Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun cohen macaulay

Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulayNghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun CohenMacaulay

Mục lục 1

Thông tin kết quả nghiên cứu 2

Phần mở đầu 6

1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Chuẩn bị về chiều Krull 8

1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội 13

1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu 16

2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay 20 2.1 Môđun Cohen-Macaulay 20

2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay 23

2.3 Tính catenary và dãy thu gọn 30

2.4 Trường hợp không địa phương 34

3 Vành thương của vành Cohen-Macaulay 38 3.1 Tính bão hòa nguyên tố 38

3.2 Linh hóa tử của Hi m(M ) 43

3.3 Vành thương của vành Cohen-Macaulay 49

Tài liệu tham khảo 52

1

Thông tin kết quả nghiên cứu

1 Thông tin chung

Tên đề tài: Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun Cohen-MacaulayMã số:

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh

Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016

2 Mục tiêu Đề tài nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun

Cohen-Macaulay Ba bài toán đặt ra trong đề tài là:

a) Đặc trưng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay

b) Mở rộng các nghiên cứu bài toán a) cho trường hợp không địa phương, từ đótìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt

c) Nghiên cứu cấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòanguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

3 Kết quả nghiên cứu

- Trong mục tiêu nghiên cứu a), chúng tôi cải tiến một số kết quả trong bài báo củaCường-Nhàn [CN] về đặc trưng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun

- Trong mục tiêu nghiên cứu b), chúng tôi mở rộng các kết quả ở mục a) cho trườnghợp không địa phương, từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũythừa hình thức và vành đa thức

- Trong mục tiêu nghiên cứu c), chúng tôi cải tiến các kết quả trong hai bài báo củaNhàn-An [NhA] và Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG] về cấu trúc vành thương củavành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa nguyên tố của môđun đối

đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín ISI:

• N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.

Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).

• N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,

Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang)

- Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) là đồng tác giả 2 bàibáo trên tạp chí SCI (1 bài đã đăng, 1 bài đã sửa lại theo góp ý của phản biện)

• P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung

Cuong)

• T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).

4.2 Sản phẩm đào tạo Hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành viên nghiên cứu của

đề tài (Phạm Hồng Nam) Chủ nhiệm đề tài đã hướng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệthành công năm 2014, 2015, 2016

5 Hiệu quả Hoàn thành mọi mục tiêu đề ra trong thuyết minh.

6 Khả năng áp dụng và phương thức chuyển giao các kết quả nghiên cứu

- Về khoa học: Công bố được một số kết quả mới, có ý nghĩa khoa học trên các tạpchí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung của các bài báo đều nằm trong các chủ đề nghiêncứu của đề tài “Cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay”

- Về giáo dục và đào tạo: Hướng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thànhviên đề tài, phục vụ hiệu quả cho công tác giảng dạy sau đại học các chuyên ngành vềToán tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu các thành viên trong nhóm thực hiện đềtài, mở rộng hợp tác nghiên cứu

Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh

2 Objectives The purpose of this project is to study the structure of certain extensions

of the class of Cohen-Macaulay rings and modules:

a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules;

b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudoCohen-Macaulayness for some specific rings and modules

c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulayrings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules

- In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients

of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of localcohomology modules These generalize the known results in the two papers by Nhan-An[NhA] and by Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG]

4 Results

4.1 Scientific publications

- The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two paperspublished or accepted in international reputed journals listed by ISI:

• N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.

Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).

• N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,

Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang)

- The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are theco-authors of the two papers, one is already published and the other is revised forpublication in an SCI journal:

• P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung

Cuong)

• T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).

4.2 Training results To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham

Hong Nam) The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended

teach Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepeningthe cooperation in scientific research with domestic and international research institutions

Phần mở đầu

Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là đối tượng nghiên cứu trung tâm của Đại sốgiao hoán Vành và môđun Cohen-Macaulay còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực kháccủa toán học như Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến Lí thuyết vành vàmôđun Cohen-Macaulay đã được trình bày khá đầy đủ trong cuốn sách chuyên khảo củaBruns-Herzog [BH], ở đó cấu trúc của lớp vành và môđun này được làm rõ và được đặctrưng qua các lí thuyết quen biết như lí thuyết địa phương hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối

đồng điều địa phương Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay được đặc trưng qua lí thuyết

số bội như sau: một môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R, m) làCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M) luôn bằng nhauvới mọi hệ tham số x của M (xem Chương 2, Tiết 2.1)

Từ những năm 1960 của thế kỉ trước, một số mở rộng của lớp vành và môđunCohen-Macaulay đã được khám phá Mở đầu từ một giả thuyết nổi tiéng của D A.Buchsbam về sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M), hai nhà toánhọc W Vogel và J Struckrad đã đưa ra một phản ví dụ cho giả thuyết này và từ đó lớpvành và môđun Buchsbaum ra đời, đó là lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện tronggiả thuyết của D A Buchsbaum, tức là sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bộie(x, M) luôn là hằng số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x của M Năm

1978, mở rộng tiếp theo của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay được giới thiệu bởi N

T Cường, P Schenzel, N V Trung, đó là lớp vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng,chúng thỏa mãn điều kiện: sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M)luôn bị chặn trên bởi một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M Năm

2003, trong một bài báo đăng trên Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N T Cường và

L T Nhàn đã giới thiệu một lớp vành và môđun mới, mở rộng của lớp vành và môđunCohen-Macaulay theo hướng khác, gọi là vành và môđun giả Cohen-Macaulay Chúngthỏa mãn điều kiện độ dài ℓR(M/Q(x, M)) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau với mọi

hệ tham số x (xem Chương 2, Tiết 2.2).

Mục đích của đề tài là nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành vàmôđun Cohen-Macaulay Ba bài toán cụ thể của đề tài là:

a) Đặc trưng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay

b) Mở rộng các nghiên cứu trong bài toán a) cho trường hợp không địa phương,

từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt

c) Nghiên cứu cấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòanguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

Các kết quả thu được là sự cải tiến hoặc mở rộng không tầm thường cho những kếtquả trước đây trong các bài báo của Cường-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] và Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG] về đặc trưng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun; vềtính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và vành đa thức; và vềcấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòanguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương

Các kết quả mới của đề tài được viết trong 4 bài báo được công bố, được nhận đănghoặc được sửa (revised) trên những tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng bởi ISI

Đề tài được viết thành 3 chương Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiếnthức chuẩn bị về chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội và độ sâu để tiện cho việc trìnhbày các kết quả trong 2 chương sau Chương 2 và Chương 3 trình bày các kết quả mớicủa đề tài về cấu trúc một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi trình bày các kết quả của đề tài, chúng tôi cần nhắc lại một số kiến thứcchuẩn bị về chiều và độ sâu để tiện cho việc theo dõi Các khái niệm, kí hiệu, nội dungtrình bày trong chương này được viết dựa theo các tài liệu [Mat], [BH], [BS1]

Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là một vành giao hoán Noether và M làR-môđun hữu hạn sinh

1.1.1 Định nghĩa Một dãy nguyên tố độ dài n của R là một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn

các iđêan nguyên tố của R thỏa mãn pi 6= pi+1 với mọi i Chiều (Krull) của R, kí hiệu

là dim R, là cận trên của các độ dài của các dãy nguyên tố của R

1.1.2 Ví dụ Chiều của vành Z các số nguyên là 1 vì dãy {0} ⊂ 2Z là một dãy iđêan

nguyên tố độ dài 1 Hơn nữa, nếu I là một iđêan nguyên tố của Z thì I = {0} hoặc

I có dạng pZ với p là số nguyên tố Do đó dãy nguyên tố dài nhất trong Z có dạng

0 ⊂ pZ với p là số nguyên tố Vì thế dim Z = 1

Đặt AnnRM = {a ∈ R | aM = 0} Khi đó AnnRM là một iđêan của R

1.1.3 Định nghĩa Chiều (Krull) của M, kí hiệu là dim M, được định nghĩa là chiều

của vành thương R/ AnnRM

8

1.1.4 Ví dụ Xét R := Z là vành các số nguyên và M := Z/12Z là một Z-môđun hữu

hạn sinh Ta có AnnZM = 12Z Vì thế dim M là chiều của vành thương Z/12Z Vànhthương này có 2 iđêan nguyên tố là 3Z/12Z và 2Z/12Z Do đó dim M = 0

Tiếp theo, chúng ta trình bày một số tính chất về chiều Với mỗi iđêan I của R ta

kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

1.1.5 Định nghĩa Tập giá của M, kí hiệu là SuppRM, được cho bởi công thức

Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0}

Khi L một R-môđun (không cần hữu hạn sinh) ta luôn có SuppRL ⊆ Var(AnnRL).Vì M là hữu hạn sinh, ta có thêm bao hàm thức ngược lại Vì thế ta có thể tính chiềucủa M qua tập giá của M

1.1.6 Bổ đề Ta có SuppRM = Var(AnnRM) Hơn nữa,

dim M = sup{dim(R/p) | p ∈ SuppRM}

Kế quả quan trọng sau đây cho ta công thức tính chiều của vành đa thức

1.1.7 Mệnh đề ([Mat, Định lí 15.4]) Kí hiệu R[x1, , xn] là vành đa thức n biến với

aibj Khi đó R[[x]] là một vành giao hoán Noether Vành R[[x]]

được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức của biến x trên R Vành chuỗi lũy thừa

hình thức n biến x1, , xn với hệ số trên R, kí hiệu là R[[x1, , xn]], được định nghĩatương tự bằng quy nạp theo n

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính chiều của vành các chuỗi lũy thừa hình thức.

1.1.9 Mệnh đề ([Mat, Định lí 15.4]) Ta có

dim R[[x1, , xn]] = n + dim R

1.1.10 Định nghĩa Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêan nguyên tố liên

kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho p = AnnRx Tập các iđêan nguyên tố liênkết của M được kí hiệu là AssRM

Vì M hữu hạn sinh nên SuppRM = Var(AnnRM) Do đó min SuppRM =min Var(AnnRM), trong đó ta kí hiệu min là cho tập các phần tử tối thiểu theo quan

hệ bao hàm Vì M hữu hạn sinh và R là Noether nên theo [Mat, Định lí 6.5(iii)],min AssRM = min SuppRM Vì vậy ta có thể tính chiều thông qua chiều của cáciđêan nguyên tố liên kết như sau

1.1.11 Bổ đề Tập các iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của M chính là tập các iđêan

nguyên tố tối thiểu chứa AnnRM Đặc biệt ta có

dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM}

1.1.12 Ví dụ Cho K là một trường Cho R = K[x, y, z, t] là vành đa thức 4 biến với

hệ số trên K Đặt M = R/(x2, y, t)R ∩ (z3)R Khi đó AssRM = {p1, p2}, trong đó

dim(R/J ) = max{dim R/p1, dim(R/p2} = max{2, 1} = 2

Nhắc lại rằng một vành giao hoán Noether được gọi là vành địa phương nếu nó có

duy nhất một iđêan tối đại

1.1.14 Ví dụ Vành Z không là vành địa phương vì 2Z và 3Z là hai iđêan tối đại khác

nhau Với K là một trường thì vành K[[x1, , xn]] là vành địa phương với iđêan tối

đại duy nhất là (x1, , xn)

Trong phần cuối tiết này, chúng ta giả thiết (R, m) là một vành Noether địa phươngvới iđêan tối đại duy nhất m Bây giờ chúng ta nghiên cứu chiều của môđun khi chuyểnqua đầy đủ m-adic

1.1.15 Định nghĩa Một dãy (xn) ⊆ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic

nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xnư xm ∈ mk với mọi

n, m ≥ n0 Dãy (xn) ⊆ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn

tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương trên tậpcác dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy

(xnư yn) là dãy không Kí hiệu bR là tập các lớp tương đương Chú ý rằng quy tắccộng (xn) + (yn) = (xn+ yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vàocách chọn các đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên bR vàcùng với hai phép toán này, bR làm thành một vành Noether địa phương với iđean tối

đại duy nhất là m bR Vành bR vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic.

1.1.16 Ví dụ Cho S = K[x1, , xn] là vành đa thức với K là một trường Cho

m= (x1, , xn) và R là vành địa phương hóa của S tại m Khi đó R là vành địa phương

và đầy đủ M-adic của vành R là vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1, , xn]],trong đó M là iđêan tối đại duy nhất của R

1.1.17 Định nghĩa Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu

với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 sao cho znư zm ∈ mkM Từ khái niệm dãy Cauchynhư trong định nghĩa vành đầy đủ m-adic ở trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm

môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành bR Môđun này được kí hiệu là cM

Kết quả sau đây cho ta công thức tính chiều của một môđun khi chuyển qua đầy đủm-adic

1.1.18 Bổ đề ([Mat, Định lí 15.1(ii)]) Ta có dim M = dim(cM ).

1.1.19 Ví dụ Cho K là một trường và S = K[x1, , xn] là vành đa thức n biến với

hệ số trên K Gọi R là vành địa phương hóa của S tại iđêan tối đại m = (x1, xn)S.Khi đó bR = K[[x1, , xn]] Do đó ta có

dim bR = dim K[[x1, , xn]] = n

Trong phần còn lại của tiết này, ta giả thiết M là R-môđun hữu hạn sinh vớidim M = d và I là một iđêan của R

1.1.20 Định nghĩa Ta gọi I là iđêan nguyên sơ nếu I 6= R và xy ∈ I kéo theo x ∈ I

hoặc tồn tại số n > 0 sao cho yn∈ I với x, y ∈ R Chú ý rằng nếu I là iđêan nguyênsơ thì tập hợp

Rad(I) := {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn∈ I}

là một iđêan nguyên tố p của R và khi đó ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ.

Chú ý rằng khi I là iđêan nguyên sơ thì Rad(I) là iđêan nguyên tố, nhưng chiềungược lại không đúng, xem [Mat] Tuy nhiên, nếu Rad(I) là iđêan cực đại của R thì

I là iđêan nguyên sơ

1.1.21 Ví dụ Trong vành Z các số nguyên, 4Z là iđêan nguyên sơ Tổng quát hơn, nếu

p và số nguyên tố và n là số nguyên dương thì pnZ là iđêan nguyên sơ Trong vànhcác chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1, , xn]] trên trường K, iđêan (x2

1, , x2

i) là iđêannguyên sơ với mọi i 6 n Tổng quát hơn, nếu n1, , ni là các số nguyên dương thì(xn1

1 , , xni

i ) là iđêan nguyên sơ

1.1.22 Định nghĩa Dãy các môđun con lồng nhau 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M,trong đó Mi 6= Mi+1 với mọi i, được gọi là một xích độ dài n Độ dài của M, kí hiệu

là ℓR(M), là cận trên của các độ dài của các xích của M

Chú ý rằng ℓR(M) < ∞ nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy hợp thành của M, tức làmột dãy môđun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M của M sao cho không thể chèn

thêm bất cứ môđun con nào trong tất cả các mắt của dãy trên Trong trường hợp này,mọi dãy các môđun con (không có thành phần lặp lại) của M đều có thể mở rộng thànhmột dãy hợp thành của M và mọi dãy hợp thành của M đều có chung độ dài.

1.1.23 Bổ đề Giả sử M 6= 0 Các phát biểu sau là tương đương

(i) M có độ dài hữu hạn;

(ii) AnnRM là iđêan m-nguyên sơ;

(iii) dim M = 0

Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tương đương với chiều

1.2.1 Định lý ([Mat, Định lí 13.4], [BH]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ Khi đó,

ℓ(M/qnM) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và

dim M = deg ℓ(M/qnM)

= inf

t | ∃x1, , xt∈ m, ℓ(M/(x1, , xt)M) < ∞

Khi n đủ lớn, ℓ(M/qnM) là một đa thức, đa thức này được gọi là đa thức Hilbert

- Samuel của M ứng với iđêan m-nguyên sơ q

1.2.2 Chú ý Vì R là vành Noether nên m là hữu hạn sinh Do đó tồn tại hữu hạn phần

tử x1, , xt ∈ m sao cho m = (x1, , xt)R Chú ý rằng ℓ(M/mM) < ∞ Do đóℓ(M/(x1, , xt)M) < ∞

Theo Định lí 1.2.1 ta có hệ quả sau

1.2.3 Hệ quả Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương luôn có chiều hữu hạn.

Cho x ∈ m Đặt M1 = M/xM và dim M1 = k Khi đó tồn tại x1, , xk ∈ m saocho ℓ(M1/(x1, , xk)M1) < ∞ Do đó ℓ(M/(x, x1, , xk)M) < ∞ Theo Định lí1.2.1 ta có d 6 k + 1 Do đó d ư 1 6 k Vì thế dim(M/xM) ≥ d ư 1 Bằng quy nạptheo số phần tử của dãy và sử dụng Định lí 1.2.1 ta có thể chỉ ra được kết quả sau

và vì thế x là phần tử tham số của M Ngược lại, giả sử x là phần tử tham số của

M Khi đó dim(M/xM) = d ư 1 Nếu x ∈ p với p ∈ AssRM nào đó thỏa mãndim(R/p) = d thì

dim(M/xM) = dim(R/(xR + AnnRM)) ≥ dim(R/p) = d,

điều này là vô lí Vì vậy ta có tiêu chuẩn sau để một phần tử x ∈ m là phần tử tham số

1.2.6 Bổ đề Giả sử dim M = d Cho x ∈ m Khi đó x là phần tử tham số của M nếu

và chỉ nếu x / ∈ p với mọi p ∈ AssRM thỏa mãn dim(R/p) = d.

1.2.7 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến với hệ

số trên một trường K Đặt M = R/J, trong đó J = (x2, y3)R ∩ zR Khi đó R là vành

địa phương với iđêan tối đại duy nhất m = (x, y, z)R và AssRM = {p1, p2}, trong đó

p1 = (x, y)R và p2 = zR Ta có dim(R/p1) = 1 và dim(R/p2) = 2 Do đó

dim M = max{dim(R/p1), dim(R/p2)} = 2

Lấy f = x và g = y + z Rõ ràng f, g ∈ m Rõ ràng f /∈ p2 Vì thế f là phần tử tham

số của M Ta có (x2, y3)R ∩ zR = (zx2, zy3)R Vì thế

M/fM ∼= R/(x, zx2, zy3)R = R/(x, zy3)R = R/((x, z)R ∩ (x, y3)R)

Ta có AssR(M/fM) = {q1, q2}, trong đó q1 = (x, z)R và q2 = (x, y)R Vì g /∈ q1 và

g /∈ q2 nên g là phần tử tham số của M/fM Suy ra (f, g) là một hệ tham số của M

Tiếp theo, chúng ta trình bày khái niệm số bội, các tính chất của số bội.

1.2.8 Định nghĩa (Xem [BH]) (i) Một hệ (x1, , xt) các phần tử trong m được gọi

là một hệ bội của M nếu ℓR(M/(x1, , xt)M) < ∞ Một hệ bội gồm d = dim Mphần tử được gọi là một hệ tham số

Rõ ràng rằng nếu (x1, , xt) là một hệ bội của M thì nó cũng là hệ bội của mọimôđun con và môđun thương của M Hơn nữa, nếu (x1, , xt) là một hệ bội của Mthì (xn 1

1 , , xnt

t ) là một hệ bội của M với mọi số nguyên dương n1, , nt

1.2.9 Định nghĩa (Xem [BH]) Cho x = (x1, , xt) là hệ bội của M Số bội hình thức của M ứng với x, kí hiệu là e(x1, , xt; M) hay e(x; M), được định nghĩa bàngquy nạp theo d như sau

- Với d = 0, tức là ℓR(M) < ∞, đặt e(∅, M) = ℓR(M)

- Cho d > 0 Khi đó (x2, , xt) là hệ bội của M/x1M và 0 :M x1 Vì thế, theogiả thiết quy nạp, các số bội e(x2, , xt; M/x1M) và e(x2, , xt; 0 :M x1) đã được

định nghĩa Đặt

e(x1, , xt; M) = e(x2, , xt; M/x1M) + e(x2, , xt; 0 :M x1)

Sau đây là một số tính chất của số bội hình thức

1.2.10 Tính chất (Xem [BH]) Cho (x1, , xt) là hệ bội của M Khi đó

(i) Tính không âm: e(x1, , xt; M) ≥ 0 Hơn nữa, e(x1, , xt; M) > 0 nếu và chỉ nếu t = d = dim M.

(ii) e(xn 1

1 , , xnt

t ; M) = n1 nt e(x1, , xt; M) với mọi n1, , nt > 0

(iii) Tính cộng tính: Nếu 0 ư→ M′ ư→ M ư→ M′′ ư→ 0 là một dãy khớp các R-môđun và (x1, , xt) là một hệ bội của M thì

e(x1, , xt; M) = e(x1, , xt; M′) + e(x1, , xt; M′′)

Tiếp theo ta trình bày mối quan hệ giữa số bội Zariski-Zamuel và số bội hình thức

1.2.11 Định nghĩa (Xem [Mat], [BH]) Giả sử q là một iđêan m-nguyên sơ Khi đó

ℓR(M/qnM) là một đa thức bậc d = dim M với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn Vì đa thứcnày nhận giá trị nguyên với mọi biến nguyên nên khi n đủ lớn, đa thức có biểu diễn

Sau đây là mối quan hệ giữa số bội hình thức và số bội Zariski - Samuel

1.2.12 Mệnh đề (Xem [BH]) Cho (x1, , xd) là hệ tham số của M Gọi q là iđêan sinh bởi (x1, , xd) Khi đó e(x1, , xd; M) = e(q; M)

Sau đây là mối quan hệ giữa số bội hình thức và độ dài

1.2.13 Mệnh đề (Xem [BH]) Nếu (x1, , xd) là hệ bội của M thì

e(x1, , xt; M) 6 ℓR(M/(x1, , xt)M)

Trong tiết này, chúng ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M 6= 0 làmột R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Với mỗi x ∈ R ta đặt

(0 :M x) = {m ∈ M | xm = 0}

Khi đó (0 :M x) là môđun con của M

1.3.1 Định nghĩa (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là ước của không

đối với M nếu (0 :M x) = 0 Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M-chính quy nếu

(0 :M x) = 0 và M 6= xM

(ii) Một dãy các phần tử (x1, , xk) trong R được gọi là M-dãy chính quy hay M-dãy nếu M 6= (x1, , xk)M và xi là M/(x1, , xiư1)M-chính quy với mọi i

1.3.2 Chú ý Nếu (x1, , xk) ⊆ m thì theo Bổ đề Nakayama ta có M 6= (x1, , xn)M.Vì thế (x1, , xk) là M-dãy nếu và chỉ nếu xi không là ước của không đối với môđunM/(x1, , xiư1)M với mọi i = 1, , k.

1.3.3 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên một

trường K Khi đó x + y, y, z là một R-dãy

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được tính chât sau đây

1.3.4 Bổ đề Cho x, x1, , xk ∈ m Khi đó ta có

(i) x là M-chính quy nếu và chỉ nếu x / ∈ p với mọi p ∈ AssRM

(ii) (x1, , xk) là M-dãy nếu và chỉ nếu với mọi i = 1, , k ta có xi ∈ p với mọi/

p∈ AssR(M/(x1, , xiư1)M).

Trước khi trình bày tính chất của dãy chính quy, chúng ta cần nhắc lại một số kháiniệm về môđun đối đồng điều địa phương

1.3.5 Định nghĩa (Xem [BS1]) Với I là iđêan của R và L là một R-môđun tùy ý

(không nhất thiết hữu hạn sinh), ta đặt (0 :LI) = {m ∈ L | Im = 0} Khi đó

(0 :LI) ⊆ (0 :LI2) ⊆ (0 :L I3) ⊆

là một dãy tăng các môđun con của L Vì thế ΓI(L) := S

n≥0

(0 :LIn) là một môđun concủa L Nếu f : L → L′ là đồng cấu các R-môđun thì ta có đồng cấu f∗ : ΓI(L) →

ΓI(L′) cho bởi f∗(x) = f(x) Khi đó ΓI(ư) là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trùcác R-môđun đến phạm trù các R-môđun Ta gọi ΓI(ư) là hàm tử I-xoắn.

1.3.6 Định nghĩa (Xem [BS1]) Cho L là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn

suất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(ư) ứng với L được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của L với giá I và được kí hiệu là Hn

I(L)

Một R-môđun L được gọi là I-xoắn nếu L = ΓI(L) Sau đây là những tính chất cơbản của môđun đối đồng điều địa phương

1.3.7 Tính chất (Xem [BS1]) Cho L là một R-môđun Các phát biểu sau là đúng.

(i) Nếu L là I-xoắn thì Hi

1.3.8 Mệnh đề (Xem [BS1]) Cho r ∈ N Các mệnh đề sau là tương đương

(i) Tồn tại một M-dãy có độ dài r trong I.

(ii) Hi

I(M) = 0 với mọi i < r.

Khi x ∈ m là M-chính quy thì nó tránh tất cả các iđêan nguyên tố của M Vì thếbằng tiêu chuẩn của phần tử tham số và quy nạp theo k ta có kết quả sau

1.3.9 Bổ đề Mỗi M-dãy trong m là một phần hệ tham số của M.

1.3.10 Định nghĩa Một M-dãy (x1, , xk) các phần tử trong I được gọi là M-dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1, , xk, y) là M-dãy

1.3.11 Ví dụ Cho K là một trường và R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuỗi lũy thừa

hình thức với hệ số trên K Đặt M = R/(x + y2)R Khi đó y, z, t là một M-dãy tối

đại trong m = (x, y, z, t)R Do đó ta có Hi

m(M) = 0 với mọi i < 3

1.3.12 Mệnh đề (Xem [BS1], [Mat]) Nếu M 6= IM thì mỗi M-dãy trong I đều mở

rộng được thành một M-dãy tối đại trong I và hai M-dãy tối đại trong I có chung độ dài Độ dài chung này chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho Hi

I(M) 6= 0.

Mệnh đề trên cho ta tính đúng đắn trong định nghĩa khái niệm độ sâu của môđunhữu hạn sinh sau đây

1.3.13 Định nghĩa Cho M 6= IM Khi đó độ dài của một M-dãy chính quy tối đại

trong I đ−ợc gọi là độ sâu của M trong I, và đ−ợc kí hiệu là depth(I; M) Độ sâu của

M trong iđêan cực đại m đ−ợc gọi là độ sâu của M và đ−ợc kí hiệu là depth(M).

1.3.14 Hệ quả (Xem [BS1], [Mat]) Cho M 6= IM Các phát biểu sau là đúng.

(i) depth(I; M) = inf{i | Hi

(iv) depth R[[x1, , xn]] = depth R + n

Các kết quả sau đây chỉ ra rằng độ sâu của môđun đ−ợc bảo toàn qua đầy đủ hóa

1.3.15 Mệnh đề (Xem [Mat]) depth(I, M) = depth(I bR, cM) Đặc biệt

Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay

Chương này trình bày kết quả mới của đề tài về lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay.Các kết quả trong các Tiết 2.2, 2.3, 2.4 được viết dựa theo bài báo [NCh]

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M làR-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d Các thuật ngữ, kí hiệu trong chương này

được lấy theo các cuốn sách chuyên khảo [Mat], [BS1], [Na], [BH]

Trong Tiết 1.1, chúng ta đã chỉ ra rằng

dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM}

Vì thế từ các Bổ đề 1.3.16 ta có ngay kết quả sau

2.1.1 Hệ quả dim M ≥ depth M.

2.1.2 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc

depth M = dim M Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun

Cohen-Macaulay

Sử dụng các tính chất về chiều và độ sâu trong Chương 1, chúng ta có thể kiểm tratính Cohen-Macaulay và không Cohen-Macaulay trong Ví dụ sau đây

20

2.1.3 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]] Đặt

M1 = R/((x2, z, t) ∩ (y, z, t)) và M2 = R/((x2) ∩ (y, z2)) Khi đó R là vành địaphương Noether, M1, M2 là các R-môđun hữu hạn sinh và

(i) R là vành Cohen-Macaulay;

(ii) M1 là R-môđun Cohen-Macaulay;

(iii) M2 không là R-môđun Cohen-Macaulay

Từ tính chất về chiều và độ sâu trong Chương 1, chúng ta suy ra tính Cohen-Macaulaycủa môđun khi chuyển qua đầy đủ m-adic

2.1.4 Mệnh đề (Xem [BH]) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi c M là Macaulay.

Cohen-Sau đây là đặc trưng tính Cohen-Macaulay khi chia cho một dãy chính quy

2.1.5 Mệnh đề (Xem [BH]) Cho (x1, , xr) ⊆ m là một M-dãy chính quy Khi đó

M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1, , xr)M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d ư r Đặc biệt, mỗi dãy chính quy là một phần hệ tham số.

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính không trộn lẫn của vành và môđun Macaulay

Cohen-2.1.6 Định nghĩa (Xem Nagata [Na]) Môđun M được gọi là không trộn lẫn nếu

dim( bR/P ) = dim cM với mọi P ∈ AssRb( cM )

2.1.7 Mệnh đề (Xem [BH]) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay chiều d Khi đó

depth(M) = dim M = dim(R/p) = d

với mọi p ∈ AssR(M)

2.1.8 Chú ý Nếu M là mô đun Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn Thật vậy, vì

M là Cohen-Macaulay nên cM cũng là Cohen-Macaulay Do đó dim( bR/P ) = d với mọi

P ∈ AssRbM.c

Sau đây là tính chất Cohen-Macaulay khi chuyển qua địa phương hóa.

2.1.9 Mệnh đề (Xem [Mat]) Môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppRM.

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính catenary và catenary phổ dụng của vành thươngR/ AnnRM khi M là Cohen-Macaulay

2.1.10 Định nghĩa (Xem [Na]) Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn những iđêan nguyên tố

của R được gọi là dãy bão hòa độ dài n nếu với mỗi i ta có pi 6= pi+1 và không tồntại một iđêan nguyên tố q của R sao cho pi ⊂ q ⊂ pi+1 Vành R được gọi là vành catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bãohòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài

Rõ ràng mỗi vành Noether địa phương chiều 2 đều là catenary Giả sử I là iđêancủa R Khi đó mỗi iđêan của vành thương R/I có dạng J/I, trong đó J là một iđêancủa R chứa I Vì thế nếu R là vành catenary thì R/I cũng là catenary

2.1.11 Chú ý Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành địa phương Do đó theo

kết quả đã chỉ ra ở Tiết 1.2, ta có dim R < ∞ Suy ra, với mỗi cặp iđêan nguyên tố

q⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p Vì thế, R là catenary nếu

và chỉ nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p

đều có chung độ dài

2.1.12 Định nghĩa (Xem [Na]) Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại

số hữu hạn sinh trên R đều catenary

2.1.13 Chú ý Giả sử S là một đại số hữu hạn sinh trên R Khi đó tồn tại a1, , an∈ Ssao cho S = R[a1, , an] Do đó ta có toàn cấu vành R[x1, , xn] → R[a1, , an]cho bởi f(x1, , xn) = f(a1, , an) Vì thế S là vành thương của vành đa thứcR[x1, , xn] Vì vành thương của vành catenary là catenary nên vành R là catenaryphổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức R[x1, , xn] là catenary

Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa tính Cohen-Macaulay với tính catenary vàcatenary phổ dụng.

2.1.14 Mệnh đề Nếu M là Cohen-Macaulay thì vành thương R/ AnnRM là catenary phổ dụng.

Phần cuối của tiết này dành để trình bày một số đặc trưng của môđun Macaulay qua đối đồng điều địa phương và số bội

Cohen-2.1.15 Mệnh đề (Xem [BH], [BS1]) Cho d = dim M Các phát biểu sau là tương

Cho a = (a1, , ad) là một hệ tham số của M Đặt

QM(a) =[

t>0

(at+11 , , at+1d )M :M at1 atd

2.2.1 Bổ đề (Xem [CM, Bổ đề 3.1]) Kí hiệu e(a; M) là số bội của M ứng với a Khi

đó QM(a) là một môđun con của M chứa (a1, , ad)M và

ℓR(M/aM) ≥ e(a; M) ≥ ℓR(M/QM(a))

Với mỗi bộ d số nguyên dương n = (n1, , nd), đặt a(n) = (an1

1 , , and

d ) Đặt

JM(a(n)) = n1 nde(a; M) ư ℓ(M/QM(a(n))),

trong đó e(a; M) là số bội của M ứng với hệ tham số a Xét JM(a(n)) như một hàm

số theo d biến nguyên dương n = (n1, , nd) Nhìn chung JM(a(n)) không là đa thứckhi n1, , nd đủ lớn (xem [CN]), nhưng nó vẫn có nhiều tính chất tốt Chẳng hạn,

hàm này là hàm tăng và luôn nhận giá trị không âm, hơn nữa nó bị chặn trên bởi đathức có bậc không quá d ư 1.

2.2.2 Bổ đề (Xem [CM, Định lí 3.2]) Bậc nhỏ nhất của những đa thức chặn trên hàm

JM(a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a của M.

2.2.3 Định nghĩa (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]) Môđun M được gọi là giả

Cohen-Macaulay nếu tồn tại hệ tham số a của M sao cho e(a; M) = ℓR(M/QM(a))

Theo R Hartshorne, nếu a là một M-dãy chính quy thì QM(a) = (a1, , ad)M.Vì thế ta có kết quả sau

2.2.4 Hệ quả Nếu M là Cohen-Macaulay thì M là giả Cohen-Macaulay.

Theo Cuong - Minh [CM, Định lí 3.2], nếu ta có đẳng thức e(a; M) = ℓR(M/QM(a))với một hệ tham số a thì ta cũng có đẳng thức đó với mọi hệ tham số a của M Vì thế

ta có kết quả sau

2.2.5 Hệ quả Môđun M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e(a; M) = ℓR(M/QM(a))

với mọi hệ tham số a của M.

Chú ý rằng e(a; M) = e(a; cM ) và ℓR(M/QM(a)) = ℓRb( cM/QMc(a)) với mọi hệtham số a của M Vì thế ta có hệ quả sau

2.2.6 Bổ đề M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu c M là giả Cohen-Macaulay.

Từ đây đến hết chương này, luôn kí hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M cóchiều nhỏ hơn d Đặt M = M/UM(0) và gọi nó là phần không trộn lẫn của M

Như đã chỉ ra trong [CN], các tính chất của môđun giả Cohen-Macaulay vẫn tốt vàrất gần với tính chất của các môđun Cohen-Macaulay modules Chẳng hạn, mỗi môđunCohen-Macaulay là môđun giả Cohen-Macaulay Đặc biệt, ta có quan hệ sau đây giữatính giả Cohen-Macaulay của M và tính Cohen-Macaulay của thành phần không trộnlẫn của cM

2.2.7 Bổ đề (Xem [CN]) Gọi UMc(0) là môđun con lớn nhất của c M có chiều nhỏ hơn

d Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM/UMc(0) là Cohen-Macaulay.

Theo Auslander-Buchsbaum [AB], một phần tử a ∈ m được gọi là một phần tử M-thu gọnnếu a /∈ p với mọi p ∈ AssRM thỏa mãn dim(R/p) ≥ d ư 1 Một dãy (a1, , ar)

các phần tử trong m được gọi là một M-dãy thu gọn nếu ai là M/(a1, , aiư1)M-thugọn với mọi i = 1, , r Chú ý rằng nếu (a1, , ar) là một M-dãy thu gọn thì nó làmột phần hệ tham số của M Do đó ta cũng nói phần tử M-thu gọn là phần tử tham

số thu gọn Kết quả sau chỉ ra rằng tính giả Cohen-Macaulay được bảo toàn khi chiacho một phần tử tham số thu gọn

2.2.8 Bổ đề (Xem [CN, Hệ quả 3.4]) Cho a ∈ m là phần tử tham số thu gọn của M.

Nếu M là giả Cohen-Macaulay thì M/aM cũng là giả Cohen-Macaulay.

Trước khi trình bày kết quả chính của tiết này, chúng ta cần bổ đề sau đây về dãythu gọn

2.2.9 Bổ đề Cho r 6 d ư 1 là một số nguyên không âm Nếu (a1, , ar) là dãy M-thu gọn thì

dim UM(0) + (a1, , ar)M/(a1, , ar)M

6d ư r ư 1

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r Khi r = 0 thì ta không phải chứngminh gì Cho r = 1 Vì a1 là M-chính quy nên a1 ∈ p với mọi p ∈ Ass/ RUM(0) saocho dim(R/p) = d ư 1 Vì thế, dim UM(0)/a1UM(0)

Thật vậy, theo quy nạp ta có dim N 6 d ư r Nếu dim N < d ư r thì rõ ràng ta có

dim(N/arN) 6 d ư r ư 1

Vì thế ta giả thiết dim N = d ư r Lấy p ∈ AssRN sao cho dim(R/p) = d ư r Khi đó

p∈ AssR(M/(a1, , arư1)M) Vì dim(R/p) = d ư r và arlà phần tử tham số thu gọncủa M/(a1, , arư1)M, nên ta có ar ∈ p Vì thế dim(N/a/ rN) = dưrư1 Do đó khẳng

2.2.10 Định lý Kí hiệu M := M/UM(0) là thành phần không trộn lẫn của M Cho

a ∈ m là một phàn tử tham số thu gọn của M Giả thiết rừng R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R) Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là giả Cohen-Macaulay;

(ii) M là Cohen-Macaulay;

(iii) M là giả Cohen-Macaulay;

(iv) M/aM là giả Cohen-Macaulay và M/aM là không trộn lẫn.

Chứng minh. (i)⇒(ii) Ki hiệu \UM(0) là đày đủ m-adic của UM(0) Chúng ta khẳng

định rằng \UM(0) = UMc(0), trong đó UMc(0) là mô đun con lớn nhất của cM có chiềunhỏ hơn d Thật vậy, vì dim \UM(0) < d, nên ta có U\M(0) ⊆ UMc(0) Giả sử trái vớikhẳng định, tức là \UM(0) 6= UMc(0) Khi đó tồn tại P ∈ AssRb UMc(0)/U\M(0)

vì