Vành và môđun hầu cohen macaulay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM THANH TÙNG VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THANH TÙNG

VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THANH TÙNG

VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bịtrùng lặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thànhluận văn là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đãđược ghi rõ nguồn gốc

Thái nguyên, tháng 5 năm 2019Người viết Luận văn

Phạm Thanh Tùng

của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

TS Trần Nguyên An

Mục lục

1.1 Môđun mở rộng 31.2 Chuyển phẳng 71.3 Chiều của vành và môđun 9Chương 2 Vành và môđun hầu Cohen- Macaulay 132.1 Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay 132.2 Vành và môđun Cohen-Macaulay 262.3 Vành và môđun hầu Cohen-Macaulay 282.4 Tính hầu Cohen-Macaulay của vành đa thức và vành các chuỗi lũy

thừa hình thức 322.5 Tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng 342.6 Tính chất (Cn) 36

ii

Lời nói đầu

Vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành và môđun quan trọng trong Đại

số giao hoán, Hình học Đại số, Lý thuyết bất biến và Đại số tổ hợp Có nhiều lớpvành và môđun là mở rộng (theo các khía cạnh khác nhau) của lớp vành và môđunCohen-Macaulay được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu: vành và môđunCohen-Macaulay suy rộng [13], vành và môđun Cohen-Macaulay dãy [12], Một mở rộng khác của vành và môđun Cohen-Macaulay nảy sinh từ tính chấtcủa độ sâu Trong cuốn sách "Commutative Algebra" [8, (15.C), p.97], Matsumura

đã chỉ ra depth(P, M ) = depth(PP, MP), với mọi P ∈ Supp(M ) Tuy nhiên sumura đã đính chính trong cuốn sách "Commutative ring theory" [9, Exercise 136,p.132] (xem thêm [3, Lemma 18.1]) bằng yêu cầu chỉ ra ví dụ về vành và iđêan thỏa

Mat-depth(P, M ) < depth(PP, MP) Y Han trong bài báo "D-rings", Acta Math Sinica,

4, 1047–1052, 1998 [4], đã định nghĩa vànhRthỏa mãndepth(P, R) = depth(PP, RP),với mọi P ∈ Spec(R) mà ông gọi là "D-ring" M.C Kang trong bài báo "AlmostCohen-Macaulay", Comm Algebra, 29(2), 781-787, 2001 [6], đã định nghĩa tổngquát cho môđun và đổi tên thành môđun hầu Cohen-Macaulay Định nghĩa của

M C Kang như sau

ChoR là một vành Noether giao hoán M 6= 0làR-môđun hữu hạn sinh Môđun

M được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu depth(P, M ) = depth(PP, MP), với mọi

P ∈ Supp(M ) Vành R được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu nó là môđun hầuCohen-Macaulay trên chính nó

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về lớp vành và môđun hầu Cohen-Macaulaydựa trên 2 bài báo

1 M C Kang (2001), "Almost Cohen-Macaulay", Comm Algebra, 29(2), 787

781-2 C Ionescu (2015), "More properties of almost Cohen-Macaulay rings", J

Comm Algebra, 3, 363-372.

Luận văn được chia làm 2 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn

bị về môđun mở rộng, chuyển phẳng, chiều của vành và môđun Chương 2 trìnhbày về vành và môđun hầu Cohen-Macaulay Để thấy được mối liên hệ với lớp vành

và môđun Cohen-Macaulay trong chương này luận văn trình bày khá chi tiết một

số kết quả về dãy chính quy, độ sâu và môđun Cohen-Macaulay Tài liệu tham khảochính của mục này là [2], [9] Mục tiếp theo trình bày định nghĩa và một số tínhchất cơ bản của vành và môđun hầu Cohen-Macaulay Tính hầu Cohen-Macaulaykhi chia cho một phần tử, của vành đa thức, vành các chuỗi lũy thừa hình thức,qua chuyển phẳng, đầy đủ hóa, đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua hệ tham

số, qua điều kiện (Ck), được trình bày ở các mục tiếp theo của chương

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên

An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhândịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cáchđọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đãdành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học

và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viêntôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộtôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Thái nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2019

Người viết Luận văn

Phạm Thanh Tùng

trong đó j là phép nhân 2 và p là phép chiếu tự nhiên.

Mệnh đề 1.1.3 Mỗi môđun M có một giải tự do

Chứng minh Chọn F0 là một R-môđun tự do sao cho có một toàn cấuα : F0→ M.

Đặt

S1 = Ker(F0→ M ) = Ker α.

Chọn F 1 là một môđun tự do sao cho có một toàn cấu p 1 : F 1 → S 1 Đặt

d 1 = j 1 p 1 : F 1 → F 0 , trong đó j 1 : S 1 → F 0 là phép nhúng tự nhiên.Vì p 1 làtoàn cấu nên Im d1 = j1(p1(F1)) = j1(Ker α) = Ker α Tương tự như vậy ta tiếp tụcđặt

trong đó mỗi Fi là một R-môđun

Hệ quả 1.1.4 Mỗi R-môđun M đều có một giải xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.5 Cho M là R-môđun Một giải nội xạ của M là một phức củacác môđun nội xạ E• và ánh xạ i : M → E 0 sao cho dãy

0 −−−→ M −−−→ Ei 0 −−−→ Ed0 1 −−−→ Ed1 2 −−−→

là khớp

Ví dụ 1.1.6 Một giải nội xạ của Z-môđun Z là

0 →Z→Q→Q/Z→ 0 → 0 → · · ·

Định lý 1.1.7 Mọi R-môđun có thể nhúng vào một R-môđun nội xạ.

Mệnh đề 1.1.8 Mỗi R-môđun có một giải nội xạ

Chứng minh Thật vậy, cho M là R-môđun, theo Định lí 1.1.7 tồn tại R- môđunnội xạ E0 và đơn cấu i : M → Ei Đặt C1 = Coker(M ,→ E0). Tiếp tục như vậygiả sử ta xây dựng được R- môđun Ci Tồn tại Ei là R-môđun nội xạ và đơn cấu

Ci → E 0 Đặt Ci+1 = Coker(Ci,→ Ei). Ta có các dãy khớp sau

Do đó ta nhận được một giải nội xạ của M

Định nghĩa 1.1.9 Xét một giải xạ ảnh bất kì của R-môđun M

−−−→ HomR(P1, N ) d

∗ 2

−−−→ HomR(P2, N ) −−−→

trong đó d∗0= 0 Ta định nghĩa

ExtiR(M, N ) = Hi(HomR(P•, N )) = Ker(d

∗ i+1 ) Im(d∗i) .

Mệnh đề 1.1.10 Định nghĩa ExtiR(M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải xạảnh của M

Định nghĩa 1.1.11 Xét một giải nội xạ bất kì của R-môđun M

Mệnh đề 1.1.12 Định nghĩa extiR(M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội

xạ của M

Mệnh đề 1.1.13 Ta có ExtiR(M, N ) ∼ = extiR(M, N ) với mọi i

Chú ý 1.1.14 Do ExtiR(M, N ) ∼ = extiR(M, N ) nên ta đồng nhất chúng và gọi làmôđun mở rộng thứ i củaM và N, kí hiệu ExtiR(M, N ).

Mệnh đề 1.1.15 Cho dãy khớp của các R-môđun

0 → M0→ M → M00→ 0.

Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext

0 HomR(M00, N ) HomR(M, N ) HomR(M0, N )

Ext1R(M00, N ) Homn−1R (M0, N ) ExtnR(M00, N ) ExtnR(M, N ) ExtnR(M0, N ) Extn+1R (M00, N ) Extn+1R (M, N ) Extn+1R (M0, N )

Ta có dãy khớp dài của các môđun Ext

Extn−1R (M, N0) Extn−1R (M, N ) Homn−1R (M, N00)

ExtnR(M, N0) ExtnR(M, N ) ExtnR(M, N00) Extn+1R (M, N0) Extn+1R (M, N ) Extn+1R (M, N00)

δ n−1

δ n

Sau đây, ta nêu ra một số tính chất của môđun mở rộng

Mệnh đề 1.1.17 Cho M, N là các R-môđun Khi đó:

Ext0R(M, N ) ∼ = Hom(M, N ).

Mệnh đề 1.1.18 Cho R là vành Noether, M, N là các R−môđun hữu hạn sinh.Khi đó ExtiR(M, N ) cũng là các môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0

Mệnh đề 1.1.19 (Xem [10], Th 7.16) Cho M, N là các môđun trên vành R và x

là phần tử thuộc R Xét ánh xạ ϕ : M −→ Mx (hoặc N −→ Nx ), khi đó tồn tại ánh

xạ cảm sinh ϕ∗ : ExtiR(M, N ) −→ Extx iR(M, N ).

hoặc R-phẳng hoàn toàn

Nhận xét 1.2.2 Vì dãy khớp dài A đều có thể chẻ ra thành các dãy khớp ngắn

và kiểm tra tính khớp của dãy A⊗RM : 0 → N1⊗RM → N2⊗RM.

Cho f : R → S là đồng cấu giữa các vành R và S Khi đó S được gọi là R-đại

số Hơn nữa, S được xem như một R-môđun với phép nhân vô hướng cho bởi

rr0 = f (r)r0 với mỗi r ∈ R, r0 ∈ S

Định nghĩa 1.2.3 Cho f : R → S là đồng cấu vành

(i) Nếu S là phẳng như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấu phẳng và S

được gọi là R-đại số phẳng

(ii) Nếu S là phẳng hoàn toàn như một R-môđun thì f được gọi là đồng cấuphẳng hoàn toàn và S được gọi là R-đại số phẳng hoàn toàn

Ví dụ 1.2.4 Vành các thương S−1R là một R-phẳng Thật vậy, ánh xạ tự nhiên

f : R → S−1R cho bởi r 7→ r/1 với mỗi r ∈ R là đồng cấu vành Vì thế, S−1R là

R-đại số Giả sử 0 → N1 → N2 là dãy khớp các R-môđun Ta có dãy các R-môđunsau là khớp

0 → S−1N1 → S−1N2.

VìN ⊗R S−1R ∼ = S−1N nên ta có dãy khớp

0 → N1⊗RS−1R → N2⊗R S−1R.

Vậy S−1R là R-đại số phẳng và f là đồng cấu phẳng

Mệnh đề 1.2.5 Cho S là R-đại số, M là S-môđun Khi đó,

(i) Nếu S là R-phẳng và M là S-phẳng thì M là R-phẳng

(ii) Nếu S là R-phẳng hoàn toàn và M là S-phẳng hoàn toàn thì M là R-phẳnghoàn toàn.

(iii) Nếu M là S-phẳng hoàn toàn và đồng thời là R-phẳng thì S là R- phẳng.(iv) Nếu M đồng thời là R và S-phẳng hoàn toàn thì S là R-phẳng hoàn toàn

Hệ quả 1.2.6 Cho R, R0, R00 là các vành, f : R → R0 và g : R0 → R00 là các đồngcấu vành Đặt h = g ◦ f : R → R00 Khi đó

(i) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng thì h cũng là đồng cấu phẳng

(ii) Nếu f, g là các đồng cấu phẳng hoàn toàn thì h cũng là đồng cấu phẳng hoàntoàn

(iii) Nếu h là đồng cấu phẳng và g là đồng cấu phẳng hoàn toàn thì f là đồngcấu phẳng

Mệnh đề 1.2.7 Cho R0 là R-đại số, M là R-môđun Khi đó,

(i) Nếu M là R-phẳng thì M ⊗RR0 là R0-phẳng

(ii) Nếu M là R-phẳng hoàn toàn thì M ⊗RR0 là R0-phẳng hoàn toàn

Định lý 1.2.8 Cho M là một R-môđun Khi đó các khẳng định sau là tươngđương:

(i) M là phẳng hoàn toàn trên R.

(ii) M là R-phẳng và N ⊗RM 6= 0 với mọi R-môđun N khác 0

(iii) M là R-phẳng và mM 6= M với mọi iđêan cực đại m của R.

1.3 Chiều của vành và môđun

Trong mục này ta tìm hiểu về chiều Krull của vành và môđun

Định nghĩa 1.3.1 Một dãy p0 ⊆ p1 ⊆ ⊆ pn các iđêan nguyên tố của R thỏamãn điều kiện pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài n

của R Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của dãy cáciđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của R được kí hiệu là dim R

Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêancủa R đều dừng Chú ý rằng R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R

là hữu hạn sinh Một vành giao hoán R được gọi là vành Artin nếu mọi dãy giảmcác iđêan củaR đều dừng Chú ý rằng nếuR là vành Artin thì R là vành Noether

và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại

Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết nếu tồn tạimột phần tử m ∈ M sao cho p= AnnRm. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M

được kí hiệu làAssRM.Chú ý rằng tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRM

chính là tập các iđêan tối thiểu trong AssRM. Vì thế ta có công thức tính chiềuqua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết như sau

Bổ đề 1.3.2 dim M = dim R/ AnnRM = max{dim(R/p)|p∈ AssRM }.

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức (xem [9, Theorem15.4])

aixi | ai ∈ R, ∀io. Mỗi phần tử của R[[x]] được gọi là một

chuỗi lũy thừa hình thức của biến X với hệ số trong R Định nghĩa phép cộng

aibj. Khi đó R[[X]] là một vành giao hoán Noether, được gọi

là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của biến X trên R Khi (R,m) là vành địaphương với iđêan tối đại duy nhất m thìR[[X]] cũng là vành địa phương với iđêantối đại duy nhất

Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến X 1 , , X n với hệ số trên R, kí hiệu là

R[[X 1 , , X n ]], được định nghĩa tương tự

Mệnh đề sau đây cho phép ta tính được chiều của vành các chuỗi lũy thừa hìnhthức (xem [9, Theorem 15.4])

Mệnh đề 1.3.4 dim R[[X 1 , , X n ]] = n + dim R.

Ví dụ 1.3.5 (i) Tính chiều của vành Z[X, Y, Z]/I với I = (X2, Y ) ∩ (Z3) Đặt

R =Z[X, Y, Z]. Ta có dim R = 3 + dimZ= 4. Chú ý rằng AssR(R/I) = {(X, Y ), (Z)}.

Suy ra

dim(R/I) = max{dim(R/(X, Y )), dim(R/(Z))} = 3.

(ii) Tinh chiều của vành R[[X, Y, Z, T ]]/J với J = (X, Y2, Z)∩(Y, Z3, T5).Đặt R =

R[[X, Y, Z, T ]].Khi đódim R = 4+dimR= 4.Ta cóAssR(R/J ) = {(X, Y, Z), (Y, Z, T )}.

Suy ra

dim(R/J ) = max{dim R/(X, Y, Z), dim(R/(Y, Z, T )} = 1.

Nhắc lại rằng một vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu nó có duynhất một iđêan tối đại Từ nay đến hết tiết này, luôn giả thiết (R,m) là vành địaphương với m là iđêan tối đại duy nhất ChoI là iđêan thực sự của R Ta nói rằng

I là iđêan nguyên sơ nếu ab ∈ I và a / ∈ I kéo theo b ∈ √

I với mọi a, b ∈ R. Chú ýrằng nếu I là iđêan nguyên sơ thì p = √

I là iđêan nguyên tố Trong trường hợpnày ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tương đươngvới chiều Krull của M

Định lý 1.3.6 ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ Khi đó

`R(M/qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và

dim M < ∞ Do đó từ đây ta luôn giả thiết rằng dim M = d

Định nghĩa 1.3.7 Một hệ(x1, , xd) ⊆m được gọi là một hệ tham số của M nếu

`R(M/(x1, , xd)M ) < ∞ Một hệ (x1, , xr) ⊆m với r ≤ d được gọi là một phần hệ

tham số của M nếu tồn tại các phần tử x r+1 , , xd sao cho (x 1 , , xd) là một hệtham số củaM.

Hệ quả 1.3.8 Giả sửr ≤ d Khi đódim(M/(x 1 , , x r )M ) ≥ d−rvới mọi x 1 , , x r ∈

m Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x1, , xr) là một phần hệ tham số của M

Ví dụ 1.3.9 Với R = K[[X, Y, Z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến với

hệ số trên một trường K, ta có dim R = 3, (X, Y2) là phần hệ tham số của R vì

(X, Y2, Z) là hệ tham số của R Tuy nhiên (X3+ Y3, X2 − Y 2 ) không là phần hệtham số củaR vì dim(R/(X3+ Y3, X2− Y 2 )R) = 2.

2.1 Độ sâu và môđun Cohen-Macaulay

Cho M là một môđun trên vành R Ta nói x ∈ R là một phần tử M-chính quynếu xz = 0 với z ∈ M thì z = 0 Tức là x không là một ước của không trên M hayphép nhân M −→ Mx là đơn cấu Khi đó Dãy chính quy được định nghĩa như sau.Định nghĩa 2.1.1 Một dãy các phần x1, , xn của R được gọi là M-dãy chínhquy hay M-dãy nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) xi là M/(x1, , xi−1)M-chính quy với i = 1, , n, tức là với mỗi 1 ≤ i ≤ n,

M/(x1, , xi−1)M xi

−−→ M/(x1, , xi−1)M

là một đơn ánh

(ii) M/(x1, , xn)M 6= 0, tức là M 6= (x1, , xn)M

Một dãy được gọi là M-dãy yếu nếu thỏa mãn điều kiện (i)

Khi tất cả các x i nằm trong một iđêan I của R ta nói x 1 , , x n là một M-dãychính quy trong I

KhiM = R thì x 1 , , x n là R-dãy nếu và chỉ nếu (x 1 , , x n ) là iđêan thực sự của

R, và với mỗi i = 1, , n x i không phải ước của không trên R/(x 1 , , x i−1 )

Giả sử R là một vành địa phương với iđêan cực đại m và M 6= 0 là R-môđunhữu hạn sinh Nếu (x1, , xn) ⊆ m thì theo Bổ đề Nakayama ta có (ii) luôn thỏamãn Vậy (x1, , xn) là dãy chính quy nếu và chỉ nếu với mỗi 1 ≤ i ≤ n, xi là

M/(x1, , xi−1)M-chính quy Với mỗi R-môđun M ta kí hiệu

ZDR(M ) = {a ∈ R |tồn tại 0 6= x ∈ M sao choax = 0}

là tập các ước của 0 trên M Khi vành cơ sở đã rõ ta kí hiệu tập này là ZD(M )

Ta có

p∈Ass R (M )

p.

Bổ đề 2.1.2 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Nếu iđêan

I ⊆ R gồm các ước không của M, thì tồn tại p∈ Ass M, I ⊆ p

Chứng minh Nếu I 6⊂ p với mọi p ∈ Ass M, thì theo định lý tránh nguyên tố tồntại x ∈ I với x / ∈ p với mọi p ∈ Ass M Ta có x là M-chính quy Điều vô lý nàychứng tỏ bổ đề được chứng minh

Từ trên ta dễ thấy đặc trưng sau của phần tử chính quy

Bổ đề 2.1.3 Cho R là vành Noether và M là R- môđun hữu hạn sinh, x ∈ R Khi

đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) x là phần tử M-chính quy;

(ii) x / ∈p, với mọi p∈ Ass(M ).

Ví dụ 2.1.4 ChoRlà vành, đặtS := R[X1, , Xn]là vành đa thứcnbiếnX1, , Xn

Ta có đẳng cấuS/(X1, , Xi−1) ∼ = R[X i , , Xn], màXilàR[Xi, , Xn]-chính quy nên

Chứng minh Ta có ϕ(x i )(M ⊗R N ) = x i (M ⊗R N ) nên ta chỉ cần xét (x 1 , , x n ).Phép nhân x 1 : M → M là đơn ánh nên phép nhân x 1 ⊗ N cũng là đơn ánh vì N

là R-môđun phẳng Lại có phép nhân bởi x1⊗ N là phép nhân bởi x1 trên M ⊗ N

Do đó x1 là phần tử (M ⊗ N )-chính quy Tiếp theo ta có (M ⊗ N )/x1(M ⊗ N ) ∼ = (M/x1M ) ⊗ N

Trường hợp quan trọng của Mệnh đề 2.1.5 được trình bày trong bổ đề sau.Trước hết ta nhắc lại đầy đủ hóa của môđun Một dãy (x n ) = (x n )n∈N ⊆ R đượcgọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số

tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0. Dãy (xn) ⊆ R được gọi làdãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi

n ≥ n0. Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Haidãy Cauchy (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn− yn) là dãy không KíhiệuRb là tập các lớp tương đương Chú ý rằng quy tắc cộng(xn) + (yn) = (xn+ yn)

và quy tắc nhân(xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện củacác lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên Rb và cùng với hai phép toánnày, Rblàm thành một vành Noether địa phương với iđean tối đại duy nhất là mR.bVành Rb vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R Một dãy

(zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước,

tồn tại n0 sao cho zn− zm ∈mk M. Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự tađịnh nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành Rb Môđunnày được kí hiệu là M b Theo [9, Theorem 8.7, Theorem 8.8] R → Rb là mở rộngphẳng và M = M ⊗b Rb Giả sử (R,m, k), là vành địa phương, ta ký hiệu k = R/m làtrường thặng dư của R

Hệ quả 2.1.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và x1, , xn

(như một dãy trong Rb) là Mb-dãy.

Chứng minh Ta có R → R p và R → Rb là phẳng Do đó

(i) Theo giả thiết M p 6= 0, và theo Bổ đề Nakayama suy ra M p 6= pM p Do đó

(x1, , xn)Mp 6= Mp

(ii) Chú ý M = M ⊗b Rb là một Rb- môđun hữu hạn sinh

Mệnh đề 2.1.7 Cho R là một vành, M là R-môđun và (x1, , xn) là M-dãy yếu.Khi đó dãy khớp R-môđun

N2→ Nϕ2 1 → Nϕ1 0→ M → 0ϕ0 (2.1)cảm sinh dãy khớp

N2/(x1, , xn)N2 → Nϕ2 1/(x1, , xn)N1 → Nϕ1 0/(x1, , xn)N0 → M/xϕ0 1, , xn)M → 0.

(2.2)Chứng minh Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh vớin = 1, ký hiệuxthay chox1.Lấy tenxơ dãy (2.1) vớiR/(x) Vì tích tenxơ là hàm tử khớp bên phải nên ta chỉ cầnthử lại tạiN 1 /xN 1 Ta cóϕ1ϕ 2 = 0 nênIm ϕ 2 ⊆ Ker ϕ1 Ký hiệu ychoy + xN 1, tương

tự ký hiệu lớp thặng dư trong môđun thương tương ứng Giả sử y ∈ Ker ϕ 1 hay

ϕ1(y) = 0 Ta có 0 + xN0 = ϕ1(y) = ϕ1(y) = ϕ1(y) + xN0 Suy ra ϕ1(y) = xz, z ∈ N0.

Kéo theo xz ∈ Im ϕ1 = Ker ϕ0 hay xϕ0(z) = 0 Theo giả thiết x là M- chính quynên ta có ϕ0(z) = 0; do đó ∃y0 ∈ N1 với z = ϕ1(y0) Tức là ϕ1(y − xy0) = 0 Vì vậy

y − xy0 ∈ Im ϕ2 và do đó y ∈ Im ϕ2 hay Ker ϕ1 ⊆ Im ϕ2 Vậy mệnh đề được chứngminh

Chứng minh Bằng quy nạp theo n, ta chỉ cần xét x = x 1 Vì x là N i-chính quynên x cũng là Im ϕ i+1-chính quy Vì vậy ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.1.7 với mỗidãy khớp

Ni+3 → Ni+2 → Ni+1 → Imϕi+1 → 0.

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ sau chứng tỏ hoán vị của dãy chính quy không là dãy chính quy

Ví dụ 2.1.9 Chú ý rằng khái niệmM-dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các phần

tử trong dãy, chẳng hạn xét trong trường K và A = K[X1, X2, X3] thì X1, X2(1 −

X1), X3(1 − X1) là A-dãy Nhưng X2(1 − X1), X3(1 − X1), X1 lại không phải A−dãy.Thật vậy, trước hết ta thấy rằng X 1 ∈ ZD(A) / và (X 1 ), (X 1 , X 2 (1 − X 1 )) = (X 1 , X 2 )

là các iđêan nguyên tố củaA Khi đó nếu h · X2(1 − X1) ∈ (X1), doX2(1 − X1) / ∈ (X1)

nênh ∈ (X1)tức làX2(1 − X1) làA/(X1)−chính quy Tương tự, nếuh · X3(1 − X1) ∈ (X1, X2(1 − X1)), do X3(1 − X1) / ∈ (X1, X2(1 − X1)) nên h ∈ (X1, X2(1 − X1)), tức