Mục tiêu: Hiểu được phương pháp quy nạp toán học.. Kĩ năng: Biết cách chứng minh một số mệnh đề đơn giản bằng quy nạp.. Nội dung bài mới: Hoạt động 1: Phương pháp quy nạp toán học.. Như
Trang 1Đại số 11 Trường Hồng Việt
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Tiết 37-38
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I Mục tiêu:
1 Mục tiêu:
Hiểu được phương pháp quy nạp toán học
2 Kĩ năng:
Biết cách chứng minh một số mệnh đề đơn giản bằng quy nạp
II Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, sgk, sgv, dự kiến tình huống,
2.Học sinh: Chuẩn bị kiến thức cũ (mệnh đề, mệnh đề chứa biến), soạn bài.
III Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
2 Kiểm tra bài cũ: Chữa bài kiểm tra chương II.
3 Nội dung bài mới:
Hoạt động 1: Phương pháp quy nạp toán học.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Gv yêu cầu hs nêu lời giải ở ?1a
?1b: Kết luận được mệnh đề nào?
Gv :Muốn chứng minh một kết luận sai, ta
chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Muốn
chứng minh một kết luận đúng, ta phải chứng
minh nó đúng trong mọi trường hợp Nhưng
đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự
nhiên thì việc thử mọi trường hợp là điều
không thể làm được Do đó để giải được các
bài toán như vậy ta phải sử dụng phương
pháp quy nạp
Gv nêu phương pháp quy nạp toán học
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh các bước
chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp
quy nạp toán học thông qua ?1b
Gv chốt lại phương pháp quy nạp thông qua
ví dụ 1 sgk
Gv yêu cầu hs làm ?2
Giáo viên gọi học sinh đọc đề bài và phân
tích tóm tắt đề bài
Gv phân tích gợi ý để hs giải được ?2 trên
Giáo viên hướng dẫn hs biến đổi:
[1+2+3+ +k]+(k+1)=
k(k 1)
k 1 2
(k 1) (k 1) (k 1)( 1)
k 2 (k 1)(k 2)
- Ta có nhận xét gì?
Học sinh: Thay các giá trị n vào các mệnh đề chứa biến để rút ra kết luận đúng sai của mệnh đề
Hs tiếp thu kiến thức
Hs tiếp thu kiến thức
Hs chứng minh:
1/ Khi n = 1
Vế trái bằng 1
Vế phải bằng n(n 1) 1(2) 1
Vậy đẳng thức đúng với n = 1 2/ Giả thiết (1) đúng với một số tự nhiên bất
kỳ n = k 1 Tức là:
1+2+3+ +k = k(k 1)
2 ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 Tức là:
1+2+3+ +k+(k+1) = (k 1)(k 2)
theo giả thiết quy nạp ta có:
[1+2+3+ +k]+(k+1)=
k(k 1)
k 1 2
Trang 2Đại số 11 Trường Hồng Việt
Gv hướng dẫn hs giải ví dụ 2
Gv nêu chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi
số tự nhiên np (p là số tự nhiên) thì:
B1: Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p;
B2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên
bất kì n= kp và phải chứng minh rằng nó
đúng với n= k+1
(k 1) (k 1) (k 1)( 1)
k 2 (k 1)(k 2)
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
n 1 Do đó với mọi số tự nhiên n 1 Ta có:
1+2+3+ +n = n(n 1)
2
Hoạt động 2: Hướng dẫn giải bài tập
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Gv yêu cầu hs giải bài tập 1c
Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp?
B1: Chứng minh mệnh đề đúng với n =0
(hoặc n = p ) thường được thử trực tiếp)
B2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k Chứng
minh mệnh đề đúng với n = k+1
- Dựa vào phương pháp giải đã học giáo viên
gọi học sinh lên bảng giải bài tập 1c
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phân tích
để đưa biểu thức về dạng:
(k 1)(k 2)[2(k 1) 1]
6
Do đó: Vậy đẳng thức đúng với mọi n N*
Tương tự các bài trên gv yêu cầu hs giải các
bài tập 2c, 3b, 4
Bai 1c:
Chứng minh rằng với mọi n N* ta có đẳng thức:
12+22+32+ + n2 = n(n 1)(2n 1)
6
Hs giải:
1) Khi n = 1 Ta có vế trái bằng 1 Vế phải bằng 1(2).31
6 Vậy đẳng thức đúng với n =1 2) Giả sử đẳng thức đúng với n = k bất kỳ nghĩa là: 12+22+32+ + n2 = k(k 1)(2k 1)
6
Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng cho
n = k + 1 Nghĩa là:
12+22+32+ + (k+1)2 = (k 1)(k 2)(2k 3)
6
Ta có:
12+22+32+ + (k+1)2 = 12+22+32+ +k2+(k+1)2 =k(k 1)(2k 1) 2
(k 1) 6
= (k 1)(k 2)[2(k 1) 1]
6 Vậy đẳng thức đúng với mọi n N*
IV Củng cố:
Hãy nêu phương pháp quy nạp?
Gv hệ thống lại các bài tập đã chữa và nêu phương pháp giải cho từng dạng bài tập đó Chứng minh nN* Ta có: 1 - 2 + 3 - 4+ - 2n + (2n+1) = n + 1
V Dặn dò:
Về giải lại các bài tập đã sửa và làm các bài tập còn lại
VI Rút kinh nghiệm: