ham so luong giacphuong trinh luong giac

.0r về bên trái và phải và song song với trục Ox với ir là vec-tơ đơn vị trên trục Ox... – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.. – Hàm số luôn giảm trên tập xác định D... *Dạng:as

Chương I:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN I: LÝ THUYẾT VÀ CÁC CÔNG THỨC

1/ Đường tròn lượng giác:

2/ Bảng giá trị lượng giác của một số cung

3

2

2 2

� Bù nhau ( và    ) � Đối nhau ( và   ) � Phụ nhau ( và

4/ Công thức lượng giác cơ bản:

�sin2xcos2x1 �tan sin

cos

x x

x

sin

x x

Chú ý: tan x xác định với điều kiện: x k ,kZ

cos(x y�) cos cos x y msin sinx y

sin(x y�) sin cos x y �cos sinx y

tan tantan( )

1 tan

x x

2

x

x 

; 2 1 cos 2tan

1 cos 2

x x

 Dựa vào CT cộng, ta có: sin cos 2 1 sin 1 cos 2 sin

sin 2 2.sin cos

cos

x x

x x

2 2

cos sin

1 tancos

cos 2 cos sin

cos

x x

x x

11/ Một số biến đổi thường gặp

Dựa vào các công thức lượng giác, ta có một số biến đổi cung, bậc, hàm như sau (trong đó cónhững biến đổi rất đơn giản):

cossin sin cos cos sin sin

cos cos sin sin cos cos cos 

sin cos cos 2

1sin cos sin 2

cos sin cos 2

1sin cos sin 2

(hoặc sin 2 2sin cos 2sin cos2 2 2

sin cos tan cot

Do đó: sin 2 2 2 tan2 2cot2

tan cot tan 1 1 cot

sin cos sin cos sin sin cos cos

sin cos 1 sin cos

sin cos sin cos sin sin cos cos

sin cos 1 sin cos

sin cos 3sin cos3

1 sin 24

sin cos sin cos sin cos

1cos 2 1 sin 2

0 sin� �x 1 sin m x sin n x, x  R và m n� 0.

Chủ đề 1:Các hàm số lượng giác Vấn đề 1:Tập xác định-Tập giá trị

sin1

1 )

32tan( 

6cot(  

y

cossin

x 2.y=3  2cosx

Ví dụ 5:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

1.y= 1 sin(x2) 1 2.y4sin x

3.y=4sin2x-4sinx+3 4.y=cos2x+2sinx+2

Bài tập tự luyện:

Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số:

1.y=tan3x 2.y= )

42

x

x

3cos1

12sin

y

cossin

Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

1.y=3sin2x-5 2 y12cos5x 3 cos2 sin 4

x

y 2 y4  3cos2 x 3 ycos4 xsin4 x

Bài 6 :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

sin

1

x y

x



1tanx1

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

c/ y sinx d/ y4sin2x4sinx3

e/ ycos2x2sinx2 f/ y sin4x2cos2x1

g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2xcos2x

i/ y = sinx 3cosx3

Vấn đề 2:TÍNH CHẤT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

*Tính chẵn-lẻ của hàm số lượng giác:

Nếu có x 0 D mà f(x)f(x) và f(x) f(x) thì hàm số không có tính chẵn-lẻ

*Tính đơn điệu của các hàm số lương giác:

-Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng 

2 k k và nghịch biến trên mỗi khoảng

Z k k

Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

Các hàm số y=sinx,y=cosx là những hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2

 Các hàm số y=tanx,y=cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì T=

*Bài tập ví dụ:

Ví dụ 1:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:

1.y=-2sinx 2.y=3sinx-2 3.y=sinx-cosx 4.y=sinx.cos2x+tanx

Ví dụ 2:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:

4cos(  

y 2

3sinsinx x

y  3 y tan x 4.y=tanx-sin2x

Ví dụ 3:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:

1.ysin x 1 2 ysinx.cos3 x 3 ysinx 4.y=x2+cosx

Ví dụ 4:Lập bảng biến thiên của:

1.y=sinx trên đoạn  ; 2 y=cosx trên đoạn  ;

3 y=tanx trên khoảng 

;2





4 y=cotx trên khoảng 0;

Ví dụ 5:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số:

1.y=sin2x 2.y=cos(x-1) 3.y=

3tan x

Ví dụ 6:Xét sự đồng biến hay không đồng biến của các hàm số f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=tanx trên các khoảng:

452

;4

33

;4

31

;4

;4

.sin  có tính chất f(xk)f(x)

Ví dụ 9:Chứng minh hàm số:

1.y=cosx tuần hoàn và có chu kì T 2

2.y=tanx tuần hoàn và có chu kì T 

Ví dụ 10:Chứng minh hàm số:

1.y=sin là hàm số tuần hoàn với chu kì x T 

2.y=cos(x2) không là hàm số tuần hoàn

Bài tập tự luyện :

Bài 1:Xét tính chẵn-lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx

cos 1sin

x x

g/ y 2sin cos3x x h/ y cos 42 x i/ y = tan(3x + 1)

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 10

ĐỜ THỊ CỦA HÀM SỚ LƯỢNG GIÁC

1/ Vẽ đờ thị hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác định D

– Tìm chu kỳ T0 của hàm số

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn cĩ độ dài bằng chu kỳ T0 ,cĩ thể chọn:

00,

– Vẽ đờ thị trên đoạn cĩ độ dài bằng chu kỳ

– Suy ra đờ thị trên các đoạn cịn lại theo phép tịnh tiến v kT ir  0r về bên trái và phải và song song với

trục Ox (với ir là vec-tơ đơn vị trên trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đờ thị:

a/ Từ đờ thị hàm số y = f(x), suy ra đờ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đờ thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0

b/ Từ đờ thị y = f(x), suy ra đờ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đờ thị y = f(x) qua trục hồnh

Ví dụ 1: Vẽ đờ thị hàm số y = f(x) = sinx.

– Tịnh tiến theo vec-tơ vr  2 k i ta được đồ thị y = sinx.r

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2�� ��:

– Tịnh tiến theo vec-tơ vr  2 k i ta được đồ thị y = cosx.r

Nhận xét:

– Đồ thị là hàm số chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng

– Hàm số nghịch biến trên khoảng  0, và đồng biến trên khoảng  , 2 

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.

x0y0

– Bảng biến thiên trên ,

– Đồ thị là hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.

– Bảng biến thiên trên đoạn 0,� � :

– Tịnh tiến theo vec-tơ v k ir   ta được đồ thị y = cotx r

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.

– Vẽ đồ thị y = sinx

– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đồi xứng qua Ox

x0y0+

Ví dụ 6: Vẽ đờ thị y = sinx

sin , ne�u sin x 0sin

-sin x, ne�u sin x < 0

x

�

Ví dụ 7: Vẽ đờ thị hàm số y = 1 + cosx.

– Vẽ đờ thị y = cosx

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y 1 cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị ycosx lên

trục hoành 1 đơn vị

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2��  :��

Ví dụ 8: Vẽ đờ thị y = sin2x.

– y = sin2x cĩ chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2��  :��

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 14

x

x0y = cosx10–101y = 1 + cosx2

1

012

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.

– y = cos2x có chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2��  :��

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin



x–000

–1

01

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos

0

x–00

–1

01

0

x–00–1010

–1

–10110

–111011

01

3 2

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

Ví dụ 13: Vẽ đồ thị cos sin 2cos

–1

–10110

–111

011

01

3 2

x0cosx–1010–1sinx0–1010cosx – sinx–10110–1–11

011011

Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Gọi M là GTNN và N là GTLN của hàm số y=4-3cos2x khi đó:

Câu 2 GTNN của hàm số y=sinx+cosx là

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 18

x

y

y = tanx + cotx

4 3 3

2

4 3 3

Câu 16. GTLN của hàm số y=2 cos2x +cos2x -1

A. ymax=4 tại x=k (k ) B. ymax=2 tại x=k





 xác định khi vàchỉ khi 3xsinx 0�

B Hàm số 3 sinx

2cos 1

x y

x





 xác định khi và chỉkhi 3xs inx = 0

C Hàm số 3 sinx

2cos 1

x y

x





 xác định khi và chỉkhi 2cosx 1 0

Câu 24 Tìm GTLN và GTNN của hàm số ysinx 3 ?

A maxy4; miny 2 B maxy4; miny2

C maxy2; miny4 D maxy2; miny 4

Câu 25Tìm GTLN và GTNN của hàm số y cosx ?2

A maxy3; miny 1 B maxy3; miny1

C maxy3; miny 2 D maxy3; miny2

Câu 26 Cho hàm số y = sinx + cosx Tập xác định của hàm số là:

Câu 27. Cho hàm số y = 1 cos

sin 1

x x

A.R \ {-/3 + k / k  Z} B.R

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 20

C.R \ {2/3 + k / k  Z} D.R \ {2/3 + k2 / k  Z}

Câu 31. Cho hàm số y =

3 3

sin

x x

k x

x m

sinsin

c/ sinu sinv � sinusin( )v

d/ sin cos sin sin

*m 1:Phương trình vô nghiệm

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 22

*m 1:phương trình có nghiệm

Nếu  là một nghiệm của phương trình,nghĩa là cos m thì:

k x

k x

x m

coscos

c/ cosu cosv � cosucos( v)

d/ cos sin cos cos

Đặt biệt:

*cosx=1 x  k2 *cosx=-1 x(2k1) *cosx=0 x k

2

3.Phương trình tanx=m.

Điều kiện xác định là cosx 0

Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.Nếu  là một nghiệm của phương trình,nghĩa là:

tan =m thì:tanx=m x k

a/ tanx tan � x  k (k Z� )

b/ tanx a � x arctana k k Z ( � )

c/ tanu tanv � tanutan( )v

d/ tan cot tan tan

2



e/ tan cot tan tan

Điều kiện xác định là sinx 0

Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.Nếu  là một nghiệm của phương trình,nghĩa là:cot =m thì: cotx=m x k

Đặt biệt:cotx=0 x k

2

Bài 1:Giải các phương trình:

Bài 2:Giải các phương trình:

1) sin 3 x 1 sin x2 2) cos cos 2

9) tan 2 x 1 cot x0 10) cosx2x 0

11) sinx22x  0 12) tanx22x 3 tan2

Ví dụ 4.Giải các phương trình sau:

1.cos3x=sin2x 2.sin(x-1200)-cos2x=0 3.cos3x+cos2x-cosx-1=0

(Tuyển sinh khối D năm 2006)

Ví dụ 5:Giải các phương trình sau:

a)tan(2x-1)= 3 b)cot2x= )

3

1cot( c) 20 ) 3

4cot(x 0 

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 24

Giải:

a) tan(2x-1)=  x   x  k  x  k ;kZ

262

13

123tan)12tan(

b) cot2x=   x k  x  k ;kZ

26

13

12)3

1

c) x    x 20 )cot(30 )  x200 k720 ;kZ

4cot(

3)20

3

cot x  b) )

4tan(

2tan x x c)2tan5x=1

Ví dụ 7:Tìm nghiêm của phương trình sau trên khoảng đã cho:

a)tan(2x-1500)=1 vơí -1800<x<900 b)cot3x=

Ví dụ 8:Giải các phương trình sau:

a)tanx=cot2x b.tan(2x+300)+tan100=0 c)cotx+sin x(1+tanx ) 4

2tanx 

(Đại học khôí B năm 2006)

Ví dụ 9:T ìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2sin

2

cos1

x y

cos2cos

)2sin(





 3

3cos2

4

1sin

tan1

tan



 8

12cot3

cos.sin

2 



x

x x y

10 y tanx 11 ytan x cotx 12

4cos2sin

1tan





x x

x y

Ví dụ 10:Vơí giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:

1 2sin3x=m-1 2 mcosx-2=cosx+3m 3 2cot(x+1)=3m-1

4 mtanx+2=m 5.cos(3x-1)x=m2-4m+3 6.msinx-3=(2m+1)sinx+m

Bài tập tự luyện:

Bài 1:Giải các phương trình sau:

Bài 2:Giải các phương trình:

a) 0 ; 1200 900

2

2)152

sin( x   x b) x  ; x

2

1)12cos(

Bài 3:Giải các phương trình sau:

a)

4

1)12

sin( x  b) sin3xcos2x

c) tan(3x+2)+cot2x=0 d)sin4x=2cos2x

Bài 4.Giải các phương trình:

1.2sinx+ 2sin2x0 2.sin22x+cos23x=1

3.tan5x.tanx=1 4 )

4(cos)5

25(

cos

cos

3sin2sin

x

x x

x

2.4sinx.cosx.cos2x=1

Bài 6.Giải các phương trình sau:

1.cos(4x-300)=sin300 2.cos(1100-4x)+sin(x-800)=0 3.2sin22x+sin7x-1=sinx

(khối B năm 2007)

Các bài tập nâng cao:

VD1:(Đại học Huế-khối D-1997):Giải phương trình: 2cos 0

sin1

2sin

sin

0cos.sin2cos22

k x

x

k x

262

1sin

20

cos

0)1sin2(

 2cosx( 3sinxcosx1)0

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 26

k Z

k x

k x x

x x

x

k x

22

1)6sin(

1)6sin(

21cossin

3

20

k x

6

20

cos.sin2.cos

sin2

3cos.cos

)3sin(

cos

sin2

)3tan(tan



x x

x x x

x x

x

x x x

x x

x x

pt

14cos2

cos4cos12cos

3cos.cos2sin2

23cos.cos

sin2

2 2

x x

x x x

x x x

Chú ý: (1 cos2 )

2

1sin2   

VD4(Đại học An ninh-Cảnh sát-khối A-1997):Giải phương trình sau:tanxcotx4

4sin

coscos

cos

0

)2cos2(sin2cos.sin

1)

2cos2(sin2sin

coscos

sin

x x

x x x

x x

x x

x

1)44sin(

2

14cos4sin

14sin2

1)4cos1(21

12cos.2sin2sin

1)2cos2

(sin2sin

)2cos2

(sin22sin2

x x

x x x

x x

x

x x

)33

cos(

2sin2cos33sin33

x x

x x

1cossin

3

0cos

0)1cossin

3(

cos

2

1cos21cos2cos.sin

x x

x x

x

x x

x x pt

3.Giải phương trình:2(cosx 3sinx)cosxcosx 3sinx1

cossin

)1.(coscos2

x x

x

x x

)4sin(

0)4sin(

20cos

0)1)(sin1)(cossin

1

(

0)1coscos

.sin)(sinsin

1

(

0)cos2sin2sincos.sin1)(cossin

1

(

0)cos)(sin

sin1(2)1)(cossin1)(

sin

1

(

)cos)(sin

sin1(2)1)(cossin

x

x x

x x x

x x

x x x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x pt

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1:PHƯƠNG TRÌNH THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A.Lí thuyết:

ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn Trang 28

Phương trình có dạng:at+b=0 hoặc at 2 +bt+c=0 hoặc at 3 +bt 2 +ct+d=0…Trong đó t là một trong các hàm sô lượng giác đã học.

Chú ý:

1.Có đơn vị hay không có đơn vị của ẩn.

2.Đặt ẩn phụ kèm theo điều kiện,kết hợp nghiệm

3.Nắm vững cách giải 4 phương trình lượng giác cơ bản và công thức tìm nghiệm

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a)2sin2x+1=0 b) 2cosx 30 c) 3tan3x 30

Giải:

k x

k x

12

2

12

3cos

03cos

c) x   x   x k ;kZ

39

33tan0

33

tan

Ví dụ 2.Giải các phương trình:

a.(sinx+1)(2cos2x- 2 )=0 b.cos2x+sinx+1=0 c.cot23x-cot3x-2=0

Ví dụ 3.Giải các phương trình sau:

a.4cos2x-2(1+ ) 2 0

2sin(

)4cos(

Ví dụ 4.Giải các phương trình sau:

a.3cos4x-2cos23x=1 b.2cos2x-8cosx+7=

x

cos1

c x

x

x x x

cos2

1tan

1

)4sin(

)2cos

(Đại học khối A năm 2010)

Ví dụ 5.Giải các phương trình sau:

a.2cosx.cos2x.cos3x=7cos2x+7 b.2cos23x+1=3cos4x

c.cos23x.cos2x-cos2x=0 (Tuyển sinh đại học khối A năm 2005)

Ví dụ 6.Giải các phương trình:

a.sin2x+sin22x+sin23x=

2

3

b.cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2

Ví dụ 7.Giải các phương trình:

a

2

)4cot(

x b.

2

1)2

5sin(

.sin22tan1

cos.sin)cos

x

Ví dụ 8.Giải các phương trình:

a.sinx-cosx= 2sin3x b.sinx+cosx=sin3x+cos3x

Ví dụ 9.Giải các phương trình sau.

1.3tan2x-4tan3x=tan23x.tan2x 2

8

53

cos3sin4 x  4 x 

3.4sin3x+3cos3x-3sinx-sin2x.cosx=0 4.cos3x-4sin3x-3cosx.sin2x+sinx=0

sin1sin.tan)

sin1

(

4

)cos1()

x 

x x

x x

4cos)4tan(

)

4

tan(

2cos2

2

2 2

x x

1

10.tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx)

11.sin2x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 12 )

3cot(

sin

cos31(22

cos1

1cos

1

1sin

x x

x

x x

cos4sin

2sin12

19 2

2cos2

cot

4sin2cot

x x

x

20 0

cos

2cos39sin62sin

x

2sin1

1cos2)23sin

x

22

x x

22

sin

1cos

x

cos

1cot

tan   24 )

62cos(

5)2cos32

29.cos3x+sinx-3sin2x.cosx=0 30.3(tanx+cotx)=2(2+sin2x)

Dạng 2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A.Lý thuyết.

*Dạng:asinx+bcosx=c với a,b không đồng thời bằng 0.

Phương pháp:Biến đổi a.sinx+b.cosx về dạng Asin(x+) hoặc B.cos(x+  ).

b x

b a

a b

a

a

nên tồn tại số  sao cho:

2 2

cos

b a

b





a.sinx+b.cosx= a2 b2(cos.sinxsin.cosx) a2 b2 sin(x)

Do đó việc giải phương trình a.sinx+b.cosx=c được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản:

sin( ) 2 2

b a

c x

a  

Chú ý:

4cos(

2)4sin(

2cos

6sin(

2cossin

3sin(

2cos3

B.Bài tập ví dụ:

Bài 1:Giải các phương trình sau:

1 3sinxcosx2 2 sinx 3cosx1