LUYỆN TẬP – GÓC NỘI TIẾP.. Cho tam giác ABC nhọn.. Chứng minh rằng: ∆ MON đều... Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O, đường cao AH.. Kẻ đường kính AM.
Trang 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!
CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 2 LUYỆN TẬP – GÓC NỘI TIẾP
Bài 1 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ nửa đường tròn (O), đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại
M, N ; BN ∩ CM = {H}
a) Chứng minh rằng: AH ⊥ BC
b) Chứng minh rằng: 𝐻𝑁𝑀 = 𝐻𝐴𝑀
c) Cho 𝐵𝐴𝐶 = 600 Chứng minh rằng: ∆ MON đều
Giải
a) Xét đường tròn (O) có: 𝐵𝑀𝐶 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> CM ⊥ AB
Chứng minh tương tự: BN ⊥ AC
Xét đường tròn (O) có: BN ⊥ AC (cmt)
CM ⊥ AB (cmt)
Mà BN ∩ CM = {H}
=> H là trực tâm ∆ ABC
=> AH ⊥ BC (đpcm)
b) Ta có: AH ∩ BC = {E}
Xét ∆ BMC và ∆ BEA có:
𝐴𝐵𝐶 chung
𝐵𝑀𝐶 = 𝐵𝐸𝐴 = 900
=> ∆ BMC ∽ ∆ BEA (g.g)
=> 𝐵𝐴𝐸 = 𝐵𝐶𝑀 (2 góc tương ứng) (1)
Trang 22 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!
Xét đường tròn (O) có:
𝐵𝐶𝑀 = 𝐵𝑁𝑀 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB) (2)
Từ (1) (2) ta có: 𝐵𝑁𝑀 = 𝐵𝐴𝐸
𝐻𝑁𝑀 = 𝐻𝐴𝑀 (đpcm)
c) Xét ∆ MON có: OM = ON = R
=> ∆ MON cân tại O (dấu hiệu nhaanj biết tam giác cân)
∆ AMC vuông tại M (CM ⊥ AB)
=> 𝑀𝐴𝐶 + 𝑀𝐶𝐴 = 900 (2 góc phụ nhau)
𝑀𝐶𝐴 = 900− 600 = 300
Xét đường tròn (O):
𝑀𝐶𝑁 = 1
2 𝑀𝑂𝑁 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN)
=> 𝑀𝑂𝑁 = 2 𝑀𝐶𝑁 = 600
Xét ∆ cân MON có: 𝑀𝑂𝑁 = 600 (cmt)
=> ∆ MON đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Kẻ đường kính AM
a) Tính 𝐴𝐶𝑀
b) Chứng minh rằng: 𝐵𝐴𝐻 = 𝑂𝐴𝐶
c) AH ∩ (O) = {N} Tứ giác BCNM là hình gì?
Giải
a) Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝐶𝑀 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
b) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝑀𝐶 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét ∆ AHB và ∆ ACM có:
𝐴𝐻𝐵 = 𝐴𝐶𝑀 = 900
Trang 33 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!
𝐴𝐵𝐻 = 𝐴𝑀𝐶 (cmt)
=> ∆ AHB ∽ ∆ ACM (g.g)
=> 𝐵𝐴𝐻 = 𝑀𝐴𝐶 (2 góc tương ứng)
Vậy 𝐵𝐴𝐻 = 𝑂𝐴𝐶 (đpcm)
c) Kẻ AH AH ∩ (O) = {N}
Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝑁𝑀 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> MN ⊥ AN
Mà BC ⊥ AN (gt)
=> BC // NM (từ vuông góc đến song song)
=> Tứ giác BCMN là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Xét đường tròn (O) có:
𝐵𝐴𝑁 = 𝐶𝐴𝑀 (cmt)
=> cung BN = cung CM (2 cung bị chắn bởi 2 góc nội tiếp bằng nhau)
cung BN + cung NM = cung CM + cung MN
cung BM = cung CN
=> 𝑁𝐵𝐶 = 𝑀𝐶𝐵 (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
Xét hình thang BCMN có:
𝑁𝐵𝐶 = 𝑀𝐶𝐵 (cmt)
=> Tứ giác BCMN là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)