THỂ TÍCH CÁC KHỐI CHÓP

Hình chiếu H của A′ lên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC.. Tính thể tích khối chóp .S ABEF và khoảng cách d giữa SA và EF .... Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB C bằng th

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I

CHỦ ĐỀ 2.4 Thể tích các khối chóp khác.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1. [2H1-2.4-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp S ABC. có · · 0

60

ASB CSB= = ,

90

ASC= , SA SB a SC= = ; =3a Thể tích V của khối chóp S ABC. là:

A

3

2 12

a

3

6 6

a

3

2 4

a

3

6 18

a

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC=3SM ⇒AB BM= =a AM; =a 2⇒ ABM∆ vuông tại B ⇒ Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM∆

(ABM)

SH

3 2 12

SABM

a V

1 3

SABM

SABC

4

SABC SABM

a

Câu 2. [2H1-2.4-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Cho lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh

a Hình chiếu H của A′ lên mặt phẳng (ABC là trung điểm của BC Góc giữa mặt phẳng) ( A ABB′ ′) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCA′.

A

3

3 8

a . B 3 3 3

16

a . C 3 3 3

8

a . D 3 3

16

a .

Hướng dẫn giải Chọn D.

 Gọi I là trung điểm của AB⇒CI ⊥ AB

Kẻ HM ⊥AB H( ∈AB) ⇒A M′ ⊥ AB nên góc giữa (A ABB′ ′) với mặt đáy bằng

· 60o

A MH′ =

A HM′

∆ vuông tại H tan 60o 3

4

a

A H′ HM

 2 3.

4

ABC

a

ABCA ABC

a

V ′= S∆ A H′ =

Câu 3. [2H1-2.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng

V

Lấy điểm ’A trên cạnh SA sao cho SA SA

3

1 '= Mặt phẳng qua ’A và song song với đáy của

hình chóp cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại ’, ’, ’, , B C D Khi đó thể tích khối chóp

’ ’ ’ ’

S A B C D bằng:

A

27

V

9

V

3

V

81

V

Hướng dẫn giải Chọn A.

Chọn.C.

Gọi thể tích V S ABCD. = a.h a.h

2

1 3

1

Với S đáy = a h a

2

1

h là chiều cao hính chóp S ABCD

’ ’ ’ ’

S A B C D

2

1 3

1

'h h

a a mà: h h

3

1

3

1 '= , h a h a

3

1

Nên V S A B C D ’ ’ ’ ’=

27

VS.ABCD

Câu 4. [2H1-2.4-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

vuông với AB AC a= = ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy Gọi E F, là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC và AC sao cho

EB = CA = Góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) ( ABC bằng 60) ° Tính thể tích khối chóp S ABEF và khoảng cách d giữa SA và EF

A 7 6 3; 6

C

3

;

3

;

Hướng dẫn giải Chọn A.

Dễ thấy

KB= ⇒EF ⊥BC⇒S = ⇒S = lại có

3

Gọi M là trung điểm của

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

BC⇒AM EF⇒d SA EF =d EF SAM =d F SAM = H SAM =HJ

Với H là chân fđường cao của hình chóp S ABC

Ta có 6

8

a

Câu 5. [2H1-2.4-3] [BTN 164] Cho tứ diện ABCD có ∆ABC vuông tại B BA a= , BC=2a,

DBC

∆ đều cho biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC và ) (DBC bằng 30) 0 Xét hai câu:

(I) Kẻ DH ⊥(ABC) thì H là trung điểm cạnh AC

(II)

3

3 6

ABCD

a

Hãy chọn câu đúng

A Chỉ (II) B Cả hai đúng C Chỉ (I) D Cả hai sai.

Hướng dẫn giải Chọn A.

DH ⊥ ABC , kẻ DE ⊥BC

EB EC

⇒ = (do tam giác đều), BC⊥HE⇒D¼EH =300

Trong : HE 2a 3 3 3a

∆ = ÷÷ =

Gọi I là trung điểm của AC thì

2

a

IE= ⇒HE IE> nên nói H là trung điểm của AC là sai: (I) sai

a DHE DH a

3 D

.2a

ABC

Câu 6. [2H1-2.4-3] [Minh Họa Lần 2] Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại A , cạnh AC =2 2 Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC một góc 60) ° và

4

AC′ = Tính thể tích V của khối đa diện ABCB C′ ′

A 16

3

=

3

=

3

=

3

=

Hướng dẫn giải Chọn B.

Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB C bằng thể tích khối của lăng trụ′ ′ ′ ′ ′

ABC A B C trừ đi thể tích của khối chóp A A B C ′ ′ ′

Giả sử đường cao của lăng trụ là C H ′

Khi đó góc giữa AC mặt phẳng ′ (ABC là góc ·) C AH′ = °60

Ta có:

sin 60 C H C H 2 3;S ABC 4

( )2

1

2

ABC A B C ABC

A A B C ABC ABC A B C

8 3 16 3

8 3

ABB C C ABC A B C A A B C

Câu 7. [2H1-2.4-3] [THPT Tiên Lãng] Cho hình chóp S ABC có ·ASB= °60 , ·ASC= °90 ,

· 120

CSB= ° và SA=1, SB=2, SC =3 Khi đó thể tích khối chóp S ABC là:

2

2

2 .

zzzzz

zzzzz

Hướng dẫn giải Chọn D.

Lấy M là trung điểm của SB và lấy N SC∈ sao cho SN =1 Ta có SA SM= =SN =1 nên

hình chiếu vuông góc của S lên (AMN trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác)

AMN

Ta có: AM =1 vì tam giác SAM cân tại S và có một góc bằng 60°

2

AN = vì là cạnh huyền của tam giác vuông SAN có cạnh góc vuông bằng 1.

2 2 2 cos120 3

MN = SM +SN − SM SN ° =

Dễ đánh giá được tam giác AMN vuông tại A nên có 2

2

AMN

2 3 3

4

2

AMN

AM AN MN OA

S

1

4 2

SO= SA −AO = − =

Suy ra . 1 1 2 2

S AMN

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có .

.

1 1 1

1 2 3

S AMN

S ABC

V

2

S ABC S AMN

Câu 8. [2H1-2.4-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′, đáy ABC là

tam giác vuông cân tại A, E là trung điểm của B C′ ′, CB′ cắt BE tại M Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết AB=3a, AA′ =6a

A V =7a3 B V =8a3 C V =6a3 D V =6 2a3.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Dựng MH ⊥BC , ta có tứ diện ABCM có đường cao MH , đáy là ABC

2

3 3

ABC

a

S∆ = AB AC = a a=

Vậy

2 3

a

Câu 9. [2H1-2.4-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có thể tích V Gọi

G là trọng tâm tam giác AA B′ ′ và V là thể tích của khối chóp 1 C ABB G′ ′ Tính tỉ số V1

V .

A 4

4

4

2

9.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Đặt V V= ABC A B C. ′ ′ ′

.

2 3

C ABB A

V ′ ′ = V

Do G là trọng tâm tam giác AA B′ ′ nên

1 1

ABB G ABB A C ABB G C ABB A

V

V

Câu 10. [2H1-2.4-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và D ; biết AB AD= =2a , CD a= Góc giữa hai mặt phẳng (SBC và) (ABCD bằng 60) ° Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng (SBI và ) (SCI cùng ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD Thể tích khối chóp ) S ABCD là.

A

3

3 15 8

a

3

3 15 5

a

3

3 5 8

a

3

3 5 5

a

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có SI ⊥(ABCD) Kẻ IK ⊥BC thì góc giữa (SBC và ) (ABCD là ·) SKI = °60

2 3

ABCD

2

IBC

a

5

5

IBC

IK BC

· 3 15 tan

5

a

SI IK SKI

S ABCD ABCD

a

Câu 11. [2H1-2.4-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thoi, AC cắt BD tại O Biết OA=2, OB=1, OS =2 2 Gọi M là trung điểm của cạnh

SC, mặt phẳng (ABM cắt cạnh ) SD tại N Tắnh thể tắch khối chóp S ABMN

4

3

V = D V =2 2.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có:

2 2 4 2 8

S ABMN S ABN S BMN S ABD S DBC

với V S ABCD. =V

Ta có

V = ừS SO= ừ AC BD SO= ừ ừ =

.

3 8 2

2

8 3

S ABMN V

Câu 12. [2H1-2.4-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Cho khối lãng trụ đứng có đáy ABC là tam giác

vuông tại B , AB BC= =2a, AA'=a 3 Tắnh thể tắch V của khối chóp A BCC B theo a ' '

A 2 3 3

3

a

3

a

V = C V =a3 3 D V =2a3 3

Hướng dẫn giải Chọn B.

a 3

2a

C' B'

A

B

C A'

' '

AB BCC B

AB BB



.

A BCC B BCC B

Câu 13. [2H1-2.4-3] [THPT Lương Tài] Kim tự tháp Kê−ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng

2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao ( )

147 m cạnh đáy dài , 230 m Thế tích của nó là.( )

2592100 m B ( )2

2592100 m C 7776300 m ( ) D 3888150 m ( )

Hướng dẫn giải Chọn A.

(230) 147 2592100

Câu 14. [2H1-2.4-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho tứ diện ABCD có AB CD= =2a và AC a= 2 Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Biết MN a và = MN là đoạn vuông góc chung

của AB và CD Tính thể tích tứ diện ABCD

A 3 6

2

3

2

3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có MN =NC =ND a , mà MN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của=

∆CMD⇒ ∆CMD vuông cân tại M ⇒MC MD a= = 2

Lại có MN =MA MB a , mà MN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của= =

∆ANB⇒ ∆ANB vuông cân tại N ⇒ AN =NB a= 2

Do CM là đường trung tuyến của ∆ACB nên

2

+

=CA CB − AB

+

⇔ a = a CB − a ⇔ BC= a

2

+ +

2

⇔ AD= a BC =

2

+ +

= BC BD −CD ⇔ = a BD − a

2

⇔BD a= = AC

Công thức cần nhớ: Nếu tứ diện ABCD có AB CD a AC= = , =BD b AD BC c= , = = thì thể

tích của nó được tính bởi công thức: 1 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)

6 2

ABCD

Áp dụng công thức trên, ta có:

3

6 2

ABCD

a

(đvtt)

Câu 15. [2H1-2.4-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp S ABC. có · · 0

60

ASB CSB= = ,

90

ASC= , SA SB a SC= = ; =3a Thể tích V của khối chóp S ABC. là:

A

3

2 12

a

3

6 6

a

3

2 4

a

3

6 18

a

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC=3SM ⇒AB BM= =a AM; =a 2⇒ ABM∆ vuông tại B ⇒ Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM∆

(ABM)

SH

3 2 12

SABM

a V

1 3

SABM

SABC

4

SABC SABM

a

Câu 16. [2H1-2.4-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Cho hình chóp S ABC có tam giác

SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C Hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm của

cạnh AB ; góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy là 30o Thể tích khối chóp S ABC tính theo a là

A 3 3

8

=a

8

=a

4

=a

2

=a

Hướng dẫn giải Chọn A.

2 3 4

=

SAB

a

Gọi H là trung điểm AB

( ) ( vi ` ( ) )

3 3 2 tan 30

3

o

o

SABC SAB

a

HC HC

Câu 17. [2H1-2.4-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng

V

Lấy điểm ’A trên cạnh SA sao cho SA SA

3

1 '= Mặt phẳng qua ’A và song song với đáy của

hình chóp cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại ’, ’, ’, , B C D Khi đó thể tích khối chóp

’ ’ ’ ’

S A B C D bằng:

A

27

V

9

V

3

V

81

V

Hướng dẫn giải Chọn A.

Chọn.C.

Gọi thể tích V S ABCD. = a.h a.h

2

1 3

1

Với S đáy = a h a

2

1

h là chiều cao hính chópS ABCD

’ ’ ’ ’

S A B C D

2

1 3

1

'h h

a a mà: h h

3

1

3

1 '= , h a h a

3

1

Nên V S A B C D ’ ’ ’ ’=

27

VS.ABCD

Câu 18. [2H1-2.4-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

vuông với AB AC a= = ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi E F, là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC và AC sao cho

EB = CA = Góc giữa hai mặt phẳng (SBC và ) ( ABC bằng 60) ° Tính thể tích khối chóp S ABEF và khoảng cách d giữa SA và EF

A

3

;

3

;

C 7 6 3; 6

Hướng dẫn giải Chọn A.

Dễ thấy

KB= ⇒EF ⊥BC⇒S = ⇒S = lại có

3

Gọi M là trung điểm của

BC⇒AM EF⇒d SA EF =d EF SAM =d F SAM = H SAM =HJ

Với H là chân fđường cao của hình chóp S ABC

Ta có 6

8

a

Câu 19. [2H1-2.4-3] [BTN 164] Cho tứ diện ABCD có ∆ABC vuông tại B BA a= , BC=2a,

DBC

∆ đều cho biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC và ) (DBC bằng 30) 0 Xét hai câu:

(I) Kẻ DH ⊥(ABC) thì H là trung điểm cạnh AC

(II) 3 3

6

ABCD

a

Hãy chọn câu đúng

A Chỉ (II) B Cả hai đúng C Chỉ (I) D Cả hai sai.

Hướng dẫn giải Chọn A.

DH ⊥ ABC , kẻ DE ⊥BC

EB EC

⇒ = (do tam giác đều), BC⊥HE⇒D¼EH =300

Trong : HE 2a 3 3 3a

∆ = ÷÷ =

Gọi I là trung điểm của AC thì

2

a

IE= ⇒HE IE> nên nói H là trung điểm của AC là sai: (I) sai

a DHE DH a

3 D

.2a

ABC

Câu 20. [2H1-2.4-3] [BTN 162] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với

2 ,

AB= a BC a= Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Khoảng cách từ A

đến mặt phẳng (SCD là:)

A 21

7

2

a

D a 2

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có SO AC SO (ABCD)

⊥

 ⊥

2

2

Gọi H là trung điểm CD CD OH CD (SOH)

⊥



⊥

Kẻ OK ⊥SH tại K:

3

2 3

Câu 21. [2H1-2.4-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi

cạnh x , ·BAD= °60 , gọi I =AC∩BD Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD)

là H sao cho H là trung điểm của BI Góc giữa SC và mp( ABCD bằng ) 450 Khi đó thể tích khối S ABCD bằng:

A 3 39

48

x

B 3 39

36

24

12

Hướng dẫn giải Chọn D.

a

sin 60

AB

4

a

SH ⊥ ABCD ⇒ SC ABCD =SCH = ⇒SH =HC =

.

Câu 22. [2H1-2.4-3] [THPT Kim Liên-HN] Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích bằng 12

( đơn vị thể tích) Gọi M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , AD DC AA Tính thể tích, , ' khối chóp P BMN

A 3

4

2

V = D V = 3

Hướng dẫn giải Chọn A.

Vì P là trung điểm AA nên chiều cao khối chóp .' P BMN bằng một nữa chiều cao khối

' ' ' '

ABCD A B C D

3 8

BMN ABCD

S = S Tính bằng cách cho cạnh độ dài rồi tính bằng cách trừ phần dư

Vậy . 1 1 3 ' ' ' ' 3

P BMN ABCDA B C D

Câu 23. [2H1-2.4-3] [BTN 166] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD trùng với trung điểm H của cạnh AB Góc )

tạo bởi SC và (ABCD bằng ) o

45 Tính theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và

AB

A 2a 5

3

3

a

13

a

3

a

Hướng dẫn giải Chọn B.

Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD là ) 0

45

SCH =

Vì AB/ /(SCD ,) H∈AB nên d AB S( ; D) =d AB SC( ,( D) )=d H SC( ,( D) ) .

Gọi I là trung điểm của CD Trong (SHI dựng ), HK ⊥SI tại K

Chứng minh được HK⊥(SCD)⇒d H SC( ;( D) ) =HK .

Xét tam giác SHI vuông tại , H HK đường cao:

a HK

3

a

d AB S =HK =

Câu 24. [2H1-2.4-3] [THPT – THD Nam Dinh] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

tâm O cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD là trung điểm) của cạnh OC Góc giữa mặt phẳng (SAB và mặt phẳng ) (ABCD bằng 60 ) ° Tính theo a thể

tích V của hình chóp S ABCD

A 3 3

4

a

8

a

8

a

4

a

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi H là trung điểm của cạnh OC⇒SH ⊥(ABCD)

Kẻ HP⊥ AB P AB( ∈ ), ta có AB HP AB (SHP) AB SP

AB SH

⊥

 ⊥

Do đó (·(SAB) (; ABCD) ) SPH· 600 tan 600 SH 3 SH HP 3

HP

/ /

⊥

 ⊥

3 2

Câu 25. [2H1-2.4-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với

cạnh AB=2a , AD a= Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD là trung điểm H của AB ,)

SC tạo với đáy một góc bằng 45° Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD )

A 6

3

6

4

3

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi N là trung là trung điểm của CD Gọi K là hình chiếu của H lên SN

Ta có CD⊥(SHN) ⇒HK ⊥(SCD)⇒d H SCD( ; ) =d A SCD( ; ) =HK

Theo giả thiết tam giác ∆SHC vuông cân tại H Do đó SH =HC a= 2; HN =a

Trong tam giác SHN∆ ta có : 1 2 12 1 2 6

a HK

N K

H

D

C B

A S

Câu 26. [2H1-2.4-3] [Sở GD và ĐT Long An] Cho tứ diện ABCD có AB=3a, AC=2a và AD=4 a

Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết · BAC CAD DAB=· =· = °60

A V =2 3a3 B V =6 2a3 C V =6 3a3 D V =2 2a3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Trên cạnh AB lấy điểm B′; trên cạnh AB lấy điểm D′sao cho AB′=AD′=AC=2 a

Gọi V là thể tích tứ diện 1 A B CD′ ′; V là thể tích tứ diện 2 A BCD

Khi đó các tam giác AB C ACD AB D′ ; ′; ′ ′ đều cạnh bằng 2a suy ra tam giác B CD′ ′ đều, cạnh

bằng 2a

Tứ diện A B CD′ ′ đều cạnh bằng 2a nên có thể tích.

1

1

3 B CD

2 2

2 2 2 2

=  ÷÷ − ÷÷ ÷

3

2 2

3 a

Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có

2

3 2 3

′ ′

2 3 1 2 2

Câu 27. [2H1-2.4-3] [THPT Trần Phú-HP] Cho tứ diện ABCD có · BAC CAD DAB=· =· = °60 ,

AB a= , AC=2a, AD=3a Thể tích khối đa diện đó bằng

A

3

2 2

3 2 2

3 2a D 2a 3

Hướng dẫn giải Chọn A.

BC= AB +AC − AB AC BAC =a nên ∆ABC vuông tại B

Suy ra

2

ABC

a

Mặt khác

·

·







nên ∆BCD cân tại D

Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AC

Kẻ DH ⊥MN H MN( ∈ )

Khi đó DM ⊥BC NM, ⊥BC nên BC⊥DH

Suy ra DH ⊥(ABC)

·

MN = AB= DM = DC −MC = DN = AD +AN − AD AN DAN =a

DN MN

·

DH =DN DNM =a

ABCD ABC

a

Câu 29. [2H1-2.4-3] [BTN 170] Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Các mặt

bên (SAB) (, SAC) (, SBC lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là 30 , 45 ,60) ° ° ° Tính thể tích

V của khối chóp S ABC Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC nằm )

bên trong tam giác ABC