PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCI.. Các bài toán Bài 1.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: sinnx nsinx Bài 4.

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I Kiến thức cơ bản

Để chứng minh một mệnh đề chứa biến A n là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên  dương của np p  *, ta thực hiện hai bước sau:

 Bước 1 Chứng minh A n là mệnh đề đúng khi n = p. 

 Bước 2 Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết

 

A n là mệnh đề đúng khi n k , ta phải chứng minh A n cũng là mệnh đề đúng khi 

1

n k 

II Các bài toán

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau:

1.2 2.5   n n3 1 n n1

Bài 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2

2

Bài 3 Giả sử 0 x  Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

sinnx nsinx

Bài 4 Chứng minh rằng 1.1! 2.2!   n n !n1 ! 1  với mọi số nguyên đương n.

Bài 5 Chứng minh rằng 1.2.3 2.3.4  1  2  1  2  3

4

nguyên dương n.

Bài 6 Chứng minh rằng 4n 1 52n 1

 chia hết cho 21 với mọi số nguyên dương n.

Bài 7 Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 1 2

       với mọi số nguyên dương n.

Bài 8 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi x k 2 , k  ta có:

1

1 sin 2

2 sin

2

n

x



2

1 sin 2

2 sin

2

n

x



Bài 9 Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x1, x2, …, x n thỏa mãn điều kiện

1 2 n 1

x x x  Chứng minh rằng x1x2 x n n

Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức  

 

*

1.3.5 2 1 1

, 2.4.6 2 3 1

n

n

