1

GV: Nêu phương pháp

HS: Ghi nhận KQ

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số

tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng.

GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ2 theo

các bước của phương pháp quy nạp

- Hãy kiểm tra tính đúng – sai của đẳng

thức với n = 1?

- Nêu giả thiết quy nạp ?

- CM hệ thức đúng với n= k +1 nghĩa là

cần chứng minh điều gì ?

HS: Kiểm tra mệnh đề với n = 1

Chỉ ra giả thiết quy nạp

Chỉ ra điều cần chứng minh

GV: Nhận xét, chỉnh sửa

HS: Lên thực hiện dưới sự hướng dẫn của

GV

HS: Ghi nhận KQ

GV: Nêu chú ý

GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ3 theo

các bước của phương pháp quy nạp

- Hãy so sánh P(n) và Q(n) với n = 1, 2,

3, 4, 5 qua bảng sau ?

- Hãy dự đoán kết quả tổng quát và chứng

minh bằng phương pháp quy nạp?

HS: Lên bảng điền vào ô trống

Dự đoán KQ tổng quát

Chứng minh dự đoán bằng PPQN

II Ví dụ áp dụng

H 2 CMR:

( 1)

1 2 3

2

n n

    

(*)

Giải +) Với n = 1 (*) đúng +) Giả sử (*) đúng với n = k  1 Nghĩa là:

( 1)

1 2 3

2

k k

    

(gt) +) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1

1 2 3  1 ( 1) 2

2

      

(**) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

1

k

k

        

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi n  N*

Chú ý: Nếu phải chứng minh một mệnh đề

là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một

số tự nhiên) thì:

Bước 1: Ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với một

số tự nhiên bất kì n k p và phải chứng minh nó cũng đúng với n k 1.

H 3-sgk:

Trả lời:

a) So sánh 3n và 8n

GV: Nhận xét, chỉnh sửa

HS: Ghi nhận kết quả

GV: Nhận xét, chỉnh sửa

b) Dự đoán n 3 thì 3n 8n Thật vậy

+ Với n = 3 ta có 33 8.3 Vậy bđt đúng + Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 3

tức là 3k 8 (1)k Nhân cả hai vế của (1) với 3, ta được

1 3.3k 3.8k 3k 8k 8 16k 8

Vì 16k – 8 > 0 nên

 

3k 8k 8 3k 8 k 1

     tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy 3n 8n với mọi n  N*

4 Củng cố và luyện tập.

Phương pháp quy nạp

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1 (n = p)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (k  p) - giả

thiết quy nạp Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

5 Hướng dẫn HS học ở nhà

- Đọc bài “Bạn có biết” sgk – T83 và làm các bài tập sgk – T83, 84

- Đọc trước bài “Dãy số”

- Hướng dẫn làm bài tập 1, 3 sgk

Bài 1: a) Với n = 1 hệ thức đúng

Đặt S n    2 5 8 3 n1 Giả sử hệ thức đúng với n = k  1

1

1 3 1 1

2

S       k  k   S  k       b) Với n hệ thức đúng

Đặt vế trái bằng S n Giả sử hệ thức đúng với n = k  1

Ta có

(đpcm)

Bài 3: a) Bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  2 tức là 3k 3k1 (1)

Nhân hai về của (1) với 3 , ta được.3k19k 3 3k13k 4 6k1

Vì 6k–1>0 nên 3k13k4 hay 3k1 3k1 1 bất đẳng thức đúng với n=k+1 Vậy 3n 3n1 với mọi số tự nhiên n  2