Vành và môđun co rút cốt yếu

Smith gọi một môđun M co rút cốt yếu nếu với mọi môđun con cốt yếu N của M, tồn tại một đơn cấu đi từ M vào N.. Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Công

Quỳnh đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành đề tài

này

Xin cảm ơn các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Đà

Nẵng và tập thể lớp 09ST đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến và tạo điều kiện cho việc

hoàn chỉnh đề tài

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 5 năm 2013

Bùi Tá Vĩnh Sa

MỞ ĐẦU

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun đã

được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc

Khái niệm về môđun co rút cốt yếu và các vấn tổng quát về khái niệm này được

nhiều nhà Toán học nghiên cứu, khái quát và lấy đó làm cơ sở để xây dựng các

khái niệm mới Năm 2005, nhà Toán học P.F Smith gọi một môđun M co rút cốt

yếu nếu với mọi môđun con cốt yếu N của M, tồn tại một đơn cấu đi từ M vào N

Đây chính là động lực để xây dựng nên các khái niệm, tính chất của môđun co rút

cốt yếu

Với lí do trên, trong luận văn này thông qua một số kết quả của lý thuyết vành

và lý thuyết môđun, đặc biệt là môđun co rút cốt yếu của tác giả P.F Smith, chúng

tôi cố gắng làm rõ hơn các vấn đề của môđun co rút cốt yếu, mối quan hệ của

môđun co rút cốt yếu với các vấn đề quan trọng khác của lý thuyết môđun

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và

danh mục các tài liệu tham khảo:

Chương 1: Các kiến thức mở đầu

Chương 2: Vành và môđun co rút cốt yếu

Trong chương này, chúng tôi nghi n cứu một số vấn đề sau:

• Các ti u ch để chứng minh một R-môđun phải M à EC: M là EC nếu và chỉ

nếu M đẳng cấu con với một môđun EC nếu và chỉ nếu M chứa một môđun con co

rút cốt yếu N sao cho tồn tại một đơn cấu : M N nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn

cấu cốt yếu : M M’ với môđun co rút cốt yếu M’ nào đó (Mệnh đề 2.1)

• M i tổng trực tiếp các môđun EC à EC (Mệnh đề 2.2)

• Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun con cốt yếu, môđun con ất iến,

môđun thương, môđun co-Hopfian n a đơn, môđun h u hạn sinh: Cho M là một

môđun EC khác không Khi đó: nếu N hoặc à môđun con cốt yếu của M, hoặc là

môđun con ất biến dưới tự đơn cấu của M thì N cũng à một môđun EC Nếu N là

môđun con của M sao cho ( ) ( ) với m i đơn cấu , thì

M/N là một môđun EC M là co – Hopfian n a đơn nếu và chỉ nếu M có một

môđun con co – Hopfian EC ( ) là một iđ an n a đơn của R M có môđun con

không bất biến hoàn toàn Nếu M là h u hạn sinh thì M không chứa một tổng vô

hạn của các môđun con ất biến hoàn toàn (Mệnh đề 2.3)

• Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun UC: Cho M là một tổng trực tiếp các

môđun UC thì môđun con khác 0 ất kỳ của M là một môđun EC (Mệnh đề 2.7)

• Mối i n hệ gi a môđun EC với môđun tự do: Cho vành R bất kỳ thì m i

R-môđun EC không suy biến đẳng cấu với một R-môđun con của một R-môđun tự do

(Định lý 2.10)

• Mối i n hệ gi a vành EC phải và phần t ch nh quy phải: Một vành R là EC

phải nếu và chỉ nếu m i iđ an phải cốt yếu chứa một phần t chính quy phải của R

(Bổ đề 2.12)

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU Trong chương I này, chúng tôi n u n các khái niệm để phục vụ cho chương

sau

Trong toàn bộ luận văn này, ta quy ước vành R có đơn vị khác không, được

ký hiệu là 1 và không nhất thiết giao hoán

Định nghĩa 1.1: Cho R là vành bất kỳ và M là R-môđun phải M được gọi là co

rút nếu với m i môđun con khác không N của M, tồn tại một đơn cấu

Định nghĩa 1.2: Cho môđun M và Môđun con N được gọi là cốt yếu trong

M nếu với mọi môđun con K khác không của M ta luôn có Kí hiệu

Nếu N à môđun con cốt yếu của M thì ta nói M là mở rộng cốt yếu của

N

Định nghĩa 1.3: Một R-môđun phải M được gọi là EC (co rút cốt yếu) (essentially

compressible) nếu với m i môđun con cốt yếu N của M, tồn tại một đơn cấu

Định nghĩa 1.4: Ta nói rằng một môđun phải M à đẳng cấu con với một

R-môđun nếu tồn tại các đơn cấu và

Định nghĩa 1.5: Một R-môđun phải N được gọi là M-sinh nếu tồn tại một toàn cấu

đi từ ( ) đến N cho tập chỉ số I nào đó

Định nghĩa 1.6:

Ta kí hiệu: , - là tập tất cả các môđun con của các M-sinh môđun

Nếu N là một môđun con cốt yếu của một môđun nội xạ E trong , - thì

được gọi là bao M -nội xạ của N Kí hiệu: ̂

Định nghĩa 1.7: R-môđun phải M được gọi là co-Hopfian nếu m i đơn cấu của M

là một đẳng cấu

Định nghĩa 1.8: Một R-môđun phải M được gọi là một môđun đều nếu giao của

hai môđun con khác không bất kỳ của M là khác không

Định nghĩa 1.9: Một môđun khác không à đơn nếu nó không có môđun con

không tầm thường nào

Nếu M là một tổng trực tiếp các môđun con đơn, nghĩa à

thì M được gọi à môđun n a đơn

Định nghĩa 1.10: Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu với m i đơn cấu

Một iđ an phải được gọi à ũy inh nếu m i phần t của nó à ũy inh

Định nghĩa 1.12: Một R-môđun phải M có chiều Goldie h u hạn là n nếu tồn tại

( * +) à các môđun con đều của M và à môđun con cốt

yếu của M

Định nghĩa 1.13: Cho M là một R-môđun phải, S là một tập con khác r ng của M

Ta ký hiệu: ( ) * +, ( ) * +

Định nghĩa 1.14: Cho R là một vành Một R-môđun phải M khác không được gọi

là nguyên tố nếu ( ) ( ) với mọi môđun con khác không N của M

Định nghĩa 1.15: Một R-module phải M được gọi là UC (co rút đều) (uniform

compressible) nếu với m i môđun con đều N của M, tồn tại một đơn cấu

Định nghĩa 1.16: Cho M là một R-môđun phải

( ) * +

Môđun M được gọi là suy biến nếu ( ), không suy biến nếu ( )

Định nghĩa 1.17: Một R-môđun phải M được gọi là có đủ đều nếu m i môđun con

khác không của M chứa một môđun con đều

Định nghĩa 1.18: Cho vành R Iđ an phải I của vành R được gọi à iđ an phải cực

tiểu nếu và mọi iđ an phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I Nói cách

khác là không có iđ an phải nào của R chứa trong I khác I và khác 0

Định nghĩa 1.19: Tổng của tất cả các iđ an phải cực tiểu của vành R là một iđ an

phải của R và được gọi à đế phải của vành R, kí hiệu ( )

Định nghĩa 1.20: Cho R à một vành R được gọi à vành EC phải nếu à EC

Định nghĩa 1.21: Một phần t c của R được gọi à ch nh quy phải nếu ( )

h : Với m i iđ an I của R, tập các phần t c trong R sao cho à một phần

t ch nh quy phải của vành thương ⁄ được k hiệu à ( )

HƯƠNG II: VÀNH VÀ MÔĐUN EC

Trong chương này chúng tôi tiến hành làm rõ mối liên hệ gi a môđun co rút

cốt yếu với môđun đơn, môđun n a đơn, môđun nguyên tố, môđun n a nguyên tố,

môđun co-Hopfian, môđun h u hạn sinh, tổng trực tiếp các môđun, chiều Goldie

h u hạn của môđun, môđun đều, môđun co rút đều, môđun tự do

Mệnh đề 2.1: Các điều kiện sau là tương đương đối với mỗi R-môđun phải

M

a M là EC

b M đẳng cấu con với một môđun EC

c M chứa một môđun con co rút cốt yếu N sao cho tồn tại một đơn cấu :

(b) ⇒(c): Giả s tồn tại một môđun co rút cốt yếu M’ đẳng cấu con với M Khi đó

tồn tại các đơn cấu: và Đặt ( ) Ta có N M và

N là EC Thật vậy: với m i N’ à môđun con cốt yếu của N, và N’ N M nên N’

à môđun con cốt yếu của M Suy ra tồn tại đơn cấu (do M là EC) hay

( ) à đơn cấu Vậy N là EC

Xét và Khi đó à đơn cấu

(c) ⇒(a): Với m i L à môđun con cốt yếu của M Khi đó L N à môđun con cốt

yếu của N Thật vậy : với B N, B 0 thì B (L N) = (B L) N 0 Mặt

khác N là EC nên tồn tại một đơn cấu: : N L N

Xét : L N L

x x

là ánh xạ bao hàm, thì là một đơn cấu Vậy M là EC

(a) ⇒(d): Xét và : M M, ta được điều phải chứng minh

(d) ⇒(b): Ta có à đơn cấu Vì à đơn cấu cốt yếu nên (M) là

môđun con cốt yếu của M’ Mặt khác, M’ là EC nên tồn tại một đơn cấu

( )

Xét đơn cấu ’ : (M) M (m) m Khi đó ’ : M’ M à đơn cấu Vậy M’ đẳng cấu với M

Mệnh đề 2.2: Mỗi tổng trực tiếp các môđun EC là EC

Chứng minh:

Giả s M = , với ( ) à môđun EC, với I là tập chỉ số nào đó Với

m i L à môđun con cốt yếu của M thì L à môđun con cốt yếu của , với m i

i I Mà là EC nên tồn tại đơn cấu : L

Xét tương ứng = ∑ : M L xác định bởi (∑ ) ∑ ( ), với

( )

• x,y M : x= ∑ , y= ∑ mà: x=y thì = , i I suy ra ( ) =

( ) , i I hay ∑ ( ) = ∑ ( ) do đó (x) = (y) Vậy là ánh xạ

• x,y M : x+y = ∑ ( ) thì ( ) = ∑ ( ) =

∑ , ( ) ( )- = ∑ ( ) + ∑ ( )= (x)+ (y) và r R : (xr)

= ∑ ( ) = ∑ , ( ) - = ,∑ ( )-r = (x)r Vậy à đồng cấu

• x,y M : (x) = (y) thì ∑ ( ) = ∑ ( ) Suy ra ( )

( ), i I hay , i I do đó x = y Do đó à đơn cấu

Vậy M là EC

Mệnh đề 2.3: Cho M là một môđun EC khác không Khi đó:

a Nếu N hoặc là môđun con cốt yếu của M, hoặc là môđun con bất biến dưới tự

đơn cấu của M thì N cũng là một môđun EC

b Nếu N là môđun con của M sao cho ( ) ( ) với mỗi đơn cấu

, thì M/N là một môđun EC

c M là co – Hopfian nửa đơn nếu và chỉ nếu M có một môđun con co – Hopfian

EC

d ( ) là một iđêan nửa đơn của R

e M có môđun con không bất biến hoàn toàn

f Nếu M là hữu hạn sinh thì M không chứa một tổng vô hạn của các môđun con

bất biến hoàn toàn

Chứng minh:

a • Xét trường hợp N à môđun con cốt yếu của M, với M là một môđun EC khác

không Với m i N’ à môđun con cốt yếu của N thì N’ cũng à môđun con cốt yếu

của M Vì M là EC nên tồn tại đơn cấu Ta có , xác định

bởi ( ) n N à đơn cấu Suy ra à đơn cấu Vậy N là EC

• Xét trường hợp N bất biến dưới tự đơn cấu của M và K à môđun con cốt yếu của

N K ồn tại N’ M sao cho và à môđun con cốt yếu của

M Suy ra à môđun con cốt yếu của Và do đó là cốt yếu

trong M Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu f: Vì N bất biến với m i

tự đơn cấu của M nên ( ) Suy ra ( ) Do đó f(N), N được

nhúng trong Vậy N là EC

b Với m i , L chứa N sao cho à môđun con cốt yếu của

Dễ dàng kiểm tra L à môđun con cốt yếu của M Theo giả thiết, tồn tại một đơn

cấu Vì ( ) ( ) nên ánh xạ cảm sinh ̅ xác

định bởi: ̅( ) ( ) , với m i à đơn cấu Vậy là EC

c • Điều kiện cần là hiển nhiên

• Ngược lại, m i co – Hopfian EC môđun à n a đơn Do đó theo (a), M có một

đế cốt yếu Vậy M là n a đơn

d Cho ( ) thì A là iđ an chính của R Gọi B là iđ an bất kỳ của R sao cho

Đặt * + Nếu và thì và do đó

tồn tại * + sao cho và Trong trường hợp này

và Do đó L à môđun con cốt yếu của M Theo giả thiết,

tồn tại một đơn cấu Ta có ( ) ( ) , với

Do đó Vậy A là iđ an n a đơn

e Giả s N à môđun con bất biến hoàn toàn của M Theo giả thiết, tồn tại một

môđun con L của N và một đẳng cấu có thể mở rộng thành ̅

( ̂) Do đó: ( ) ̅( ) ̅( ) Từ đó suy ra ̂

( ̂) ( ̂)

f Giả s … à một tổng trực tiếp bất kỳ của các môđun con bất biến

hoàn toàn của M Khi đó tồn tại một môđun con K của M sao cho và

là một môđun con cốt yếu của M Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu

Từ đó M h u hạn sinh

Chúng ta có thể giả s rằng ( ) , với nào đó

Theo giả thiết, ( ) ( ) ( )

Vậy

Mệnh đề 2.4: Cho M là một môđun EC trên một vành giao hoán R Khi đó chiều

Goldie của là hữu hạn, với ( )

Chứng minh:

Giả s N là một S – môđun con của M và Ta định nghĩa xác

định bởi: ( ) , với Vì R giao hoán nên Do đó ( )

Suy ra N à môđun con hoàn toàn ất biến của M Theo Mệnh đề 2.3 (f) ta có điều

phải chứng minh

Mệnh đề 2.5: Cho M là một môđun EC hữu hạn sinh với ( ) Nếu

là một môđun nguyên tố thì với mỗi môđun con U khác 0 của M, tồn tại một số

nguyên dương n và ( ) ( ) sao cho M có thể nhúng vào

∑ ( ) Hơn nữa, không suy biến thì có chiều Goldie hữu hạn nếu và

chỉ nếu có một môđun con đều

Chứng minh:

• Cho U là một môđun con ất kỳ khác 0 của M

Đặt ∑* ( ) ⁄ + Dễ dàng kiểm tra N là một môđun con khác 0 bất

biến hoàn toàn của M Mặt khác, tồn tại một môđun con K của M sao cho: là

cốt yếu trong M Theo giả thiết, tồn tại một đơn cấu Ta đặt ,

với là phép chiếu chính tắc Khi đó ( ) ( ) Theo điều

kiện nguyên tố trên thì là phần t 0 của S Suy ra ( ) Vì là h u

hạn sinh nên tồn tại một số nguy n dương n và ( ) ( ) sao

Lưu môđun ( ) có chiều Goldie là n Ngoài ra, R-môđun ( )⁄ là không

suy biến Theo [2,1.10 và 5.10 (1)] thì ∑ ( ) ( )⁄ có chiều Goldie

h u hạn và M cũng vậy

Ta cũng được biết rằng, m i môđun có chiều Goldie h u hạn có một môđun con

đều Do đó M có chiều Goldie h u hạn nếu và chỉ nếu M có một môđun con đều

Mệnh đề 2.6: Cho một môđun là một tổng trực tiếp các môđun con

đều ( ) Cho N là môđun con khác 0 bất kỳ của M Khi đó tồn tại một tập

con I’ của I và một đơn cấu cốt yếu

Chứng minh:

• Nếu thì N là một môđun con cốt yếu của M Kết quả của

mệnh đề là hiển nhiên

• Giả s , với nào đó Theo bổ đề Zorn, tồn tại một tập con cực

đại I’’ của I sao cho ( ) Chú ý rằng I’’ là một tập con chính của I

và do đó ⁄ là một tập hợp khác

Xét là phép chiếu chính tắc Khi đó là một đơn

cấu (vì ( ) ) Lấy , theo cách chọn I’’ thì

* ( )+ và do đó ( ) Suy ra ( )

Vậy ( ) là một môđun con cốt yếu của

Mệnh đề 2.7: Cho M là một tổng trực tiếp các môđun UC Khi đó môđun con khác

0 bất kỳ của M là một môđun EC

Chứng minh: Dùng Bổ đề 1.7 và Mệnh đề 1.2, 1.4(a)

Mệnh đề 2.8: Cho ̂ là một môđun EC Khi đó:

a Hoặc là một môđun nửa đơn hoặc có một dãy giảm dần vô hạn

sao cho mỗi là một môđun con cốt yếu của và mỗi là

một môđun con của đẳng cấu với ̂

b Nếu có DCC trên hạng tử trực tiếp thì là môđun nửa đơn

c ̂ ( ̂) , với môđun con co rút cốt yếu L nào đó

Chứng minh:

a Giả s ̂ là EC và không n a đơn Khi đó: có một môđun con đẳng cấu

với ̂ Vì không n a đơn n n không n a đơn Do đó: có 1 môđun con

cốt yếu chính Lại do điều kiện EC của , có một môđun con đẳng cấu