Đặc trưng một số lớp vành và môđun thông qua điều kiện tổng trực tiếp

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các lớp vành qua các điều kiện tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục tơng ứng CS và xạ ảnh; và nghiên cứu tổng trực tiếp của các CS - môđun tơ

Các ký hiệu

Các ký hiệu đợc đa ra trong luận văn chủ yếu dựa theo Anderson- Fuller [1]; Nguyễn Việt Dũng, Đinh Văn Huỳnh, Smith và Wisbauer [4]; Faith [5]; Mohamed - Muller[17], Wisbauer [18]

N ⊂ M : N là môđun con của M

N ⊂ e M : N là môđun con cốt yếu của M

Mod - R : Phạm trù các R- môđun phải

σ[N] : Phạm trù con đầy của Mod - R gồm các môđun con của các môđun sinh bởi N

J(R) : Căn Jacobson của R

Soc(M) : Đế của môđun M

r(M) : Linh hoá tử của môđun M

r(m) : Linh hoá tử của phần tử m

ZR(M): Môđun con suy biến của M

l(M) : Độ dài môđun M

: Kết thúc chứng minh

Mở đầu

Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh đợc xem

nh hai cột trụ trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành Các kết quả về chúng không những đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết vành

và môđun mà còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô

đại số, đại số giao hoán Vì vai trò đặc biệt quan trọng của chúng nên vấn

đề mở rộng các lớp môđun này đợc rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong khoảng 30 năm qua lớp môđun nội xạ đã đợc mở rộng theo nhiều hớng khác nhau và một hớng quan trọng là đa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS - môđun và (1 - C1) - môđun Các kết quả theo hớng này đã đợc N.V.Dung - D.V Huynh - Smith - Wisbauer tổng kết lại trong

quyển sách nổi tiếng Extending modules“ ” của họ (Xem [4]) Sau khi quyển sách này ra đời nhiều nhà toán học vẫn tiếp tục quan tâm đến lớp môđun CS

và đạt đợc nhiều kết quả thú vị (xem [2] ,[3], [10], [11] ,[12] ,[13] ,[14])

Một trong những hớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết vành và môđun là đặc trng chúng thông qua tổng trực tiếp các vành và các môđun Những vấn đề theo hớng này đợc trình bày trong bất kỳ quyển sách nào về vành và môđun (Xem [1],[4],[17],[18])

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các lớp vành qua các điều kiện tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục (tơng ứng CS) và xạ ảnh; và nghiên cứu tổng trực tiếp của các CS - môđun (tơng ứng (1 - C1) - môđun)

Đề tài gồm 3 chơng trong đó chơng 1 dành cho việc trình bày các khái niệm cơ sở

Chơng 2 Vành kiểu 0

Xuất phát điểm của chơng này là từ các bài báo mới của H.Q.Dinh, D.V.Huynh, S.T.Rizvi (Xem [2], [13], [14]) trong đó các tác giả đã nghiên cứu các lớp vành mà các môđun phải trên nó là tổng trực tiếp của một môđun tựa liên tục (tơng ứng CS) và một môđun xạ ảnh Các tác giả đã gọi các lớp

vành đó là vành thoả mãn điều kiện (*), (**), ℘* - nửa đơn Trong đó các tác giả đã tìm thấy một sự phân tích vành ℘* - nửa đơn thành tổng trực tiếp 3 idean phải thoả mãn tính chất có trong bổ đề 2.1.2.4 Từ mối liên hệ bất ngờ giữa khái niệm ℘* - nửa đơn và CS - nửa đơn vành các tác giả đã đề xuất khái niệm vành kiểu 1 và vành kiểu 2 Sau khi xem xét định nghĩa vành kiểu

1 và vành kiểu 2, chúng tôi thấy rằng có thể bỏ bớt một vài điều kiện và dẫn

đến sự tổng quát của hai lớp vành đó Chúng tôi định nghĩa lớp vành tổng quát đó là vành kiểu 0 và tìm kiếm một số tính chất của lớp vành này Một số kết quả là sự tơng tự giữa các kết quả đã có trong [2] nhng đợc chuyển tải qua lớp vành kiểu 0 Các kết quả chính của chơng này là các định lý 2.2.5, 2.2.7, mệnh đề 2.2.3, và một số hệ quả

Xuất phát điểm của chơng này là từ các bài báo của A.Hamanci, M.A.Kamal, B.J.Muller, P.F.Smith (xem [9], [15], [16], [17]) trong đó các tác giả đã nghiên cứu tổng trực tiếp của các môđun liên tục (tơng ứng tựa liên tục) và nghiên cứu tổng trực tiếp của các môđun CS (tơng ứng (1 - C1)) cho các miền nguyên giao hoán không xoắn Tiếp tục theo hớng đó chúng tôi áp dụng những kết quả mới của H.Q Dinh, D.V Huynh, S.K.Jain, S.R.López- Permouth, P.F.Smith và đạt đợc một số kết quả tơng tự cho các lớp vành Artin, nửa Artin và V - vành, PCI - vành Các kết quả chính của chơng này là các định lý 3.2.2, 3.2.14, mệnh đề 3.2.7, 3.2.9 và một số hệ quả

Luận văn đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái Chúng tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới GS TS Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Nguyễn Quý Di, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thành Quang đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo nhiều điều kiện học tập trong quá trình theo học tại lớp Cao học IX Đại số Chúng tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, khoa Toán đã tạo

điều kiện học tập trong nhiều năm qua Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới

TS Chu Trọng Thanh, học viên Đinh Đức Tài đã tạo điều kiện về tài liệu trong thời gian thực hiện luận văn Chúng tôi xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao học IX Đại số và lớp Cao học IX Toán đã có nhiều sự

động viên giúp đỡ trong quá trình 3 năm học tập vừa qua Cuối cùng do năng lực còn nhiều khiếm khuyết nên không thể tránh khỏi những sai sót, chúng tôi mong nhận đợc những sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn

Tác giả.

Chơng 1 Khái niệm cơ bản

C hơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và kết quả cơ bản liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo Anderson - Fuller [1]; Dung - Huynh - Smith và Wisbauer [4]; Faith [5]; Mohamed - Muller [17]; Wisbauer [18]

Các vành luôn luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, các môđun trên một vành luôn luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm)

1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con đóng

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành và M là một R - môđun phải Xét N là

môđun con của M

(a) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M và ký hiệu N

⊂ e M, nếu với mọi môđun con K ⊂ M, K ≠ 0 thì K ∩ N ≠ 0 Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N.

(b) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có

một mở rộng cốt yếu thực sự Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ⊂e K thì K = N

(c) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con

N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

(a) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại (Xem [17, trang 19])

(b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (Xem [17, trang 20])

1.2 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.

Định nghĩa 1.2.1 Cho vành R và M là R - môđun phải.

(a) R - môđun phải N đợc gọi là

M - nội xạ (injective) nếu với mọi môđun

con X của M và mọi đồng cấu f: X → N thì

có thể mở rộng tới đồng cấu f*: M →N

thoả mãn f = f*i với i: X → M là phép nhúng

* Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là M - nội xạ

* Môđun N đợc gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ với mọi R - môđun

phải M

(b) R - môđun phải N đợc gọi là

M - xạ ảnh(projective) nếu với mọi

môđun thơng M/X và với mọi đồng cấu

f: N → M/X thì tồn tại đồng cấu h: N → M

thoả mãn ph = f với p : M → M/X là phép chiếu

* Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu M là M - xạ ảnh

* Môđun N đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ ảnh với mọi R -

môđun phải M

Tính chất 1.2.1 Cho M, N là các môđun phải Ta có:

(a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N → M là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn:

0   → N   →f M   →p M/f(N)   → 0thoả mãn f (N) ⊂ ⊕ M

(b) Nếu N là M xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn:

0   → P   →f M   →g N   → 0

là chẻ ra, tức f(P) ⊂⊕ M

N

Xf

(c) Trong luận văn chúng tôi còn sử dụng các tính chất về môđun nội xạ và xạ ảnh đợc trình bày trong [1], [4], ]17], [18].

Định nghĩa 1.2.3

(a) Bao nội xạ (injective hull) của R - môđun phải N, ký hiệu E (N) là

một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N

(b) Các R - môđun phải M và N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively injective) nếu M là N - nội xạ và N là M - nội xạ

Tính chất 1.2.4 ([18]) Bao nội xạ E (N) luôn tồn tại với mọi N

1.3 CS - môđun, Môđun liên tục, môđun tựa liên tục

Cho M là R - môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A∩B = 0 thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(c) Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M

thoả mãn các điều kiện (C1) và (C3)

(d) Một vành R gọi là CS - vành (tơng ứng liên tục, tựa liên tục) phải

nếu RR là CS - môđun (tơng tứng liên tục, tựa liên tục), (ở đây R đợc coi là R

- môđun phải trên chính nó và ký hiệu RR) Tơng tự ta có các khái niệm CS - vành trái, vành liên tục trái, vành tựa liên tục trái Nếu R có tính chất hai

phía thì ta có các khái niệm CS - vành, vành liên tục, vành tựa liên tục.

Tính chất 1.3.2

(a) M thoả mãn (C2) thì cũng thoả mãn (C3) (xem [17, Proposition 2.2]) Từ đó ta có phép kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS

(b) Trong luận văn chúng tôi còn sử dụng các tính chất về môđun và vành liên tục, tựa liên tục đợc trình bày trong [17], [18]

(c) Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các tính chất về môđun và vành CS đợc trình bày trong [4], [17]

1.4 Môđunđều và chiều Uniform (chiều Goldie)

Định nghĩa1.4.1

(a) Cho R là vành, một R - môđun phải U đợc gọi là đều (hay Uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U

(b) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều uniform (chiều đều, chiều Goldie) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các

môđun khác không trong M Số hạng tử khác không lớn nhất của các tổng trực tiếp các môđun con của M đợc gọi là số chiều uniform của M và ký hiệu

là udim (M) (hay Gdim M)

Trong trờng hợp ngợc lại ta nói M có chiều uniform vô hạn

(c) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều uniform phải của R là chiều

uniform của RR và chiều uniform trái của R là chiều uniform của RR

Tính chất 1.4.2 ([18])

(a) Nếu môđun M có chiều uniform hữu hạn thì mọi môđun con của M

có chiều uniform hữu hạn

(b) Cho A là môđun con của M nếu A và M/A có chiều uniform hữu hạn thì M có chiều uniform hữu hạn

(c) Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun có chiều uniform hữu hạn là một môđun có chiều uniform hữu hạn

(d) Nếu A ⊂e B thì B có chiều uniform hữu hạn khi và chỉ khi A có

1.5 Các điều kiện ACC và DCC.

Tồn tại chỉ số n sao cho Xn = Xn + 1 = Xn + 2 =

Điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng giảm) đợc ký hiệu là ACC(ascending chain condition) (tơng ứng DCC(descending chain condition)).

Môđun M đợc gọi là Artin (tơng ứng Noether) nếu tập hợp các môđun

con của nó thoả mãn DCC (tơng ứng ACC) theo quan hệ bao hàm

(c) Vành R đợc gọi là Artin phải (tơng ứng Noether) nếu RR là môđun Artin (tơng ứng Noether)

(d) Định nghĩa tơng tự cho vành Artin trái (tơng ứng Noether).

Tính chất 1.5.2 ([1])

(a) Mọi môđun con và môđun thơng của môđun Artin (tơng ứng Noether) là môđun Artin (tơng ứng Noether)

(b) Các phải biểu sau đây đối với môđun M là tơng đơng:

(i) M là môđun Artin (tơng ứng Noether)

(ii) Mọi môđun thơng (tơng ứng môđun con) của M là hữu hạn đối sinh (tơng ứng hữu hạn sinh)

(iii) Mọi họ khác rỗng các môđun con của M chứa phần tử tối tiểu (tơng ứng tối đại)

(c) Nếu R là vành Artin phải thì R là Noether phải

Định nghĩa 1.5.3 Cho một R - môđun phải M xét chuỗi hữu hạn (nếu có):

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ Mk = M sao cho Mj + 1/Mj là môđun đơn (j = 0, , k - 1)

Khi đó ta nói M có độ dài hữu hạn và số k (là một bất biến) đợc gọi là

độ dài của môđun M Ký hiệu l (M).

Tính chất 1.5.4.([1]) Cho M là R - môđun phải Các mệnh đề tơng đơng:

(a) M có độ dài hữu hạn

(b) M là Noether và Artin

1.6 Môđun suy biến

(a) Tập hợp rR(m) = {r ∈R: mr = 0} đợc gọi là linh hoá tử của phần tử

m và viết gọn r(m).

Tập hợp rR(M) = {r ∈R: mr = 0 ∀ m ∈ M} đợc gọi là linh hoá tử của môđun M và viết gọn r(M)

(b) Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của vành R

Linh hoá tử phải của S trong R là:

r (S) = {x∈R: sx = 0 ∀ s ∈ S}

Linh hoá tử trái của S trong R là:

l (s) = {x ∈R: xs = 0 ∀ s ∈ S}

(c) Cho một R - môđun phải M Tập hợp:

ZR(M) = {x ∈ M: rR(x) ⊂ e R} đợc gọi là môđun con suy biến của M.

Nếu ZR (M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu ZR(M) = 0 ta nói M là môđun không suy biến.

(a) Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con của nó D đợc gọi là

phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B ∈ D luôn có HomD

(A, B) = HomC (A, B)

(b) Phạm trù con của Mod - R gồm tất cả các môđun con của các môđun sinh bởi M đợc ký hiệu là σ [M].

(c) σ[M] là một phạm trù con đầy của Mod - R ([18])

Định nghĩa 1.6.3.

(a) Cho M, N là các R - môđun phải Môđun N đợc gọi là M - suy biến nếu

tồn tại môđun K ∈ σ[M], và môđun con cốt yếu L của K sao cho N ≅ K/L

(b) Môđun M đợc gọi là môđun SI nếu mọi môđun M - suy biến là M -

Định nghĩa 1.7.1 (a) Cho một môđun M ta ký hiệu:

(i) Căn của môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M và ký

(a) Phần tử e đợc gọi là luỹ đẳng nếu e2 = e

(b) Hai phần tử luỹ đẳng e và f đợc gọi là luỹ đẳng trực giao nếu ef

= fe = 0

(c) Các tính chất của các phần tử luỹ đẳng, luỹ đẳng trực giao và định

lý phân tích vành có trong [1] và [18]

Định nghĩa 1.7.3

(a) Môđun M đợc gọi là chuỗi đơn (uniserial) nếu tập tất cả các

môđun con của M là sắp thứ tự tuyến tính bao hàm

(b) Môđun M đợc gọi là chuỗi (serial) nếu nó là một tổng trực tiếp của

các môđun chuỗi đơn

(c) Vành R đợc gọi là chuỗi phải (tơng ứng trái) nếu RR (tơng ứng RR)

là chuỗi

(d) Các tính chất của môđun chuỗi và vành chuỗi có trong [18]

Chơng 2 Vành kiểu 0

2.1 vành kiểu 1, kiểu 2

rong mục này chúng tôi sẽ giới thiệu một số khái niệm mới của lý thuyết vành và môđun Các khái niệm này đợc giới thiệu trong [4] (khái niệm CS nửa đơn vành), [2] (môđun thoả mãn điều kiện (℘*)) và [13, 14] (vành thoả mãn điều kiện (*) và (**)) Đặc biệt khái niệm vành kiểu 1, vành kiểu 2 là những khái niệm nảy sinh từ mối liên hệ bất ngờ giữa khái niệm CS nửa đơn vành và vành ℘* - nửa đơn (Xem bổ đề 2.1.2.4)

T

2.1.1.Các điều kiện (℘*), (℘)

Định nghĩa 2.1.1.1 (Xem [13])

với X là môđun xạ ảnh và Y là môđun tựa liên tục

b) Một môđun M đợc gọi là thoả mãn điều kiện (℘) nếu M=X⊕Y với

X là môđun xạ ảnh và Y là CS - môđun

Định nghĩa 2.1.1.2 (Xem [13]) Cho vành R Ta nói:

a) Vành R thoả mãn điều kiện (*) nếu gọi R - môđun phải đếm đợc

sinh thoả mãn điều kiện (℘)

b) Vành R thoả mãn điều kiện (**) nếu mọi R - môđun phải đếm đợc

sinh thoả mãn điều kiện (℘*)

Định nghĩa 2.1.1.3 Cho vành R Ta nói:

a) Vành R gọi là ℘*- nửa đơn (phải, trái) nếu mọi R - môđun (phải,

trái) là thoả mãn điều kiện (℘*) (Xem [ 2])

b) Vành R gọi là ℘ - nửa đơn (phải, trái) nếu gọi R - môđun (phải,

trái) là thoả mãn điều kiện (℘)

Hệ quả 2.1.1.4

a) Môđun M thoả mãn điều kiện (℘*) thì thoả mãn điều kiện (℘) b) Vành R thoả mãn điều kiện (**) thì thoả mãn điều kiện (*).

c) Vành R là ℘* - nửa đơn (phải, trái) thì R là ℘- nửa đơn.

d) Vành ℘ - nửa đơn phải thì thoả mãn điều kiện (*)

e) Vành ℘* - nửa đơn phải là thì thoả mãn điều kiện (**).

Định nghĩa 2.1.2.1.(Xem [ 4]) Vành R đợc gọi là CS - nửa đơn (phải, trái)

nếu mọi R - môđun (phải, trái) là CS

Mệnh đề 2.1.2.2 (Xem [ 4]) Cho vành R các điều kiện sau tơng đơng:

(a) R là CS -nửa đơn phải

(b) R là Artin phải và trái, chuỗi trái và phải với J (R) 2 = 0

(c) R = n

i 1⊕ = R i , ở đây mỗi R i là đơn hoặc đều có độ dài 2 và nội xạ (d) Tơng ứng phía trái ở (a) và (c)

Hệ quả 2.1.2.3 Vành CS - nửa đơn phải (trái) là CS - nửa đơn trái (phải)

Do đó mọi CS - nửa đơn phải (trái) là CS nửa đơn.

Chứng minh Vì (a) ⇔ (b) ⇔ (d) nên ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.1.2.4 Cho một vành R các điều kiện sau tơng đơng:

(I) Vành R thoả mãn điều kiện (**)

(II) R là Artin phải và mọi R - môđun phải hữu hạn sinh thoả mãn (℘*) (III) R là Artin phải và trái với J(R) 2 = 0; R R = A ⊕ B ⊕ C, ở đây (B ⊕ C)A

=BC = CB = 0, B R và C R là idean phải không suy biến của R.

Hơn nữa:

(i) A R = A 1 ⊕ ⊕ A 1 , ở đây mỗi A i là đều, E(A i ) là xạ ảnh và l(E(A i )) ≤ 2.

(ii) B R = B 1 ⊕ ⊕ B m , ở đây mỗi B j là đều có độ dài 1 hoặc 2; bao nội xạ E(S) của mỗi môđun con tối tiểu 3 của B R có độ dài 3, vả lại, E(S)/S

là một tổng trực tiếp của 2 môđun đơn, đặc biệt E(S) = xR + yR với x, y ∈

E(S) Nếu B ≠ 0, thì tồn tại ít nhất hai hạng tử B j và B j’ của B với l(B j ) = 1, l(B j’ ) = 2 và B j ≅ Soc (B j’ ).

(iii) C R = C 1 ⊕ ⊕ Cq, ở đây mỗi C k là môđun không phân tích

đ-ợc có độ dài 1 hoặc 3; bao nội xạ của mỗi môđun con tối tiểu của C R có độ dài 2 và không xạ ảnh Nếu C≠ 0 thì tồn tại ít nhất hai hạng tử C k có thể coi

là C 1 và C 2 với l(C 1 ) = 1, l(C 2 ) = 3 và C 1 nhúng trong Soc (C 2 ).

(IV) Mọi R - môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun tựa nội xạ Đặc biệt, R là ℘* - nửa đơn phải.

Nói chung, một vành ℘* - nửa đơn phải có thể không là ℘* - nửa

đơn trái, và sự phân tích của R trong (III) không phải là sự phân tích thành tổng trực tiếp các vành.

Chứng minh (Xem [10, 13,14])

Hệ quả 2.1.2.5 Idean A trong bổ đề 2 1.2.4 là CS - môđun phải.

Chứng minh

Từ 2.1.2.4 chúng ta giả sử AR = A1 ⊕ At ⊕ S ở đây mỗi Ai là đều

và nội xạ, S là môđun nửa đơn

Gọi W là môđun con đóng của AR ta chứngminh W ⊂ ⊕ AR

Thật vậy, đặt D = W ∩ (A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ At) ⇒ W/D nhúng trong S,

và do đó xạ ảnh

Xét dãy khớp ngắn:

0→ D  →i W   →p W/D → 0 trong đó i là phép nhúng và p là phép chiếu Vì W/D xạ ảnh nên dãy khớp ngắn chẻ ra Tức là D ⊂ ⊕ W Hay W = D ⊕ F Theo [4], D đóng trong W, và cũng đóng trong A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ At ⇒ A1 ⊕

A2 ⊕ ⊕ At = D ⊕ E với E ⊂ A1 ⊕ ⊕ At vì W/D ≅ F đợc nhúng trong S nửa đơn ⇒ F ⊂⊕ S

Hệ quả 2.1.3.3 Một vành kiểu 1 phải (tơng ứng kiểu 2) là tổng trực tiếp hữu

hạn các vành kiểu 1 phải (tơng ứng kiểu 2) không phân tích đợc.

Chứng minh Suy ra từ 2.1.2.4

Mệnh đề 2.1.3.4 Nếu R là vành kiểu 1 phải không phân tích đợc thì:

(1) Soc(R R ) là thuần nhất, có nghĩa là tất cả các idean phải tối tiểu của R là

đẳng cấu với nhau.

(2) R là CS phải khi và chỉ khi

(a): R/Soc(R R ) là một thể hoặc tơng đơng

(b) R R có duy nhất một hạng tử trực tiếp đều có độ dài 2

(3) R không thể là kiểu 1 trái

Chứng minh

(1) Cho R là vành kiểu 1 phải không phân tích đợc Ta có RR = R1⊕ R2

⊕ ⊕ Rk ở đây mỗi Ri là đều với l(Ri) ≤ 2 và l(E(Ri)) = 3 (Theo 2.1.2.4)

Đặt [R1] là tổng trực tiếp của tất cả Ri ∈ {R1, R2, , Rk} sao cho Soc (R1) ≅ Soc (Ri) Sau một số sắp xếp lại trật tự ta có thể giả thiết R = [R1] ⊕ [R2] ⊕ ⊕ [Rt], (t ≠ k)

Do R không suy biến phải ⇒ Ri ∆ R Mặt khác, R không phân tích ợc:

đ-⇒ R = [R1]

⇒ Soc (R1) ≅ Soc (R2) ≅ ≅ Soc (Rk)

⇒ Soc (RR) là thuần nhất(2) Cho RR = R1 ⊕ …⊕ Rk mỗi Ri là đều có độ dài ≤ 2 và l(E(Ri))=3

Từ (1), Soc (Ri) ≅ Soc (Rj) cho tất cả i, j = 1, 2, , k.…

Ta có: Soc (RR) = Soc (R1) ⊕ Soc (R2) ⊕ …⊕ Soc (Rk)

R/Soc (R R) ≅ (R1/Soc (R1)) ⊕ …⊕ (Rk/Soc (Rk)) (*)

Giả sử R/Soc (RR) là một thể Khi đó trong (*) tồn tại đúng một Ri/Soc (Ri) ≅ R/Soc (RR) (Có thể coi là R1/Soc (R1)) và Ri /Soc (Ri) = 0 ∀i ≠ 1

Nếu R1 ∩ W = 0 thì R1 ⊕ W tồn tại Lu ý rằng RR = R1 ⊕ S, ở đây R1

là đều, S là nửa đơn Lý luận tơng tự 2.1.2.5 ta có R1 ⊕ W ⊂⊕RR ⇒W ⊂ ⊕

RR

Nếu R1 ∩ W ≠ 0 Xuất phát từ R1 đều và không suy biến phải suy ra

R1 ⊂ W Lý luận tơng tự 2.1.2.5 ta cũng suy ra W ⊂ ⊕ RR

Tóm lại W ⊂⊕ RR Do đó R là CS phải

Ngợc lại, giả sử R là CS phải Giả sử rằng có ít nhất hai Ri, (coi R1, Ri

(i≠1)) sao cho l(R1) = l(Ri) = 2 Khi đó :

Từ (*) có: R/Soc (R) ≅ (R1/Soc (R1)) ⊕ (Ri/Soc (Ri) ⊕… với R1/Soc (R1),

Ri/Soc (Ri) đơn ⇒ R/Soc (R) không phải là một thể

Đặt M = R1 ⊕ Ri ⊂ ⊕ RR ⇒ M là CS Lại có Soc (R1) ≅ Soc (Ri) ⇒ có môđun con tối tiểu L ⊂ M sao cho L ∩ R1 = L ∩ Ri = 0 Xét hai trờng hợp:

Với L đóng trong M ⇒ L ⊂ ⊕ M Tuy vây điều này không xảy ra vì trái với định lý Krull - Schmidt (Xem [1,12.9])

Với L không đóng trong M thì bao đóng L* của L trong M có độ dài ≥

2 Từ đó M = R1⊕ L* = Ri ⊕ L* ⇒ R1≅ Ri

Mặt khác, từ [4,7.3 (ii)] suy ra R1 là Ri - nội xạ Từ [1, 16.13 (2)] có

R1 là (R1 ⊕ …⊕Rk = R) - nội xạ Điều này mâu thuẫn với l(E(Ri)) = 3

Từ đó chỉ có duy nhất một Ri có độ dài 2 (coi R1) và Ri/Soc (Ri) = 0 ∀i

nhất.

Chứng minh

Từ 2.1.3.4 ta có Soc (RR) thuần nhất Nếu Soc (RR) không thuần nhất,

từ R không suy biến trái

⇒ R có hai hạng tử trực tiếp tối tiểu Re và Rf (với e, f là các luỹ đẳng trực giao) sao cho Re ≅ Rf

Ta có RR = Re ⊕ Rf ⊕ Rt ⊕ R’ ở đây Rt là idean trái địa phơng với l(Rt) > 1 và t là phần tử luỹ đẳng thoả mãn ft = tf = et = te = 0 Chú ý rằng idean trái R(t) tồn tại, bởi vì R là Artin nửa đơn.

Tất nhiên không có cặp nào trong các idean trái Re, Rf, Rt đẳng cấu Tơng tự chúng ta cũng chứng minh đợc không có cặp nào trong các idean phải eR, fR, tR là đẳng cấu (xem [1, 17.18]) Từ 2.1.3.4 ít nhất hai trong ba idean phải eR, fR, tR là tối tiểu Từ đó mâu thuẫn với tính chất thuần nhất của Soc (RR)

Vậy Soc (RR) thuần nhất

Mệnh đề 2.1.3.6 Một vành kiểu 2 phải không thể là kiểu 2 trái

Chứng minh

Cho R là một vành kiểu 2 phải và N là R - môđun phải tựa nội xạ không phân tích đợc ⇒ Soc (N) là môđun đơn

Từ R là SI vành, nếu Soc (N) là suy biến thì N nội xạ (xem [ 8]) ⇒ N

= Soc (N) Bởi vậy N là tựa xạ ảnh; nếu Soc (N) là không suy biến thì Soc (N) nhúng trong RR, nh thế l(N) ≤ 2 Nếu l(N) = 1, N là tựa xạ ảnh Bây giờ chúng ta xét đến trờng hợp l(N) = 2 Trong trờng hợp này, N là R - môđun phải nội xạ

Để chứng minh N cũng tựa xạ ảnh, chúng ta định nghĩa ở σ [N] là phạm trù con đầy của mod - R gồm tất cả các môđun con của các môđun sinh bởi N (Xem [18,Đ15]) Để NR là hữu hạn sinh, N là tựa xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp ngắn: 0   → K   → M   → N   → 0 với K, M ∈ σ [N] là chẻ ra (Xem [ 18, 18.3 (e), (f)]) Từ M/K ≅ N và N là không suy biến, K đóng trong M, tức K là một mở rộng cốt yếu tối đại của nó trong M Đặt I là môđun con nội xạ tối đại của M (xem [18,27.3 (i)] về sự tồn tại I) ⇒ M = I ⊕

S Bởi vì tất cả các môđun không phân tích đợc có độ dài cũng nh tất cả các môđun đơn suy biến là nội xạ (trong Mod - R) ⇒ S phải là không suy biến Ngoài ra, S là một môđun con của (N(L))/T cho L nào đó và môđun con T ⊂

N(L) nào đó Nhng N(L)/T = N(L’) ⊕ V ở đây L’ ⊆ L và V là môđun nửa đơn

suy biến Vì S là không suy biến ⇒ S nhúng trong N(L’) Bởi vì S không chứa một môđun con khác không nội xạ nên S nửa đơn và do đó suy ra S xạ ảnh

R-Vậy R không thể là kiểu 2 trái

Hệ qủa 2.1.3.7 Cho R là một vành kiểu 2 phải (trái)

Khi đó mọi R - môđun phải (trái) tựa nội xạ không phân tích đợc là tựa xạ ảnh.

Chứng minh

Suy ra trực tiếp từ chứng minh mệnh đề 2.1.3.6

Định lý 2.1.3 8 Cho một vành R các điều kiện sau tơng đơng:

(b 3 ) K là một tổng trực tiếp của hữu hạn vành không CS phải kiểu 1 phải và kiểu 2 trái không phân tích đợc.

(b 4 ) L là một tổng trực tiếp của hữu hạn CS vành trái kiểu l trái và kiểu 2 phải không phân tích đợc.

(b 5 ) T là một tổng trực tiếp của hữu hạn vành không CS trái kiểu l trái và kiểu 2 phải không phân tích đợc.

Chứng minh

(a) ⇒ (b) Giả thiết rằng R là ℘* - nửa đơn vành ⇒ R là ℘* - nửa

đơn phải Do đó theo bổ đề 2.1.2.4 ta có RR = A ⊕ B ⊕ C với A, B, C thoả mãn 2.1.2.4 hơn nữa mỗi idean phải của R trong B ⊕ C là xạ ảnh Ta chứng minh có một sự phân tích thành tổng trực tiếp là một tổng trực tiếp các vành hoặc tơng đơng với A có tính chất hai phía

Lu ý rằng R là ℘* - nửa đơn trái ⇒RR = A’ ⊕ B’ ⊕ C’ ở đây A’, B’, C’ tơng ứng nh A, B, C nhng ở phía trái Đặt V = A ∩ A’ Nhớ rằng RA’ là

CS (áp dụng 2.1.2.5 cho phía trái); RA’ = V* ⊕ W’, ở đây V* là mở rộng cốt yếu tối đại của V trong RA’ Chúng ta chứng minh W’ = 0

Giả sử rằng W’ ≠ 0 Từ 2.1.2.4 chúng ta có thể thấy R/A cũng là ℘*

- nửa đơn vành phải không suy biến trái và phải và R/A = B⊕ C (là một tổng trực tiếp các vành), ở đây B = (B + A)/A, C = (C + A)/A chú ý rằng BA

= CA = 0 và các cấu trúc của B , C cũng giống nh của B, C Bây giờ đặt W ’

= (W’ + A)/A ⇒ R W' ≅ RW’ và W ’ là idean trái của R/A

Vì RA’ là CS nên RW’ cũng vậy Từ đó RW’ là một tổng trực tiếp của các idean trái đều của R có bao nội xạ là xạ ảnh và có độ dài ≤ 2 Viết A =

eR, ở đây e ∈ A là phần tử lũy đẳng

Cho E = E(RW’), AE = 0 Thật vậy, nếu AE ≠ 0 ⇒ AE chứa một môđun con tối tiểu Y của W’ với eY = Y, đây là điều không thể xảy ra bởi vì eW’ ⊆ A ∩ W’ = 0 hay AE = 0

Từ đó RE cũng R/A - môđun trái Bây giờ cho N là idean trái tối tiểu của R trong W’, và đặt E(N) là bao nội xạ N Thì E(N) là nội xạ cũng là

R/A - môđun trái (xem [1, 16.13]) Hơn nữa, bởi [1, 16.12.], E(N) là R/A - xạ ảnh Do đó bởi [1,16.14], E(N) cũng là một R/A - môđun trái xạ ảnh

Đặt N = (N + A)/A thì N ≅ N Bởi vậy, E(N ) ≅ E(N) cũng là R/A - môđun trái, và từ đó E(N ) là nội xạ và R/A - môđun trái xạ ảnh có độ dài ≤

2 ⇒ N là idean trái của R/A, W ’ là một tổng trực tiếp của các idean trái

đều có bao nội xạ là xạ ảnh và có độ dài ≤ 2

Theo hệ quả 2.1.3.3, R/A là một tổng trực tiếp của các vành kiểu 1 phải không phân tích đợc và kiểu 2 phải không phân tích đợc Cho X là một hạng tử trực tiếp với W ’ ∩ X ≠ 0 Chúng ta xét X là một vành Để cho tiện chúng ta đặt X = X X là Artin trái, X = X1 ⊕ … ⊕ Xv, ở đây mỗi Xi là idean trái địa phơng của X với Soc cốt yếu hữu hạn sinh

Từ W ’ ∩ X ≠ 0, có idean trái tối tiểu của X với bao nội xạ là xạ ảnh

và có độ dài ≤ 2 Do đó, tồn tại Xi ∈ {X1, X… v} là nội xạ và có độ dài ≤ 2 (Xem [1, Theorem 27.11]) Chúng ta cố định Xi, và định nghĩa [Xi] là tổng trực tiếp của tất cả Xj ∈{X1, , X… v} với Soc (Xj) ≅ Soc (Xi) ⇒ X = [Xi] ⊕ X’ ở

đây X’ là một tổng trực tiếp của các vành Xk∈{X1, , X… v} còn lại

Xét Xt ∈ {X1, , X… v} và viết Soc (Xt) = S1 ⊕ S2 ⊕ …⊕ Sr ở đây mỗi Sj

là idean trái tối tiểu của X Nếu r > 1, thì không có Sj với Sj ≅ Soc (Xi) Thật vậy, nếu có Sj nào đó (có thể coi là S1) với S1 ≅ Soc (Xi) thì E(S1) là xạ ảnh và

có độ dài ≤ 2 Chú ý Xt là địa phơng, Xt/Soc (Xt) là đơn do đó X/(S2 ⊕ … ⊕

Sr) có độ dài 2 Từ Xt/ (S2 ⊕ …⊕ Sr) là đều Bởi vì S1 nhúng trong Xt/(S2 ⊕ …

⊕ Sr), Xt/(S2 ⊕ …⊕ Sr) phải là nội xạ và do đó xạ ảnh

Xét dãy khớp ngắn:

0   → S2 ⊕ …⊕ Sr  →i Xt   →p Xt/(S2 ⊕ …⊕ Sr)   →0trong đó i là phép nhúng, p là phép chiếu

Từ tính chất xạ ảnh suy ra S2 ⊕ … ⊕ Sr ⊂⊕ Xt Đây là một điều mâu thuẫn ⇒ Xt có chiều Uniform > 1 không chứa một môđun con tối tiểu đẳng cấu với Soc (X) Từ đây X không suy biến trái, chúng ta kết luận đợc [X] và

X’ là idean hai phía hoặc tơng đơng, X = [Xi] ⊕ X’ là tổng trực tiếp các vành

Từ X không phân tích biệt đợc ⇒ X’ = 0 Điều đó chứng minh X là một tổng trực tiếp của các idean trái tối tiểu và idean đều nội xạ có độ dài 2 Từ 2.1.2.2, X phải là chuỗi phải và bao nội xạ của mọi idean phải tối tiểu của X

có độ dài ≤ 2, và xạ ảnh Đây là điều mẫu thuẫn ⇒ W ' = 0 Tức là W’ = 0,

và từ đó V ⊂ e A

R ’ Điều đó chứng minh A’/V là R - môđun trái nửa đơn

Lý luận tơng tự với vành thơng R/A’ chúng ta cũng có thể chứng minh

đợc VR phải là cốt yếu trong AR và từ đó A/V là R - môđun phải nửa đơn

Đặt R~= R/V ⇒ R~ = A~' ⊕ B~' ⊕ C~' ở đây A~' = A’/V, B~' = (B’ + V)/V, C~'= (C’ + V)/V Chúng ta xét tích B’A’ và C’A’ Đặt 0 ≠ a ∈ A’ ⇒ B’a⊂A’ Từ B’A ≅ B’/annB’(a) ở đây annB’(a) = {b ∈ B’| b.a = 0}, và mọi môđun con tối tiểu của RB’ không nhúng trong A’ (Xem 2.1.2.4 cho ℘* - nửa đơn trái), annB’(a) phải cốt yếu trong B’ Điều đó chứng minh B’a ⊂ Soc(RA’) ⊂ V Từ đó

Tơng tự R~=A~⊕B~⊕C~ ở đây A~ = A/V, B~ = (B + V)/V, C~ = (C + V)/V và A~ là một tổng trực tiếp của idean phải tối tiểu nội xạ của R~

Dĩ nhiên, A~∩ A~ ' =~0, và B~⊕C~ là một tổng trực tiếp của các vành kiểu

1 phải không phân tích đợc và kiểu 2 phải không phân tích đợc Nếu A~' ≠

0, tồn tại một hạng tử trực tiếp không phân tích đợc N~ nào đó của B~⊕C~

sao cho N~∩A~ ≠ ~0 Chúng ta sử dụng chứng minh giống nh với W~' để đi

đến mâu thuẫn ⇒ A~ = 0 ⇔ V = A’ Lý luận tơng tự ta cũng có V = A

Điều đó chứng minh A = A’ ⇒ A có tính chất 2 phía Hay R = A ⊕ B ⊕ C là tổng trực tiếp các vành

(b1): Do A ∆ R và sử dụng 2.1.2.2 chúng ta có A là CS - nửa đơn vành

Đặt G = A thì G thoả mãn (b1)

(b2): Đặt B = B1 ⊕ ⊕ Bt là một tổng trực tiếp của các vành ℘* - nửa

đơn không suy biến không phân tích đợc B Theo 2.1.3.4 (3) mỗi B không là