Về căn jacobson, js căn và các lớp căn của nửa vành (TT)

Năm 1945, Jacobson [25] đề xuất khái niệm căn được gọi là căn Jacobsoncho vành kết hợp bất kỳ là tổng của tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải.Đặc biệt, khi R là vành Artin một phía

-oOo-LÊ HOÀNG MAI

CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HUẾ - NĂM 2016

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến.

Phản biện 1:

Phản biện 2: Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huếhọp tại: Vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm căn được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Cartan cho các đại số Liehữu hạn chiều trên các trường đóng đại số Căn của một đại số Lie hữu hạnchiều A là iđêan giải được lớn nhất của A và nó đạt được bằng cách lấy tổngtất cả các iđêan giải được của A Đại số Lie A được gọi là nửa đơn nếu căn của

nó bằng 0 Cartan đã chỉ ra rằng đại số Lie nửa đơn là tổng trực tiếp của hữuhạn đại số Lie đơn Hơn nữa, ông còn mô tả được các đại số Lie đơn hữu hạnchiều trên các trường đóng đại số Do đó, cấu trúc của các đại số Lie nửa đơnhữu hạn chiều là hoàn toàn được xác định

Wedderburn đã mở rộng kết quả nói trên cho các đại số kết hợp hữu hạnchiều trên các trường Ông định nghĩa căn của một đại số A như vậy, kí hiệurad(A), là iđêan lũy linh lớn nhất của A và nó cũng bằng tổng tất cả các iđêanlũy linh củaA Tương tự như Cartan, Wedderburn gọi một đại số hữu hạn chiều

A là nửa đơn nếu rad(A) = 0 Ông đã chứng minh được rằng đại số hữu hạnchiều A là nửa đơn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các đại sốđơn hữu hạn chiều Ai, trong đó mỗi Ai là một đại số ma trận trên một đại sốchia được hữu hạn chiều

Artin đã mở rộng định lý của Wedderburn cho các vành thỏa mãn điều kiệncực tiểu (gọi là vành Artin) Với các vành R như vậy, tổng của các iđêan lũylinh trong R là lũy linh, do đó R có một iđêan lũy linh lớn nhất rad(R), đượcgọi là căn Wedderburn của R Như vậy, định lý của Wedderburn cho các đại sốđơn và nửa đơn đã được mở rộng thành công cho các vành Artin một phía Tuynhiên, đối với vành không Artin một phía R, tổng của các iđêan lũy linh trong

R không còn là lũy linh và như vậy, R không có iđêan lũy linh lớn nhất, do đóchúng ta không có khái niệm căn cho các vành bất kỳ

Năm 1945, Jacobson [25] đề xuất khái niệm căn (được gọi là căn Jacobson)cho vành kết hợp bất kỳ là tổng của tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải.Đặc biệt, khi R là vành Artin một phía thì khái niệm căn Jacobson và cănWedderburn củaR là trùng nhau Kể từ đây, khái niệm căn Jacobson trở thànhmột trong những công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc vành Căn Jacobsoncủa lý thuyết vành và các vấn đề liên quan đã được trình bày tương đối đầy

đủ và có hệ thống trong các tài liệu như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] vàAnderson-Fuller [6]

Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [56] vào năm 1934, là tổngquát hóa khái niệm vành kết hợp theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng củaphép cộng Trong thập niên 30 của thế kỷ 20, khái niệm nửa vành chưa đượccộng đồng toán học quan tâm nhiều Tầm quan trọng của nửa vành trong lýthuyết khoa học máy tính, đầu tiên được công nhận bởi Sch¨utzenberger [52].Ngày nay, nửa vành được phát triển cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng.Các tính chất, ứng dụng của nửa vành và các vấn đề liên quan đã được trìnhbày trong các tài liệu như: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] và Polák [18].Gần đây, nửa vành cộng lũy đẳng (còn được gọi là nửa vành lũy đẳng bởi một

số tác giả) được các nhà toán học quan tâm như: Gathmann [12] và Rowen [23] vì nửa vành cộng lũy đẳng là tâm điểm của các đối tượng tươngđối mới như hình học tropical và đại số tropical Cùng với đó, khái niệm nửamôđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng cũng được quan tâm nghiên cứunhư: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] đã mô tả tất cả các lớp nửa môđun tráiđơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữuhạn), Kendziorra-Zumbr¨agel [32] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trênlớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng và Katsov-Nam-Zumbr¨agel[29] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ cótương đẳng tầm thường với RR 6= 0 Tuy nhiên, sự tồn tại nửa môđun trái đơntrong trường hợp nửa vành nói chung là một vấn đề chưa có lời giải

Izhakian-Từ những vấn đề này gợi ý chúng tôi nghiên cứu cấu trúc các nửa vành.Tương tự như vành, trong luận án này chúng tôi sử dụng một trong những công

cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành đó là công cụ căn Nói chung,căn của nửa vành là một iđêan cô lập gồm tất cả các phần tử “xấu” của nửavành sao cho nửa vành thương theo căn của nó không có phần tử xấu

Căn của nửa vành bắt đầu được quan tâm bởi một số nhà toán học từ thậpniên 50 của thế kỷ 20 Đặc biệt, năm 1951 Bourne [9] đã giới thiệu khái niệm cănJacobson (hay J-căn) của nửa vành theo iđêan nửa chính quy một phía Ngoài

ra, Bourne cũng đã chứng minh được mọi iđêan trái (phải) lũy linh của nửavành bị chứa trong J-căn [9, Theorem 7] và tính được J-căn của nửa vành matrận trên nửa vành có đơn vị [9, Theorem 9] Năm 1958, Bounne và Zassenhaus[10] giới thiệu một lớp các iđêan đặc biêt của nửa vành mà nó được gọi là iđêan

cô lập (hay k-iđêan) và chứng minh được J-căn của nửa vành là một iđêan côlập

Căn Jacobson của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu bởi Iizuka theoquan điểm lý thuyết biểu diễn Trong [21], Iizuka đã sử dụng lớp các nửa môđun

trái bất khả quy để đặc trưng J-căn của nửa vành [21, Theorem 8] Ông cũnggiới thiệu khái niệm iđêan nguyên thủy cô lập mạnh của nửa vành và đặc trưng

J-căn là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy cô lập mạnh [21, Theorem 6], vàchỉ ra mối liên hệ giữa J-căn của nửa vành và căn Jacobson vành sai phân của

nó [21, p 420] Ngoài ra, ông giới thiệu một lớp iđêan đặc biệt của nửa vành màđược gọi là h-iđêan và chứng minh J-căn của các nửa vành là một h-iđêan.Trong [38], LaTorre đã chứng minhJ-căn của nửa vành làk-iđêan (h-iđêan)phải sinh bởi tập tất cả các k-iđêan (h-iđêan) phải nửa chính quy phải [38,Theorem 3.1] và nếu R là một vành thì hai khái niệm căn Jacobson của vành

và nửa vành là trùng nhau [38, Theorem 3.2] Ngoài ra, ông thiết lập được một

số tính chất quen thuộc liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành chotrường hợp nửa vành Đặc biệt, LaTorre đã mô tả cấu trúc của nửa vành cộngchính quy J-nửa đơn [38, Theorem 3.4] Tuy nhiên, các kết quả liên quan đến

J-căn của nửa vành đến thời điểm này còn rất khiêm tốn so với các kết quả liênquan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành

Gần đây, Katsov-Nam đã nhận được một số kết quả liên quan đếnJ-căn đốivới các nửa vành [26, Section 3 và 4], đặc biệt là các kết quả liên quan đến cấutrúc của các nửa vành thông qua J-căn như định lý của Hopkins đối với nửavành Artin [26, Corollary 4.4] và định lý cấu trúc đối với nửa vành nguyên thủy[26, Theorem 4.5] Tuy nhiên, một hạn chế của J-căn là các nửa vành cộng lũyđẳng thuộc về lớp căn cảm sinh của nó, tức là, nếu R là nửa vành cộng lũy đẳngthì J (R) = R ([26, Example 3.7] hoặc [53, Mệnh đề 2.5 ]) Để khắc phục vấn

đề này, Katsov-Nam giới thiệu khái niệm J s-căn (một dạng tổng quát hóa cănJacobson trong lý thuyết vành) của các nửa vành bằng cách sử dụng lớp các nửamôđun trái đơn [26, p 5076] và nhận được định lý mô tả cấu trúc của nửa vànhcộng lũy đẳng hữu hạn Js-nửa đơn thông qua căn này [26, Theorem 3.11] Đồngthời, họ cũng chỉ ra rằng J-căn và J s-căn là trùng nhau đối với lớp tất cả cácvành nhưng trong trường hợp chung của nửa vành thì khác nhau, chẳng hạn lớpcác nửa vành cộng lũy đẳng [26, Example 3.7], và chỉ ra mối quan hệ giữa chúngcho các nửa vành cộng chính quy và nửa vành giao hoán [26, Proposition 4.8].Tuy nhiên, mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn của các nửa vành trong trườnghợp tổng quát thì chưa biết Để làm sáng tỏ điều này, một vấn đề tự nhiên đượcđặt ra là xét mối quan hệ giữa các căn này

Bài toán [26, Problem 1] Mô tả lớp các nửa vành R sao cho Js(R) ⊆ J (R),trong trường hợp đặc biệt Js(R) = J (R)

Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục sử dụng công cụ J-căn và Js-căn để

nghiên cứu cấu trúc một số lớp các nửa vành, thiết lập một số kết quả quantrọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành,

mô tả mối quan hệ giữa J-căn và Js-căn đối với một số lớp các nửa vành, qua

đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]

Ngoài ra, luận án này cũng quan tâm căn của nửa vành theo quan điểmKurosh-Amitsur Đầu thập niên 50 thế kỷ 20, Amitsur [2, 3, 4] và Kurosh [34]

là những nhà toán học đầu tiên độc lập khám phá ra rằng tất cả các căn cổ điển

có các tính chất chung nào đó và họ đã sử dụng các tính chất đại số này để tiên

đề hóa định nghĩa lớp căn trừu tượng Năm 1988, căn Kurosh-Amitsur cho mộtphạm trù đại số chung được đề xuất bởi Márki-Mlitz-Wiegandt [46] Năm 2004,căn của vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur và các kết quả liên quan đã đượctrình bày một cách có hệ thống bởi Gardner-Wiegandt [11] Trong đó, ứng vớimỗi lớp căn γ cho trước ta luôn xác định được một toán tử căn hay phép lấycăn (gọi là γ-căn hay căn Kurosh-Amitsur) và ngược lại với mỗi toán tử căn ρcho trước ta luôn xác định được một lớp căn

Năm 1983, Olson-Jenkins [48] đã tổng quát hóa khái niệm lớp căn trong lýthuyết vành cho trường hợp nửa vành và sau đó một số vấn đề liên quan đến lớpcăn của các nửa vành được Olson và các cộng sự của ông trình bày trong mộtloạt các công trình [49, 50, 51] Ngoài ra, căn Kurosh-Amitsur cho các phạm trùnửa trường được nghiên cứu bởi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phạm trù nhómđược nghiên cứu bởi Krempa-Malinawska [33] và Li-Zhang [42]

Gần đây, căn Kurosh-Amitsur của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu.Trong [15, p 652], Hebisch-Weinert đã xây dựng được các lớp căn từ các lớp đặcbiệt và đặc biệt yếu Morak [47] đã xây dựng ba trụ cột của căn Kurosh-Amitsurcủa nửa vành một cách độc lập đó là: Lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn vàHebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] đã chỉ ra được sự tương ứng 1-1 giữa ba trụcột đó Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert đã chứng minh được từ mộtlớp căn theo quan điểm lý thuyết vành luôn xây dựng được một lớp căn theoquan điểm lý thuyết nửa vành Ngoài ra, Morak [47, Theorem 5.3] cũng xâydựng được một lớp căn từ một lớp chính quy các nửa vành cho trước được gọi

là lớp căn trên

Trong [11, p 28], lớp căn dưới của một lớp δ các vành là giao tất cả các lớpcăn chứa δ và nó là lớp căn nhỏ nhất chứa δ, kí hiệu Lδ Có một vài phươngpháp xây dựng lớp căn dưới của một lớp δ của các vành đó là phương pháp củaWatters [58], phương pháp của Kurosh [34] và phương pháp của Lee [40] Lớpcăn dưới của một lớp các nửa vành thì được định nghĩa tương tự như trong lý

thuyết vành và lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành cũng được kí hiệu là

LA Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar đã xây dựng lớp căn dưới của một lớp cácnửa vành theo phương pháp tương tự của Watters Ngoài ra, Zulfiqar [62, 64]cũng đã tổng quát hóa khái niệm tổng của hai lớp căn và giao của một lớp cănvới tổng của hai lớp căn trong lý thuyết vành được xây dựng bởi Lee-Propes [11]cho trường hợp nửa vành Tính chất di truyền của lớp căn các vành thì đượcnghiên cứu bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5] và Morak [47, Section 6] đã tổngquát hóa các tính chất này cho trường hợp lớp căn của các nửa vành

Tuy nhiên, những kết quả liên quan căn Kurosh-Amitsur của nửa vành chođến thời điểm hiện tại còn khá khiêm tốn so với các kết quả tương ứng cănKurosh-Amitsur trong lý thuyết vành

Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Về căn Jacobson, Js-căn vàcác lớp căn của nửa vành” làm đề tài luận án Những vấn đề sau của đề tàiđược tập trung nghiên cứu

(1) Sử dụng công cụ J-căn và Js-căn để nghiên cứu cấu trúc của một sốlớp các nửa vành và thiết lập một vài kết quả quan trọng liên quan đến cănJacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành

(2) Thiết lập mối quan hệ giữaJ-căn vàJ s-căn trên một số lớp các nửa vành(qua đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]) Mô tả một số lớp nửa vành

mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn (qua đó trả lời một phần Bài toán[1, Problem 1])

(3) Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lớp căn các nửa vành như: đề xuấtkhái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn theo khái niệmnửa vành con chấp nhận được và đồng cấu, xây dựng lớp căn từ một lớp chotrước các nửa vành và nghiên cứu tính di truyền của lớp căn các nửa vành

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vànhJ-nửa đơn hoặcJs-nửa đơn và thiết lậpmột vài kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vànhcho trường hợp nửa vành So sánh Js-căn và căn Nil trên lớp các nửa vành cóđơn vị giao hoán phi khả đối Thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và J s-căntrùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy,lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành Mô tả một số lớp các nửavành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn Đặc trưng lớp căn của nửavành theo khái niệm nửa vành con chấp nhận được, xây dựng lớp căn dưới củamột lớp các nửa vành và thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của mộtlớp chính quy các nửa vành là di truyền

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

- J-căn, Js-căn của nửa vành

- Lớp căn của nửa vành

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Đại số kết hợp Lý thuyết nửa vành và nửa môđun

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu toán lý thuyết và phương pháp đặc thù của lýthuyết nửa vành và nửa môđun

- Sử dụng công cụ căn như:J-căn, Js-căn và lớp căn để nghiên cứu cấu trúccác nửa vành và các vấn đề liên quan

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Mô tả đầy đủ cấu trúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn Chứng tỏ sựtồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành cộng lũy đẳng, chứng minh

Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối,thiết lập một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thứctrong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối

và cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khảđối Js-nửa đơn Trả lời một phần các Bài toán [26, Problem 1] và [1, Problem1] Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được vàđồng cấu Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, một lớp các nửavành đóng đồng cấu Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớpchính quy các nửa vành là di truyền Chứng tỏ lớp căn trên của một lớp chínhquy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền

6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH

VÀ NỬA MÔĐUN

Trong chương này, sử dụng các tài liệu tham khảo [9], [13], [21] và [26]

để trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa vành và nửamôđun Điều này là cần thiết để trình bày các chương chính của luận án (Chương

2 và Chương 3) Nội dung chương này được chia làm bốn tiết gồm: Nửa vành

và nửa môđun; Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương;Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun; Kết luận Chương 1

Tiết này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và cho các ví dụ liên quannửa vành và nửa môđun như: khái niệm nửa vành, nửa vành con, iđêan, nửamôđun, nửa môđun con,

1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương

Ở tiết này, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm tương đẳng trên nửa vành vànửa môđun, cách xây dựng nửa vành thương và nửa môđun thương Ngoài ra,chúng tôi cho một vài ví dụ và nhận xét cho các khái niệm này

1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun

Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả liên quanđến đồng cấu nửa vành và nửa môđun Chúng tôi cho các ví dụ và nhận xét đểnhận thấy sự khác biệt của đồng cấu nửa vành và nửa môđun với đồng cấu vành

và môđun

1.4 Kết luận Chương 1

2.1 Về căn Jacobson của nửa vành

Năm 1951, Bourne [9] sử dụng lớp các iđêan nửa chính quy một phía để địnhnghĩa căn Jacobson của các nửa vành

Định nghĩa 2.1.1 ([9, Definition 3]) Cho R là một nửa vành và I là mộtiđêan phải của R Iđêan I được gọi là iđêan nửa chính quy phải của R nếu vớimỗi cặp i1, i2 ∈ I thì tồn tại j1, j2 ∈ I sao cho:

i1+ j1+ i1j1+ i2j2 = i2+ j2+ i1j2+ i2j1.

Iđêan nửa chính quy trái của nửa vành được định nghĩa tương tự Một iđêancủa nửa vành được gọi là iđêan nửa chính quy nếu nó vừa là iđêan nửa chínhquy trái vừa là nửa chính quy phải

Định nghĩa 2.1.4 ([9, Definition 4 và Theorem 4]) ChoR là một nửa vành

(1) Tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải củaR, kí hiệuJ (R), đượcgọi là căn Jacobson hay J-căn của nửa vành R.

(2) Một nửa vành R được gọi là J-nửa đơn nếu J (R) = 0

Ví dụ 2.1.5 (1) NếuR là một vành thì J-cănJ (R) trùng với căn Jacobsontrong lý thuyết vành Thật vậy, theo [25, Definition 2], căn Jacobson của mộtvành R là tổng tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải của R Do đó, theoNhận xét 2.1.2(2), J-căn J (R) trùng với căn Jacobson của vành R

(2) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì J (R) = R Thật vậy, theoNhận xét 2.1.2(3), R là iđêan nửa chính quy phải của nó Do đó, theo Địnhnghĩa 2.1.4, ta có J (R) = R

(3) Ta luôn có J (N) = 0 Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(4), N có duy nhấtiđêan không là nửa chính quy phải Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta cóJ (N) = 0

(4) Cho R là một nửa vành và Mn(R) (n ≥ 1) là nửa vành ma trận trên R.Khi đó, J (M n (R)) = M n (J (R)) [26, Theorem 5.8(iii)]

Iizuka [21] sử dụng lớp các nửa môđun bất khả quy để đặc trưng J-căn củacác nửa vành

Định nghĩa 2.1.6 ([21, Definition 5]) ChoR là một nửa vành MộtR-nửamôđun trái giản ước M 6= 0 gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu với mọi cặp phần

tử cố định bất kỳ u 1 , u 2 ∈ M với u 1 6= u 2 và bất kỳ x ∈ M luôn tồn tại a 1 , a 2 ∈ Rsao cho x + a1u1+ a2u2= a1u2+ a2u1

Định lý 2.1.8 ([21, Theorem 8]) Giả sử R là một nửa vành Khi đó,

J (R) = ∩{(0 : M )R | M ∈ J },

trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành R Chú

ý rằng: Nếu J = ∅ thì ta quy ước ∩{(0 : M )R | M ∈ J } bằng R

Sử dụng Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủcấu trúc các nửa vành cộngπ-chính quy J-nửa đơn Kết quả này là một mở rộngkết quả của Latorre [38, Theorem 3.4] Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệmnửa vành cộng π-chính quy

Định nghĩa 2.1.12 ([14] hoặc [19, p 1496]) Một nửa vành có đơn vị Rđược gọi là cộng π-chính quy nếu với bất kì phần tử x ∈ R, luôn tồn tại một số

tự nhiên n và phần tử y ∈ R sao cho nx + y + nx = nx

Định lý 2.1.14 Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy Khi đó, các

phát biểu sau là tương đương:

(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;

(2) R là một vành J-nửa đơn;

(3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy

Theo Nhận xét 2.1.13(3), nếu R là nửa vành có đơn vị hữu hạn thì nó làcộng π-chính quy Do đó, từ Định lý 2.1.14 và Định lý Wedderburn-Artin trong

lý thuyết vành [36], chúng tôi tức thì nhận được hệ quả sau

Hệ quả 2.1.15 Một nửa vành có đơn vị hữu hạn R là J-nửa đơn nếu vàchỉ nếu R đẳng cấu với

Mn1(F1) × Mn2(F2) × × Mnk(Fk),

trong đó F 1 , , Fk là các trường hữu hạn và n 1 , , nk là các số nguyên dương

Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một bổ đề liên quan đến J-căn mà nó cầnthiết trong việc chứng minh các kết quả tiếp theo của luận án

Bổ đề 2.1.16 Cho R và S là các nửa vành Khi đó,

(1) J (R ⊕ S) = J (R) ⊕ J (S);

(2) Nếu R là một nửa vành chia thì J (R) = Z(R)

Định lý của Hopkins [36, Theorem 4.12] về căn Jacobson lũy linh trong lýthuyết vành được phát biểu như sau: Giả sử R là một vành có đơn vị Artin trái.Khi đó, căn Jacobson J (R) là iđêan trái lũy linh lớn nhất và nó cũng là iđêanphải lũy linh lớn nhất Tuy nhiên, đối với nửa vành thì phát biểu trên nói chung

là không đúng Chẳng hạn, nửa trường Boolean B là nửa vành có đơn vị Artintrái và có căn Jacobson J (B) = B không lũy linh Chúng tôi kết thúc tiết nàybằng việc thiết lập một kết quả tương tự định lý của Hopkins về căn Jacobsonlũy linh cho các nửa vành cộng giản ước

Bổ đề 2.1.17 Cho R là một nửa vành cộng giản ước Nếu R-nửa môđunphải R2 là Artin thì R-nửa môđun phải D(R) cũng Artin

Định lý 2.1.18 Cho R là một nửa vành cộng giản ước sao cho R2 là R-nửamôđun phải Artin Khi đó, căn Jacobson J (R) là lũy linh và R thỏa mãn điềukiện ACC trên các iđêan phải cô lập

2.2 Về Js-căn của nửa vành

Trước tiên, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm nửa môđun trái đơn trên mộtnửa vành Khái niệm này đã được một số nhóm tác giả nghiên cứu trong thờigian gần đây như: Zumbr¨agel [65], Izhakian-Rhodes-Steinberg [24], Kendziorra-Zumbr¨agel [32], Katsov-Nam [26], Katsov-Nam-Zumbr¨agel [29], Kepka-Nˇemec[30] và Kepka-Kortelainen-Nˇemec [31]

Định nghĩa 2.2.1 ([65, Definition 3.7] hoặc [26, p 5074]) Cho R là mộtnửa vành Một R-nửa môđun trái M được gọi là đơn nếu các điều kiện sau đượcthỏa mãn:

(1) RM 6= 0;

(2) M là cực tiểu;

(3) M chỉ có tương đẳng tầm thường

Ví dụ 2.2.3 (1) Từ Nhận xét 2.2.2(2), nếu R là một vành thì khái niệm

R-nửa môđun trái đơn trùng với khái niệm R-môđun trái đơn trong lý thuyếtvành

(2) Cho R là một nửa vành nguyên phi khả đối Khi đó, B là một R-nửamôđun trái đơn Thật vậy, ánh xạ f : R −→ Bxác định bởi f (0) = 0 và f (x) = 1với mọi 0 6= x ∈ R, là một nửa đẳng cấu các nửa vành Vì B là B-nửa môđuntrái đơn nên B cũng làR-nửa môđun trái đơn với phép nhân vô hướng xác địnhbởi: Với mọi r ∈ R, mọi b ∈ B

rb := f (r)b.

(3) Cho (M, +, 0)là một vị nhóm giao hoán và End(M ) là nửa vành tự đồngcấu (xem Ví dụ 1.1.2(6)) Khi đó, M là một End(M )-nửa môđun trái với phépnhân vô hướng xác định bởi: Với mọi m ∈ M, mọi f ∈ End(M )

Mệnh đề 2.2.4 Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái cực