Khoá luận tốt nghiệp mô đun trên vành dedekind và vành định giá

khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât... Hiºn nhi¶n tø ành ngh¾a.. D¹ th§y, måi ideal kh¡c khæng l kh£ nghàch khi v ch¿ khi måi idealph¥n thùc kh¡c khæng l kh£ nghàch.. Chóngtæi ÷a ra ành

KHOA TONNguy¹n Thà Kh¡nh Linh

LÍI CƒM ÌN

¦u ti¶n, em muèn b y tä sü tæn trång s¥u s­c v  láng bi¸t ìn ch¥n

th nh ¸n th¦y h÷îng d¨n, ng÷íi ¢ ch¿ b£o tªn t¼nh, chu ¡o trongthíi gian nghi¶n cùu khâa luªn tèt nghi»p cõa em

çng thíi, em mong muèn º c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n,tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 Em công xin c£m ìn ¸n gia ¼nh v b¤n b± cõa em ¢ t¤o måi i·u ki»n º em ho n th nh khâa luªn n y

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2019

Nguy¹n Thà Kh¡nh Linh

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan t§t c£ nhúng g¼ em tr¼nh b y trong khâa luªn ho n

to n l  s£n ph©m nghi¶n cùu, t¼m tái, kh£o s¡t v  têng hñp t i li»u cõab£n th¥n em Em công cam oan r¬ng t§t c£ c¡c t i li»u hé trñ cho khâaluªn n y ¢ ÷ñc thøa nhªn v  c¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y trong khâaluªn ¢ ÷ñc x¡c ành rã r ng

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2019

Nguy¹n Thà Kh¡nh Linh

R× Tªp con cõa c¡c ph¦n tû kh£ nghàch trong v nh R

rankRM H¤ng cõa R - mæ un M

1 Chu©n bà 4

1.1 Ideal ph¥n thùc v  mæ un húu h¤n sinh 4

1.2 V nh ành gi¡ 7

1.3 V nh Dedekind 10

2 Mæ un tr¶n v nh Dedekind v  v nh ành gi¡ 15 2.1 Kh¡i ni»m cì b£n 15

2.2 Mët v i bê · 17

2.3 Mæ un tr¶n v nh Dedekind 19

2.4 Mæ un tr¶n v nh ành gi¡ 28

Lþ thuy¸t v· mæ un tr¶n v nh giao ho¡n câ và tr½ r§t quan trång trongnghi¶n cùu v· c¡c c§u tróc ¤i sè, h¼nh håc v  c¡c v§n · li¶n quan.Trong [2], D.S Dummit, R.M Foote ¢ d nh mët ch÷ìng º tr¼nh b ychi ti¸t v· c§u tróc cõa c¡c mæ un húu h¤n sinh tr¶n mi·n ideal ch½nh.Trong â ành lþ cì b£n v· mæ un húu h¤n sinh tr¶n mët mi·n idealch½nh nâi r¬ng, méi mæ un húu h¤n sinh tr¶n mët mi·n ideal ch½nh l têng trüc ti¸p cõa c¡c mæ un tü do h¤ng húu h¤n v  c¡c mæ un conxo­n Möc ½ch cõa khâa luªn n y chóng tæi mong muèn t¼m hiºu v·c§u tróc cõa c¡c mæ un tr¶n c¡c v nh °c bi»t, â l  mæ un tr¶n c¡c

Ch÷ìng 2: Mæ un tr¶n v nh Dedekind v  v nh ành gi¡

¥y l  ch÷ìng ch½nh cõa khâa luªn ¦u ti¶n chóng tæi tr¼nh b ymët sè k¸t qu£ v· mèi quan h» giúa sü ph¥n t½ch cõa c¡c ideal v  t½nhch§t thuëc còng mët lîp cõa c¡c ideal Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y v·mët v i d§u hi»u, i·u ki»n º mët module l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa mëtmodule ¢ cho Dòng c¡c k¸t qu£ n y, ph¦n ti¸p theo chóng tæi tr¼nh

b y v· c§u tróc cõa module tr¶n mët v nh Dedekind v  v nh ành gi¡.C¡c k¸t qu£ cõa khâa luªn chõ y¸u ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [1]

v  [3] Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n cán h¤n ch¸, n¶n khâa luªn

khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n âng gâp cõa quþ th¦y cæ công nh÷ c¡c b¤n sinh vi¶n ºkhâa luªn n y ho n thi»n hìn.

Chu©n bà

1.1 Ideal ph¥n thùc v  mæ un húu h¤n sinh

Cho R l  mi·n nguy¶n v  tr÷íng c¡c th÷ìng K

ành ngh¾a 1.1.1 Mët ideal ph¥n thùc A cõa R l  mët R - mæ uncon cõa K m  tçn t¤i ph¦n tû d kh¡c khæng trong R sao cho dA ⊂ R.V½ dö 1 Ideal ph¥n thùc R

• °t A−1 l  tªp hñp t§t c£ k ∈ K, bao gçm 0, sao cho: kA ⊂ R èivîi c¡c ideal ph¥n thùc A v  B, gåi AB l  tê hñp tuy¸n t½nh húuh¤n cõa c¡c ph¦n tû ab vîi a ∈ A v  b ∈ B Khi â, AB v  A−1 l c¡c ideal ph¥n thùc

• Gi£ sû S l  tªp gçm c¡c ideal ph¥n thùc cõa R, S 6= ∅ Vîi måi

A, B thuëc S, ta nâi A ∼ B n¸u A ' B nh÷ R - mæ un Quanh» â l  t÷ìng ÷ìng Do â, °t C(R) = S/∼ = {[A] |A ∈ S} vîi[A] = {B ∈ S |A ' B }

• D¹ th§y AA−1 ⊂ R v  n¸u d§u b¬ng x£y ra th¼ A ÷ñc gåi l  kh£nghàch.

• Nhâm lîp C(R) l  nhâm Abel cõa c¡c lîp ¯ng c§u c¡c ideal ph¥nthùc kh£ nghàch trong R N¸u nhâm C(R) l  húu h¤n th¼ bªc cõa

nâ l  sè nhâm cõa R

Chó þ 1.1.1 N¸u tçn t¤i B b§t k¼ sao cho: AB = R th¼ B = A−1

ành ngh¾a 1.1.2 Gi£ sû M l  mët mæ un tr¶n v nh R Mæ un M

÷ñc gåi l  húu h¤n sinh n¸u nâ câ mët tªp sinh gçm húu h¤n ph¦n tû.Nâi c¡ch kh¡c, M l  húu h¤n sinh n¸u câ c¡c ph¦n tû n o â s1, , sn ∈

M sao cho M = Rs1 + + Rsn

ành ngh¾a 1.1.3 Gi£ sû R l  v nh giao ho¡n Khi â, R l  v nhNoether n¸u R thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng, tùc l : n¸u måi d¢yt«ng c¡c ideal I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ ·u l  d¢y døng, ngh¾a l  tçn t¤i nnguy¶n d÷ìng sao cho In = In+1

Bê · 1.1.1 Måi R - mæ un con húu h¤n sinh cõa K l  ideal ph¥nthùc, v  i·u ng÷ñc l¤i óng n¸u R l  v nh Noether

ành lþ 1.1.1 (ành lþ cì sð k²p) Mët R - mæ un A l  mæ un x¤

£nh khi v  ch¿ khi tçn t¤i mët t¥p c¡c ph¦n tû ai ∈ A v  tªp c¡c R ¡nhx¤ tuy¸n t½nh fi : A → R sao cho P fi(a)ai l  húu h¤n v  b¬ng a vîimåi a ∈ A

Cho f vîi f(a) = P riei v  °t fi(a) = ri.

Khi â, fi l  R - c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh sao cho

gof (a) = id(a) = a

⇔ a = g(f (a)) = g(Xriei) =Xrig(ei) = Xfi(a)ai = a

[⇐] Gi£ sû fi theo gi£ thi¸t, ta câ thº ành ngh¾a f nh÷ sau:

[⇐] Cho A l  x¤ £nh v  cho fi : A → R, ai nh÷ trong ành lþ cì sðk²p Chån b kh¡c 0 cè ành b§t k¼, b ∈ A v  cho ki = fi(b)

afi(b)nq = anfi(bq) = fi(anbq) = fi(an)bq = fi(a)bnq

Chia cho b, fi(a) = kia vîi måi a, do â kiA ⊂ R

V¼ fi(b) = 0, ki = 0 vîi måi i, a b§t k¼, n¶n a = P fi(a)ai = P kiaia V¼

¥y l  mët ph¦n tû trong K, n¶n P kiai = 1 Do â, A l  kh£ nghàch

Bê · 1.2.1 N¸u I v  J l  c¡c ideal tr¶n v nh ành gi¡ R th¼, ho°c

I ⊂ J, ho°c J ⊂ I Do â R l  àa ph÷ìng

Chùng minh

Gi£ sû x ∈ I v  x /∈ J

Vîi y 6= 0, y ∈ J, x/y /∈ R, th¼ y/x ∈ R v  y = (y/x)x ∈ I

K½ hi»u R× l  tªp con cõa c¡c ph¦n tû ìn và trong v nh R

ành ngh¾a 1.2.2 Mët ành gi¡ ríi r¤c trong tr÷íng K l  mët h m

v : K× → Z thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

(i) v l  to n ¡nh

(ii) v(xy) = v(x) + v(y)

(iii) v(x + y) ≥ min {v(x), v(y)}

• º thuªn ti»n, ta °t v(0) = ∞, i·u n y câ þ ngh¾a vîi (iii) khi

x = −y v  £m b£o (ii) v  (iii) óng vîi måi x, y ∈ K

• Vîi quy ÷îc â, cho mët ành gi¡ ríi r¤c v, R = {x |v(x) ≥ 0} l mët v nh ành gi¡ cõa (K, v) theo (ii) v  (iii)

• Mët v nh ành gi¡ ríi r¤c (DV R) l  mët mi·n nguy¶n R tr¶n tr÷íngc¡c th÷ìng cõa nâ.

Bê · 1.2.2 Cho R l  mët DV R Khi â, ph¦n tû kh¡c khæng u, u ∈ R

l  ìn và khi v  ch¿ khi v(u) = 0

Chùng minh

Ta câ: v(1) = 0 theo (ii), v¼ 1.1 = 1

V  khi â, (ii) ¡p döng cho u.u−1 = 1

Ta câ v(u) = 0 khi v  ch¿ khi v(u−1) = 0 trong tr÷íng hñp u−1 nghàch

£o thuëc R

Bê · 1.2.3 N¸u R l  mët DV R, th¼ v : R − 0 → N l  1 chu©n Euclid.V¼ vªy, R l  mët mi·n Euclid v  do â l  mët P ID

Chùng minh

Gi£ sû x, y ∈ R − 0 Theo (ii), v(x) ≤ v(xy)

N¸u v(x) ≥ v(y) th¼ v(x/y) ≥ 0 v  x/y ∈ R

Ta câ ph÷ìng tr¼nh x = (x/y)y + 0 n¸u v(x) ≥ v(y),

v  x = 0y + x n¸u v(x) < v(y)

Kiºm tra i·u ki»n x¡c ành kh¡c èi vîi mët chu©n Euclid: tçn t¤i s

v  r trong R sao cho: x = sy + r vîi r = 0 ho°c v(r) < v(y)

V½ dö 3 V½ dö v· mët sè v nh ành gi¡ ríi r¤c:

(i) Cho mët sè nguy¶n tè p, v nh Z(p) cõa sè nguy¶n p - àa ph÷ìng

l  mët v nh ành gi¡ cõa vp : Q → Z, ð â: vp(pna/b) = n n¸u a v  b l c¡c sè nguy¶n, c¡i m  l  sè nguy¶n tè vîi p

(ii) Cho F l  mët tr÷íng Vîi mët a thùc b§t kh£ quy f ∈ F [x], süt¡c ëng F [x] (f) l  v nh ành gi¡ cõa v : F [x] → Z, ð â vf(fna/b) = nn¸u a v  b l  c¡c a thùc, c¡i m  l  sè nguy¶n tè vîi f

(iii) V nh c¡c chuéi lôy thøa F [[x]] l  v nh ành gi¡ cõa ành gi¡

v tr¶n v nh c¡c chuéi Laurent F x, x−1 = F ((x)) ¢ ÷ñc ch¿ rã bðiv(P aixi) = n vîi n nhä nh§t sao cho an 6= 0 nh÷ng ai = 0 vîi i < n

ành ngh¾a 1.2.3 Mët ph¦n tû t cõa mët DV R R l  mët tham sè çngnh§t hâa, vi¸t t­t l  UP , n¸u v(t) = 1.

Bê · 1.2.4 Cho R l  mët DV R vîi tr÷íng ph¥n thùc K v  UP t.(i) N¸u r 6= 0, r ∈ R, th¼ r = utn, ð â u ∈ R× v  n = v(r) ≥ 0

(ii) N¸u x 6= 0, x ∈ K, th¼ x = utn, ð â u ∈ R× v  n = v(x) ∈ Z

(iii) C¡c ideal ri¶ng duy nh§t kh¡c 0 cõa R l  (tn) vîi n ≥ 1

(iv) Ideal nguy¶n tè duy nh§t kh¡c 0 cõa R l  ideal tèi ¤i (t), â l  tªphñp c¡c ph¦n tû a ∈ R sao cho v(a) > 0

(v) C¡c ideal ph¥n thùc duy nh§t kh¡c 0 cõa R l  (tn) vîi n ∈ Z

• (iv) v  (v) l  hiºn nhi¶n

Ta câ i·u ph£i chùng minh

ành lþ 1.2.1 C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng, vîi mi·n nguy¶n R,

Chùng minh Tham kh£o chùng minh ành lþ 3.9,[3-tr.5].

H» qu£ 1.2.1 Mët v nh ành gi¡ R l  mët DV R khi v  ch¿ khi nâ l 

v nh Noether

Chùng minh

[⇒] Mët DV R l  mët P ID v  do â l  v nh Noether

[⇐] Cho R l  mët v nh ành gi¡ Noether

Mët ideal I ÷ñc sinh bði húu h¤n c¡c ph¦n tû ai

Theo Bê · 1.2.1, mët trong sè (ai) ph£i chùa t§t c£ c¡c ph¦n tû kh¡c

v  do â ph£i l  I

V¼ vªy, R l  mët P ID àa ph÷ìng v  do â l  mët DV R

H» qu£ 1.2.2 N¸u P l  mët ideal nguy¶n tè tèi tiºu kh¡c 0 trong mi·nnguy¶n Noether âng nguy¶n, th¼ Rp l  mët DV R

Chùng minh

Rp l  mët v nh Noether àa ph÷ìng âng nguy¶n câ sè chi·u 1.H» qu£ 1.2.3 R l  âng nguy¶n khi v  ch¿ khi Rp l  âng nguy¶n èivîi t§t c£ c¡c ideal nguy¶n tè P , ho°c, t÷ìng ÷ìng, t§t c£ c¡c ideal tèi

¤i P

Chùng minh

Gi£ sû i : R → S l  sü bao h m cõa R trong bao âng nguy¶n cõa

nâ trong K Do â, R l  âng nguy¶n khi v  ch¿ khi i l  mët to n c§u.Hiºn nhi¶n, K công l  tr÷íng ph¥n thùc cõa Rp èi vîi t§t c£ c¡c sènguy¶n tè P V  bao âng nguy¶n cõa Rp l  iP : RP → SP

V¼ i l  to n c§u khi v  ch¿ khi iP l  mët to n c§u vîi t§t c£ c¡c idealnguy¶n tè P , ho°c, t÷ìng ÷ìng, t§t c£ c¡c ideal tèi ¤i P

1.3 V nh Dedekind

ành ngh¾a 1.3.1

• Mët mi·n nguy¶n R l  v nh Dedekind (ho°c mi·n Dedekind) n¸umåi ideal kh¡c khæng cõa R l  kh£ nghàch.

• Mët v nh ành gi¡ ríi r¤c, hay DV R, l  mët v nh Dedekind àaph÷ìng

M»nh · 1.3.1 Mët P ID l  mët v nh Dedekind

Chùng minh Hiºn nhi¶n tø ành ngh¾a

D¹ th§y, måi ideal kh¡c khæng l  kh£ nghàch khi v  ch¿ khi måi idealph¥n thùc kh¡c khæng l  kh£ nghàch Ngh¾a l , t§t c£ c¡c ideal ph¥nthùc kh¡c khæng ·u n¬m trong nhâm C(R) Ta chùng minh ng­n gåncho DV R Nhúng v nh nh÷ vªy câ c§u tróc ideal r§t ìn gi£n, v  mëtph÷ìng ph¡p m¨u º chùng minh k¸t qu£ cho v nh Dedekind, nh÷ ành

lþ sau ¥y, l  quan s¡t àa ph÷ìng cõa chóng v  suy ra têng qu¡t Chóngtæi ÷a ra ành lþ sau ¥y v  chùng minh sau ành lþ cho th§y ànhh÷îng v· v nh Dedekind l  t÷ìng ÷ìng vîi v nh Dedekind ban ¦u

ành lþ 1.3.1 Mët v nh R l  v nh Dedekind khi v  ch¿ khi R l  v nhNoether âng nguy¶n, câ sè chi·u l  1 v  måi ideal nguy¶n tè kh¡c khæng

l  tèi ¤i

ành lþ 1.3.2 C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng Cho mi·n nguy¶n R,

R khæng ph£i l  tr÷íng:

(i) R l  v nh Noether âng nguy¶n v  câ sè chi·u l  1

(ii) R l  v nh Noether v  méi sü àa ph÷ìng hâa Rp t¤i mët sè nguy¶n

tè l  mët DV R

(iii) Måi ideal kh¡c khæng cõa R l  kh£ nghàch

(iv) Måi ideal ri¶ng kh¡c khæng cõa R l  t½ch cõa c¡c ideal tèi ¤i.(v) Måi ideal ri¶ng kh¡c khæng cõa R l  t½ch cõa c¡c ideal nguy¶n tè.Hìn núa, sü ph¥n t½ch ð (iv) l  duy nh§t

Chùng minh Tham kh£o Chùng minh ành lþ 5.1 [3-tr.7]

H» qu£ 1.3.1 Mët v nh Dedekind R l  mët P ID khi v  ch¿ khi nâ l 

Do â, måi ideal l  ideal ch½nh

H» qu£ 1.3.2 Cho I l  ideal ri¶ng kh¡c khæng cõa v nh Dedekind R.(i) Tçn t¤i mët ideal J sao cho IJ l  ideal ch½nh

(ii) Måi ideal trong R/I l  ch½nh v  R/I l  v nh Artin

( Mët v nh Artin l  mët v nh thäa m¢n i·u ki»n chuéi gi£m d¦n tr¶nc¡c ideal, tùc l , khæng tçn t¤i chuéi ideal gi£m d¦n væ h¤n)

(iii) N¸u I ⊂ J, th¼ tçn t¤i b ∈ R, J = I + (b)

(iv) I câ thº ÷ñc t¤o ra bði 2 ph¦n tû

Chùng minh Tham kh£o chùng minh H» qu£ 5.3, [3-tr.8]

Bê · 1.3.1 Cho ideal I thuëc mi·n nguy¶n R N¸u I câ thº ÷ñc ph¥nt½ch th nh t½ch cõa c¡c ideal nguy¶n tè kh£ nghàch, th¼ sü ph¥n t½ch â

l  duy nh§t

Chùng minh

Gi£ sû P1 Pm = Q1 Qn l  hai sü ph¥n t½ch nh÷ vªy cõa I

Ta ph£i ch¿ ra r¬ng m = n v  sau â s­p x¸p l¤i Pi = Qi, l§y Q1 r§tnhä trong sè Qj, sao cho Q1 ⊃ Qj, ngh¾a l  Q1 = Qj

V¼ I ⊂ Q1, mët sè Pi ⊂ Q1 S­p x¸p l¤i, ta câ thº l§y P1 ⊂ Q1

T÷ìng tü, tçn t¤i j sao cho P1 ⊃ Qj

Nh÷ng sau â Qj ⊂ P1 ⊂ Q1 v  t§t c£ ·u b¬ng nhau

Nh¥n vîi Q−1

1 , ta câ P2 Pm = Q2 Qn Cuèi còng ta câ k¸t luªn theoquy n¤p

Bê · 1.3.2 Cho mi·n nguy¶n R v  x kh¡c khæng thuëc K Gi£ sû

xR = A1 Aq vîi Ai l  c¡c ideal ph¥n thùc Khi â, måi Ai l  kh£nghàch

Chùng minh

Nghàch £o cõa Ai l  x−1A1 Ai−1Ai+1 An

Ta gi£ sû hai bê · sau x²t tr¶n mi·n nguy¶n R sao cho t§t c£ c¡cideal thuëc R l  t½ch húu h¤n cõa c¡c ideal nguy¶n tè

Bê · 1.3.3 Måi ideal nguy¶n tè kh£ nghàch P l  tèi ¤i

Chùng minh

Cho a ∈ R − P Ta gi£ sû: P + (a) = R N¸u khæng, ta câ thº vi¸t

P + (a) v  P + (a2) d÷îi d¤ng t½ch P1 Pm v  Q1 Qn cõa c¡c idealnguy¶n tè

D¹ th§y P n¬m trong méi Pi v  Qj

Gi£ sû b l  £nh cõa a trong mi·n nguy¶n R/P v  b2 l  £nh cõa a2.Khi â (b) l  t½ch cõa c¡c ideal nguy¶n tè Pi/P v  (b2) l  t½ch cõa c¡cideal nguy¶n tè Qj/P

Theo Bê · 1.3.1, méi Pi/P v  Qj/P l  kh£ nghàch

D¹ th§y: (P1P )2 (PmP )2 = Q1/P Qn/P

Theo Bê · 1.3.2, n = 2m v  méi Pi/P xu§t hi»n 2 l¦n trong sè Qj/P

i·u n y chùng minh ¯ng thùc sau ¥y:

P ⊂ P + (a2) = (P + (a))2 ⊂ P2 + (a)

N¸u x ∈ P , th¼ x = y + ra vîi y ∈ P2 v  r ∈ R, v  ra = x − y n¬mtrong P

V¼ a /∈ P, r ∈ P Do â P ⊂ P2 + aP ⊂ P v 

P = P2 + aP = P (P + (a))

V¼ P l  kh£ nghàch, n¶n R = P + (a), i·u ph£i chùng minh.

Bê · 1.3.4 Måi ideal nguy¶n tè kh£ nghàch P l  kh£ nghàch

Chùng minh

Gi£ sû a ∈ P, a 6= 0 Khi â: (a) = P1 Pn, ( Pi - nguy¶n tè)

Méi Pi l  kh£ nghàch v  do â tèi ¤i, theo bê · 1.3.2 v  1.3.3

Tçn t¤i i sao cho (a) ⊂ P, Pi ⊂ P Khi â P = Pi l  kh£ nghàch

K¸t qu£ sau ¥y l  rã r ng tø ành ngh¾a

H» qu£ 1.3.3 vp l  mët ành gi¡ tr¶n K vîi v nh ành gi¡ Rp

ành ngh¾a 1.3.3

∀x ∈ R∗ : ∃!x−1 ∈ R∗ : x−1◦ x = x ◦ x−1 = 1R,trong â R∗ l  tªp gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa R khæng chùa v nh khæng

0R:

R∗ = R \ 0R

â l , måi ph¦n tû kh¡c khæng cõa R ·u câ 1 (duy nh§t) t½ch nghàch

£o kh¡c khæng

Mæ un tr¶n v nh Dedekind v 

v nh ành gi¡

2.1 Kh¡i ni»m cì b£n

Cho R l  mi·n nguy¶n (v nh giao ho¡n, ìn và v  khæng câ ÷îc cõa

0) Ta nâi mët R - mæ un M, chóng ta s³ luæn hiºu r¬ng ph¦n tû ìn

và 1 thuëc R t¡c ëng nh÷ to¡n tû çng nh§t tr¶n M N¸u x l  ph¦n tûb§t k¼ cõa M, tªp {α ∈ R : αx = 0} ÷ñc gåi l  ideal c§p (ideal linh tûhâa) cõa x N¸u t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa M ·u câ ideal c§p kh¡c khæng,

ta gåi M l  mët mæ un xo­n N¸u t§t c£ c¡c ph¦n tû kh¡c khæng cõa

M ·u câ ideal c§p b¬ng 0, ta gåi M l  ideal khæng xo­n (ho n to nkhæng xo­n) Nâi chung, tªp c¡c ph¦n tû cõa M câ ideal c§p kh¡c 0 l mët mæ un con T cõa M Nâ ÷ñc gåi l  mæ un con xo­n cõa M

Trong tr÷íng hñp M l  mæ un khæng xo­n, chóng ta câ thº nâi v·

sè cüc ¤i cõa c¡c ph¦n tû ëc lªp tuy¸n t½nh trong M Sè n y ÷ñc gåi

l  h¤ng cõa M K½ hi»u: rankRM Câ mët c¡ch nh¼n thó và m  húu ½chv· v§n · n y, â l : chóng ta câ thº mð rëng mi·n h» sè R cõa M ¸ntr÷íng c¡c th÷ìng K bði t½ch tensor

K ⊗

R

M - T½ch Tensor tr¶n R

Khi â, k½ hi»u MK cho K ⊗

R

M chóng ta câ thº x²t mët K  khænggian vecto MK bði t¡c ëng:

K × MK → MK(α, a ⊗

R

m) 7→ αa ⊗

R

mNhªn x²t

1 dimKMK = rankRM

2 N¸u rank M = 1, M khæng xo­n Nâ d¹ d ng º th§y r¬ng M l 

¯ng c§u vîi mët ideal I cõa R

ành ngh¾a 2.1.1 Mët mæ un con S cõa R  mæ un M ÷ñc gåi l pure (thu¦n tóy) n¸u αS = S ∩ αM, α thuëc M

Chóng ta l÷u þ câ mët sè nhªn x²t quan trång sau:

1 Måi h¤ng tû trüc ti¸p cõa M ·u l  thu¦n tóy Thªt vªy:

N¸u M = S ⊕ P, khi â ∀α ∈ R

αM = {α(s, p) |s ∈ S, p ∈}

= {(αs, αp) |s ∈ S, p ∈}

⇒ αM ∩ S = {(αs, 0) |s ∈ S} ' α S

2 Mæ un con thu¦n tóy S cõa mæ un con thu¦n tóy M công l  mët

mæ un con thu¦n tóy cõa M (Hiºn nhi¶n)

3 Mæ un con xo­n l  mæ un con thu¦n tóy Thªt vªy, k½ hi»u Mtor

l  mæ un con xo­n cõa M Khi â, vîi måi α thuëc R, ta câ:(αM ) ∩ Mtor = {αm |m ∈ M } = {αM |m ∈ Mtor} (αm xo­n )

4 N¸u M/S l  mæ un khæng xo­n th¼ S l  thu¦n tóy

5 N¸u M l  mæ un khæng xo­n, th¼ giao cõa tªp b§t k¼ c¡c mæ uncon thu¦n tóy cõa M l  mæ un con thu¦n tóy cõa M