Vành và môđun Cohen Macaulay

Chương 3 trình bày về hệ số Hilbert của vành và môđun Cohen - Macaulay, định lý đa thức Hilbert.. ⊃ pn của vành A được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n.Cận trên đúng của độ dài t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

========o0o========

TRƯƠNG THỊ THÚY

VÀNH VÀ MÔĐUN COHEN - MACAULAY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận vănnày là hoàn toàn trung thực, chưa được sử dụng cho bảo vệ một học vị nào.Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý củacác cá nhân và tổ chức Các thông tin, tài liệu trình bày trong luận văn này

đã được ghi rõ nguồn gốc

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của

TS Trần Nguyên An Nhờ Thầy tôi đã bước đầu làm quen và say mê trongcông việc nghiên cứu toán Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới Thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường, TS LêThanh Nhàn, TS Phạm Hiến Bằng đã tận tình giảng dạy để tôi nắm đượcnhững kiến thức cơ sở Tôi rất biết ơn trường ĐHSP Thái Nguyên, khoa Toán

và tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tậpcủa mình Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động,viên tôi trong quá trình làm luận văn

Mục lục

1.1 Chiều và độ cao 21.2 Môđun đối đồng điều địa phương 3

Lời nói đầu

Vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành và môđun quan trọng trong

Đại số giao hoán Lớp vành này có nhiều ứng dụng trong Hình học đại

số, Lý thuyết bất biến và Tổ hợp Khái niệm vành Cohen-Macaulay đượcnảy sinh từ các định lý không trộn lẫn của Macaulay và Cohen Khái niệmmôđun Cohen-Macaulay được xuất hiện lần đầu tiên trong các công trìnhcủa Auslander và Buchsbaum Cho (A, m) là vành Noether địa phương và

M là A- môđun hữu hạn sinh Ta ký hiệu hai bất biến quan trọng depth M

là độ sâu của M và dim M là chiều của M Ta có depth M ≤ dimM nếu

M khác không Ta nói rằng M là Cohen - Macaulay nếu M = 0 hoặcdepth M = dimM Nếu vành Noether địa phương A là Cohen- Macaulaythì ta nói A là vành Cohen - Macaulay

Luận văn trình bày một số tính chất và đặc trưng cơ bản của vành vàmôđun Cohen-Macaulay Luận văn được chia làm 3 chương Chương 1 trìnhbày một số kiến thức cơ sở như định nghĩa chiều và độ sâu, chiều Krull

Đây là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bàytrong luận văn Định nghĩa và tính chất của Môđun đối đồng điều cũng đượctrình bày của cuối chương

Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn Chương này nghiên cứu

về vành và môđun Cohen - Macaulay Phần đầu chương là định nghĩa chiều

và độ sâu cùng các tính chất Trong chương cũng trình bày định nghĩa vànhchính quy, vành tựa chính quy Phần 2 của chương tôi trình bày vành, môđunCohen - Macaulay và các tính chất Chứng minh nếu A là vành Cohen -Macaulay thì một vành đa thức A[x1, , xn]cũng là vành Cohen - Macaulay

do đó bất kì vành Cohen - Macaulay là catenary

Chương 3 trình bày về hệ số Hilbert của vành và môđun Cohen - Macaulay,

định lý đa thức Hilbert Hệ số e0, e1 cũng được trình bày ở chương này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này cũng như trong luận văn, ta luôn giả thiết A là vànhgiao hoán có đơn vị Chương này chỉ nhắc lại một số kiến thức cần thiết đểtrình bày các chương sau

1.1 Chiều và độ cao

Định nghĩa 1.1.1 Một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃

p2 ⊃ ⊃ pn của vành A được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n.Cận trên đúng của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong A được gọi là chiềuKrull của A, hay chiều của vành A Kí hiệu là dim A

Định nghĩa 1.1.2 Cận trên đúng của độ dài các dãy giảm thực sự các iđêannguyên tố

p= p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ prxuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p Cho I là mộtiđêan của A Độ cao của iđêan I,kí hiệu ht I được cho bởi công thức ht I =inf{ht p | p ∈ V (I)} trong đó V (I) là tập các iđêan nguyên tố của A chứa

I

Định nghĩa 1.1.3 Cho M là một A - môđun Khi đó chiều của M kí hiệu làdim M được xác định bởi dim M = dim(A/ Ann M), trong đó Ann M ={a ∈ A | aM = 0}

Chú ý rằng chiều của một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương luôn

Dấu ” = ” xảy ra nếu φ là đồng cấu phẳng

Định nghĩa 1.1.6 Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của A Một dãy cáciđêan nguyên tố q = p0 ⊂ p1 ⊂ pn = p sao cho pi 6= pi+1 được gọi làmột dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p nếu với mọi i, không tồn tại mộtiđêan nguyên tố chèn giữa pi và pi+1

Ta nói rằng vành A là catenary nếu với mọi iđêan nguyên tố q ⊂ p của

R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hoà giữa q và p và mọi dãy nguyên tốbão hoà giữa q và p đều có chung độ dài

Vành A được gọi là catenary phổ dụng nếu A là vành Noether và mọi

A-đại số hữu hạn sinh là catenary

Như vậy vành Noether A là catenary phổ dụng nếu A là catenary vàA[x1, , xn] là catenary với mọi n ≥ 0

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho I là iđêan của A Với mỗi A−môđun N ta định nghĩa

ΓI(N ) = S

n≥0

(0 :N In).Nếu f : N −→ N0 là đồng cấu các A− môđun thì ta

có đồng cấu f∗ : ΓI(N ) −→ ΓI(N0) cho bởi f∗(x) = f (x) Khi đó ΓI(−)

là hàm tử khớp trái từ phạm trù các A−môđun đến phạm trù các A−môđun

và được gọi là hàm tử I−xoắn

Một giải nội xạ của M là một dãy khớp

0 −→ M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúng

được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ

Định nghĩa 1.2.2 Cho N là A−môđun và I là iđêan của A Môđun dẫnsuất phải thứ n của hàm tử I−xoắn ΓI(−) ứng với M được gọi là môđun

đối đồng điều thứ n của N, kí hiệu là Hn

−→ Γ(E1) u

∗ 1

−→ Γ(E2) −→ Khi đó Hn

I(N ) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của phứctrên (nó không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của N)

Sau đây là tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương

I(M ) = 0 với mọi i >dim M và mọi i < 0 Đặc biệt

dim M = Sup{i | Hmi(M ) 6= 0}

Chương 2

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trong suốt chương này ta giả thiết vành giao hoán, có đơn vị

2.1 Độ sâu của môđun

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử A là một vành, M là một A− môđun, a1, , ar làmột dãy các phần tử của A Ta nói a1, , ar là một M-dãy chính quy (hoặc

đơn giản là M−dãy) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) M 6= (a1, , ar)M

(ii) Với mỗi i > 0,

M(a1, ai−1)M

a1, , ar, b là M− dãy chính quy, khi đó a1, ar được gọi là một M- dãychính quy tối đại trong I Nếu M → N là đẳng cấu A- môđun, khi đó mộtdãy là chính quy trên M khi và chỉ khi nó chính quy trên N

Bổ đề 2.1.2 Một dãy a1, , ar với r ≥ 2 là M- dãy chính quy khi và chỉkhi a1 chính quy trên M và a2, , ar là một M/a1M − dãy chính quy Nếu

dãy a1, , ar là một M- dãy chính quy tối đại trong I thì a2, , ar là mộtM/a1M- dãy chính quy tối đại trong I.

Chứng minh Với mọi iđêan a ⊆ b, tồn tại đẳng cấu chính tắc của A- môđunM/bM ∼= N/bN với N = M/aM Nếu a1, , ar là M- dãy chính quy thì

a1 chính quy trên M, a2 chính quy trên N = M/a1M và với 3 ≤ i ≤ r, aichính quy trên

M/(a1, , ai−1)M ∼= N/(a2, , ai−1)N

Do đó a1, , ar là một N− dãy chính quy Điều ngược lại chứng minh tươngtự

Tổng quát hơn, nếu a1, , ar là một M− dãy chính quy và ta đặt

là A- chính quy Tensor với M và với M là phẳng ta thấy rằng phép nhânbên trái với a1 cũng cho một đơn cấu M → M Tương tự tensor với đơn cấu

a2: A/a1 → A/a1 ta được một đơn cấu M/a1M → M/a1M

Bổ đề 2.1.4 Cho A là một vành và M là một A- môđun Với số nguyên

n ≥ 1 cho trước, một dãy a1, , ar là M− dãy chính quy khi và chỉ khi nó

là Mn- dãy chính quy

Chứng minh Giả sử rằng dãy a1, , ar là M- dãy chính quy Ta chứng minh

nó là Mn- chính quy theo quy nạp với r Trong trường hợp r = 1 hiểnnhiên đúng Giả sử r > 1 Theo giả thiết quy nạp, dãy a1, , ar−1 là Mn-dãy chính quy Đặt L = (a1, , ar−1)M Khi đó (a1, , ar−1)Mn = Ln

và tồn tại một đẳng cấu của A−môđun Mn/Ln ∼= (M/L)n Ta cần chỉ rarằng ar chính quy trên (M/L)n Dễ thấy nó chính quy trên M/L Hiển nhiên(a1, , ar)Mn 6= Mn, do đó dãy a1, , ar là Mn- dãy chính quy Điều ngượclại chứng minh tương tự.

Bổ đề 2.1.5 Cho A là một vành khác không, M là một A− môđun và

a1, , ar ∈ A Nếu a1, , ar ∈ Am là Mm- dãy chính quy với mọi iđêan tối

đại m của A thì dãy a1, , ar là M- dãy chính quy

Chứng minh Chứng minh dựa vào tính chất với một A- môđun M cho trước.Một phần tử a ∈ A chính quy trên M khi và chỉ khi ảnh của nó trong Amchính quy trên Mm với mọi iđêan tối đại m của A

Bổ đề 2.1.6 Giả sử dãy a1, , arlà M− dãy chính quy và a1ξ1+ +arξr = 0với ξi ∈ M Khi đó ξi ∈ (a1, , ar)M với mọi i

Chứng minh Giả sử giả thiết đúng với r − 1 Vì:

a1ξ1 + + ar−1ξr−1+ arξr = 0 (∗)nên arξr = 0trong M/(a1, , ar−1)M.Nhưng do ar là M/(a1, , ar−1)M −chính quy nên ξr = 0 hay ξr ∈ (a1, , ar−1)M Vì thế:

Định lý 2.1.7 Cho A là một vành và M là một A−môđun, cho a1, , ar làdãy M− dãy chính quy Khi đó với mỗi dãy n1, , nr các số nguyên dương,dãy a1n1, , arnr là M−dãy chính quy.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh an

1, , ar là M− dãy chính quy là đủ

Với n = 1: Hiển nhiên đúng

Với n > 1: Giả sử đúng trong trường hợp n − 1, nghĩa là an−1

1 , , ar là M−dãy chính quy

a n 1

(an1, , ai−1)Mcũng là đơn cấu

Ta chứng minh Ker ai = 0, hay aikhông là ước của không trong M/(ar

1, , ai−1)Mvới i = 2, , n

Giả sử ω ∈ M sao cho aiω = an1ξ1+ + ai−1ξi−1 với ξi ∈ M Vì ar

1, , ai−1)M nên ar

1, , an là một

M − dãy chính quy Định lý được chứng minh xong

Chúng ta sẽ xem lại định nghĩa vành và môđun phân bậc liên kết Cho A

là một vành và I là một iđêan của A Khi đó nhóm Abel

GI(A) = A/I ⊕ I/I2 ⊕ I2/I3 ⊕

là một vành phân bậc Với mỗi A- môđun M ta có GI(A)− môđun phânbậc

GI(M ) = M/IM ⊕ IM/I2M ⊕ I2M/I3M ⊕

Nếu A là Noether và M là một A- môđun hữu hạn sinh thì grI(A) là mộtvành Noether và GI(M ) là một GI(A)−môđun hữu hạn sinh

Cho trước các phần tử a1, , an ∈ A và I = (a1, , an), ta xác địnhmột cấu xạ các nhóm Abel ψ : M[x1, , xn] → GI(M ) như sau: nếu f làthuần nhất với bậc m ≥ 0, ψ(f) là ảnh của f(a1, , an) trong ImM/Im+1M

Điều này xác định một cấu xạ các nhóm M[x1, , xn]m → ImM/Im+1M.Vì ψ(IM[x1, , xn]) = 0, nó cảm sinh một cấu xạ của các nhóm Abel

φ : (M/IM )[x1, , xn] = M [x1, , xn]/IM [x1, , xn]I −→ GI(M )

Mệnh đề 2.1.8 Cho A là một vành và M là một A- môđun Cho a1, , an ∈

A và đặt I = (a1, , an) Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(i)Với m > 0 và với mỗi đa thức thuần nhất f(x1, , xn) ∈ M [x1, , xn]bậc m sao cho f(a1, , an) ∈ Im+1M, ta có f ∈ IM[x1, , xn].

(ii) Nếu f(x1, , xn) ∈ M [x1, , xn] là thuần nhất và f(a1, , an) = 0thì hệ số của f thuộc IM

(iii) Cấu xạ của các nhóm Abel φ: (M/IM)[x1, , xn] → GI(M ) xác

định bởi ánh xạ biến một đa thức thuần nhất f(x1, , xn)bậc m tới f(a1, , an) ∈

Định nghĩa 2.1.9 Cho A là một vành và M là một A- môđun Một dãy

a1, , an là A- tựa chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đươngcủa Mệnh đề 2.1.8

Nhắc lại rằng: Với một A- môđun M, một môđun con N ⊆ M và x ∈ A,

kí hiệu (N : x) = {m ∈ M|xm ∈ N} Đây là một môđun con của M Nếu

A là một vành, I là một iđêan và M là một A- môđun, khi đó M là táchtrong I- adic tôpô nếu ∩nInM = 0

Định lý 2.1.10 Cho A là một vành, M là một A- môđun khác không,

a1, , an ∈ A và I = (a1, , an) Khi đó:

(i)Nếu a1, , an là M- tựa chính quy và x ∈ A sao cho (IM:Mx) = IMthì ImM :Mx = ImM với mọi m > 0

(ii) Nếu a1, , an là M− chính quy thì nó là M− dãy tựa chính quy

(iii) Nếu M, M/a1, M/(a1, a2)M, , M/(a1, , an−1)M là tách trongtôpô I- adic thì ngược lại của (ii) cũng đúng

Chứng minh (i) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo m Với

m = 1 hiển nhiên đúng theo giả thiết Giả sử m > 1, ξ ∈ M và xξ ∈

ImM ⊆ In−1M Theo giả thiết quy nạp thì ξ ∈ Im−1M Do đó tồn tại một

đa thức thuần nhất f ∈ M[x1, , xn] bậc m − 1 sao cho ξ = f(a1, , an)

Vì xξ = xf(a1, , an) ∈ ImM nên các hệ số của f thuộc (IM : x) Do đó

ξ = f (a1, , an) ∈ ImM

(ii) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n Với n = 1 hiển

nhiên đúng Cho n > 1 và giả sử a1, , an là M− dãy chính quy Khi

đó theo giả thiết quy nạp thì a1, an−1 là M− dãy tựa chính quy Cho

f ∈ M [x1, , xn] là thuần nhất với bậc m > 0 sao chof(a1, , an) = 0

Ta chứng minh rằng f ∈ IM[x1, , xn] bằng phương pháp quy nạp theo m

Trường hợp m = 0 là tầm thường Tổng quát, ta viết:

f (x1, , xn) = g(x1, , xn−1) + xnh(x1, , xn)

⇒ xnh(x1, , xn) = −g(x1, , xn−1)

Trong đó g và h là thuần nhất với bậc m và m − 1 tương ứng Theo (i) ta có:

h(a1, , an) ∈ ((a1, , an−1)mM : an) = (a1, , an−1)mM ⊆ ImM

Theo giả thiết a1, , anchính quy trên M, do đó anchính quy trên M/(a1, , an−1)M

và ((a1, , an−1)M : an) = (a1, , an−1)M Theo giả thiết quy nạp theo m

và Mệnh đề 2.1.8 ta có h ∈ IM[x1, , xn] Do h(a1, , an) ∈ (a1, , an−1)mMnên tồn tại H ∈ M[x1, , xn−1]là thuần nhất với bậc m sao cho h(x1, , xn) =

H(x1, , xn−1) Đặt:

G(x1, , xn−1) = g(x1, , xn−1) + xnh(x1, , xn) = 0

Vậy G có bậc m trong M[x1, , xn−1] Ta có G(a1, , an−1) = 0, Vì vậy từ

giả thiết quy nạp với n, ta có G ∈ IM[x1, , xn], dẫn đến h ∈ IM[x1, , xn]

suy ra f ∈ IM[x1, , xn]

(iii) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n ≥ 1 Giả sử rằng

a1, , anlà M- tựa chính quy và các môđun M, M/a1M, , M/(a1, , an−1)M

là tách theo tôpô I−adic Nếu a1ξ = 0 thì ξ ∈ IM, do đó ξ = P aiηi và

Ta sẽ chỉ ra rằng nếu f(x2, , xn ∈ M [x2, , xn])là thuần nhất bậc m ≥ 1với f(a2, , an) ∈ a1M thì các hệ số của f thuộc IM Đặt f(a2, , an) =

a1ω Ta khẳng định rằng ω ∈ Im−1M Cho 0 ≤ i ≤ m − 1 là số nguyên lớnnhất với ω ∈ IiM Do đó ω = g(a1, , an) với đa thức thuần nhất bậc i và

là M− chính quy thì hoán vị của dãy cũng là M− dãy chính quy

Chứng minh Vì I nằm trong căn Jacobson nên tôpô I−adic trên các A−môđunhữu hạn sinh là tách được

Chú ý: Nếu A là một vành Noether và M là một A− môđun hữu hạn sinhthì bất kỳ dãy M- chính quy a1, , an ∈ A sẽ tạo ra một dãy tăng thực sựcác môđun con a1M ⊆ (a1, a2)M ⊆ ⊆ (a1, , an)M Do đó dãy cáciđêan (a1), (a1, a2), , (a1, , an) phải tăng thực sự.

Bổ đề 2.1.12 Cho A là một vành Noether và M là một A- môđun Bất kỳdãy M− chính quy a1, , an trong iđêan I cũng có thể mở rộng thành dãy

M − chính quy tối đại trong I

Chứng minh Nếu a1, , an không tối đại trong I, ta có thể lấy an+1 ∈ I saocho a1, , an, an+1 là một dãy M− chính quy Tiếp tục như vậy ta được mộtdãy tăng các iđêan

(ii) ExtiA(A/I, M ) = 0 với mọi i < n

(iii) Tồn tại N là A− môđun hữu hạn sinh với Supp(N) = V (I) vàExtiA(N, M ) = 0, i < n

(iv) Tồn tại một dãy M− chính quy trong I có độ dài n

Chứng minh (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên Với I cố định, với mọi môđun

M hữu hạn sinh, IM 6= M, ta chứng minh (iii) ⇒ (iv) bằng phương phápquy nạp theo n Ta có 0 = Ext0

A(N, M ) ∼= HomA(N, M ) Do M hữu hạnsinh và khác không nên tập các iđêan nguyên tố liên kết của M là hữu hạn

và khác rỗng Nếu không có phần tử nào của I là M- chính quy thì I chứatrong hợp của các iđêan nguyên tố liên kết và do đó I ⊆ p với p ∈ Ass(M)

Vì p ∈ Ass(M) nên tồn tại một đơn cấu của A− môđun φ : A/p → M Ta

có đẳng cấu A− môđun

(A/p)p ∼= A/p⊗

AAp ∼= A

p/pAp = k

Đây cũng là một đẳng cấu của các Ap− môđun Do φp là một đơn cấu và

k 6= 0 nên HomAp(k, Mp) 6= 0 Vì p ∈ V (I) = Supp(N) ta có Np 6= 0

và k- môđun Np/pNp 6= 0 do đó tự do Vậy Homk(Np/pN p, k) 6= 0 Vì

0 → M → M → Ma1 1 → 0 (3)

ta có một dãy khớp dài

→ ExtiA(N, M ) → ExtiA(N, M1) → Exti+1A (N, M ) →

Theo giả thiết quy nạp ta có Exti

A(N, M1) = 0 với 0 ≤ i < n − 1 Do đó tồntại một dãy M1− chính quy a2, , an trong I Khi đó dãy a1, , an là mộtdãy M− chính quy trong I

Ta chứng minh (iv) ⇒ (i) bằng phương pháp quy nạp theo n với I cố

định Trường hợp n = 1, ta có a1 ∈ I chính quy trên M và dãy khớp (3) ta

có một dãy khớp R- môđun

0 → HomA(N, M )→ Homa1 A(N, M )

Vì Supp(N) = V (Ann(N)) ⊆ V (I) nên I ⊆ pAnn(N) và do đó ar

1N = 0với r > 0 Điều này dẫn đến ar

1 làm triệt tiêu HomA(N, M ), nhưng vì tác

động ar

1 lên HomA(N, M )cho một ánh xạ đơn ánh, dẫn đến HomA(N, M ) =

0 Giả sử n > 1, a1 là M− chính quy và a2, , an là M/a1M − dãy chínhquy Từ dãy khớp:

0 −→ M −→ M −→ M/aa1 1M −→ 0 (∗)

và a2, , an là M/a1M − dãy chính quy, theo giả thiết quy nạp ta có:

ExtiA(N, M/at1M ) = 0, ∀i < n − 1, i ≥ 0

A(N, M ) = 0, ∀i < n

Hệ quả 2.1.14 Cho A là một vành Noether, M là A− môđun hữu hạn sinh,

I là một iđêan của M với IM 6= M Nếu a1, , an là một dãy M− chínhquy tối đại trong I thì Exti

A(A/I, M ) = 0với i < n và Extn

A(A/I, M ) 6= 0.Chứng minh Ta đã biết rằng Exti

A(A/I, M ) = 0 với i < n Với I cố định,

M là môđun hữu hạn sinh bất kỳ với IM 6= M và tồn tại một dãy M- chínhquy tối đại có độ dài n Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo nrằng Extn

A(A/I, M ) 6= 0 Với n = 1 ta có a1 ∈ I chính quy trên M, ta códãy khớp (3) với M1 = M/a1M Dãy khớp dài tương ứng là

Ext0A(A/I, M ) → Ext0A(A/I, M1) → Ext1A(A/I, M )

Theo Định lý 2.1.13 thì Ext0

A(A/I, M ) = 0 Ta có HomA(A/I, M1) =Ext0A(A/I, M1) 6= 0 vì nếu HomA(A/I, M1) = 0 thì theo chứng minh(iii) ⇒ (iv) ở trên, tồn tại b ∈ I chính quy trên M1 nên a1, b là mộtdãy M- chính quy, điều này là mâu thuẫn vì a1 tối đại Từ đó kéo theoExt1A(A/I), M 6= 0

Giả sử n > 1 và cho a1, , an là dãy M- chính quy tối đại trên I, khi

đó a2, , an là dãy M1- chính quy trên I Như vậy, theo giả thuyết quy nạpthì Extn−1

A (A/I, M1) 6= 0 Từ dãy khớp dài của (3) ta có Extn

A(A/I, M ) 6=

0

Theo điều kiện của hệ quả thì mỗi dãy M− chính quy tối đại trên I cócùng độ dài và chúng ta có thể tìm độ dài bằng cách tìm một dãy các nhóm

HomA(A/I, M ), Ext1A(A/I, M ), Ext2A(A/I, M ), , ExtnA(A/I, M ), Nếu tồn tại các dãy M- chính quy trên I thì dãy trên sẽ bắt đầu với n − 1nhóm không, với n ≥ 1 là độ dài chung của dãy M- chính quy tối đại Nhómthứ n sẽ khác 0 và chúng ta không cần đề cập đến phần còn lại của dãy Chú

ý rằng bất kỳ dãy M- chính quy nào cũng có thể được mở rộng thành mộtdãy tối đại và có độ dài ≤ 1 Không tồn tại các dãy M− chính quy trong Ikhi và chỉ khi số hạng đầu tiên của dãy là khác 0

Định nghĩa 2.1.15 Cho A là một vành Noether, M là một A - môđun hữuhạn sinh và I là một iđêan của M Nếu IM 6= M, ta định nghĩa I - độ sâucủa M là:

depthI(M ) = inf{i| ExtiA(A/I, M ) 6= 0}

depthI(M ) = 0 khi và chỉ khi không tồn tại dãy M- chính quy trên I,hơn nữa nó là độ dài chung của các tất cả các dãy M−chính quy tối đạitrên I, tương ứng là supremum của các độ dài các dãy M- chính quy trên

I Ta quy ước depthI(M ) = ∞ nếu IM = M, depthI(0) = 0 Các môđun

đẳng cấu có cùng I- độ sâu Khi (A, m) là một vành địa phương thì ta viếtdepthm(M ) là depth(M) hoặc depthA(M ) và gọi là độ sâu của M Nhưvậy depth(M) = ∞ khi và chỉ khi M = 0 và depth(M) = 0 khi và chỉ khi

m∈ Ass(M )

Bổ đề 2.1.16 Cho φ : A → B là một toàn cấu địa phương của cácvành Noether địa phương, M là một B− môđun hữu hạn sinh Khi đódepthA(M ) = depthB(M )

Chứng minh Hiển nhiên là depthA(M ) = ∞ khi và chỉ khi depthB(M ) =

∞ vậy chúng ta có thể giả sử cả hai độ sâu đều hữu hạn Cho trước mộtdãy các phần tử a1, , an ∈ mA, hiển nhiên rằng chúng là dãy M- chínhquy khi và chỉ khi các ảnh φ(a1), , φ(an) ∈ mB là dãy M- chính quy Vớimột dãy M- chính quy b1, , bn cho trước, ta có thể chọn các nghịch ảnh

a1, , an ∈ mA và đó cũng là dãy M− chính quy Như vậy depthA(M ) =depthB(M ).

Bổ đề 2.1.17 Cho A là vành Noether và M là một A- môđun hữu hạnsinh Khi đó với bất kỳ iđêan I và số nguyên n ≥ 1 ta có depthI(M ) =depthI(Mn)

Chứng minh Ta có IMn = (IM )n, vậy depthI(M ) = ∞ khi và chỉ khidepthI(Mn) = ∞ Trong trường hợp hữu hạn, thì kết quả được suy ra từ Bổ

Bổ đề 2.1.19 Cho A là vành Noether, M là A- môđun hữu hạn sinh Khi

đó với bất kỳ iđêan nguyên tố p ta có depthA p(Mp) ≥ depthp(M )

Chứng minh Nếu depthp(M ) = ∞ thì pM = M Do đó (pAp)Mp = Mp

và depthAp(Mp) = ∞ Nếu depthA p(Mp) = 0 thì pAp ∈ Ass(Mp), điều nàychỉ xảy ra khi p ∈ Ass(M) Điều này kéo theo HomA(A/p, M ) = 0 Do đódepthp(M ) = 0 Như vậy ta chỉ cần xét depthA p(Mp) = n với 0 < n < ∞

là iđêan Ann(M) Do đó grade(M) = ∞ khi và chỉ khi M = 0 Các môđun

đẳng cấu có cùng bậc

Nếu I là một iđêan của A, ta gọi grade(A/I) = depthI(A) là cấp của

I và kí hiệu là G(I) Vậy cấp của A bằng ∞ và cấp của iđêan I là độ dàichung của dãy A- chính quy tối đại trong I ( bằng 0 nếu không tồn tại)

Bổ đề 2.1.21 Cho A là một vành Noether và M là A- môđun hữu hạn sinhkhác 0 Khi đó

grade(M ) = inf {i| ExtiA(M, A) 6= 0}

Chứng minh Đặt I = Ann(M) Vì M và A/I đều là các A môđun hữu hạnsinh có cùng giá bằng V (I) nên theo Định lý 2.1.13 thì với bất kỳ n > 0 ta

grade(M ) = depthI(A) = inf {i| ExtiA(M, A) 6= 0}

Bổ đề được chứng minh xong

Kết quả sau là tổng quát hóa định lí iđêan chính của Krull

Bổ đề 2.1.22 Cho A là vành Noether và a1, , ar là dãy A- chính quy.Khi đó mọi iđêan nguyên tố tối tiểu của (a1, , ar) có độ cao r Đặc biệtht(a1, , ar) = r

Chứng minh Theo giả thiết I = (a1, , ar) là iđêan thực sự Nếu r = 1 thìtheo định lý PID của Krull ta có điều phải chứng minh Nếu r > 1 ta chứngminh bằng phương pháp quy nạp Nếu a1, , ar là một dãy A- chính quythì ta đặt J = (a1, , ar−1) Rõ ràng ar + J là một phần tử chính quy củaR/J, không khả nghịch Do đó mọi iđêan nguyên tố tối tiểu của (ar + J )trong R/J có độ cao bằng 1 Có những iđêan nguyên tố trong R là tối tiểucủa I, do vậy nếu p là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kỳ của I thì tồn tại mộtiđêan nguyên tố J ⊆ q ⊂ p với q tối tiểu của J Theo giả thuyết quy nạp

ht(q) = r − 1 nên ht(p) ≥ r Chúng ta đã biết rằng độ cao ht(p) ≤ r theomột kết quả khác của Krull Do đó ht(p) = r.

Với bất kỳ vành A khác không, dãy x1, , xn trong A[x1, , xn] hiểnnhiên là dãy A− chính quy tối đại Do đó, theo một nghĩa nào đó các dãychính quy trong một vành là sự tổng quát của khái niệm biến độc lập

Bổ đề 2.1.23 Cho (A, m) là một vành Noether địa phương và M, N là cácA− môđun hữu hạn sinh khác không Giả sử depth(M) = k, dim(N) = r.Khi đó

ExtiA(N, M ) = 0, (0 ≤ i < k − r)

Chứng minh Ta chứng minh theo giả thuyết quy nạp với số nguyên r < k(k > 0) Nếu r = 0 thì Supp(N) = {m} Vì depth(M) = k nên tồn tại M−dãy có độ dài k trong M Theo định lý 2.1.13 thì Exti

A(N, M ) = 0∀i < k.Cho r > 0 Đầu tiên ta chứng minh trong trường hợp N = A/p, trong đo p

là một iđêan nguyên tố Ta có thể lấy x ∈ m\p, khi đó dãy sau là khớp

0 → N → N → Nx 0 → 0dim N0 ≤ r − 1 với N0

= A/(p + Ax) có chiều < r Khi đó theo giả thuyếtquy nạp, ta có dãy khớp các A- môđun

0 = ExtiA(N0, M ) → ExtiA(N, M )→ Extx i

A(N, M ) → Exti+1A (N0, M ) = 0với 0 ≤ i < k−r, vì môđun Exti

A(N, M )hữu hạn sinh nên Exti

A(N, M ) = 0theo Bổ đề Nakayama Điều nay chứng minh kết quả với các môđun dạng

N = A/p

Ta đã biết rằng tồn tại một dãy các môđun 0 = N0 ⊂ ⊂ Ns = N saocho với 1 ≤ j ≤ s ta có đẳng cấu các A− môđun Nj/Nj−1 ∼= A/p

j, pj làcác iđêan nguyên tố của A Ta có dimN1 ≤ dimN2 ≤ ≤ dimN = r Vì

N1 ∼= A/p

1 nên kết quả đúng với N1 Xét dãy khớp:

0 → N1 → N2 → A/p2 → 0