BÀI GIẢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11) ================================================= HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (bài giảng giải tích 11)

a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y)

Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1s inx1)

b) Hàm y = sinx là hàm số lẻ (Vì  x D  xD và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).

Chu kỳ T = 2 (Vì sin(x  2 ) s inx - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2 thì giá trị hàm số trở về nh cũ

-đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2 - tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện)

c) Bảng biến thiên trên đoạn    (trên 1 chu kỳ); 

d) Đồ thị hàm số

Chú ý ! Nhờ tính chất tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = sinx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo

sát hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài 2, rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ dài

lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta đợc đồ thị trên đoạn    (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu ; 

đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ; 4 ;6 ;   

0 -1

0

y = sinx

0 x

2 Hàm số y = cosx

a) TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính đợc y)

Tập giá trị [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính đợc của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1cosx1)

b) Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì  x D xD và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua trục tung Oy).

Chu kỳ T = 2 (Vì cos(x  2 ) cos x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2 thì giá trị hàm số trở về nh cũ

-đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2 - tính chất này giúp vẽ đồ thị đợc thuận tiện: )

c) Bảng biến thiên trên đoạn    (trên 1 chu kỳ); 

d) Đồ thị hàm số

Chú ý ! Nhờ tính chất

tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị hàm số y =

cosx trên R có dạng sau: (Ta chỉ cần khảo sát

hàm số đó trên 1 đoạn có độ dài 2, rồi tịnh tiến

phần đồ thị vừa vẽ sang trái, phải các đoạn có độ

dài 2 ; 4 ;6 ;    thì ta sẽ đợc toàn bộ đồ thị

*Nhận xét:

+ Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng

(  k.2 ;k.2 ) 

+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng (k.2 ;  k.2 ) k Z

1 0

-1

y = cosx

0 x

+ Ngoài ra, có thể vẽ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách khác nh sau:

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2 Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;  (nửa chu kỳ), sau đó 

lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta đợc đồ thị trên đoạn    (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu ; 

đợc sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ; 4 ;6 ;   

b) Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì  x D  xD và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).

Chu kỳ T =  (Vì tan(x  ) tan x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm  thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ  )

c) Bảng biến thiên trên đoạn    (2 chu kỳ); 

y = tanx

0 x

 

  gọi là 1 đờng tiệm cận của đồ thị hàm

 , tuần hoàn với chu kỳ  Do đó, muốn khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;

4 Hàm số y = cotx

a) TXĐ: DR \ k / k  Z (Vì sin x0) Tập giá trị: R

b) Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì  x D xD và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).

Chu kỳ T =  (Vì cot(x  ) cot x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm  thì giá trị hàm số trở về nh cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ  )

c) Bảng biến thiên trên đoạn    (2 chu kỳ); 

d) Đồ thị hàm số

*Nhận xét:

+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k ;  k ) k Z

+ Hàm số không có khoảng đồng biến biến

+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đờng thẳng x k. làm 1 đờng tiệm cận

0

2



 3 2

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ k / k  Z , tuần hoàn với chu kỳ  Do đó, muốn khảo sát sự biến

thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;

1 s inx



2 cos x s inx 2 b) y=

cos x

Hớng dẫn a) Hàm số

2

5cos x s inx 7 y=

cos x





Hớng dẫn a) Vì 1 s inx 0 và 1 cos x 0 với mọi x nên 1 s inx 0

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) yt anxc otx b) y tan(2x )

4



Hớng dẫn a) tanx xác định khi và chỉ khi x k , k Z

2



    , cotx xác định khi và chỉ khi x k , kZ

Vậy yt anxc otx xác định khi và chỉ khi x 2 k. (k Z) hay x k. (k Z)

.sin

x y



 có nghĩa khi và chỉ khi:x.sinx 0 x k  Vậy tập xác định của hàm số là: D R k \ /k 

b) Do 2 sin xcosx 1 sinx  1 cos x  0

Do đó hàm số y 2 sin xcosx đợc xác định với mọi x Vậy tập xác định của hàm số là: D R

c) Biểu thức 3

1 sin

tgx y

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ: T 2

a





+ Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T 

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuầ

n hoàn với chu kỳ T

a





Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ T  , tức là: f(x  ) f(x), x (*)

và T  là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*)

Nghĩa là T  là số dơng nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện f(x T) f(x), x

Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 

Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau

+ Sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lợng giác + Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lợng giác

Phơng pháp

+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi

x thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x)

+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x)

y3 cos xsin x Hớng dẫn

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: s inx s inx nếu sinx 0 (y 0)

s inx nếu sinx 0

+ Phần đồ thị với s inx0 thì lấy bằng chính nó (giữ

nguyên) (Vì s inx s inx nếu sinx )0

+ Phần đồ thị với s inx0 thì lấy đối xứng qua trục hoành (Vì s inx  s inx nếu sinx0)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

Vậy giá trị lớn nhất của y là 4 và giá trị nhỏ nhất của y là -
4 (Khi )

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 1 sin x cos x

Bài 7: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y2sinx b) y3sinx 2 c) ysinx cosx d) ysin cosx 2x tgx

Hớng dẫn a) Gọi f x 2sinx, hàm số có tập xác định D R Với mọi x R , ta có:  x R

  2sin  2sin  

b) Gọi f x 3sinx 2, hàm số có tập xác định D R Lấy

Vậy hàm số ysinx cosx là hàm số không chẵn cũng không lẻ

d) Gọi f x sin cosx 2x tgx Hàm số có tập xác định \ /

Vậy ysin cosx 2x tgx là một hàm số lẻ

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

x  k 

Vậy hàm số có GTLN là 5 và GTNN là 1

b) Hàm số: y 1 sin  x2  có tập xác định là 1 D R

Với mọi x R ta luôn có:  1 1 sin  x2  1 2 1    1 y 2 1

c) Hàm số y4sin x có tập xác định là D 0; 

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau trên miền xác định của chúng

x

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau trên miền xác định của chúng

f(x) = 2cos2x – cosx + 1 HƯỚNG DẪN

Hàm số f(x) = 2cos2x – cosx + 1 xác định với x   Đặt t = cosx, khi đó -1  t  1

Xét hàm số F(t) = 2t2 – t + 1 và có bảng biến thiên sau:

Hàm số f(x) = sin2x – 4sinx – 2 xác định với x   Đặt t =sinx, khi đó –1≤t≤1 Ta có:

)(min)(min);

(max

)

(

max

1 1 1

x

f

t R

x t

R

x     

Ở đây F(t) = t2 – 4t – 2

Lập bảng biến thiên với tam thức bậc hai t2 – 4t – 2, ta có

Hàm số f(x) = sinxcos2x + tanx xác định với mọi x 2k, k 

Rõ ràng tập xác định D đó là miền đối xứng qua gốc O Với xD, ta có:

f(–x) = sin(–x)cos2(–x) + tan(–x) = –sinxcos2x – tanx = –f(x)

Vậy f(x) là hàm lẻ trên trên miền xác định D =

Vậy hàm số f(x) = 4sin2x + 3 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ trên 

Bài 14: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = 5cosx – 2;

HƯỚNG DẪN

Hàm số f(x) = 5cosx – 2 xác định trên  Với x  , ta có: f(–x) = 5cos(–x) – 2 = f(x)

Vậy f(x) = 5 cosx – 2 = f(x) Vậy f(x) = 5cosx – 2 là hàm số chẵn trên 

Bài 15: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số f(x) = sin2x – cos 3x

HƯỚNG DẪN

Hàm số f(x) = sin2x – cos3x, xác định trên  Rõ ràng  là tập đối xứng qua gốc O

Mặt khác, với mọi x  , ta có: f(–x) = sin(–2x) – cos(–3x) = –sin 2x – cos3x (1)

3

2sin

3

2sin

Vậy trên  hàm số f(x) = sin2x – cos3x không phải là hàm số chẵn, cũng không phải là hàm số lẻ

b) Nếu có số thực  thỏa mãn điều kiện 2 2 arccos a

Ngời ta ký hiệu nghiệm đó là arctana Khi đó t anx a xarctan ak (k Z)

4 Phơng trình cotx = a Điều kiện x k (kZ)

Đa phơng trình về dạng: cotx = cot

Ta có: cot xcot  x k (k Z)

* Chú ý

a) Nếu số đo của  đợc cho bằng độ thì: 0

cot xcot  x k.180 (kZ) b) Với mỗi số a cho trớc, phơng trình cotx = a có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng 0;  Ngời 

ta ký hiệu nghiệm đó là arccota Khi đó cot x a xarc cot ak (k Z)

29

106

Suy ra: k1,k  VËy: 0 x 49,x 9

Bài 5: Giải các phương trình sau: a) 3 2tg x   b) 1 0 cos x  3002sin 152 0 1

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x3sinx 5 0 b) cotg x23  cot 3g x 2 0

HƯỚNG DẪN a) Đặt tsinx (với   1 t 1), ta được phương trình 2t23t 5 0

Phương trình này có hai nghiệm t  và 1 1 2

53

t  (loại nghiệm t ) Như vậy:2

b) Đặt cot 3g x  , ta có phương trình 1 t2 t 2 0 Phương trình này có hai nghiệm là t 1 và t 2 Do

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) 2cosx  3 0 b) 3 3tg x   c) 3 0 sinx1 2  cos x2  2  0

cos x  cos x cos   x  k   x  k 

Ngoài ra, phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c còn có 2 cách giải nữa nh sau:

x k.2 12

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a) cos 7x 3 sin 7x sin x 3 cos x b) 2 cos 2x cos x  3 sin x

Híng dÉn a) Ta cã:

cos 7x 3 sin 7x sin x 3 cos x cos 7x 3 sin 7x 3 cos x sin x

Vì 2 sin x0 với mọi x nên hàm số đã cho có TXĐ: D = R.

Giả sử y là một giá trị của hàm số, khi đó phải tồn tại 0 xR sao cho: y 0 cos x 2 sin x

Hay ph¬ng tr×nh: sin x y cos x 0 2y 0 1 ph¶i cã nghiÖm, tøc lµ ta ph¶i cã:

 , y cã hai gi¸ trÞ nguyªn lµ: 0 y 0 0 hoÆc y 0 1

+ Chia 2 vế cho cosx (điều kiện: cos x0) để đa về phơng trình đối với tanx

+ Hoặc chia 2 vế cho sinx (điều kiện: sin x0) để đa về phơng trình đối với cotx

+ Với cosx  0 hay x k

1 tan x

   thay trực tiếp vào phơng trình (3) ta đợc: 2 (1  3 ).0 (1  3 ).0 (S)1

Vậy cosx = 0 không thỏa mãn phơng trình (3)

2 cos x 3 3 sin 2x 4 sin x4 cos x 3 3 sin x cos x 2 sin x2(4)

* Chú ý: Phơng trình trên có thể xét 2 trờng hợp sinx = 0 và sin x0

Bài 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2

m sin xsin 2x3m cos x1

Những giỏ trị của x mà cosx 0 thỡ sinx 1

Bằng cỏch thử, ta thấy chỳng khụng nghiệm đỳng phương trỡnh (3)

Với cosx 0, chia hai vờ́ của (3) cho cos x ta được phương trỡnh tương đương2

2 2

tgx tgx

Giải phơng trình bậc hai này theo t với điều kiện:  2 t 2.

Rồi sau đó giải phơng trình căn bản: 2 sin(x ) t

Giải phơng trình bậc hai này theo t với điều kiện:  2 t 2.

Rồi sau đó giải phơng trình căn bản: 2 sin(x ) t

2(sin x cos x) (sin x cos x) sin x cos x 0

sin x cos x sin 2x 1 0(2)

Bài 3: Cho phơng trình : m(sinx + cosx + 1) = 1 + sin2x

Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc đoạn 0;

(sin x cos x) (sin x cos x) (sin x cos x) (sin x cos x) 0

sin x cos x 0 hay 1+(sinx+cosx)+(1+sinxcosx)+(sinx+cosx)=0



§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + b.cos3x + c(sinx+ cosx) + d = 0

hoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0

+ XÐt cos3x = 0

Bài 2: Giải phơng trình: cos x 3  4 sin x 3  3 cos x sin x 2 sin x0

Hớng dẫn

Khi x k cos x 0 ph ơng trình đã cho vô nghiệm

sin x 1 2

2 sin x cos x 3 sin x 4 sin x 6 cos x

2 sin x 3 sin x 1 sin x

4 6 2 tan x 3 tan x(1 tan x) 4 tan x 6 cos x cos x cos x cos x