Chuyên đề luyện thi ĐH 2015: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY

1. Một số kiến thức bổ trợ : a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết: a.1.Một số công thức tính thể tích: Thể tích khối hộp chữ nhật: Trong đó a,b,c là ba kích thước. Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương . Thể tích khối lăng trụ: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao Thể tích của khối chóp: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S.

Chuyên đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY

Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên

Quang

1 Một số kiến thức bổ trợ :

a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:

a.1.Một số công thức tính thể tích:

- Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c Trong đó a,b,c là ba kích thước

Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V a3

Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương

- Thể tích khối lăng trụ: V B h. Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao

- Thể tích của khối chóp: 1

3

V  B h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao

- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượtlấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S Ta có:

' ' '

- Thể tích khối trụ: V =  R 2 h ( h : độ dài đường cao )

- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R l

+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: 3

+ Công thức tính diện tích tam giác: 1 . 1 .sin

S a h  a b C.+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P)

 Nếu d( )P thì ( ,( )) 90d P  0

 Nếu không vuông góc với ( )P thì

- Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P)

Khi đó : ( ,( )) ( , ')d P d d  

+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

 

( ) ( )

( ),

(( ),( )) ( , )( ),

-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B

-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại

B A

a

c

b A

(P)

(Q)

B

Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.

Giải: Ta có : Chiều cao: 3 3 3 3

Diện tích tam giác ABC là

Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3,ABC 600

Giải: Diện tích tam giác ABC là

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

a Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)

b Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC)

Giải

Giải:

a Gọi M là trung điểm của BC và O là

tâm của tam giác ABC Vì S.ABC là

hình chóp tam giác đều nên ta có:

OM là hình chiếu vuông góc của SM

trên (ABC) mà BC OM nên

M O

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD)

a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD)

b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD)

Giải:

a Gọi O là giao điểm của AC và BD Vì

ABCD là hình vuông nên ta có:

B S

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD)

Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC

Giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Ta

thấy ACBDvà SABD nên

BD(SAC) Do đó SCBD

(SAC)SC SAC,( )BD tại O

Trong (SAC)kẻ OH vuông góc với SC

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai

mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng (ABC).Gọi M là trung điểm của AB,mp

qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN

Giải: (ĐH khối A-2011)

Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN

b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm

Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 4 3a Tính độ dài đoạn AC và diện

tích hình vuông ABCD

Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 5,

4

BC a

Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6,ABC 300

Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD)

b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD)

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

SA=SB=SC

a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)

b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC)

Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu

của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’ Xác định góc giữa cạnh bên AA’

và mặt đáy (A’B’C’)

Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại

A Xác định góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’)

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề :

a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.

B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp

B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h

B 3: Áp dụng công thức V = 1

Ví dụ 1

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC)

Giải:

a) Gọi E là trung điểm của BC và O là

tâm của ABC.Vì ABCD là tứ diện đều

1 2 6 2 2 3

E O

H M

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Tính thể tích

khối chóp

a Biết cạnh bên bằng a 3.Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứdiện K.ABC theo a

b Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0

c Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 0

d Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc45 0

Giải

Giải:

a Gọi M là trung điểm của BC và O là

tâm của tam giác ABC Vì S.ABC là hình

chóp tam giác đều nên ta có:

M O

H K

Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên (ABC).Khi đó

3

2 3 4

Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

AB=a,BC=3a, SA(ABCD).Góc giữa SD và ABCD bằng 45 0

Giải:

a) Vì SA(ABCD) nên AD là hình chiếu

vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó

Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:

B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ

B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h

B3: Áp dụng công thức V B h

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và

chiều cao bằng 2 15a

Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có

cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2 15a

Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều

cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy mộtgóc 600 Tính thể tích của lăng trụ

Giải:

a Gọi H là hình chiếu  của

A’trên (ABC) Do

A’A=A’B=A’C nên H là tâm của

tam giác đều ABC

Ta có AH=a 3

3 và 

0

A'AH=60 Trong  vuông AA’H ta có

A’H = AH tan600 = 3 3

Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo

B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay

B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay

B 3: Áp dụng công thức :

- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2  R l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)

- Thể tích khối trụ: V = .R 2 h

 ( h : độ dài đường cao )

- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R l

Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ

ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b

A

A'

B'

C' O'

H O

Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có

chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng 120 0

Giải:

Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có

tâm O.Thiết diện qua trục là  SAB

cân có  ASB=120 nên 0 ASO=600

Trong  vuông ASO Ta có:

0

0

.tan 60 3;

32sin 60 3

B

b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:

Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc

với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a

Giải: Do SA(ABC) nên SA là đường

cao của khối chóp S.ABC

Trong tam giác vuông ABC

Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều

cạnh a và đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáymột góc 300

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC

Vì ABC là tam giác đều nên AM BC

mà SA(ABC)

Nên AM là hình chiếu vuông góc của

SM trên (ABC) Do đóSM BC hơn

nữa BC(SBC) ( ABC) nên

M

Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại A,BC=a, SA=SB=SC= 3

2

a và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một

góc 600

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên (ABC).Do tam giác

ABC vuông tại A và SA=SB=SC

nên H là trung điểm của BC

Gọi M là trung điểm của AB

b Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0

c Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 0

d Biết SAB 600

a Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều

B

C S

6160

1066

M ABC

S ABCD

a V

c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO(ABCD) nên OE là hình chiếu vuông góc của

SE trên (ABCD) mà CD OE nên SE CD

Vậy . 1

.3

.3

Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.

a Biết AB=,2a SA(ABCD) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 600

b Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 300

Vì SA(ABCD) Khi đó AO là hình chiếu

vuông góc của SO trên (ABCD) mà BD AO

a a

O A

B S

b Vì SA(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó

( ,(SC ABCD)) ( ,SC AC)SCA=30 Trong tam giác vuông SAC ta có:0

SA=AC.tanSCA 2 1 2 3

33

a a

  ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng 3a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là

trung điểm của AB

a CMR SH (ABCD)

b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

c Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho 1

4



AM AD.Tính V S ABM. theo a

Giải:

a Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là

trung điểm của AB nên SH AB

H M

c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn 1

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có

SA=SC và OA=OC nên SO AC (1)

C S

Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và

đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ

AA’ = AC tan600 = 5 2a 3 =5a 6

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

BC = a, ACB 600.Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên

(ABC) một góc 300.Tính thể tích lăng trụ đó

Giải:

a Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên

' ( )

AA  ABC Do đó AB là hình chiếu vuông

góc của A’B trên (ABC)Ta có:  BC'A=30 0

Trong VABC ta có: AB = BC tan600 = a 3

Trong VAA’B Ta có: tan300 = AA'

Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại

A, AC = a, BCA 600.Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên(ACC’A’) một góc 300

a Tính độ dài cạnh AC’

b Tính thể tích lăng trụ

Giải:

a Vì ABC vuông tại A nên BA AC

Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA AA’ Do đó BA(ACC A' ')

Ta có BA (ACC A' ') nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên (ACC A' ') Theo giả thiết Ta có:  BC'A=30 0

Trong VABC ta có: tan600 = AB

AC  AB = AC tan600 = a 3Trong VBAC’ Ta có:

tan300 = AB

AC  AC’ = 300

ABtan =AB 3 =3aTrong VAA’C’:

a Gọi H là trung điểm của

B’C’.Theo giả thiết ta có

G A

B

C S

tâm O.Thiết diện qua trục là  SAB

- Diện tích xung quanh của hình nón là

B

c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 ,

SA vuông góc với đáy, SA a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG và song song với

BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Lời giải:

a)Ta có: . 1

.3

O A

+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số

thể tích đối với khối chóp

Bài 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo

với đáy góc 60  Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song

với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F

66

số ( tương tự như bài 5)

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a Trên đường thẳng qua C và

vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a Mặt phẳng qua

C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E

B

A C

B

C

C' D'

để suy ra DE

DA

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc đáy, SA a 2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặtphẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

C'

B A

+Học sinh biết chứng minh AB' (  SBC)

+ Biết phân thành hai khối chóp bằngnhau: S AB C ' ', S AC D' '

+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7

Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:

Bài 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’=a,

O là giao điểm của AC và BD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’

* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và

đường cao giống khối hộp nên:

+Biết khai thác tính chất của hình hộpđứng để làm bài: Chọn đáy của khốiOBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hìnhhộp)

+Giải được câu b) tương tự như bài 1b

Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích

khối tứ diện ACB’D’

C' D'

D

A

C

B' B

B

C' A'

Hình lập phương được chia thành: khối

ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,

D’ACD, AB’A’D’

+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,

AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng

Bài 7 Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F Tính thể tích khối CA’B’FE

3 48

A C

a V

+Gọi J là trung điểm B’C’ Ta có khối

A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’

nên ' ' F 1 FB'

'3

A B C C

2 FB' '

+ Tương tự cho khối CFA’B’

Bài 8 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt

(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể

x x

AI AI

2 30 cos : '

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x 2

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

30 I

C'

B' A'

C

B A

Bài 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3,

AD = 7 Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc

450 và 600 Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1

Lời giải

Kẻ A’H ( ABCD), HM AB,HN AD

AD N A AB

'

2 2

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3

7

3 7

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC =

a, BC = 2a và AA’ = 3a Tính thể tích của lăng trụ

HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a

* Tính: VABC.A B C   = Bh = S AAABC ’

hai đường chéo của đáy Cho BB’ = a

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

A

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay

Bài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3

Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

3 4 A

B O



a

60

a O

B' A'

B A

a.a a 

Bài 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác

vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác

vuông cân tại S nên A

= B

= 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = a2

2 Tính: SA = a 2 ; OA = a ( SOA tại

O)

* Stp = Sxq + Sđáy = a2

2 + a2 = (1 + 2 ) a2

b) V = 1 2

3R h = 1 2

3.OA SO =

3 2

1

a.a a 

Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình

vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ

B A

O

A

B O

O' A'

B'

Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC

vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

huyền bằng nửa cạnh ấy)

* Chứng minh: DBC vuông tại B  OB = 1

b) * Bán kính R =

2

CD = 12

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầuHD:

h

r

l

B' A' O'

I

A

O D

C

B A