CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC SỐ 10 PTNK

1 Quá trình hình thành và phát triển khối Toán Tin trường PTNK 94 Bài giảng về Phương trình đồng dư và Thặng dư chính phương 37 6 Nhìn lại đề thi vào lớp 10 chuyên Toán qua các năm 61 7

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

1 Quá trình hình thành và phát triển khối Toán Tin trường PTNK 9

4 Bài giảng về Phương trình đồng dư và Thặng dư chính phương 37

6 Nhìn lại đề thi vào lớp 10 chuyên Toán qua các năm 61

7 Một số bài toán chọn lọc về

8 Sử dụng tính liên tục của chu kỳ để chứng minh hàm hằng 87

9 Ứng dụng của tỉ số đoạn thẳng và tỉ số lượng giác 95

14 Một số phương pháp tiếp cận bài toán hình học phẳng 201

17 Giới thiệu kỳ thi Sharygin Olympic hình học toàn Nga mở rộng 241

18 Giới thiệu đề thi chọn đội tuyển PTNK qua các năm 255

3

Kỷ niệm 20 năm dĩ nhiên là một câu chuyện dài, xuyên qua nhiều thế hệhọc sinh Ngũ hổ đại tướng quân ngày xưa, vốn trẻ trung oanh liệt, nayngười đã về hưu, người cũng qua tuổi tri thiên mệnh Nhiều lứa học trògiờ đã trở thành đồng nghiệp của các thầy, nhiều em đã vượt các thầy trêncon đường khoa học.

Con đường PTNK là một con đường chông gai Nếu chỉ xét thành tích của

5 năm cuối cùng, kể từ Trần Hoàng Bảo Linh đoạt huy chương đồng IMO

2012, đến gần đây là Phạm Nguyễn Mạnh đoạt huy chương bạc 2016, ta

có thể thấy dường như PTNK luôn ở đỉnh cao Thực tình thì câu chuyệngian khó hơn nhiều Nếu không kể đến huy chương vàng APMO 1997 của

Lê Quang Nẫm, hay sau đó là các thành tích ở đấu trường APMO của TrầnQuang Vinh, Trần Vĩnh Hưng thì phải gần 10 năm sau khi thành lập, PTNKmới có huy chương IMO đầu tiên của Nguyễn Đăng Khoa vào năm 2003.Thành tích này được tiếp nối bởi Trần Chiêu Minh (2005, HCB), ĐặngTrần Tiến Vinh (2008, HCĐ), Phạm Hy Hiếu (2009, HCB) một cách vôcùng chật vật Và chiếc huy chương vàng toán quốc tế đầu tiên của PTNK

đã đến sau gần 20 năm, vào năm 2013, và hẳn 2 chiếc, được đem về bởiPhạm Tuấn Huy và Cấn Trần Thành Trung Phạm Tuấn Huy cũng là họcsinh duy nhất của miền Nam sau đó đã đoạt 2 huy chương vàng toán quốc

tế Ngày nay PTNK đã thường xuyên được nhắc tới, được tính tới khi nói

về đội tuyển quốc gia Nhưng ít ai biết nhiều năm trước, có học sinh ra thivòng 2 đã là niềm mơ ước của các thầy cô đội tuyển toán Chông gai lắm,khó khăn lắm nhưng đội ngũ các thầy cô giáo và các học trò đã khôngchùn bước, luôn kiên gan, bền chí và luôn giữ vững tâm niệm sẽ giànhvinh quang bằng sức lực và trí tuệ của chính mình Trung thực, công bằng,nhiệt huyết, đó là bí quyết tạo nên sức mạnh và tinh thần của lớp lớp cácthế hệ đội tuyển toán PTNK

Song hành với các thành công của đội tuyển toán PTNK, thật vui mừng làkhông khí của phong trào chuyên toán các tỉnh phía Nam cũng được hâmnóng và khích lệ Giải quốc gia đã không còn phải là điều xa xỉ Và nhữngthành tích quốc tế của Quảng Ngãi, Bình Định, Phú Yên, Khánh Hòa vàđặc biệt của Đà Nẵng thật đáng tự hào

Vai trò dẫn dắt phong trào của PTNK, đầu tiên là về mặt tinh thần, rõ ràngđược khẳng định Thêm vào đó, các ấn phẩm và các hoạt động của họcsinh PTNK như chuyên đề toán học, Seminar toán học, một mặt phục vụ

5

Và dĩ nhiên, không thể thiếu bài viết của tứ trụ "Trình-Dũng-Tuấn-Dũng".Câu chuyện PTNK dĩ nhiên là còn nhiều, còn dài, khó lòng mà nói hếtđược Chỉ kể tên các tác giả đã viết cho chuyên đề PTNK đã không đủ thờigian Vì vậy tốt nhất là để chính các bài viết sẽ nói về các tác giả.

Vậy nhé, hãy đọc và cảm nhận tinh thần 20 năm PTNK

Trần Nam DũngChủ biên Chuyên đề Toán học PTNK

1 Thầy Nguyễn Tăng Vũ, Giáo viên PTNK thành phố Hồ Chí Minh.

2 Anh Võ Quốc Bá Cẩn, Giáo viên trường Archimedes Academy

3 Anh Đặng Nguyễn Đức Tiến, Trento University

4 Bạn Tống Hữu Nhân, Sinh viên trường Đại học Y Dược thành phố

7 Bạn Bùi Mạnh Khang, Học sinh THPT Chuyên Lê Hồng Phong

8 Bạn Cấn Trần Thành Trung, Duke University, USA

9 Bạn Lê Việt Hải, Pennsylvania State University, USA

10 Bạn Phạm Hy Hiếu, Stanford University, USA

11 Bạn Hồ Quốc Đăng Hưng, University of Chicago, USA

12 Bạn Phạm Tuấn Huy, Stanford University, USA

13 Bạn Nguyễn Minh Trường Giang, Học sinh PTNK thành phố Hồ ChíMinh

14 Bạn Nguyễn Minh Châu, Học sinh PTNK thành phố Hồ Chí Minh

Trong chuyên đề này, chúng tôi đã rất cố gắng để có thể có đầy đủ các bàiviết của những tên tuối gắn liền với PTNK như thầy Trần Nam Dũng, thầy

Lê Bá Khánh Trình, thầy Nguyễn Thanh Dũng, thầy Nguyễn Trọng Tuấn

7

đề thi cũng không thể thiếu trong chuyên đề này với hai bài viết về Đề thituyển sinh vào lớp Chuyên và đề thi chọn đội tuyển của PTNK.

Ngoài ra còn có các bài viết của các bạn học sinh, cựu học sinh PTNK vớinhiều chủ đề phong phú Nhưng bạn đọc có thể dễ phát hiện ra rằng córất nhiều chuyên đề viết về hình phẳng, một đặc điểm rất đặc trưng củahọc sinh Năng khiếu

Chúng tôi có nói vui là trong lời nói đầu của Chuyên đề Toán học số 9

ra vào tháng 10/2010, có đoạn viết: "Chuyên đề Toán học số 9 của trường

PTNK mà các bạn đang cầm trên tay là một ấn phẩm có nhiều điều đặc biệt Thứ 1, nó được thai nghén trong một khoảng thời gian dài kỷ lục: ít nhất là

1 năm Thứ 2, nó được ra đời cách chuyên đề trước đó 5 năm."

Chuyên đề lần này cũng đã tạo một kỷ lục mới: thai nghén trong3 tháng

và ra đời cách chuyên đề trước đó gần6 năm Và hơn thế nữa, nó còn rađời vì mục tiêu hướng đến kỷ niệm 20 năm ngày thành lập lớp chuyênToán của PTNK

Mong rằng những sự cố gắng này của Ban biên tập sẽ đem lại một tài liệu

có ích, có ý nghĩa cho các bạn học sinh, các thầy cô chuyên Toán Hy vọngrằng nó sẽ là một món quà từ các thầy cô, của các thế hệ đàn anh đi trướcdành tặng cho những lớp chuyên Toán của trường Phổ thông năng khiếuhiện tại và tương lai

Ban Biên tập Chuyên đề Toán học số 10 PTNK

Ban biên tập

Lời Ban biên tập: Trong khi đang cố gắng viết một bài giới thiệu tổng quát về tổ

Toán trường Phổ thông Năng khiếu, ban biên tập nhận được bài viết đóng góp của một nhóm học sinh lớp 11 Toán năm nay Hỏi ra mới biết, đây là một bài tập của thầy Nguyễn Tăng Vũ, vừa giúp các bạn học sinh hiểu thêm về lịch sử thành lập tổ Toán PTNK, vừa rèn kĩ năng làm việc nhóm cho các bạn Sau khi chỉnh sửa, biên tập lại, ban biên tập xin giới thiệu cùng bạn đọc bài viết này Trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Tăng Vũ cùng các bạn học sinh Tiêu Phát Đạt, Thái Thành Trung, Đào Minh Khôi, Bùi Minh Kiệt, Nguyễn Tuấn Khôi, Dương Minh Nhất đã đóng góp.

1 Sự hình thành khối Toán trường Phổ Thông Năng Khiếu

1.1 Lịch sử thành lập trườngLịch sử khối Toán – Tin

Sau khoảng thời gian tìm hiểu công tác đào tạo học sinh năng khiếu Toán

- Tin tại những trường Đại học phía Bắc, cụ thể là các mô hình các KhốiChuyên Toán-Tin Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và Khối ChuyênToán Đại Học Sư Phạm Hà Nội, khoa Toán trường Đại học Tổng Hợp đãlập tờ trình xin được mở khối chuyên nhằm phát hiện và bồi dưỡng họcsinh năng khiếu về toán học, tin học và tạo nguồn đào tạo tốt cho khoa.Ngày 14/07/1993, Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Trần Chí Đáo kýquyết định thành lập "Hệ phổ thông trung học chuyên Toán – Tin, trườngĐại Học Tổng Hợp Tp HCM"

Hơn 2 năm hoạt động, Hệ phổ thông trung học chuyên Toán – Tin Học đãgặt hái được nhiều thành tích tốt đẹp trong các kỳ thi năm 1995, 1996;

9

mô hình giảng dạy học sinh năng khiếu ngay trong lòng trường Đại học

đã chứng tỏ được tính ưu việt của mình Do đó, Ban Đào Tạo Đại HọcQuốc Gia TpHCM đã lập dự án thành lập trường Phổ thông trung họcchuyên thuộc Đại học Và ngày 4/7/1996 Bộ Trưởng Bộ GD ĐT Trần HồngQuân đã ký quyết định số 2693/GD-ĐT thành lập trường Phổ Thông NăngKhiếu

Lịch sử thành lập

Ngày 8/8/1996, GS Trần Chí Đáo, Giám Đốc Đại học Quốc gia Thành phố

Hồ Chí Minh (ĐHQG - TP HCM) ký quyết định số 92/ĐHQG – TCCB vềviệc bổ nhiệm Ban Giám Hiệu trường Phổ Thông Năng Khiếu bao gồm:

• GS.TS Nguyễn Văn Đến, Hiệu Trưởng trường ĐH KHTN, kiêm HiệuTrưởng trường Phổ Thông Năng Khiếu

• PGS.TS Hoàng Văn Kiếm, Trưởng khoa Công Nghệ Thông Tin trường

ĐH KHTN, kiêm Phó Hiệu Trưởng trường Phổ Thông Năng Khiếu

• GVC Đặng Thị Hưởng, Trưởng khoa Ngữ Văn Anh trường Đại HọcKhoa Học Xã Hội và Nhân Văn (ĐH KHXHNV), kiêm Phó Hiệu Trưởngtrường Phổ Thông Năng Khiếu

Ngày 8/8/1996, Phó giám đốc ĐHQG, GS Nguyễn Văn Hanh ký quyếtđịnh số 90/ĐHQG – TCC, quyết định trường Phổ thông Năng khiếu có cơ

sở chính đặt tại trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên (số 227 Nguyễn Văn

Cừ, Q5, TPHCM) cho đến khi có đủ điều kiện hình thành một cơ sở độclập

Ngày 6/12/1996, Phó giám đốc ĐHQG TP HCM, GS Nguyễn Văn Hanh

ký quyết định số 206/ĐHQG/KHTC về việc giao cơ sở 135B (nay là 153Nguyễn Chí Thanh, Phường 9, Quận 5, TP.HCM) do trường ĐHKHTN tạmthời quản lý cho trường Phổ thông Năng khiếu kể từ ngày 1/1/1997 Đâycũng là cơ sở của trường Phổ Thông Năng Khiếu cho đến nay Hiện nay,trường cũng đã bắt đầu mở một cơ sở nữa tại Linh Trung, Thủ Đức, vàtăng chỉ tiêu tuyển sinh để có thể chọn lọc thêm nhiều nhân tài

1.2 Thành lập tổ Toán

Tổ Toán là tổ chuyên môn có lịch sử lâu đời nhất trong các tổ chuyên môncủa Trường Phổ Thông Năng Khiếu Điều này cũng dễ hiểu vì Trường PhổThông Năng Khiếu được hình thành dựa trên cơ sở các lớp chuyên Toán –Tin của trường ĐHTH TPHCM, nay là ĐHKHTN TPHCM

Những thành viên đầu tiên của tổ Toán là cô Trần Thị Lệ, các thầy Hoàng

Lê Minh, Lê Bá Khánh Trình, Bùi Xuân Hải, Thái Minh Đường, Nguyễn HộiNghĩa, Lê Văn Hợp, Trần Ngọc Hội Thời gian đầu, nhiệm vụ của tổ Toán

là dạy phần Toán cơ bản cho các lớp chuyên Toán và chuyên Tin học, cũngnhư xây dựng chương trình để dạy cho đội tuyển Tóan Về mặt khối lượngcông việc cụ thể thì không nhiều vì đầu tiên chỉ có 1 lớp chuyên Toán –Tin, sau đó là 3 lớp rồi 5 lớp, tuy nhiên, vì chưa có kinh nghiệm về chươngtrình dạy chuyên (lúc này Bộ chưa ban hành nội dung chương trình chocác lớp chuyên) nên các thành viên của tổ đã phải vừa làm, vừa mày mòhọc hỏi kinh nghiệm, dần dần lên được chương trình khung cho cấp độđội tuyển

Từ năm học 1996-1997, nhiệm vụ của tổ Toán trở nặng nề hơn vì khốichuyên Toán nay đã trở thành trường Phổ thông Năng Khiếu với các lớpToán – Tin – Lý – Hoá – Sinh – Anh – Văn Để đảm bảo cho hai mặt trận –đào tạo mũi nhọn thi HSG và đào tạo Toán phổ thông cho tất cả các lớp,lực lượng của tổ Toán đã được bổ sung thêm rất nhiều các thầy cô giỏi từcác trường PTTH và ĐHKHTN: cô Lợi, các thầy Danh, thầy Viết Đông, thầyNam Dũng, thầy Thanh Dũng, thầy Thùy, và sau này là các sinh viên trẻmới ra trường như Tuấn, Đức, Khanh (Tuấn và Đức là cựu học sinh PTNK)

Thầy Thái Minh Đường (đứng bên trái), nguyên Phó Hiệu trưởng trường

Phổ thông Năng khiếu

Và các thành viên tổ Toán có thể tự hào là đã hoàn thành tốt hai nhiệm vụ.Cùng với các tổ chuyên môn khác, tổ Toán đã góp phần không nhỏ trong

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

mà các thầy muốn gửi đến các em học sinh là: động cơ học tập không chỉ

là đạt giải quốc gia, quốc tế mà quan trọng hơn cả là một kiến thức nềntảng tốt, một phong các làm việc khoa học dành cho những phát triển vềsau Sự trung thực trong thi cử, sự chia sẻ, hỗ trợ lẫn nhau trong học tập,

vì thế luôn là kim chỉ nam của các thầy cô và các em học sinh

Bên cạnh đó, trong quá khứ các thầy cô tổ Toán cũng đã tổ chức nhiều đợttập huấn đội tuyển ở Hóc Môn, Vũng Tàu để cùng sinh hoạt, giao lưu Đấycũng là một trong những ấn tượng rất sâu đậm của các cựu học sinh vớitrường, là những điều cần được phát huy để nâng cao tình thầy trò trongtrường lớp Sau nhiều năm giảng dạy, tổ toán cũng đã có nhiều thay đổitrong danh sách thành viên Dưới đây là một số thầy cô đã và đang côngtác tại tổ Toán:

Thầy Lê Bá Khánh Trình, người thầy có phong cách giảng bài gây ấn tượng

với những thế hệ học sinh Năng khiếu

Thầy Trần Nam Dũng, người thầy quen thuộc của các học sinh chuyên Toán

Thầy Trịnh Thanh Đèo và thầy Nguyễn Văn Thùy

Thầy Nguyễn Trọng Tuấn với những bài giảng về Phương trình hàm sâu sắc

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

Cô Nguyễn Thị Duyên, cô Nguyễn Thị Tuân, thầy Nguyễn Thanh Dũng, thầy

Tạ Hoàng Thông, thầy Nguyễn Trọng Tuấn, thầy Nguyễn Tăng Vũ, thầy Vương Trung Dũng, thầy Võ Tiến Trình, thầy Nguyễn Ngọc Duy

2 Quá trình phát triển – Thành tích của tổ chuyên môn

Đội tuyển khối chuyên tham gia thi HSG Quốc gia lần đầu tiên vào năm

1995 và kết quả là con số 0 Không nản chí, thầy trò lại tiếp tục miệt màidùi mài kinh sử, các thầy đều đem hết tâm huyết ra truyền lại cho thế hệhọc sinh và đàn em giáo viên

Sau một năm rèn luyện vất vả, kết quả đầu tiên cũng đã đến! Trong kỳ thiHSG Quốc gia năm học 1995-1996, học sinh Lê Long Triều đã đạt giải nhìmôn Toán, làm nức lòng các thầy cô và bạn bè Năm đó, Triều được tham

dự kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam thi Toán quốc tế Tuy chưa lọt vào đượcđội tuyển nhưng Triều và Lê Quang Nẫm (mới học lớp 10) cũng đã họchỏi được thêm rất nhiều qua hai tuần tập huấn tại Hà Nội Quan hệ giữa

tổ Toán với các thầy ở Hà Nội cũng được thiết lập và mở rộng

Trong lĩnh vực đào tạo mũi nhọn, những thành tích bắt đầu đến một cách

từ từ nhưng chắc chắn: sau Lê Long Triều đạt giải nhì Toán quốc gia vào

Buổi lễ xuất quân thi HSG Quốc gia 2016

2.1 Giải quốc gia

Thành tích của PTNK qua các kì thi học sinh giỏi Toán quốc gia là vô cùngđáng nể Có nhiều năm, cả đội tuyển PTNK gồm 10 bạn đều có giải quốcgia Bảng sau đây thống kê thành tích thi quốc gia của trường trong giaiđoạn gần đây (từ 2008 đến 2016)

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

2.2 Giải quốc tế

Bắt đầu từ chiếc HCB Toán Quốc tế đầu tiên năm 2003, đến bây giờ cáchọc sinh ưu tú của trường Phổ Thông Năng Khiếu đã giành được tổng cộng

là 11 chiếc huy chương trong kỳ thi Toán Quốc tế (gồm 3 HCV, 6 HCB và

2 HCĐ) Sau đây là danh sách chi tiết các giải IMO của trường PTNK

Đặng Trần Tiến Vinh, IMO 2008 và Phạm Hy Hiếu, IMO 2009

Trần Hoàng Bảo Linh, HCĐ IMO 2013

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

Phạm Tuấn Huy và Cấn Trần Thành Trung - những chàng trai vàng PTNK

Học sinh Phạm Tuấn Huy đã xuất giành được hai Huy chương vàng tạiIMO 2013 (Colombia) và IMO 2014 (Nam Phi)

Hồ Quốc Đăng Hưng, HCB IMO 2014

và 2 Huy chương bạc Trong đó, khối 10 dù là lần đầu dự thi đã xuất sắcgiành trọn vẹn cả 3/3 Huy chương vàng.

Ngoài các hoạt động học tập chuyên sâu, học sinh khối Toán trường PhổThông Năng Khiếu cũng có rất nhiều thành tích khác trong các trò chơi trítuệ, trong các hoạt động văn nghệ, thể thao, Tiêu biểu nhất có lẽ chính

là Thân Ngọc Tĩnh (Toán 0912) và Nguyễn Huy Hoàng (Toán 1215) khi

đã xuất sắc vô địch cuộc thi học thuật thường niên của Phổ Thông NăngKhiếu (Thách Thức Entropy), sau đó đem cầu truyền hình đường lên đỉnhOlympia về cho trường

Dù chưa thể vô địch Đường lên đỉnh Olympia, những thành tích mà NgọcTĩnh và Huy Hoàng đem lại đã góp phần làm đẹp thêm hình ảnh của khôngchỉ tổ Toán, mà còn là hình ảnh chung của ngôi trường Năng Khiếu

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

cơ sở 2 của trường cũng đã được thành lập, nhiệm vụ của các giáo viên tổToán cũng ngày càng trở nên vất vả hơn.

Với định hướng mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng năng khiếu học sinh ViệtNam trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước, chắc chắn trongtương lai tới, sẽ còn thêm thật nhiều học sinh của PTNK đem về vinh quangcho bản thân, cho gia đình, nhà trường và cho đất nước

Trong suốt hơn20 năm dạy học, tôi đã sáng tác rất nhiều những bài toáncho các đề kiểm tra và đề thi ở các cấp Tuy nhiên, đa số những bài toánrồi sẽ bị lãng quên, chỉ còn một số ít những bài toán ở lại, vượt qua thờigian Tôi muốn kể về những bài toán như vậy.

Bài toán đầu tiên là bài toán được chọn trong đề thi Olympic30/4/1996.

Tôi rất thích thú với bài toán này vì để chọn được các hằng số đẹp như mơnhư thế, tôi đã rất tốn công sức, phải giải một hệ phương trình nghiệmnguyên Và thú vị là lời giải cũng ngắn gọn, chỉ trong 2 dòng Bài toán đónhư sau

Lưu Minh Đức đã bó tay “Em đã thử mọi cách mà không ra, kể cả dùng đạo

hàm” - Nẫm nói Chắc là Nẫm tính đạo hàm sai, chứ không cậu ấy đã đi

đến cái phương trình này

21

1− x2 +9(1 + 2x

2)p

1+ x2 = 0

Và sẽ tìm được điểm rơi x =p 2

5.Liên quan đến nhóm 3 bạn Nẫm, Lực, Đức (bây giờ đều là giáo sư Toán)còn có 1 bài toán thú vị khác, đó là bài toán được tôi sáng tác trên cơ sởphát triển bài toán sau:

Cho các số dương a , b, x, y thỏa mãn điều kiện x y = ax + b y Chứng minh

rằng

x + y ≥ (pa+pb)2,

mà tôi cho lớp10 chuyên toán làm ngay trong buổi học đầu tiên

cz Chứng minh rằng

x + y + z >p

a + b +p

b + c +pc + a.

Sau này, tôi đã khai thác đề tài này theo Hướng tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức x + y + z Kết quả liên quan đến nghiệm của một phương trình

bậc3, do đó tôi đã chọn các hằng số a, b, c để phương trình đó có nghiệm

đẹp, từ đó dẫn đến bài toán sau:

lấy ý tưởng phép co để xét một tam giác nội tiếp trong ellip x2+ 3y2= 4

rồi tìm diện tích lớn nhất Đại loại là cho x2+ 3y2= 4 và z2+ 3t2= 4, tìm

giá trị lớn nhất của x t − yz − x − t + y + z Tuy nhiên tôi đã nhầm lẫn thế nào mà cuối cùng giải không ra, tính y theo x cũng không xong mà tính x theo y cũng không được, đều dẫn đến các phương trình bậc3 không giảiđược Thú vị là từ bài toán sai này sau này tôi đã phát biểu thành một bàitoán đẹp, được sử dụng làm đề thi học sinh giỏi quốc gia năm2002 :

P (x) = 4x3− 2x2− 15x + 9, Q(x) = 12x3+ 6x2− 7x + 1.

a) Chứng minh rằng mỗi một đa thức đều có 3 nghiệm thực phân biệt

b) Gọi α và β lần lượt là các nghiệm thực lớn nhất của P và Q tương ứng Chứng minh rằng α2+ 3β2= 4

Năm2003, Nguyễn Đăng Khoa lọt vào đội tuyển quốc gia dự IMO tại NhậtBản còn tôi vinh dự được tháp tùng anh Nguyễn Khắc Minh Năm đó lầnđầu tiên được nhìn thấy mấy cái booklet nguyên bản của các trưởng đoàncho Đề thi quốc gia của Ấn Độ năm đó có bài:

Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = 2 Chứng minh

rằng

x3y3(x3+ y3) ≤ 2

Từ bài toán này, tôi đã đặt ra bài toán tổng quát:

Cho số nguyên dương n , tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng

thức sau đúng với mọi số dương x , y thỏa mãn x + y = 2

x k y k (x n + y n) ≤ 2

Bằng cách chọn x = 1 − ", y = 1 + " rồi dùng khai triển vô cùng bé, tôi tìm được điều kiện k≥n (n−1)2 Việc chứng minh bất đẳng thức

x n (n−1)/2 y n (n−1)/2 (x n + y n) ≤ 2, (∗)

đúng với mọi số dương x , y thỏa mãn x + y = 2, tiến hành theo phương

pháp quy nạp toán học, được quy về việc chứng minh

Bất đẳng thức này nếu cho y = 1 thì thành bài toán sau:

thực dương x ta có bất đẳng thức

x n (x n+1+ 1)

x n+ 1 ≤

 x+ 12

‹2n+1

Sau này, trong quá trình dạy một nhóm học sinh lớp 8, tôi đã phát hiện

ra một cách chứng minh khác cho bất đẳng thức(∗) ở trên, một dạng quy

nạp khá độc đáo: Từ A (n) chứng minh A(2n) và từ A(n), A(n + 1) chứng

minh A (2n + 1) Bạn đọc hãy thử xem nhé.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

a , b, c là ba số thực phân biệt Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức



a2+ b2+ c2+ k(ab + bc + ca)

1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?

Trong phần bình luận, tôi có đặt ra một bài toán như sau:

rằng

(ab + bc + ca)

1

Bài 9. Four real number p , q, r, s satisfy p + q + r + s = 9 and p2+ q2+ r2+

s2 = 21 Prove that there is a permutation (a, b, c, d) of (p, q, r, s) such that

a b − cd ¾ 2.

Đọc kỹ lời giải thì thấy ý chính của bài toán là nếu giả sử p ¾ q ¾ r ¾ s thì

ta sẽ có p + q ¾ 5 Từ ý tưởng này, tôi nghĩ đến bài toán tổng quát là với

x1, x2, , x n thỏa mãn điều kiện:

Những bài toán hay, đẹp, đáng nhớ có lẽ vẫn còn nhiều (trong đó có nhiềubài toán của tác giả khác nhưng vì mình tìm được lời giải đẹp nên vẫnnhớ), nhưng tôi chỉ xin tạm dựng ở10 bài toán cùng chủ đề bất đẳng thức

và cực trị

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

Lời Ban biên tập: Bài viết này được tổng hợp từ các bài giảng của thầy Trình cho

đội tuyển Phổ thông năng khiếu và đội tuyển TPHCM năm 2013 Thầy giảng nhiều bài nhưng để chủ đề được thống nhất, chúng tôi xin giới thiệu các bài liên quan đến đường và điểm cố định.

1 Một số bài tập có hướng dẫn giải.

BC , CA, AB Gọi K là một điểm cố định thuộc đoạn E F và giả sử đường tròn

đường kính AD cắt một đường thẳng bất kì qua K tại M , N Các đường

thẳng M F , N F cắt đường tròn đường kính AD lần lượt ở P, Q Chứng minh

rằng trung điểm PQ thuộc một đường tròn cố định.

Gợi ý.

27

điểm I của E F thuộc đường cố định.

Gợi ý.

Ta thấy O có cùng phương tích đến 3 đường tròn, ngoài ra điểm P cũng

thế Do đó, ba đường trònα1,α2,α3 có nhiều hơn 1 tâm đẳng phương nên

có vô số tâm đẳng phương Điều này cho thấy3 đường tròn này phải có 2điểm chung Bằng cách tính phương tích, dễ dàng chứng minh được trung

điểm I thuộc đường tròn (O; 3R).

cao AD , BE, C F Gọi P là điểm thuộc AD sao cho ∠ABP + ∠AC P = ∠EP F.

Đường tròn (A, AP) tiếp xúc với một đường tròn qua B, C tại điểm T.

1 Chứng minh rằng P tồn tại và duy nhất.

2 Chứng minh rằng H T đi qua điểm cố định.

Gợi ý.

Vẽ đường tròn qua B, F tiếp xúc với AH tại P Dễ thấy AP2 = AB · AF =

AC · AE nên đường tròn (C EP) cũng tiếp xúc với AH tại P Suy ra P chính

là điểm cần dựng Dễ dàng chứng minh đây là điểm duy nhất

Gọi K là giao điểm của E F với BC thì (K, D, B, C) = −1 nên K E ·K F = K D·

K M Gọi T0là tiếp tuyến kẻ từ K đến (A, AP) thì K T02= K E · K F = KB · KC nên K T0 cũng chính là tiếp tuyến của (BC T0) nên T ≡ T0 Phần còn lạitương đối rõ ràng

qua B của đường tròn (PAB) cắt đường kính qua C của đường tròn (PAC) ở

Q Chứng minh rằng Q thuộc một đường cố định.

Gợi ý.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

Gọi M, N , P là trung điểm các cung nhỏ BC, CA, AB không chứa A1, B1, C1

của các đường tròn (O1), (O2), (O3) thì ta có được I, H cùng thuộc đường tròn cố định M N P

trung điểm BD , C D Đường thẳng qua I, J vuông góc với BC cắt AB, AC lần

lượt tại M , N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp AM N luôn thuộc

không đổi Gọi O , H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam

giác, E , F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C Đường thẳng qua A vuông

góc với OH cắt E F ở K Chứng minh rằng K thuộc một đường cố định.

Gợi ý.

đường thẳng qua I cắt O x , O y ở M , N và cắt (I) ở P,Q trong đó P ∈ I M,Q ∈

I N Gọi K là giao điểm của QA , P B và H là giao điểm của N A, M B Chứng

minh rằng H K đi qua điểm cố định.

Gợi ý.

Lần lượt chứng minh OH , OK vuông góc với đường thẳng M N để suy ra rằng H K luôn đi qua O cố định.

2 Các bài toán tự luyện

lượt trên AB , AC sao cho ∠BM D = ∠C, ∠C N D = ∠B Gọi P là giao điểm của

BN , C M Dựng điểm Q cùng phía với P so với BC sao cho ∆QMN ∼ ∆PBC Chứng minh rằng đường thẳng DQ luôn đi qua một điểm cố định.

tuyến thay đổi của (I) cắt AB, AB, BC ở M, N, P Gọi Q là giao điểm của

BN , C M và IQ cắt AP ở K Chứng minh rằng tâm đường tròn (PQK) thuộc

một đường cố định.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

rằng I B cắt O x tại C Điểm M tùy ý di động trên AC Tiếp tuyến kẻ từ M của (I) cắt O y tại N Giả sử IK⊥CN Chứng minh rằng đường thẳng đối

xứng với M K qua I K luôn đi qua điểm cố định.

trên (O) Gọi I, M lần lượt là trung điểm đường cao AH, phân giác AK Gọi

W là điểm nằm trên AK sao cho ∠AC M = ∠BC N Giả sử I N cắt (O) tại

P , Q Chứng minh rằng trung điểm J của PQ thuộc một đường tròn cố định.

2BC Đường thẳng bất kì song song với BC cắt AB , AC ở M , N DM cắt (DAC) ở P và PN

cắt (DAC) ở Q Chứng minh rằng trung điểm I của PQ thuộc một đường cố

định.

bất kì qua trực tâm H của tam giác ABC cắt BC , CA, AB theo thứ tự tại

P , Q, R Gọi K, M , N lần lượt là trung điểm của H P, HQ, HR Chứng minh

rằng DK , E M , F N đồng quy tại S và S di chuyển trên một đường cố định.

không chứa A và I là trung điểm BC Đường thẳng qua I song song với AD cắt nửa đường tròn đường kính BC (phần nằm cùng phía với A) tại điểm J Đường thẳng đối xứng với AB qua BJ và đường thẳng đối xứng với CA qua

C J cắt nhau tại K Chứng minh rằng K D đi qua điểm cố định.

trên (O) Gọi BD, BE là phân giác trong, ngoài tại đỉnh B và C F, CG là phân

giác trong, ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC Biết rằng E F cắt BD ở M ,

G D cắt C F ở N Chứng minh rằng phân giác trong góc ∠MAN đi qua điểm

cố định.

với BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng qua D cắt (I) tại P và cắt

AB , AC tại M , N Biết rằng Q là giao điểm của M E, N F Chứng minh rằng

DQ đi qua điểm cố định.

sử P di động trên AD Đường thẳng BD , C D cắt (O) lần lượt tại M, N Gọi

R , S lần lượt là điểm đối xứng với M , N qua trung điểm các cạnh AC, AB.

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HRS luôn thuộc một đường cố định.

AM ON nội tiếp.

1 Chứng minh rằng đường tròn (M, MB) và (N, N C) có hai giao điểm

phân biệt và có một điểm nằm trong (O), đặt là K.

2 Chứng minh đường thẳng qua hai giao điểm này qua một điểm cố định

và K di chuyển trên một đường cố định.

trên cung nhỏ BC và I là điểm thay đổi trên đường thẳng qua O, vuông góc với AP Gọi M , N là giao điểm của BP, C P với đường tròn (I, I P) Chứng

minh rằng trung điểm M N thuộc một đường cố định.

trên (O) Gọi D là trung điểm BC, trực tâm H và đường cao BE, C F Gọi

M , N là các điểm thuộc AB, AC sao cho M , D, N thẳng hàng và AM = AN.

Giả sử M N cắt (DEF) tại P Chứng minh HP luôn đi qua điểm cố định.

trên (O) Gọi E, F là chân đường cao kẻ từ B, C và I là trung điểm BC.

Đường thẳng qua I song song với C F cắt (BF I) tại M Đường thẳng qua I

song song với BE cắt (C EI) tại N Gọi d1, d2 là các đường thẳng đối xứng với M N qua AB , AC Chứng minh giao điểm d1, d2 thuộc đường cố định.

định thuộc BC Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc BI, C I sao cho M I N P

là hình bình hành Gọi J , K lần lượt là tâm của (IAB), (IAC) Chứng minh

rằng giao điểm Q của I M , K N luôn thuộc một đường tròn cố định.

qua I cắt AB , AC ở M , N Giả sử BC cắt các đường tròn (M, MA) và (N, NA)

lần lượt tại P , Q Giả sử D đối xứng với A qua M N (P, I nằm khác phía so với

AB, Q , I khác phía so với AC) Chứng minh rằng đường tròn (PQD) luôn đi

qua điểm cố định.

trên (O), I là tâm đường tròn nội tiếp Biết rằng AI cắt BC tại D và J là

trung điểm AD Biết rằng BJ , C J cắt đường tròn đường kính AC, AB lần lượt

tại E , F (E, J nằm cùng phía so với AC, F, J nằm cùng phía với AB) Đường

thẳng đối xứng với BI , C I qua các đường thẳng BE, C F cắt nhau ở K Chứng

minh rằng AK đi qua điểm cố định.

1 Chứng minh tồn tại I thuộc AD sao cho ∠IAB = ∠IAC.

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM

2 Đường tròn qua I và A cắt AB , AC lần lượt tại M , N Chứng minh rằng

trực tâm tam giác AM N luôn thuộc một đường thẳng cố định d và d

đi qua điểm J đối xứng với I qua H.

trên (O) Gọi AD là đường phân giác trong và đường tròn đường kính AD cắt

BC , CA, AB lần lượt tại K, M , N Giả sử K M , K N cắt đường tròn đường kính

AD tại P , Q Chứng minh rằng đường tròn (K PQ) luôn đi qua điểm cố định.

trên (O) Điểm D đối xứng với A qua O Giả sử C D cắt AB tại E, BD cắt

AC tại F Đường thẳng EO cắt đường thẳng đối xứng với BC qua phân giác

∠AC D tại M , đường thẳng F O cắt đường thẳng đối xứng với BC qua phân

giác ∠ABD tại N Chứng minh M N luôn qua một điểm cố định.

trên (O) Dựng hình vuông ABDE, ACGF nằm phía ngoài tam giác Giả sử

AF , BD cắt nhau tại M , AE, C G cắt nhau tại N Giả sử (DM F), (GN E) cắt

nhau tại P , Q Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua điểm cố định.

tròn tiếp xúc với BC ở B , C và cùng bán kính r bé hơn BC Điểm A thay đổi

sao cho đường tròn α qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm M của BC có bán kính lớn hơn r Gọi t1 là tiếp tuyến chung trong của α, β và t2 là tiếp tuyến chung trong của γ, α Giả sử t1, t2 lần lượt cắt BC tại E , F và t1, t2cắt nhau tại D Giả sử tam giác DE F không cân tại D Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DE F thuộc một đường cố định.

trên (O) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cung AB, AC Xét các đường

tròn tâm M , N tiếp xúc với AB, AC và t là tiếp tuyến chung ngoài của chúng

sao cho A và B , C khác phía với t Giả sử t cắt AB, AC lần lượt tại P, Q Gọi

K là giao điểm của M P , NQ Chứng minh K thuộc một đường cố định.

của (I) với AB, AC Điểm P thay đổi trên cung EF sao cho tiếp tuyến tại P

của (I) cắt đường thẳng EF ở M Đường thẳng qua M song song với AB

cắt AP tại N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (EMN)

thuộc một đường cố định.

lần lượt thuộc các đoạn BA , BC, DA, DC kéo dài sao cho ∠M DA = ∠N DC =

∠P BA = ∠QBC Gọi H là giao điểm của AQ, C P, K là giao điểm của AN , C M

Chứng minh rằng trung điểm I của H K thuộc một đường cố định.

Cho n là số nguyên dương Khi đó, số nguyên x0gọi là nghiệm của phương

trình đồng dư f (x) ≡ 0 (mod n) khi f (x0) chia hết cho n Ta quy ước hai

nghiệm của phương trình là phân biệt nếu như chúng không đồng dư với

nhau theo modulo n.

Định lý Lagrange: Cho số nguyên tố p và n∈ Z+ Nếu

f (x) = a n x n + a n−1x n−1+ + a1x + a0

là đa thức hệ số nguyên và(a n , p) = 1 thì phương trình f (x) ≡ 0 (mod p)

có không quá n nghiệm phân biệt.

Hệ quả: nếu p là số nguyên tố lẻ và d là ước nguyên dương của p− 1 thì

x d ≡ 1 (mod p) có đúng d nghiệm phân biệt theo modulo p.

2 Chứng minh rằng nếu (∗) có nghiệm với a = −1 thì p = 4k + 1.

3 Chứng minh rằng nếu (∗) có nghiệm thì có đúng 2 nghiệm thuộc A.

4 Gọi P là tập con của A sao cho (∗) có nghiệm Chứng minh rằng |P| =

p−1

5 Chứng minh rằng (∗) có nghiệm khi và chỉ khi a p−12 ≡ 1 (mod p).

6 Gọi S là tổng tất cả các phần tử của P khi p = 4k + 1 Tính S theo k.

7)(x2+ 14) Chứng minh rằng tồn tại x ∈ N sao cho p| f (x).

2 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho f (x) ≡ 0 (mod n) có

nghiệm.

Bài 6. Cho a > 1 là số nguyên dương và xét hàm số f (x) = x n −a với n > 1.

Với mỗi số nguyên dương m, giả sử rằng tồn tại k nguyên sao cho m | f (k).

1 Nếu có p số nguyên x0, x1, , x p−1phân biệt sao cho f (x i ) là số chính

phương (mod p) với i = 0, 1, , p − 1 thì phương trình f (x) ≡ 0 (mod p) có nghiệm.

2 Nếu ∆ = b2

− 4ac 6= 0 (mod p) thì f (x) ≡ 0 (mod p) hoặc có 2

nghiệm hoặc vô nghiệm.

x , y, z, t thỏa mãn đẳng thức

x2+ y2+ z2= pt với 0<t<p

Bài 12. Cho số nguyên tố p > 3 và p chia 3 dư 2 Đặt A = x4+ x2y2+ y4

với x , y ∈ Z Chứng minh rằng nếu A chia hết cho p thì cũng chia hết cho

2 Tồn tại các số tự nhiên x , y sao cho x2+ y2= p.

minh rằng a là số chính phương modulo p khi và chỉ khi a là số chính phương modulo p k

Hướng tới kỷ niệm 20 năm thành lập trường PTNK, ĐHQG TP HCM