Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

 CÁI RIÊNG CỤ THỂ  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DiỄN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” P

Tiết 37

 CÁI RIÊNG

 CỤ THỂ

 CÁI CHUNG

 TỔNG QUÁT

PHÉP QUY NẠP

PHÉP SUY DiỄN

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN

PHÉP SUY DiỄN

PHÉP QUY NẠP

“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”

PHÉP QUY NẠP

Hãy cùng tìm hiểu

về phương pháp quy nạp Toán học

Các em cần phân biệt hai kiểu suy luận và sự liên hệ giữa hai kiểu

suy luận đó

Ph Ăng-ghen

“Quy nạp và suy

diễn gắn chặt với

nhau như phân

tích và tổng hợp”

(1820-1895)

Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai

b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai

Xét hai mệnh đề chứa biến:

P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ”

Hoạt động nhóm

Các em sử dụng phiếu học tập số 1

Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Trả lời:

a P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n): “ 2 n > n ”

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi nN* P(n) sai ; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN*

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16











2

8 16

4 3 2

1 4











Đ Đ Đ Đ

Đ Đ Đ Đ Đ

S

Các em quan sát và trả lời

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp)

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Các em chép phần này vào vở

Chứng minh rằng với nN* thì :

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1)

Giải:

1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 Vậy (1) đúng

2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  1 ta có:

Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)

3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2

Thật vậy:

Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 2 2

9 = 3 2

16 = 4 2

25 = 5 2

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*

Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2 n – 1) = n 2

Quan sát phần minh họa cho ví

dụ 1

Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.

Giải : Đặt An = n3 – n (1)

1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3

Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh Ak+1 3

= (k3- k) +3(k2+k)

= Ak+ 3(k2+k)

Ak … 3 và 3(k2+k) 3 nên Ak+1 … 3

Ví dụ 2:Ví dụ 2

Các em chép phần này vào vở

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi nN* ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 ( Giả thiết qui nạp-GTQN )

B3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

II Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM

CMR : Với mọi nN* có un = 13 n –1 6 …

CMR : Với mọi nN* có un = 10 n – 4 3 …

Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM

Các em sử dụng phiếu học tập số 2

Thật vậy:

CMR : Với mọi nN* có un = 13 n – 1 6 (2) …

uk+1 = 13 k+1 – 1 = 13 k 13 –1

= 13 k ( 12+1 ) – 1

Với n = 1 ta có: u1 = 13 1 –1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là: uk = 13 k – 1 6

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1 , tức là : uk+1= 13 k+1 – 1 6 …

= 12.13 k +13 k – 1

Vậy với mọi nN*, ta có un = 13 n – 1 6 (2) …

= 12.13 k + uk

Vì : 12.13 k 6 và uk … 6

Chú ý theo dõi bài giải

Thầy mời nhóm 1

cử đại diện trả lời

Thật vậy:

CMR : Với mọi nN* có un = 10 n – 4 3 (3) …

uk+1 = 10 k+1 – 4 = 10 k 10 – 4

= 10 k ( 1+9 ) – 4

Với n = 1 ta có: u1 = 10 1 –1 = 9 3 (Mệnh đề (3) đúng)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là: uk = 10 k – 4 3

Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1 , tức là : uk+1= 10 k+1 – 4 3 …

= 10 k – 4 + 9.10 k

Vậy với mọi nN*, ta có un = 10 n – 4 3 (3) …

= uk+ 9.10 k

Vì : 9.10 k 3 và uk … 3

Chú ý theo dõi bài giải

Thầy mời nhóm 2

cử đại diện trả lời

 Chú ý:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 , ta có các bất đẳng thức : a) 3 n > 3n + 1 b) 2 n+1 > 2n + 3

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2

•Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp)

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

•Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.

 Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số

tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

Các em ghi nhận phần chú ý quan trọng này

 Củng cố:

Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

•Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).

•Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với

số tự nhiên bất kỳ n = k  p) ( giả thiết quy nạp )

•Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1

•Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu

của bài toán để kết luận.

Dặn dò:

1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp

2/ Làm các bài tập 1& 2 trang 82 SGK

3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK

Các em chú ý nghe Thầy dặn

để thực hiện

Nguyễn Thanh Lam - Tổ Toán –Tin – Trường THPT Thanh Bình