CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

 Hai số phức liên hợp nhau khi và chi khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox  Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức

SỐ PHỨC Vấn đề 1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

 Định nghĩa 1 Một số phức là một biểu thức dạng abi trong đó a , b là các số thực và số

i thỏa mãn i   Kí hiệu số phức là 2 1 z và viết za bi , trong đó:

 i được gọi là đơn vị ảo

 Số 0 0 0i0i vừa là số thực vừa là số ảo

 Định nghĩa 2 Hai số phức za bi và zab i ( a , b, a, b  ) bằng nhau khi và chỉ khi aa và bb Khi đó ta viết zz

 Định nghĩa 3 Với mỗi số phức za bi ( a , b  ) ta luôn có số phức    z a bi ( a ,

b  ) là số đối của số phức z

2 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức za bi ( a , b  ) được biểu diễn bởi điểm M a b ;  Khi đó, ta thường viết

M a bi hay M z  Gốc O biểu diễn số 0

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức:

M

Mỗi số phức z1  a1 b i1 ( a , b  ) được biểu diễn bởi điểm M a b ;  cũng có nghĩa là

vectơ OM 

Khi đó, nếu u 1

, u 2 theo thứ tự biểu diễn số phức z và 1 z thì: 2

5 Số phức liên hợp và môđun của số phức

 Định nghĩa 7 Số phức liên hợp của za bi , (với a b   là , ) a bi– và được kí hiệu bởi

z Như vậy, ta có: z  a bi    a bi

 Nhận xét:

 Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z z Vì thế người ta

còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau

 Hai số phức liên hợp nhau khi và chi khi các điểm biểu diễn

của chúng đối xứng nhau qua trục Ox

 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó

 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó

âm a2b2 và được kí hiện là z



b y

M

Thương z

z



của phép chia số phức z cho số phức z khác 0 là tích của z với số phức

nghịch đảo của z , tức là z z z 1

z







 Như vậy, nếu z 0 thì z z z.2

 



  nên để tính z

z



ta chỉ việc nhân cả tử và mẫu với z và để

ý rằng z z  z2

 Nhận xét:

 Với z 0, ta có 1 1.z 1 z 1

z

 

 

 Thương z

z



là số phức w sao cho zwz Từ đó, ta có thể nói phép chia (cho số phức khác 0) là phép toán ngược của phép nhân

Dạng 1: Số phức và thuộc tính của nó

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Với số phức za bi , các dạng câu hỏi thường được đặt ra:

 Phần thực bằng a

 Phần ảo bằng b

0”, khi đó, ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 1

Khi đó, ta sử dụng điểm M a b ;  để biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

 Chú ý: Một câu hỏi ngược là “Xác định số phức được biểu diễn bởi điểm

 ; 

M a b ”, khi đó, ta có ngay za bi

| |

z





B TOÁN MẪU

a) z  3  2 i b) z 1 i c) z  2 2 d) z 7i

Ví dụ 2 Cho các số phức: 2 3i , 1 2i , 2 i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức

c) Viết số đối của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

a) z   1 i 2 b) z   2  i 3 c) z  i 3 d) z 5

trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

Dạng 2: Các phép toán về số phức

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng định nghĩa cùng tính chất của các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) trên tập số

phức Cần nhớ các hằng đẳng thức sau:

a b a  bi  a bi a bi z z

2

a bi   a  b  abi

2

a bi   a  b  abi

a bi   a  a  a b b i 

a bi   a  a  a b b i 

B TOÁN MẪU

a) z  i  2  i  3  i   2 i  3 b) z   4  i    2 3  i    5  i 2

c)  2  

2 4 3 2 z   i  i   i d)  2  2 1 1 z   i   i e)  2  3 2 3 z   i   i f)    2   5 2 3 1 2 z   i   i   i

Ví dụ 4 Tính i , 3 4 i , 5 i , 6 i Từ đó nêu cách tính n i với n  

Ví dụ 5 Cho hai số phức z1   2 3 i và z2   Tìm số phức 1 i 2

1 2 2

zz  z

Ví dụ 6 Cho hai số phức z1  1 2 i và z2   3 4 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z1  2 z2 , 1 2 3z  z ,     z1 2 z2 2,  z1 1  z2, 1 2 1 1 z z  

Ví dụ 7 Cho hai số phức z1   4 3 i và z2   1 3 i Tính: A  z1  z2 2

Ví dụ 8 Cho hai số phức z1  3  và i z2   3 4 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z1  3 z2, 1 1 z , z1  z2 , z z 1 . 2

Ví dụ 9 Cho hai số phức z1   2 3 i và z2   3 4 i Tính A   z1 1  z2 i 

Ví dụ 10 Cho hai số phức z1  và 1 i z2   4 3 i Tính z1 2 z2 , z1 z2 ,  z1 1  z2 , 2

1

z

z

Ví dụ 11 Tìm các số thực x , y biết: a)  1 2  i 2x   3 5  y i    1 3 i b)  x i i     x  yi i     x  x  2 y  1  i  c)  2

2 3 x  i  x  yi d)     2      2 2 1 2 1 3 4 2 x  i i   y  i    x  i  y i   i

i z i

i z



 1   2 2 32

Dạng 3: Chứng minh tính chất của số phức

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của chúng

B TOÁN MẪU

Ví dụ 12 Chứng minh rằng:

a) z1z2 z1z2 b) z z1 2 z z1 2 c) 1 1

2 2



2 2

z z

z  z

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Cho x , y là những số phức Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp của nhau: a) x  y và x  y b) x y và x y c) x  y và x  y Bài 12 Cho za bi Chứng minh rằng: a) 2  2  2 2 2 z  z  a  b b) 2  2 4 z  z  abi c) 2 2  2 22 z z  a  b Bài 13 Chứng minh rằng với mọi số phức u và v ta có: a) u v  uv  u v b) u  v  uv  u  v c) uv u v

Dạng 4: Tập hợp điểm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm

1 Phương pháp tổng quát

Giả sử số phức z   x yi được biểu diễn bởi điểm M x y ;  Tìm tập hợp các điểm

 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun) Khi đó, ta sử dụng công thức

 Điều kiện để z là số ảo a 0

*) za  z b MAMB M thuộc đường trung trực của đoạn AB

*) z  a  z b   k k    , k  0, k  a b    MA MB   k M E nhận A,

B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k

Đặt z   x yi và wuvi ( , , , x y u v   )

Hệ thức w f z  tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x , y, u , v

*) Nếu biết một hệ thức giữa x , y ta tìm được một hệ thức giữa u , v và suy ra

2 Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:

x a   y b   R  x2  y2 2 ax  2 by   c 0 với c  a2  b2 R2

Lưu ý điều kiện để phương trình: x2  y2 2 ax  2 by   c 0 là phương trình đường tròn: a2 b2  có tâm c 0 Ia,b và bán kính R a2b2c

3 Phương trình Elip:

2 2

2 2 1

a  b 

Với hai tiêu cự F1c; 0 , F c2 ; 0 , F F1 2 2c Trục lớn 2a, trục nhỏ 2b và a2  b2 c2

B TOÁN MẪU

Ví dụ 14 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng –2

b) Phần ảo của z bằng 3

c) Phần thực của z thuộc khoảng –1; 2

d) Phần ảo của z thuộc đoạn –2; 2

e) Phần thực thuộc –1; 2 , phần ảo thuộc 0;1

Ví dụ 15 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa z i  z i 4

i i

d) x2y2xy i 2xyx2y i ĐS: x  y  0

3 2

i z

x

y 

h) Đường tròn tâm I1;1 / 2 , bán kính R  5 / 2

Vấn đề 2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH

1 Căn bậc hai của số phức

 Định nghĩa 10 Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn 2

z  w được gọi là một căn bậc

Với a 0 thì w có hai căn bậc hai là  a

Với a 0 thì w có hai căn bậc hai là i   a

 Trường hợp 2 Nếu wa bi ( a b   và , b 0) thì z   x yi ( x y   ) là căn bậc , hai của w khi và chỉ khi:

 w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

 Số thực dương a có hai căn bậc hai là  a

 Số thực âm a có hai căn bậc hai là i   a

2 Phương trình bậc hai

Cho phương trình 2

0

Ax  Bx C   , với A, B, C là những số phức và A 0 Xét 2

B z

trong đó A , 0 A , …, 1 A là n n 1 số phức cho trước, A 0 0 và n là một số nguyên dương

luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phải phân biệt)

Dạng 1: Căn bậc hai của số phức

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý các trường hợp đặc biệt

B TOÁN MẪU

Ví dụ 16 Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:

b) –i; 4i; –4i; 1 4 3i  ; 4 6  i 5 ;   1 2 i 6

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

a) w  3 4i b) w 8 6i c) w  5 12i d) w    1 2 6 i

Dạng 2: Phương trình

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương trình bậc nhất:

Để giải phương trình bậc nhất trên tập số phức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách

sau:

Cách 1 Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

của hai số phức để tìm a và b

Bước 3 Kết luận về số phức cần tìm

 Chú ý: nếu phương trình chỉ chứa z hay z ta giải trực triếp tìm z hay z

2 Phương trình bậc hai:

Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai

Bước 3 Kết luận phương trình có hai nghiệm:

1

2

B z

A



 

 và 2

2

B z

A



 



3 Phương trình bậc cao:

a Đối với một phương trình bậc cao thì ta cũng dùng phương pháp đoán nghiệm rồi

đưa về phương trình tích với các thừa số là các đa thứ có bậc không vượt quá 2

b Đối với phương trình bậc bốn đặc biệt (phương trình trùng phương)

B TOÁN MẪU

Ví dụ 17 Giải các phương trình sau:

a) 3 2 i z 4 5 i 7 3i b) 1 3 i z 2 5 i  2i z

4 3

z

 d) 3 4 i z 1 3 i 2 5i

Ví dụ 18 Giải các phương trình sau:

a)  3 z2 2 z   1 0 b) 7 z2 3 z   2 0 c) 5 z2 7 z  11 0 

3 z  7 z   8 0 f) 2

Ví dụ 19 Tìm số phức z thoả mãn: 3 z  2 z   1 4 i

Ví dụ 20 Giải các phương trình sau: a) z   3 1 0 b) z  4 1 0 c) z   4 8 0 d) z4 7 z2 10  0 e) 8 z4 8 z3  z 1 f) z   4 4 0

b) Giải các hệ phương trình sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1

3 1

z z

Bài 45 Tìm các số thực a , b, c để phương trình: z3 az2 bz   (với ẩn z) nhận c 0 z 1 i và z =

2 làm nghiệm

2 z  9 z  14 z   5 2 z  1 z  az  b từ đó giải phương trình 2 z3 9 z2 14 z   trên tập số phức 5 0

z  z  z   z  z  z  az  b từ đó giải phương trình z4 4 z2 16 z  16  trên tập số phức 0

z   i z  iz    i z  z  az  b từ đó giải phương trình 3   2

2 1 3 1 0

z  i z  iz  i trên 

Vấn đề 3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1 Số phức dưới dạng lượng giác

 Định nghĩa 11 Acgument của số phức

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian)

của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgument của z

 Chú ý:

 Nếu  là một acgument của z thì mọi acgument của z có dạng   k 2 ,  k  

 Hai số phức z và lz (z 0 là 0  l ) có cùng acgument

 Định nghĩa 12 Dạng lượng giác của số phức

Dạng zrcosisin  , trong đó r 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0 Còn dạng za bi ( a , b   ) được gọi là dạng đại số của số phức z

z là số đo góc lượng giác có tia đầu OM , tia cuối OM

3 Công thức Moa-Vrơ (Moiver) và ứng dụng

 Công thức Moa-vrơ: Với mọi số nguyên dương n , ta có:

Khi r 1, ta được:  cos   i sin  n  cos n   i sin n 

 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:  3

cos   i sin   cos 3   i sin 3 

Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:

sin 3   3cos  sin   sin   3sin   4 sin 

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức zrcosisin  , r 0 có hai căn bậc hai là:

Dạng 1: Viết dạng lượng giác của số phức

biểu diễn số z trong mặt phẳng phức

 Khi z 0 thì z  r 0 nhưng acgument của z không xác định (đôi khi coi

acgument của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 00 cos isin  )

Chú ý điều kiện r 0 trong dạng lượng giác của số phức z



 e) 2 i  3  i  f) 1

22i

Ví dụ 22 Tìm một acgument của mỗi số phức sau:

i





 d) z  2 i  3  i  e) 1

22

z i

i z i

z z z

Dạng 2: Công thức Moivre

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Công thức Moa-vrơ: Với mọi số nguyên dương n , ta có:

Khi r 1, ta được:  cos   i sin  n  cos n   i sin n 

 Ứng dụng vào lượng giác, ta có:  cos   i sin  3  cos 3   i sin 3 

Mặc khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc 3 ta được:

sin 3   3cos  sin   sin   3sin   4 sin 

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức zrcosisin  , r 0 có hai căn bậc hai là:

Ví dụ 24 Thực hiện phép tính a)

2020

1

i z

Ví dụ 25 Hỏi với số nguyên dương n nào để số phức 3 3

3 3

n

i z

n m

i z

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3

z; kz (k  ) trong các trường hợp sau:

i i

f) 3

2

 nếu cos 0

Bài 61 Cho tam giác đều OAB trong mặt phẳng phức (O là gốc tọc độ) Chứng minh rằng nếu A, B

theo thứ tự biểu diễn các số z , 0 z thì 1 z02z12 z z0 1

a) cos   i sin  b) sin   i cos  c) sin   i cos  với    cho trước

Vấn đề 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG CAO

Dạng 1: Phương pháp đại số, lượng giác

trong giải bài toán max – min

4 Kỹ thuật 4: Lượng giác hóa

5 Kỹ thuật 5: Sử dụng biểu thức liên hợp z z  z2

II - MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN:

1 Bất đẳng thức tam giác

 z1 z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 với k  0

 z1 z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 với k  0

 z1 z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 với k  0

 z1 z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra khi z1  kz2 với k  0

a

b  b  b

B TOÁN MẪU

Kỹ thuật 1: Đánh giá hai môdun với nhau

Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá

 a b   a  b

 a b   a  b

Phân tích

 Nhận thấy bên trong mô đun chỉ có 1 vị trí chứa zbởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai

modun z2i, z với nhau

 Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các mô đun với nhau: a b   a  b và

Ví dụ 28 Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 2

2

z z



 là số thực Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức P  z   1 i

z 

Kỹ thuật 2: Dùng các bất đẳng thức đại số

Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá

 Với a a1, 2, a không âm ta luôn có n 1 2 n 1 2

a  a   a  n a a a Dấu bằng xảy ra khi a1 a2  an

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

a  a  a b  b  b  a b  a b   a b Dấu bằng xảy ra khi 1 2

1 2

n n

 Ta tìm cách biểu diễn zi,z   theo 2 i z 1 Khi đó T  z i   z   biểu diễn được 2 i

dưới dạng  và z  1cũng biểu diễn được dưới dạng

Ví dụ 31 Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  Gọi 8 M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của z Tính M  m

Kỹ thuật 3: Dồn biến

Kĩ thuật này chúng ta đi theo hướng

 Với số phức ở dạng đại số từ đề bài ta đi tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần

ảo Nếu làm được điều này ta sẽ dồn về 1 biến

 Từ đề bài chúng ta đánh giá về một môđun có thể là z

Phân tích

 Đề bài cho z  3 i  z   nên ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo của 2 i

số phức z Bởi vậy z sẽ dồn được một biến

Ví dụ 34 Cho z thỏa mãn z   2 4 i  z  2 i Tìm GTLN của w với w 2 i

z





Ví dụ 35 Cho các số phức z1   1 3 i , z2    5 3 i Tìm điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z , biết rằng 3

trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x2y 1 0 và mô đun số phức

3 2 1

w  z  z  z đạt giá trị nhỏ nhất

Kỹ thuật 4: Lượng giác hóa

Ví dụ 37 Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm môđun lớn nhất của số phức z

Kỹ thuật 5: Sử dụng biểu thức liên hợp z z  z2

2

z w

Ví dụ 40 Cho số phức z thỏa mãn z24  z Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của z Tính P  M  m

z

  Tính P  max z  min z

  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

2

z i w

iz





 Khi đó, kết luận nào sau đây đúng?

2

z  z  z  Giá trị lớn nhất của biểu thức của P  z  z  2 z  z  2 z  z bằng bao nhiêu?

Bài 70 Với hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 z2   8 6 i và z1 z2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

trị lớn nhất của z   Tính P 1 i  m M 

Bài 76 Cho số phức z thỏa mãn  z  2  i   1  z  2  i   Tính tổng 1 6 T  max z  min z

biểu thức P z 1 z2 z 1 Tính giá trị củaM m

Bài 78 Cho số phức z thỏa mãn z  1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với

Dạng 2: Sử dụng phương pháp hình học

giải bài toán số phức

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN:

1 Điểm Torricelli:

Cho tam giác ABC có góc lớn nhất không quá 120 Điểm Torricelli của tam giác

ABC là điểm T nằm trong ABC và có tổng 3 cạnh TA TB TC    p   nhỏ nhất q r

Để tìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đều ACM , BCN, ABO: giao điểm của 3 đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác đều này (hoặc giao điểm củaAN, BM , CO) chính

a

3 Định lý Ptoleme (hay đẳng thức Ptoleme)

Nếu A, B, C, và D là bốn đỉnh của tứ giác nội tiếp

đường tròn thì: AC BD  AB CD BC AD

4 Bất đẳng thức Ptoleme

Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì AC BD AB CD BC AD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn

(Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ

giác bất kỳ)

5 Định lí Stewart:

Gọi a , b, và c là độ dài các cạnh của một tam giác Gọi

d là độ dài của đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác

với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a ) đối

a

d

B TOÁN MẪU

Ví dụ 44 Cho ba số phức z, z , 1 z thỏa mãn 2 z1  z2  và 6 z1 z2  6 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  z  z  z1  z  z2

Ví dụ 45 Cho số phức z thỏa mãn 2 z   1 3 i  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T  z   z   i

giá trị lớn nhất của z 1 i Tính PmM

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

z i z



 là số thuần ảo và các giá trị thực m , n thỏa

mãn chỉ có duy nhất một số phức z A thỏa mãn z  m ni   2 Đặt M maxmn và

Bài 91 Cho số phức z Kí hiệu A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z , z ,

4 3 

z  i và z  4 3  i  Biết A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức z4i5

phức w3 4 i z 2i là đường tròn Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó

Bài 96 Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn2 z1 z2   8 6 i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z, tính M m