2D2 HAM SO MU HAM SO LOGARIT

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ s

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý,

2+

Lời giải

Ta có ( )2

log ab =loga+logb2 =loga+2 logb = log= a+2logb

Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Đặt a=log 23 , khi đó log 27 bằng 16

A

34

A ( ) 2

ln 22

32

=

Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Tập nghiệm của phương trình

2 3

log ( x − = 7) 2 là

A { 15; 15} − B { 4;4} − C { }4

D.

{ }−4

Lời giải

2 3

log ( x − = 7) 2⇔ x2 − = 7 9

44

x x

a

 

 ÷

 bằng:

Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho a là số thực dương tùy ý khác 1.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải

Áp dụng công thức đổi cơ số

Câu 15: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác địnhD của hàm số

Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110)Cho a là số thực dương khác 1 Mệnh đề nào

dưới đây đúng với mọi số dương x, y.

a

x x

y y B loga x=loga(x y− )

y

C loga x=loga x+loga y

y

Lời giải

Theo tính chất của logarit

Câu 20: (THPT QG 2017 Mã đề 110)Tìm nghiệm của phương trình log 12( −x)=2

Câu 21: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho loga b=2 và loga c=3 Tính

A P = 9logab B P = 27logab C P = 15logab D .

Vậy tập xác định: D= −∞ − ∪ +∞( ; 1) (3; )

Câu 27: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho các số thực dương a b, với a≠1 Khẳng định

nào sau đây là khẳng định đúng ?

′ =

B

ln10

y x

′ =

C

1ln10

y x

′ =

D

110ln

y

x

′ =

Lời giải

y x

′ =

Câu 29: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a là số thực dương a≠1 và 3

3log a a

Mệnh

đề nào sau đây đúng?

13

P=

Lời giải

1 3

Câu 30: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a b, bất kì Mệnh

đề nào dưới đây đúng

Theo tính chất của lôgarit: ∀ >a 0,b>0 : ln( )ab =lna+lnb

Câu 31: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017)Tìm nghiệm của phương trình 3x−1= 27



⇔  =x x .

Câu 33: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Một người gửi tiết kiệm vào một ngân

hàng với lãi suất 7,5% /năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

12 năm

Lời giải

Gọi A là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng và n là số năm ít nhất để có

được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu

Khi đó: T n =A(1+r)n ⇔2A A= (1+r)n ⇔ =n log( )1+r 2 9,58≈

Vậy n=10năm

Câu 34: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên

của tham số m sao cho phương trình 16x−m.4x+1+5m2−45 0= có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

P S

45 0

m m m

Vì m nguyên nên m∈{4;5;6} Vậy S có 3 phần tử

Câu 35: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Một người gửi tiết kiệm vào một ngân

hàng với lãi suất 6, 6%/ năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền

gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút tiền ra?

12 năm

Lời giải

Gọi số tiền gửi ban đầu là a, lãi suất là %d / năm.

Số tiền có được sau n năm là: T n =a(1+d)n

Theo giả thiết: Tn = 2 a ⇔ (1+d)n =2

Thay số ta được: (1 0,066+ )n =2 ⇒ n = log1,0662 ⇒ n≈ 10,85

Vậy sau ít nhất 11năm

Nhận xét: Đây là bài toán với đáp án không chính xác Ta không thể làm

tròn n = log1,0662 thành 11 vì khi thay vào phương trình (1+d)n =2 sẽ

không đúng Lỗi là ở đề bài

Câu 36: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Gọi S là tất cả các giá trị nguyên của

tham số msao cho phương trình 4x−m.2x+1+2m2− =5 0có hai nghiệm

phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử.

Do mnguyên nên m=2 Vậy S chỉ có một phần tử

Câu 37: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Một người gửi tiết kiệm vào một ngân

hàng với lãi suất 6,1% /năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân

hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

12 năm

Lời giải

Gọi x số tiền gửi ban đầu.

Theo giả thiết

Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền thỏa yêu cầu

Câu 38: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của tham số m sao cho phương trình 9x−m.3x+1+3m2−75 0= có

hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

có hai ngiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )2

có hai nghiệm dương phân biệt

Câu 39: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một người gửi tiết kiệm vào một

ngân hàng với lãi suất 7, 2 %/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏingân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãicho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả sốtiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảngthời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Vậy sau ít nhất 10 năm thì số tiền nhận được sẽ gấp đôi số tiền ban đầu.

Câu 40: (Tham khảo 2018)Tập nghiệm của bất phương trình 22x<2x+6 là:

Câu 41: (Tham khảo 2018)Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất

0, 4% / tháng Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ saumỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếptheo Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi)gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đókhông rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?

3 4

Câu 43: (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để

phương trình 16x−2.12x+(m−2).9x =0 có nghiệm dương?

Phương trình có nghiệm ∀ ∈ +∞t (1; ) khi 2− > − ⇔ <m 1 m 3

Câu 44: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nghiệm của phương trình

( )

2log x− =5 4.

Câu 46: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Với mọi a , b , x là các số thực dương

thoả mãn log2x=5log2a+3log2b Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A x=3a+5b B x=5a+3b C x a= 5+b3 D .

5 3

x a b=

Lời giải

Có log2x=5log2a+3log2b=log2a5+log2b3 =log2a b5 3 ⇔ =x a b5 3.

Câu 47: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số y=ln(x2−2x m+ +1) có tập xác định là ¡.

A m=0 B 0< <m 3 C m< −1 hoặc m>0 D .0

42log log 3 log

4

a

a I

Theo hình ta thấy hàm y a= x là hàm đồng biến nên a>1, còn hàm y b= x là

hàm nghịch biến nên 0< <b 1 Suy ra 0< < <b 1 a

Câu 52: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm nghiệm của phương trình

( + =)25

2log x 1 log x 1 1

Câu 55: Cho phương trình 4x+2x+1− =3 0.

Khi đặt t=2x ta được phương trình nàosau đây

22

x x

x x

Câu 60: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết

rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ mỗi năm số tiền lãi sẽđược nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêunăm người đó sẽ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc

và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đókhông rút tiền ra

Câu 62: (Đề minh họa lần 1 2017)Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải

( ) ( )

2 2

A AB AB

( Loại)

Thử đáp án C: 6

2log 45 0

A AB AB

Bất phương trình tương đương 5x+1 >5−1 ⇔ + > − ⇔ > −x 1 1 x 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= − + ∞( 2; ).

Câu 65: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính giá trị của biểu thức

b a

=, mệnh đề nào dưới đâyđúng?

lnx x x .lnx x x x 1 lnx y

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được 2

Câu 69: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 ( )

Câu 70: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Số lượng của loại vi khuẩn A trong một

phòng thí nghiệm được tính theo công thức s t( ) ( )=s 0 2 ,t trong đó s( )0

là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t( )

là số lượng vi khuẩn A có sau t

phút Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con Hỏi sau

bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A 48 phút B 19 phút C 7 phút D.

12 phút.

Lời giải

2 3

Câu 72: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a, b bất kì Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

Câu 73: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

x

> −

+ >

Câu 75: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho ba số thực dương a b c, , khác 1 Đồ

thị các hàm số y a y b y c = x, = x, = x được cho trong hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đặt t=3x, với 0< <t 7, suy ra x=log3t

Ta có phương trình t2− − =7t 9 0 có hai nghiệm 1

Ta có x1+ =x2 log3 1t +log3 2t =log 3 1 2t t

Theo định lý Vi-ĩt ta có t t1 2 =9, nín x1+ =x2 log 9 23 = .

Cđu 77: (Tham khảo THPTQG 2019) Ông A vay ngđn hăng 100 triệu đồng

với lêi suất 1%/thâng Ông ta muốn hoăn nợ cho ngđn hăng theo câch: Sauđúng một thâng kể từ ngăy vay, ông bắt đầu hoăn nợ; hai lần hoăn nợ liíntiếp câch nhau đúng một thâng, số tiền hoăn nợ ở mỗi thâng lă như nhau vẵng A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngăy vay Biết rằng mỗi thâng ngđnhăng chỉ tính lêi trín số dư nợ thực tế của thâng đó Hỏi số tiền mỗi thâng

ôn ta cần trả cho ngđn hăng gần nhất với số tiền năo dưới đđy?

A 2, 22 triệu đồng B 3,03 triệu đồng C 2, 25 triệu đồng D.

Câu 78: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên của tham số m sao cho phương trình 25x−m.5x+1+7m2− =7 0 có

hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử.

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m

Câu 79: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Với các số thực dương x , y tùy ý, đặt

3

log x=α , log y3 =β Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3 27

3 27

a b ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log( + =) (1 log +log )

( + )2= ( ) ⇔ ( + =) + +log a b log 10ab 2log a b log10 loga logb

Câu 83: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

phương trình 4x−2x+1+ =m 0 có hai nghiệm thực phân biệt

trở thành: t2− + =2t m 0, ( )2

.Phương trình ( )1

có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ phương trình ( )2

có hai nghiệm thực phân biệt và lớn hơn 0

01

m

Câu 84: (THPT QG 2017 Mã đề 110)Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty

Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1

tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhânviên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào dướiđây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viêntrong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

A Năm 2022 B Năm 2021 C Năm 2020 D.

Câu 85: (Đề tham khảo lần 2 2017)Cho hàm số f x( ) =x xln Một trong bốn đồ thị

cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số

(Có thể dùng máy tính để tính tiệm cận đứng của y=lnx+1 )

Câu 86: (Đề tham khảo lần 2 2017)Hỏi phương trình 2 ( )3

Xét hàm số y=3x2− +6x 3ln(x+ +1 1) liên tục trên khoảng (− +∞1; ).

Câu 87: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực

mđể phương trình 6x+ −(3 m)2x− =m 0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1

Suy ra 0< < ⇔x 1 f ( )0 < f x( ) < f ( )1 ⇔ <2 f x( ) <4

vì( )0 2, 1( ) 4

Vậy phương trình ( )1

có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1

khi m∈( )2; 4 .

Câu 88: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017)Xét các số thực a , b thỏa mãn a b> >1.

Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức =log2( )2 +3log  

 ÷

 

b a

2log 3log   2log  3log   4 log   3log  

a> , b>0 nên ta có log3a+ +2 1b (6ab+ >1) 0; log6ab+1(3a+2b+ >1) 0.

Ta có 9a2+ ≥b2 6ab Dấu đẳng thức xảy ra khi a=3b.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b a

Câu 90: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho phương trình 5x+ =m log5(x m− )

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −( 20; 20) để

phương trình đã cho có nghiệm?

21

Lời giải

Điều kiện: x m>

0,917 m 19; 18; ; 1

Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 91: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho a>0,b>0 thỏa mãn

Câu 92: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho phương trình 7x+ =m log7(x m− )

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −( 25;25)

để phương trình đã cho có nghiệm ?

 + =



+ =



x t

7x+ = ⇔m x m= −x 7x

Xét hàm số g x( ) = −x 7x ⇒ g x′( ) = −1 7 ln 7 0x = ⇔ = −x log ln 77( )

.Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

a

⇔ =

Suy ra

32

b= Vậy

1524

a+ b=

Câu 94: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho phương trình 2x+ =m log2(x m− )

với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −( 18;18)

để phương trình đã cho có nghiệm?

18

Lời giải

ĐK: x m >

Đặt t=log2(x m− )

ta có

22

 + =



+ =



x t

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m g≤ (−log ln 22( ) ) ≈ −0,914(các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x m− = >2x 0)

Do m nguyên thuộc khoảng (−18;18) , nên m∈ −{ 17; 16; ; 1− − }

Suy ra

5212

b a

đồng biến trên tập xác định Mặt khác phương trình (*) códạng: f x( )= f (log (3 x m− ))

Do đó ta có f x( )= f (log (3 x m− ))

3log ( )

1log

Câu 97: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Xét các số nguyên dương a, b sao cho

phương trình aln2x b+ lnx+ =5 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x và2

phương trình 5log2x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt x3, x thỏa4

mãn x x1 2 >x x3 4 Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S=2a+3b.

A Smin =30 B Smin =25 C Smin =33 D.min 17

Đặt t=ln ,x u=logx khi đó ta được at2+ + =bt 5 0(1), 5t2+ + =bt a 0(2).

Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x

t t

f t

m với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f x( ) ( )+ f y =1

vớimọi số thực ,x y thỏa mãn e x y+ ≤e x y( + )

Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t( ) ( )≤ f 1 ,∀ >t 0

2

1log ab 2ab a b 3

a b Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P a= +2b.

A

−

=min

2 10 32

P

B

−

=min

2 10 52

P

C

−

=min

3 10 72

P

D.

−

=min

2 10 12

Lập bảng biến thiên ta được

2 11 33

P

B

−

=min

9 11 199

P

C

−

=min

18 11 2921

P

D.

+

=min

9 11 199

3 2

1 3

y x

Câu 101: (Đề minh họa lần 1 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng,

với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sauđúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liêntiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả

hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m

mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu?Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

A

3100.(1,01)3

m=

(triệu đồng) B

3 3

(1, 01)(1, 01) 1

m=

− (triệuđồng)

C

100.1, 033

m=

3 3

120.(1,12)(1,12) 1

m=

− (triệuđồng)

-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0,01 100 100.1,01+ = (triệu đồng)

- Số tiền dư : 100.1,01 m− (triệu đồng)

- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :

Câu 102: (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong

[−2017;2017] để phương trình log( )mx =2log(x+1) có nghiệm duy

0

1

x x

m m

=



 <



Vì m∈ −[ 2017; 2017] và m∈¢ nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏayêu cầu là