Nghiên cứu một số mở rộng của lớp vành và mô đun cohen macaulay

Đánh giá chất lượng dịch vụ thẻ ATM của các ngân hàng thương mại cổ phần ở Thái NguyênĐánh giá chất lượng dịch vụ thẻ ATM của các ngân hàng thương mại cổ phần ở Thái NguyênĐánh giá chất lượng dịch vụ thẻ ATM của các ngân hàng thương mại cổ phần ở Thái NguyênĐánh giá chất lượng dịch vụ thẻ ATM của các ngân hàng thương mại cổ phần ở Thái NguyênĐánh giá chất lượng dịch vụ thẻ ATM của các ngân hàng thương mại cổ phần ở Thái Nguyên

Mục lục

Mục lục 1

Thông tin kết quả nghiên cứu 2

Phần mở đầu 6

1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Chuẩn bị về chiều Krull 8

1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội 8

1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu 8

2 Môđun Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay 9 2.1 Môđun Cohen-Macaulay 9

2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay 11

2.3 Tính catenary và dãy thu gọn 13

2.4 Trường hợp không địa phương 13

3 Vành thương của vành Cohen-Macaulay 15 3.1 Tính bão hòa nguyên tố 15

3.2 Linh hóa tử của Hi m(M ) 17

3.3 Vành thương của vành Cohen-Macaulay 20

Tài liệu tham khảo 21

1

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nông Quốc Chinh

Thời gian thực hiên: 1/2014-6/2016

2 Mục tiêu Đề tài nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun

Cohen-Macaulay Ba bài toán đặt ra trong đề tài là:

a) Đặc trưng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay

b) Mở rộng các nghiên cứu bài toán a) cho trường hợp không địa phương, từ đótìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt

c) Nghiên cứu cấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòanguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

3 Kết quả nghiên cứu

- Trong mục tiêu nghiên cứu a), chúng tôi cải tiến một số kết quả trong bài báo củaCường-Nhàn [CN] về đặc trưng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun

- Trong mục tiêu nghiên cứu b), chúng tôi mở rộng các kết quả ở mục a) cho trườnghợp không địa phương, từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũythừa hình thức và vành đa thức

- Trong mục tiêu nghiên cứu c), chúng tôi cải tiến các kết quả trong hai bài báo củaNhàn-An [NhA] và Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG] về cấu trúc vành thương củavành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòa nguyên tố của môđun đối

đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín ISI:

• N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.

Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).

• N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,

Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang)

- Hai thành viên đề tài (Phạm Hồng Nam, Trần Đỗ Minh Châu) là đồng tác giả 2 bàibáo trên tạp chí SCI (1 bài đã đăng, 1 bài đã sửa lại theo góp ý của phản biện)

• P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung

Cuong)

• T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).

4.2 Sản phẩm đào tạo Hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thành viên nghiên cứu của

đề tài (Phạm Hồng Nam) Chủ nhiệm đề tài đã hướng dẫn 05 luận văn thạc sĩ bảo vệthành công năm 2014, 2015, 2016

5 Hiệu quả Hoàn thành mọi mục tiêu đề ra trong thuyết minh.

6 Khả năng áp dụng và phương thức chuyển giao các kết quả nghiên cứu

- Về khoa học: Công bố được một số kết quả mới, có ý nghĩa khoa học trên các tạpchí quốc tế có uy tín ISI, mà nội dung của các bài báo đều nằm trong các chủ đề nghiêncứu của đề tài “Cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay”

- Về giáo dục và đào tạo: Hướng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ của một thànhviên đề tài, phục vụ hiệu quả cho công tác giảng dạy sau đại học các chuyên ngành vềToán tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu các thành viên trong nhóm thực hiện đềtài, mở rộng hợp tác nghiên cứu

Project Investigator: Associate Professor Nong Quoc Chinh

2 Objectives The purpose of this project is to study the structure of certain extensions

of the class of Cohen-Macaulay rings and modules:

a) Study the structure of pseudo Cohen-Macaulay modules;

b) Extend the research topic a) to the non-local case, and then study the pseudoCohen-Macaulayness for some specific rings and modules

c) Study the structure of local rings which are quotients of a local Cohen-Macaulayrings in terms of the prime saturation and the annihilator of local cohomology modules

- In the research topic c), we study the structure of local rings which are quotients

of Cohen-Macaulay local rings in terms of prime saturation and the annihilator of localcohomology modules These generalize the known results in the two papers by Nhan-An[NhA] and by Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG]

4 Results

4.1 Scientific publications

- The principal investigator (Nong Quoc Chinh) is the co-author of the two paperspublished or accepted in international reputed journals listed by ISI:

• N Q Chinh, Some characterizations of pseudo Cohen-Macaulay modules, J.

Algebra Its Appl., 14, (2015), 1550142, 1-11 (with Le Thanh Nhan).

• N Q Chinh, Prime saturation and annihilators of local cohomology modules,

Bull Korean Math Soc., To appear (with Nguyen Thi Anh Hang)

- The two members of the project (Pham Hong Nam, Tran Do Minh Chau) are theco-authors of the two papers, one is already published and the other is revised forpublication in an SCI journal:

• P H Nam, Hilbert coefficients and partial Euler{Poincare characteristics of Koszul complexes of d-sequences, J Algebra 441 (2015), 125-158 (with Doan Trung

Cuong)

• T D M Chau, A measure of non sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, first revised (with Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung).

4.2 Training results To support a Ph.D thesis of a investigator of the project (Pham

Hong Nam) The principal investigator instructed 05 master theses successfully defended

teach Strengthening the research capacity for the investigators of the projects, deepeningthe cooperation in scientific research with domestic and international research institutions

Phần mở đầu

Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là đối tượng nghiên cứu trung tâm của Đại sốgiao hoán Vành và môđun Cohen-Macaulay còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực kháccủa toán học như Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp, Lí thuyết bất biến Lí thuyết vành vàmôđun Cohen-Macaulay đã được trình bày khá đầy đủ trong cuốn sách chuyên khảo củaBruns-Herzog [BH], ở đó cấu trúc của lớp vành và môđun này được làm rõ và được đặctrưng qua các lí thuyết quen biết như lí thuyết địa phương hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết đối

đồng điều địa phương Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay được đặc trưng qua lí thuyết

số bội như sau: một môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R, m) làCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M) luôn bằng nhauvới mọi hệ tham số x của M (xem Chương 2, Tiết 2.1)

Từ những năm 1960 của thế kỉ trước, một số mở rộng của lớp vành và môđunCohen-Macaulay đã được khám phá Mở đầu từ một giả thuyết nổi tiéng của D A.Buchsbam về sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M), hai nhà toánhọc W Vogel và J Struckrad đã đưa ra một phản ví dụ cho giả thuyết này và từ đó lớpvành và môđun Buchsbaum ra đời, đó là lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện tronggiả thuyết của D A Buchsbaum, tức là sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bộie(x, M) luôn là hằng số không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x của M Năm

1978, mở rộng tiếp theo của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay được giới thiệu bởi N

T Cường, P Schenzel, N V Trung, đó là lớp vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng,chúng thỏa mãn điều kiện: sự khác nhau giữa độ dài ℓR(M/xM) và số bội e(x, M)luôn bị chặn trên bởi một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M Năm

2003, trong một bài báo đăng trên Tạp chí Đại số (Journal of Algebra), N T Cường và

L T Nhàn đã giới thiệu một lớp vành và môđun mới, mở rộng của lớp vành và môđunCohen-Macaulay theo hướng khác, gọi là vành và môđun giả Cohen-Macaulay Chúngthỏa mãn điều kiện độ dài ℓR(M/Q(x, M)) và số bội e(x, M) luôn bằng nhau với mọi

hệ tham số x (xem Chương 2, Tiết 2.2)

Mục đích của đề tài là nghiên cứu cấu trúc của một số mở rộng của lớp vành vàmôđun Cohen-Macaulay Ba bài toán cụ thể của đề tài là:

a) Đặc trưng cấu trúc của lớp vành và môđun giả Cohen-Macaulay

b) Mở rộng các nghiên cứu trong bài toán a) cho trường hợp không địa phương,

từ đó tìm hiểu tính giả Cohen-Macaulay cho các lớp vành và môđun đặc biệt

c) Nghiên cứu cấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay qua tính bão hòanguyên tố và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

Các kết quả thu được là sự cải tiến hoặc mở rộng không tầm thường cho những kếtquả trước đây trong các bài báo của Cường-Nhàn [CN], Nhàn-An [NhA] và Bahmanpour-A’zami- Ghasemi [BAG] về đặc trưng tính giả Cohen-Macaulay của vành và môđun; vềtính giả Cohen-Macaulay của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và vành đa thức; và vềcấu trúc vành thương của vành Cohen-Macaulay thông qua linh hóa tử và tính bão hòanguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương

Các kết quả mới của đề tài được viết trong 4 bài báo được công bố, được nhận đănghoặc được sửa (revised) trên những tạp chí quốc tế có uy tín xếp hạng bởi ISI

Đề tài được viết thành 3 chương Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiếnthức chuẩn bị về chiều, đa thức Hilbert-Samuel, số bội và độ sâu để tiện cho việc trìnhbày các kết quả trong 2 chương sau Chương 2 và Chương 3 trình bày các kết quả mớicủa đề tài về cấu trúc một số mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi trình bày các kết quả của đề tài, chúng tôi cần nhắc lại một số kiến thứcchuẩn bị về chiều và độ sâu để tiện cho việc theo dõi Các khái niệm, kí hiệu, nội dungtrình bày trong chương này được viết dựa theo các tài liệu [Mat], [BH], [BS1]

1.1 Chuẩn bị về chiều Krull

1.2 Đa thức Hilbert-Samuel và số bội

1.3 Chuẩn bị về dãy chính quy và độ sâu

8

2.1.1 Hệ quả dim M ≥ depth M.

2.1.2 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc

depth M = dim M Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun

Cohen-Macaulay

2.1.3 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]] Đặt

M1 = R/((x2, z, t) ∩ (y, z, t)) và M2 = R/((x2) ∩ (y, z2)) Khi đó R là vành địaphương Noether, M1, M2 là các R-môđun hữu hạn sinh và

(i) R là vành Cohen-Macaulay;

(ii) M1 là R-môđun Cohen-Macaulay;

(iii) M2 không là R-môđun Cohen-Macaulay

9

2.1.4 Mệnh đề (Xem [BH]) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi c M là Macaulay.

Cohen-2.1.5 Mệnh đề (Xem [BH]) Cho (x1, , xr) ⊆ m là một M-dãy chính quy Khi đó

M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1, , xr)M là R-môđun Cohen-Macaulay chiều d ư r Đặc biệt, mỗi dãy chính quy là một phần hệ tham số.

2.1.6 Định nghĩa (Xem Nagata [Na]) Môđun M được gọi là không trộn lẫn nếu

dim( bR/P ) = dim cM với mọi P ∈ AssRb( cM )

2.1.7 Mệnh đề (Xem [BH]) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay chiều d Khi đó

depth(M) = dim M = dim(R/p) = d

với mọi p ∈ AssR(M)

2.1.8 Chú ý Nếu M là mô đun Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn Thật vậy, vì

M là Cohen-Macaulay nên cM cũng là Cohen-Macaulay Do đó dim( bR/P ) = d với mọi

P ∈ AssRbM.c

2.1.9 Mệnh đề (Xem [Mat]) Môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppRM.

2.1.10 Định nghĩa (Xem [Na]) Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn những iđêan nguyên tố

của R được gọi là dãy bão hòa độ dài n nếu với mỗi i ta có pi 6= pi+1 và không tồntại một iđêan nguyên tố q của R sao cho pi ⊂ q ⊂ pi+1 Vành R được gọi là vành catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bãohòa giữa q và p và các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài

2.1.11 Chú ý Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành địa phương Do đó theo

kết quả đã chỉ ra ở Tiết 1.2, ta có dim R < ∞ Suy ra, với mỗi cặp iđêan nguyên tố

q⊂ p, luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p Vì thế, R là catenary nếu

và chỉ nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p, các dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p

đều có chung độ dài

2.1.12 Định nghĩa (Xem [Na]) Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi đại

số hữu hạn sinh trên R đều catenary

2.1.13 Chú ý Giả sử S là một đại số hữu hạn sinh trên R Khi đó tồn tại a1, , an∈ Ssao cho S = R[a1, , an] Do đó ta có toàn cấu vành R[x1, , xn] → R[a1, , an]cho bởi f(x1, , xn) = f(a1, , an) Vì thế S là vành thương của vành đa thứcR[x1, , xn] Vì vành thương của vành catenary là catenary nên vành R là catenaryphổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức R[x1, , xn] là catenary

2.1.14 Mệnh đề Nếu M là Cohen-Macaulay thì vành thương R/ AnnRM là catenary phổ dụng.

2.1.15 Mệnh đề (Xem [BH], [BS1]) Cho d = dim M Các phát biểu sau là tương

2.2 Môđun giả Cohen-Macaulay

Cho a = (a1, , ad) là một hệ tham số của M Đặt

QM(a) =[

t>0

(at+11 , , at+1d )M :M at1 atd

2.2.1 Bổ đề (Xem [CM, Bổ đề 3.1]) Kí hiệu e(a; M) là số bội của M ứng với a Khi

đó QM(a) là một môđun con của M chứa (a1, , ad)M và

ℓR(M/aM) ≥ e(a; M) ≥ ℓR(M/QM(a))

Với mỗi bộ d số nguyên dương n = (n1, , nd), đặt a(n) = (an1

1 , , and

d ) Đặt

JM(a(n)) = n1 nde(a; M) ư ℓ(M/QM(a(n))),

trong đó e(a; M) là số bội của M ứng với hệ tham số a

2.2.2 Bổ đề (Xem [CM, Định lí 3.2]) Bậc nhỏ nhất của những đa thức chặn trên hàm

JM(a(n)) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số a của M.

2.2.3 Định nghĩa (Xem [CN, Định nghĩa 2.2]) Môđun M được gọi là giả

Cohen-Macaulay nếu tồn tại hệ tham số a của M sao cho e(a; M) = ℓR(M/QM(a))

2.2.4 Hệ quả Nếu M là Cohen-Macaulay thì M là giả Cohen-Macaulay.

2.2.5 Hệ quả Môđun M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu e(a; M) = ℓR(M/QM(a))

với mọi hệ tham số a của M.

2.2.6 Bổ đề M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu c M là giả Cohen-Macaulay.

2.2.7 Bổ đề (Xem [CN]) Gọi UMc(0) là môđun con lớn nhất của c M có chiều nhỏ hơn

d Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM/UMc(0) là Cohen-Macaulay.

2.2.8 Bổ đề (Xem [CN, Hệ quả 3.4]) Cho a ∈ m là phần tử tham số thu gọn của M.

Nếu M là giả Cohen-Macaulay thì M/aM cũng là giả Cohen-Macaulay.

2.2.9 Bổ đề Cho r 6 d ư 1 là một số nguyên không âm Nếu (a1, , ar) là dãy M-thu gọn thì

dim UM(0) + (a1, , ar)M/(a1, , ar)M

6d ư r ư 1

2.2.10 Định lý Kí hiệu M := M/UM(0) là thành phần không trộn lẫn của M Cho

a ∈ m là một phàn tử tham số thu gọn của M Giả thiết rừng R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R) Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là giả Cohen-Macaulay;

(ii) M là Cohen-Macaulay;

(iii) M là giả Cohen-Macaulay;

(iv) M/aM là giả Cohen-Macaulay và M/aM là không trộn lẫn.

trong đó giao lấy trên tập các iđêan nguyên tố p trong AssRM với dim(R/p) = d

2.2.12 Ví dụ Cho d ≥ 2 là một số nguyên dương, khi đó tồn tại một môđun hữu hạn

sinh M có chiều d trên một vành địa phương Noether đầy đủ (R, m) và một phần tử tham

số thu gọn a của M sao cho M/aM là giả, nhưng M không là giả Cohen-Macaulay.Trong trường hợp này, M/aM là trộn lẫn

2.3 Tính catenary và dãy thu gọn

Đặt M = M/UM(0), trong đó UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn

d Tập SuppRM có những tính chất đặc biệt, chẳng hạn như chiều của tất cả các phần

tử của nó đều bằng d, vì thế ta gọi tập đó là giá không trộn lẫn của M và kí hiệu nó

là UsuppRM

2.3.1 Chú ý Chú ý rằng UsuppRM là một tập đóng theo tôpô Zariski Chúng ta cóthể kiểm tra rằng UsuppR(M) là hợp của các tập Var(p) với p ∈ AssRM Chúng tacũng có UsuppR(M) là hợp của các tập Var(p) với p ∈ AssRM và dim(R/p) = d,trong đó ta kí hiệu Var(p) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa p

2.3.2 Mệnh đề Cho p ∈ UsuppRM sao cho dim(R/p) + dim Mp = d Nếu M là giả Cohen-Macaulay thì Mp cũng là giả Cohen-Macaulay.

2.3.3 Hệ quả Giả sử R là catenary Khi đó M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

Mp là giả Cohen-Macaulay với mọi p ∈ UsuppRM

2.3.4 Mệnh đề Giả sử M là giả Cohen-Macaulay Cho p ∈ UsuppRM thỏa mãn dim R/p = d ư r Nếu tồn tại một dãy thu gọn (a1, , ar) của M trong p thì Mp là giả Cohen-Macaulay.

2.4 Trường hợp không địa phương

Từ đây cho đến hết tiết này, cho S là một vành Noether (không nhất thiết địa phương) và

L là một S-môđun hữu hạn sinh Kí hiệu UL(0) là môđun con lớn nhất của L có chiều