6 tứ giác nội tiếp

TỨ GIÁC NỘI TIẾP I... 3 Dấu hiệu 3 Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn là tứ giác nội tiếp.. Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều 1 điểm cho trước là tứ giác nội tiếp.. Kẻ tiếp tuy

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 8 TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I Định nghĩa

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)

 Cả 4 điểm : A, B, C, D đều thuộc (O)

II Tính chất

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng 2 góc đối bằng 1800

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

=> 𝐴 + 𝐶 = 1800

𝐵 + 𝐷 = 1800 (t/c tứ giác nội tiếp)

III Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

1) Dấu hiệu 1

Xét tứ giác ABCD có:

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

𝐵𝐴𝐷 + 𝐵𝐶𝐷 = 1800

Mà 𝐵𝐴𝐷 𝑣à 𝐵𝐶𝐷 là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2) Dấu hiệu 2

Xét tứ giác ABCD có: 𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐶𝐷

Mà B, C là 2 đỉnh kề nhau

=> Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

3) Dấu hiệu 3

Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn là tứ giác nội tiếp

4) Dấu hiệu 4

Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều 1 điểm cho trước là tứ giác nội tiếp

Bài 1 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát

tuyến AMN tới (O)

a) CMR: Tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp

b) Gọi H là trung điểm M, N Chứng minh rằng: 4 điểm O, H, A, C cùng thuộc một đường tròn

Giải

a) Ta có: OB ⊥ AB (AB là tiếp tuyến đường tròn (O) )

=> 𝑂𝐵𝐴 = 900

OC ⊥ AC (AC là tiếp tuyến đường tròn (O) )

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

=> 𝑂𝐶𝐴 = 900

=> 𝑂𝐵𝐴 + 𝑂𝐶𝐴 = 1800

Xét tứ giác OBAC có:

𝑂𝐵𝐴 + 𝑂𝐶𝐴 = 1800 (chứng minh trên)

Mà 𝑂𝐵𝐴 𝑣à 𝑂𝐶𝐴 là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét đường tròn (O) có: H là trung điểm MN (gt)

=> OH ⊥ MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

=> 𝑂𝐻𝐴 = 900

Mà 𝑂𝐵𝐴 = 900 => 𝑂𝐻𝐴 = 𝑂𝐵𝐴

Xét tứ giác OHBA có:

𝑂𝐻𝐴 = 𝑂𝐵𝐴 (𝑐𝑚𝑡)

Mà H và B là 2 đỉnh kề nhau

=> Tứ giác OHBA là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

=> O, H, B, A cùng thuộc 1 đường tròn

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn và đường tròn (O, 𝐴𝐵

2 ) cắt AC, BC tại E, D BE giao với AD tại điểm H

a) Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng: 𝐸𝐶𝐻 = 𝑂𝐸𝐵

Giải

a) Xét đường tròn (O) có:

𝐴𝐸𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

=> 𝐶𝐸𝐻 = 900 (kề bù 𝐴𝐸𝐻 )

Tương tự: 𝐶𝐷𝐻 = 900

=> 𝐶𝐸𝐻 + 𝐶𝐷𝐻 = 1800

Xét tứ giác CEHD có:

𝐶𝐸𝐻 + 𝐶𝐷𝐻 = 1800 (cmt)

Mà 𝐶𝐸𝐻 𝑣à 𝐶𝐷𝐻 là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD có:

𝐸𝐶𝐻 = 𝐸𝐷𝐻 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (1)

Xét đường tròn (O) có:

𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐵𝐴 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (2)

Xét tam giác EOB có: OE = OB = R

=> ∆ EOB cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

=> 𝑂𝐵𝐸 = 𝑂𝐸𝐵 (tính chất tam giác cân) (3)

Từ (1) (2) (3) ta có: 𝐸𝐶𝐻 = 𝑂𝐸𝐵 (đpcm)