Vậy ta có BDT phụ :4 4 1 4 1 b a b a ab b a b a ab + ≤ + ⇔ + ≤ + • Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cá
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ -
CHỨNG MINH BĐT A- PHƯƠNG PHÁP TÌM BDT PHỤ:
Ví dụ 1: Chứng minh ∀a, b, c >0 ta có :
* Áp dụng B Đ T (a + b)2 ≥4ab
⇔
4
b a b a
ab ≤ +
* hoặc sử dụng BDT Cô-Si
• Đặt tình huống ta không nhìn ra BDT (1) thì sao? Tôi xin mạo dạn đưa ra cách tìm BDT phụ để giải BDT đã cho
• Xét:
(1a)
Cộng theo vế, ta được: (x y)(a b c)
a c
ca c b
bc b a
+
+ +
+ +
So sánh với BDT đã cho ⇒x+ y= ⇒ y= −x
2
1 2
1
thay vào BDT ( 1a) :
0 ) ( 2 ) (
0 )
( 2
2 ) ( ) (
0 2
1
) 2
1 (
≤
+
−
−
⇔
≤ +
− + +
−
⇔
≤ +
− +
−
⇔
− +
≤ +
b a
b x
b a
b a
ab b a b b a x
b a
ab b bx ax
b x ax
b a ab
Đẳng thức xảy ra
= +
−
=
−
⇔
0 ) ( 2
0
b a
b x
b a
= +
=
=
⇔
4
1 ) (
2b b
b x
b a
4
1 4
1 2
1 − =
=
⇒ y
2
c b a a c
ca c b
bc b a
+
+ +
+ +
ay cx a c ca
cy bx b c bc
by ax b a ab
+
≤ +
+
≤ +
+
≤ +
Trang 2Vậy ta có BDT phụ :
4
4
1 4
1
b a
b
a
ab
b a
b
a
ab
+
≤
+
⇔
+
≤
+
• Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cách tìm BDT phụ bằng cách thử một vài giá trị đặc biệt của a và b, từ đó chọn đúng giá trị x và y.Rất tiếc tác giả không nêu ra ví dụ thử.Tôi đã tâm đắc phương pháp độc đáo của tác giả nhưng khi thử thì không may
mắn,khó xác định giá trị x,y.Rất mong tác giả tiếp tục chia sẻ những
kĩ năng- kiến thức cho mọi người cùng tham khảo- học tập
Ví dụ 2: Chứng minh ∀a, b, c >0 ta có :
• Nhiều tác giả đưa ra BDT phụ:
4
3
b a
+
• Bây giờ tiếp tục với cách trên,ta xét:
by ax b a
a
+
≥ +
2
và ( x + y =
2
1
) ⇒ y= −x
2 1
0 ) ( 2
2 )
(
0 )
( 2
) )(
( ) ( ) (
0 )
( 2 )
(
0 ) ( 2
2 )
(
0 2
1
) 2
1 (
2 2 2
2 2 2 2
≤
+
+
−
−
⇔
≤ +
+
− +
−
−
−
⇔
≤ +
− +
− +
−
⇔
≤ +
− + +
−
⇔
≤ +
− +
−
⇔
− +
≥ +
b a
b a x b a
b a
b a b a b a a b a x
b a
a b a ab b a x
b a
a b ab b a x
b a
a b bx ax
x b ax b a a
2
2 2
a c
c c b
b b a
+
+ + + +
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi
= +
+
−
=
−
0 ) ( 2 2 0
b a
b a x
b a
=
=
⇔
a
a x
b a
4 3
2
1 4
3 2
1 4
3⇒ = − = −
=
Vậy ta được BDT phụ:
4
3
b a
+
Ví dụ 3: Chứng minh ∀a, b, c >0 ta có :
Ta xét:
by ax a ab
b
+
−
2
3 3
7
41 và ( x + y =5) ⇒ y= 5 −x
0 7
6 41 ( ) (
0 7
35 ) ( 5 ) (
0 7
) )(
( ) ( 35 ) (
5 ) (
0 7
5 35 35
5 ) (
0 7
41 35
5 ) (
0 7
41 5
) 5 ( 7
2
2 2
2
2 2
2
2
3 2
2 2
2
2
3 3 3 3 2
2
2
3 3 2
2
2
3 3 2
3
≥
+
+ +
−
−
⇔
≥
+
+ + + +
+
−
−
⇔
≥ +
+ +
− +
− +
−
−
−
⇔
≥ +
+
−
−
− +
+
−
⇔
≥ +
+
− +
+
−
⇔
≥ +
−
− +
−
⇔
− +
≤ +
a ab
b ab a
x b a
a ab
b ab a a b a a x b a
a ab
b ab a b a b a a b
a a b a x
a ab
b a a a b a ab
b a x
a ab
b a b a ab
b a x
a ab
b a b bx ax
x b ax a ab a
Đẳng thức xảy ra khi
= +
+ +
−
=
−
0 7
) 6
41 ( 0
2 2
2 2 2
a a
a a a x
b a
=
=
=
⇔
6 8
48
2
2
a
a x
b a
1 6 5
6 ⇒ = − = −
=
5 ( )
7 7
41 7
41
2
3 3
3 2
3 3
c b a c
ca
c b
bc
c b a
ab
b
+
+ +
− +
+
−
Trang 4Vậy ta được BDT phụ: a b
a ab
b
+
7
41
2
3 3
* Chúng ta dễ dàng chứng minh các BDT phụ trên
B- BÀI TẬP:
1)
với a,b,c >0
( BDT phụ:
3
2
2 2
b ab a
+
a
c c
b b
a2 + 2 + 2 ≥ + + Với a,b,c >0
(Ta có BDT phụ: a b
b
a ≥ 2 −
2
)
ca
a c bc
c b ab
b
2 2
2
3 3 3 3 3 3
với a, b, c > 0 (Ta có BDT phụ:
2 2
3
ab
b
6
29 6
29 6
29
2
3 3 2
3 3 2
3 3
c b a ca c
a c bc
b
c b ab
a
b
+
− +
+
− +
+
−
ab a
b
+
− 5 6
29
2
3 3
) 5)Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn -Thanh Hóa năm 2000 – 2001
Cho a,b,c,d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:
2
1
2 2
2 2
≥ +
+ +
+ +
+
d c d
c b c
b a b a
( Ta có bài toán phụ:
4
3
a b
6) Kỳ thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 9 năm 2008 – 2009
Cho a,b,c >0 và a + b + c = 1
5
19 5
19 5
19
2
3 3 2
3 3 2
3 3
≤ +
− +
+
− +
+
−
a ac
c a c
cb
b c b
ba
a b
b ba
a
+
−
4 5
19
2
3 3
)
** Tuy nhiên cách làm này chỉ áp dụng cho những bài toán chỉ có 1 cặp số (a , b) trong cùng một phân thức, mà không áp dụng cho 3 số (a,b,c) ,4 số (a,b,c,d) …trở lên Hy vọng các đọc giả chia sẻ những kiến thức và đóng góp
3
2 2
3 2
2
3 2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ + +
Trang 5đã giúp tôi tìm thấy cho mình một kĩ năng chứng minh BDT cho một dạng bài toán loại này