4_CD4_Phuong trinh_Bpt mu va logarit

Chủ đề 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1... Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,... Phương pháp 5: Nhẩm ngh

Chủ đề 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A Tĩm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

 n

n thừa số

a   a.a a (n  Z , n   1, a R) 

 a 1  a a 

 a 0  1   a 0

n

1 a a

  (n Z , n 1, a R / 0 )      



m

n m n

a  a ( a  0; m, n N  )



m n

n

a

a a



2 Các tính chất :

 a a m n  a m n 



m

m n n

a a a





 (a ) m n  (a ) n m  a m.n

 (a.b) n  a b n n



n n n

( )

b  b

3 Hàm số mũ: Dạng : y  a x ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định : D  R

 Tập giá trị : T  R  ( a x  0   x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y  a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y  a x nghịch biến trên R

78

 Đồ thị hàm số mũ :

 Đạo hàm của hàm số mũ:

 e x 'e x  a x 'a x.lna

 e u 'e u u ' (với u là một hàm số)  a u 'a u ln 'a u (với u là một hàm số)

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

dn

M a

log N  M  a  N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

















0 1 0

N a

a

2 Các tính chất :

 log 1 a  0

 log a 1 a 

 log a a M  M

 a log N a  N

 log (N N ) a 1 2  log N a 1  log N a 2

2

N log ( ) log N log N

 log N a    log N a Đặc biệt : log N a 2  2 log N a

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

3 Công thức đổi cơ số :

 log N a  log b log N a b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

b

1 log b

log a

a

1 log N log N

k



4 Hàm số logarít: Dạng y  log x a ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định : DR

 Tập giá trị TR

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y  log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y  log x a nghịch biến trên R

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

 Đạo hàm của hàm số lôgarit:

lnx' 1

x

 và ln x' 1

x



lnu' u'

u

 và lnu' u'

u

 (với u là một hàm số)

log ' 1

ln

a x

x a

 và log ' 1

ln

a x

x a



log ' '

.ln

a

u u

u a

 và log ' '

.ln

a

u u

u a

 (với u là một hàm số)

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x

O

80

III PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT

1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a  1 thì : aM = aN  M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

Dạng cơ bản: ax m (1)

 m0: phương trình (1) vô nghiệm

 m0: ax mxlog ma

Dạng cơ bản: log xa m

 m  : log xa mxam

a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N ; log M a  log N a

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví dụ 1: Giải phương trình

x

0,125.4

8



(1)

Bài giải

♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:

  3 4 6 52

x x





   

  

5

4 9 2

2 x 2 x

2

2x

    x 6

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 6 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1)  

1

5 7 2

1, 5

3

x x



    2) 4.2 1

4

x x



 



  3) 3 2x 3x576

4) 2  1

3 2

3x x 3  x

  

Ví dụ 2: Giải phương trình log2x 1 2 log 34 x   (1) 2 2 0

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1 2

3

x x

x

 



♥ Khi đó:  1 log2x 1 log 32 x   2 2

log2 1 2

x x



1 1

x x



4x 4 3x   [thỏa (*)] 2 x 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x   2

Ví dụ 3: Giải phương trình log2x  log3x  log6x  log36x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Áp dụng công thức loga cloga blogb c , 0 a b c a, , ; 1;b1, ta có

 1  log2xlog 2 log3  2xlog 2 log6  2xlog 2 log36  2x

 log2xlog 2 log 2 1 log 23  6   36 0  *

Do log 2 log 2 1 log 23  6   36 0 nên

 *  log2x0x 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x   1

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) log3xlog3x2 2) 1 log3x 1 log3x 2 log 63

log x 7x 6 log x  4) 1 1 2   1  

2

2 log 2x 2 log 9x 1 1

1

3

x x



   6)  2 

2

1

x   7) log4x 12 log 2 x  8) 1 1  1  1  

log x 1 log x 1 log 7x 1

9) log4x3log2x7  10) 2 0  2   

7

log x 2 log 8x 0

82

3

log 2x7 log x5  0

Ví dụ 4: Giải phương trình: log (x 1)3  2 log (2x 1) 23   (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1

2

x x

 



♥ Khi đĩ:  1 2 log3 x 1 2 log 23 x  1 2

log3 x 1 log 23 x  1 1

log3x1 2 x11

 x 1 2 x  1 3 (2)

 Với 1 1

2  1 x 2x  1 3 2x 3x  : phương trình vơ nghiệm 4 0

1

2

x

x



  









loại [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x   2

Tự luyện: Giải các phương trình sau

log x 2 log 3x 4

2

log x2 log x5 log 80

2 log x 2 log x4  0

2

log x 2 log x 5 log 8 0

log 12xx 2 log 3 x

b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải phương trình 9x4.3x450 (1)

Bài giải

♥ Đặt 3x

t  với t 0, phương trình (1) trở thành 2

t  t  (2)

 2 5  

9

t t

  



  



loại

 Với t 9 thì 3x   9 x 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) 16x17.4x160

2) 25x6.5x  5 0

3) 32x+84.3x+5+ 27 = 0

4) 9x2 x 110.3x2 x 2 1 0

Ví dụ 6: Giải phương trình 3x 118.3x29 (1)

Bài giải

♥ Biến đổi phương trình (1) ta được

 1 3.3 18 29

3

x x

   (2)

♥ Đặt 3x

t  với t  , phương trình (1) trở thành 0 2

3t 29t180 (3)

 

2

9

t

t



 











 Với t 9 thì 3x 9 2

x

  

 Với 2

3

t  thì 3 2 log3 2

x

x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là 2; log32

3

x x 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) 1 3

5x 5x260

2) 1 2 1 2

10x 10x 99

Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9x13.6 + 6.4 = 0x x (1)

Bài giải

♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4x

ta được  

2

   

       

(2)

♥ Đặt 3

2

x

t   với t 0, phương trình (1) trở thành 2

6t 13t  (3) 6 0

84

 

2 3 3

3 2

t

t



 



 

 





 Với 3

2

x

x

 

 Với 2

3

x

x

 

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 1;x1 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) 4.9x12x3.16x

2) 3.16x2.81x 5.36x

3 x 45.6x 9.2 x 0

4) 5.2x7 10x 2.5x

5) 27x12x2.8x

Ví dụ 8: Giải phương trình 2  

log x3 log 2x   (1) 1 0

Bài giải

♥ Điều kiện: x 0

♥ Khi đó:   2

1 log x3log x  2 0

Đặt tlog2x , phương trình (1) trở thành 2

t    (3) t

 3 1

2

t t

  





  

 Với t  1 thì log2 1 1

2

x    [thỏa (*)] x

 Với t   thì 2 log2 2 1

4

x    [thỏa (*)] x

♥ Vậy nghiệm của phương trình là 1; 1

x x 

Ví dụ 9: Giải phương trình 1 2 1

5 logx1 logx

Bài giải

♥ Điều kiện:

0

x x x

 







(*)

♥ Đặt tlogx t5,t  , phương trình (1) trở thành 1 1 2 1

5 t1 t 

  (3)

3

t

t

 



 

 Với t 2 thì logx  2 x 100 [thỏa (*)]

 Với t 3 thì logx  3 x 1000 [thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x100;x1000 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

log x 4 log x  8 0 2) 2

3 log 2xlog x 

log 3x1 log 3x   3 6

Ví dụ 10: Giải phương trình log 3 1 log 3 2

x

    (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x  0

♥ Đặt log3 3t

t x  thì phương trình (1) trở thành x

2.2 1.2 3 9.2 3 2 4 2

t

t t  t t  t      t Với t 2 thì x 9 (thỏa điều kiện)

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 9 

Ví dụ 11: Giải phương trình log2 5.2 8 3

x

  

  (1)

Bài giải

♥ Điều kiện 5.2x 8 0 (*)

♥ Ta có:   5.2 8 3

x

x x





 2 5.2x x 8 8 2 x 2

 5.22x16.2x16 (2) 0

♥ Đặt 2x

t  với t  , phương trình (2) trở thành 0 2

5t 16t16 (3) 0

 

4

5

t

t

 







  



 Với t  thì 4 2x   [thỏa (*)] 4 x 2

86

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 

Tự luyện: Giải phương trình sau log 3.22 x 1 2 1

x

c Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x25.2x10010x (1)

Bài giải

♥ Ta có:  1 4.5x2 5x x25.2x100 0

5 4x 2x25 2 x  4 0

42x5x25 0

5 25 2

x

 



 

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 

Tự luyện: Giải các phương trình sau

1) 3.7x49.3x14721x

2) 32x x  3 9x3x1

3) log2x2 log7 x 2 log2x.log7x

d Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó

(Phương pháp lôgarít hóa)

Ví dụ 13: Giải phương trình 3 2x x2 1 (1)

Bài giải

♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có

   2

1 log 3 2x x log 1 log 33 xlog 23 x2 0

2

3

x1xlog 23  0

2 3

0 1

log 3 log 2

x

x

 







♥ Vậy nghiệm của phương trình là x0,x log 32 

e Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

(do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ 14: Giải phương trình 3x4x5x (1)

Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5x5x  , ta có 0, x  1 3 4 1 5 5 x x                (2) ( Dạng f x  ) C ♥ Xét hàm số   3 4 5 5 x x f x               trên  , ta có '  3 ln3 4 ln4 0, 5 5 5 5 x x f x       x              f x nghịch biến trên  (*)  

♥ Mặt khác f 2   (2) có nghiệm 1 x 2 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x   2

Ví dụ 15: Giải phương trình 1 2 1 3 x x         (1) (Dạng f x g x ) Bài giải ♥ Xét các hàm số   1 3 x f x     và g x 2x trên  , ta có 1

f x nghịch biến trên  và   g x đồng biến trên  (*)  

♥ Mặt khác f 0 g 0  (1) có nghiệm x  (**) 0

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  0

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 0 

Bài tập:

88

Giải các phương trình sau

1) 2x = 1+

x

2

3 2) 2x 3x 3) 2 3 x x2 8x 14

    4) 2.2x3.3x 6x1 5) 3.25x 2  3x 10 5 x 2  3 x 0

log x x 1 log x 6 2x

Ví dụ 16: Giải phương trình log 5 3

2 x x (1)

Bài giải

♥ Điều kiện: x  3

Khi đó:  1 log5x 3 log2x (2)

♥ Đặt tlog2x  thì phương trình (2) trở thành x 2t

5 

t      

          

    (3)

♥ Xét hàm số   2 3 1

f t      

    

    trên  , ta có

'  2 ln2 3 1 ln1 0,

f t       t

       

      f t nghịch biến trên  (*)  

♥ Mặt khác f 1   (3) có nghiệm 1 t 1 (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t 1

♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x   2

IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:

a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (  , , )

log Ma log Na (  , , )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x2x9 (1)

Bài giải

♥ Ta có:   2

2

1 3xx 3

2

2

x2   x 2 0

    1 x 2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1; 2 

Tự luyện: Giải các bất phương trình

1)

x

x x





 2)

2

4 15 13

3 4

1

2 2

x x

x

 



 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 3   1  

3

2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

 





3 x

x

x 2

(*)

♥ Khi đó:

2

2

2 2

3

8 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 3  

Tự luyện: Giải các bất phương trình sau

1) log 22 x 3 log 32 x 2) 1    2 

log 5x10 log x 6x 8

4

x

x x



 4) log2x 3 log2x  2 1

3

log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0    6) 1 1  2

log x 2 log x 1 log 6 0

2

1

2

8)  2 

1 2

log x 5x  6 1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình   

2 1 2

Bài giải

♥ Điều kiện:







0

♥ Khi đó:

90





 



2

2

2

x

x

x

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là





Tự luyện: Giải các bất phương trình sau



2

2x 1

x 1 2)







3

3x 5

x 1



0,5

2x 1

x 5 4)







1 3

3x 1

x 2

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:   



2

x 4 (1)

Bài giải

♥ Điều kiện:

6

(*)

♥ Khi đó:





2

x 4

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là









Tự luyện: Giải bất phương trình   



3

2x 3

x 1

b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9x136.3x3 3 0 (1)

Bài giải

♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được

   2

1  3x 4.3x   (2) 3 0

3x

t  t 0, bất phương trình (2) trở thành 2

t   t (3)  3    1 t 3

Suy ra: 1



♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 2 

Bài giải

1) 2 - 3.22x x +2+ 32 < 0 2) 3

2x2x9 3) 9x5.3x 6 0 4) 52x 1 5x4

5)



 

 

2

3 6)

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log x log x 222  2   (1) 0

Bài giải

♥ Điều kiện: x  0

♥ Đặt tlog2x , bất phương trình (1) trở thành 2

t   t (2)  3     2 t 1

Suy ra: 2 log2 1 1 2

4

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1; 2

4



  

Tự luyện: Giải các phương trình sau

2

log x17 log x 4 0 2) 23

3

3.log x14.log x 3 0 3) log2x 2 log 4 5x  0 4) 2 5

4

5

2

3 log xlog x   6) 2 0 2

1 1

2 2

log xlog x  2 0

B Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình

1) log 125 logx x 225x 1 2) log 16 logx2  2x64 3

3) log 4 log 16 2 1 log 16

3

25 x5 x  log 9 325 x 4) 2

9

.log 27.logx 4

5)

3

5

4 logx 5.log ( 1) x

x





  6) 1

8 2 log (2 x x1)2x 4 log (2x1)