hàm số mũ hàm số LOGARIT

Mệnh đề nào sau đây đúng?. Câu 22: Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ?. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắ

Câu 1: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho 2 số

thực dương ,x y thỏa mãn     1    

3 log ��x1 y1 ��y   9 x 1 y1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là

A min

11 2

27 5

P  C Pmin   5 6 3 D. Pmin   3 6 2.

Lời giải Chọn D

Ta có     1    

3 log ��x1 y1 ��y   9 x 1 y1

y1 log 3x 1 log3y1  x 1  y 1 9

y1 log 3x 1 log3y   1 x 1 9

9

1

y

�



      

�

Xét hàm số f t  log3t t  với 2 t0 có   1 1 0

ln 3

f t

t

�    với mọi t0 nên hàm số

 

f t luôn đồng biến và liên tục trên 0;� 

Từ (*) suy ra 1 9

1

x

y

 



1

y x



�

  , do x nên 0 y� 0;8 .

y



Vậy Pmin   3 6 2 khi 2 1 9 3 1

y

Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho ,a

,

b c là các số thực lớn hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức:min

3

log bc logac 3logab

P

A Pmin 20. B Pmin 10. C Pmin  18 D Pmin 12.

Lời giải Chọn A

Ta có:

2log 2log 8log 1

2log log log

2

ac

2loga b 2loga c 2logb a 2logb c 8logc a 8logc b

2loga b 2logb a 2loga c 8logc a 2logb c 8logc b

Vì ,a , b c là các số thực lớn hơn 1 nên: log , a b log , b a log , a c log , c a log , b c log c b 0

Do đó

áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2log 2loga b 2 2log 8loga c 2 2log 8logb c 4 8 8 20

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

2

log log

log 4log

a b



�



�

�

Vậy Pmin 20

Câu 3: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình e3m e m 2x 1x21x 1x có nghiệm là2

A 0; ln 21

2

1

; ln 2 2

�� �

1 0;

� �

� �

� �e . D

1

ln 2;

2

��

Lời giải

Chọn B

1 2 1

t

� � �

�

   � �

e m em 1

t t

em em

  

Xét hàm   3

f u   u u   2

3 1

f u�  u 

� Hàm số luôn đồng biến

�e3m em  t3 t �em t Phương trình có nghiệm: e 2 1ln 2

2

m

m

�

Câu 4: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho dãy số  u thỏa mãn n

log 2u 63 2log u n   , 8n 8 *

n

 �� Đặt S n     Tìm số nguyên dươngu1 u2 u n

lớn nhất n thỏa mãn 2

2

148 75

n n

n n

u S

Lời giải Chọn A

Ta có  �� , n * log 23 u563 2log4u n 8n 8 �log 23 u563 log2u n 8n 8 Đặt tlog 23 u563 2 5 63 3

8 8 2

t t n

u

�  

�

� �

  

�

5 5

2 63 3

32 2

t t

u u

�  

�

� �

 

 

8 4

n

u  n

1 2 4

S     u u u n

2 2

2 2

8 4 16

16 4 4 75

n n

n n

u S



 �n19.

Câu 5: Cho các số thực x y, thỏa mãn 0�x y, �1 và log3  1  1 2 0

1

x y

xy

�  �    

� �

Lời giải Chọn C

Điều kiện:

0 , 1

0 1

x y

x y

xy

�

� 

�

�

0 , 1

0; 1 0

x y

�

� �   

Khi đó

3

1

x y

xy

� �    

� �

log x y log 1xy   x y xy 1 0

�

log x y  x y log 1xy  1 xy (*)

�

ln 3

t

�      nên hàm số f t 

Suy ra P2x y   x x y   x 1 xy  1 x(1 �y) 1

Vậy Pmin 1

1

x

x



1 2

1

x

x



 

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P  z 1 z2 z 1 Giá trị của M m bằng

A. 13 3

8

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P  z 1 z2 z 1 Giá trị của M m bằng

A. 13 3

8

Lời giải Chọn A

Đặt t z 1�z  1 2 nên t� 0; 2 .

Do z  nên 1 z z  1 2

P  z z  z z z     z z z

t    z z z z z      z z z z nên 2

2

z z   t

Vậy   2

3

P f t    , với t t t� 0; 2 . Khi đó,   2 2 3 khi 3 2

f t

�

 �

2 1 khi 0 3

f t

�

�  �

  0

2

t

 0 3

f � �� �

� � ; f  3  3; f  2  3 Vậy 13

4

M  ; m 3 nên 13 3

4

Câu 8: Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3 xa x �6x9x đúng với mọi số thực x

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a�12;14. B a�10;12. C a�14;16. D a�16;18.

Câu 9: Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3 xa x �6x9x đúng với mọi số thực x

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a�12;14. B a�10;12. C a�14;16. D. a�16;18.

Lời giải Chọn D

Ta có

3x x 6x 9x

a

 � 

18 6 9 3 18

18 3 2 1 9 2 1

   

18 3 2 1 3 1

Ta thấy 2x1 3  x1 �0,x���3 2x x1 3  x1 �0,x��

Do đó,  * đúng với mọi số thực x

18 0,

1, 18

x

a

x

� �



۳ �� �

1 18 16;18 18

a

a

Câu 10: Cho phương trình 3x  a.3 cosx  x 9 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn

2018;2018 để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?

Câu 11: Cho phương trình 3x  a.3 cosx  x 9 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn

2018;2018 để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?

Lời giải Chọn A

Ta có 3x  a.3 cosx  x 9 9x 3 cosx   9

3x 3 x cos



Điều kiện cần: Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất x thì ta thấy rằng 0 2 x cũng là0 nghiệm của (*) do đó x0   2 x0 � x0 1 Thay vào (*) ta được a 6.

Điều kiện đủ: Ngược lại nếu a  thì phương trình (*) trở thành 6 2  

3x 3 x 6.cos

x





   Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 2

3x3 x�2 3 3x x 6 mà 6.cos x � do đó6

  2

3x3x  6.cos x

 

2

6cos 6

x





�

2

3 3

x





� 

�

Vậy có duy nhất a  thỏa yêu cầu bài toán.6

A

A�

B B�

C

C�

D

D�

N

d

Câu 12: Cho dãy số  u thỏa mãn n

2 1 3

2

8

1

4

   

và u n12u n với mọi n�1 Giá

trị nhỏ nhất của n để S n    u1 u2 u n 5100 bằng

A 230 B 231 C 233 D 234

Câu 13: Cho dãy số  u thỏa mãn n

2 1 3

2

8

1

4

   

và u n12u n với mọi n� Giá1

trị nhỏ nhất của n để S n    u1 u2 u n 5100 bằng

A 230 B 231 C 233 D. 234

Lời giải Chọn D

Theo giả thiết, u n1 2u n nên  u là một cấp số nhân với công bội n q Suy ra 2 1

1.2n n

với mọi n�N , * n�2

Ta lại có

2 1 3

2

8

1

4

   

2

2.4

1

4

u u

 

 1

Mà 1

1

8 2.4

4

u u

 �8 và 2

8 1

4u u

2

8 1

2u



 

8

� nên  1 tương đương

1 1

8

4

u u

8

8 1

4u u



hay 1

1 2

Khi đó S n    u1 u2 u n 11 2

1 2

n





2 1 2

n



Do đó, S n 5100 � 2 1

2

n 5100 � log5 2 1 100

2

n

  � 233n

Câu 14: Cho ,a , b , c d là các số nguyên dương thỏa mãn log 3

2

a b , log 5

4

c d  Nếu a c 9, thì

b d nhận giá trị nào

Câu 15: Cho ,a , b , c d là các số nguyên dương thỏa mãn log 3

2

a b , log 5

4

c d  Nếu a c 9, thì

b d nhận giá trị nào

Hướng dẫn giải Chọn A

Điều kiện: a�1 vàc�1

Từ giả thiết ta có: a3  và b2 c5 d4

Đặt: a m 2 với m�� và m�2

Đặt: c n với 4 n�� và n�2.

Ta có: a c 9 �m2n4 9 �m n 2 m n 2 9

2 2

1 9

m n

m n

�  

�

� �

 

� (vì ,m n�� và ,m n� )2

Suy ra m và 5 n  do đó b d2  3 5

  93

Câu 16: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

� � Giá trị nhỏ nhất của biểu

3

2x 2x y 6x P

x y



 bằng

16

25

9 .

-HẾT -BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ 183

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A C D C C B C D C C C D B D A A A C B A B C D B C

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C A A A B A C D D C B B B A C D D D A D B A B D C

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 17: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

� � Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

2x 2x y 6x P

x y



 bằng

16

25

9 .

Lời giải Chọn C

Điều kiện: x 4y 0

x y

 

 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

4 log x y 1 2x 4y

x y

� �  



4

2 2

�  � 



2

4

2 2



log x4y 2 x4y log 2x2y 2 2x2y

�

Xét hàm số f t  log2t với 2t t�0;� 

ln 2

f t

t

�    với t�0;� nên hàm số  f t đồng biến trên   t�0;� 

Nên x4y2x2y� x2y.

3

9 9

y

x y



8 8

2

9 9y y

9



Câu 18: -HẾT -Số nghiêm của phương trình

2! 3! 2018!

x

      trên khoảng 0;� là:

Câu 19: Số nghiêm của phương trình

2 3 2018

2! 3! 2018!

x

      trên khoảng 0;� 

là:

Lời giải Chọn D

2 3 2018

2! 3! 2018!

x

       * � 2 2 3 2018 e 0

2! 3! 2018!

x

x

Xét   2 2 3 2018 e

2! 3! 2018!

x

f x   x    

Ta có   1 2 3 2017 e

2! 3! 2017!

x

f x�       Thế  * vào ta có

2! 3! 2017! 2! 3! 2018!

2018 1

2018!

x x

   

Vậy f x�   0 x�0;� � Hàm số nghịch biến trên  0;� 

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x   có một nghiệm trên0

0;� 

Câu 20: Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2  1 

2 log 2sinx 1 log cos 2x m 0

có nghiệm:

2

 ��

� �. B ��12;2��

� �. C

1 2

�  ��

� �. D

1

; 2 2

� �

� �

� �

Câu 21: Số nghiệm của phương trình 2 2 3 2018

2! 3! 2018!

e   x    trên khoảng 0; �

là:

A Vô hạn B 2018 C 0 D 1

Câu 22: Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào

có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng

20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5

m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng

A 24 m B 20 m C 30 m D. 26 m

Câu 23: Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2  1 

2 log 2sinx 1 log cos 2x m 0

có nghiệm:

2

 ��

� �. B ��12; 2��

1 2

�  ��

1

;2 2

� �

Lời giải Chọn D

Điều kiện:

5

2

x

x m

m

�

 

�

Phương trình tương đương

   

log 2sinx 1 log cos 2x m �2sinx 1 cos 2x m

  2

2sin x2sinx 2 m 1

�

Xét hàm số 2   1

2

y t  t t x  � có đồ thị là parabolt

Ta có bảng biến thiên:

2

2 1

2

2

 2

Phương trình  1 có nghiệm thì 1; 2

2

m ��� ��

Số nghiệm của phương trình

2 3 2018

2! 3! 2018!

e   x    trên khoảng 0; � là:

Lời giải Chọn D

Xét hàm số   2 2 3 2018

2! 3! 2018!

x

f x   x    e , trên 0; �

Ta có 2018 

1 x 0

f x   e , với mọi x0, Suy ra 2017   2017  

0 0

Nên ta có f x  hàm số nghịch biến trên 0; � mà f  0 1

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm

Câu 24: Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào

có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng

20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5

m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng

A 24 m B 20 m C 30 m D. 26 m

Lời giải Chọn D

Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng 20 lần ta được hình chữ nhật ABCD có AB5 m và BC20.2r20.2 0,3 12 m  

Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí 1 cột là

  2 2  

Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: 2.13 26  m

Câu 25: Số giá trị nguyên của m�200;200 để log log

3 a b b a log 2

a

a b m b với mọi a ,

1; 

b� � là:

A 200 B 199 C 2199 D 2002

Câu 26: Số giá trị nguyên của m�200;200 để 3 loga b logb a log 2

a

A 200. B 199. C 2199. D 2002.

Lời giải Chọn A

Đặt loga b x , x0

Suy ra b a x2

Khi đó 3 loga b logb a log 2

a

a b m b  2 1

3.a x a x x m x 2

x

a

m

x 

Xét hàm số f x  2.a x 2

x



 , với x0

có    2 

2 ln 2

0

x

f x

x



�   , x�0;� nên f x  liên tục và đồng biến trên 0;� Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy m f x  � m2lna

Vì lna   , do đó 0, a 1 log log

3 a b b a log 2

a

a b m b với mọi a , b�1;� thì m�0.

Và m�200; 200 nguyên nên có 200 số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 27: Cho tập hợp A2 |k k 1, ,10 có 10 phần tử là các lũy thừa của 2 Chọn ngẫu nhiên từ tập

A hai số khác nhau theo thứ tự a và b Xác suất để log a b là một số nguyên bằng

A 17

3

1

19

90.

Câu 28: Cho tập hợp A2 |k k 1, ,10 có 10 phần tử là các lũy thừa của 2 Chọn ngẫu nhiên từ tập

A hai số khác nhau theo thứ tự a và b Xác suất để log a b là một số nguyên bằng

A 17

3

1

19

90.

Lời giải

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu 2

10

Giả sử a2m, b , khi đó 2n log log 22m

n a

n b

m

  là một số nguyên thì m là ước của n

+ m  thì có 9 cách chọn n , 1 n�2;3; ;10

+ m2 thì có 4 cách chọn n , n�4;6;8;10

+ m  thì có 2 cách chọn n , 3 n� 6;9

+ m  thì có 1 cách chọn n , 4 n 8

+ m  thì có 1 cách chọn n , 5 n10

+m�6;7;8;9;10 : không xảy ra

Suy ra số phần tử của biến cố loga b là một số nguyên là 9 4 2 1 1 17    

Xác suất cần tìm là 17

90.

Câu 29: Xét các số thực x , y thỏa mãn x2y2  và 1 logx2y22x3y � Giá trị lớn nhất 1 P của max

biểu thức P2x y bằng

2

max

2

max

P   . C 11 10 2

3

max

2

max

2 2 1

x y  )

Câu 30: Xét các số thực x , y thỏa mãn x2y2  và 1 logx2y22x3y � Giá trị lớn nhất 1 P của max

biểu thức P2x y bằng

2

max

2

max

P   . C 11 10 2

3

max

2

max

Lời giải Chọn B

Ta có: logx2y22x3y �1�2x3y x� 2y2 �x22xy23y� 0

 2 

      y2 3y 1

Để tồn tại x , y thì  �x�0 3 13 3; 13

Khi đó x1�  y2 3y1

Ta có: P2x y �2 1   y2 3y  1 y f y  .

  22 3 1

3 1

y

f y

 

  0

f y�  �  y2 3y 1 2y3 �  y2 3y 1 4y212y9, 3 3; 13

y

� ��  ��

15 65 10

Bảng biến thiên

Do đó 2 7 65

2

P x  y� 

Vậy 7 65

2

Max

P   khi

2

15 65 10

5 65

5

y

�  

�

�

�



�      

�

(thỏa mãn điều kiện x2y2  )1

Câu 31: Xét ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

� � Giá trị nhỏ nhất của

3

2x 2x y 6x P

x y



A 25

16

9 .

Câu 32: Xét ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

� � Giá trị nhỏ nhất của

3

2x 2x y 6x P

x y



A 25

16

9 .

Lời giải Chọn D

Ta có: 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

4

2 2

�  � 



log x4y 2 x4y log 2x2y 2 2x2y

�

Xét hàm số f t  lnt trên 2t 0;� ta có    1 2 0; 0; 

t ln 2

f t�    t� � nên ta có:

4 2 2 2

x y x y� x y

Thay vào P ta được  

3

y

x y

Dấu bằng xảy ra khi x2;y 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min 16

9

Chú ý:

Với 2

4 log x y 2x 4y 1

x y

� �  

�  �

� � , cho y100 solve ta được x200 nên dự đoán được x2y

log x x 1 log x x  1 loga x x  Có bao1 nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 1; 2018 của tham số a sao cho phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3?

log x x 1 log x x  1 loga x x  Có bao1 nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 1; 2018 của tham số a sao cho phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3?

Lời giải Chọn C

- Nhận thấy: với x3 thì x2 1 x2 x �x x2 1 0 và x x2  1 0

log x x 1 log x x  1 loga x x 1

log x x 1 log x x  1 log 2.loga x x 1

�

2017 log x x  1 log 2a

2 log x x   , 1 0  x 3)

- Xét hàm số    2 

2017

f x  x x  trên khoảng 3;�  Có:   2 1

1.ln 2017

f x

x

� 

 � f x�  0,  x 3 BBT:

- Từ BBT ta thấy : phương trình  1 có nghiệm lớn hơn 3 �log2a f  3

2 2017 log alog 3 2 2

� �log2alog3 2 2 2017 (do a1)

3 2 2

log 2017

� � Lại do a nguyên thuộc khoảng 1; 2018 nên

2;3; ;19

Vậy có 18 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 35: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

sin cos cos

2

5 x 6 x 7 x.log

m

Câu 36: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

sin cos cos

2

5 x6 x 7 x.log m có nghiệm?

Lời giải Chọn A

2

5 x 6 x 7 x.log

m

2 2

2

cos

1 cos

2 cos

log

7 7

x x

x

� �

cos cos 2

log 5

� � � �  1 Đặt tcos2 x, với 0� �t 1 ta có   5 1 6

35 7

f t  � � � �� � � �

� � � � nghịch biến trên đoạn  0;1 nên

 1    0

f �f t �f ,  �t  0;1 hay 1�f t  � , 6  �t  0;1

Phương trình  1 có nghiệm �1 log� 2m� �6 2� �m 64

Vậy có tất cả 63 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 37: Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình e xex 2cosax4 có 10

nghiệm thực phân biệt Số nghiệm (phân biệt) của phương trình

exex 2cosax là:

Câu 38: Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình e xex 2cosax4 có 10

nghiệm thực phân biệt Số nghiệm (phân biệt) của phương trình

exex 2cosax là:

Lời giải Chọn A

Ta có exex 2cosax4

2

2 2

e e 2cos 2

ax

2 2

2



ax

 

 

2 2

2 2

2

2





�

�

�

�

�

  

�

ax ax

Nhận thấy x không là nghiệm của phương trình đã cho.0

Nếu x x là nghiệm của 0  1 thì x  là nghiệm của x0  2

Do đó số nghiệm của  1 và  2 bằng nhau và đồng thời khác nhau đôi một