thể tích vật tròn xoay

Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2 ,x y x2 = 3.. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành

Trang 1

II.Các bài toán thường gặp

1.Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền ( )D giới hạn bởi y= f x( ); y=0và x a x b= , =

khi quay quanh trục Ox

3.Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: x g y= ( ) ;y a y b= ; =

*Phương pháp giải:áp dụng công thức: 2

Trang 2

1/ Khi ( )D quay quanh trục Ox :

Chia đường cong ( )C thành 2 cung: y1= f x1( )và y2 = f x2( )với x∈[a;b] và f x1( ) ( ); f x cùng dấu2

2/ Khi ( )D quay quanh trục Oy:

Chia đường cong ( )C thành 2 cung: x1= f y1( ) và x2 = f y2( ) với y∈[ ]a b; và f y1( ) ( ); f y cùng dấu.2Khi đó thể tích cần tính:

Câu 1 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b a b, ( , ∈¡ ,a b< ) Gọi V là thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y f x= ( );y=0;x a x b= ; =xung quanh trục Ox Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

f x g x x a b Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình ( )H giới hạn bởi

( )C y f x: = ( ) , ( )C' :y g x= ( ) đường thẳng x a x b= ; = quay quanh trục Ox Hỏi V được tínhbởi công thức nào sau đây?

Trang 3

Câu 3 Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D trong hình vẽ xung quanh trục Ox được

tính bằng công thức nào sau đây?

b

a

V = ∫ f x − g x x

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ;a b Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị

hàm sốy= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x a x b= , = khi quay xung quanh trục Ox là:

Câu 5 Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y= f x y( ); =0 và x a x b= ; = khi

quay quanh trục Ox

Câu 6 Cho 2 hàm số y= f x( ) và y=g x( ) liên tục trên [ ]a b , có đồ thị lần lượt là ; ( )C ,1 ( )C , và2

thỏa mãn f x( )>g x( ) 0,> ∀ ∈x [ ]a b; Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox

hình phẳng giới hạn bởi ( ) ( )C1 , C , các đường thẳng 2 x a x b= , = Khi đó V được tính bởi công

thức nào sau đây ?

Trang 4

Câu 8 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi

Câu 10 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2 ,x y x2 = 3

A.1536π

256π

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x y= 3, =0,x=1

Câu 12 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2x2−3;y=1;y=2;x=0

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số xy=9,y=0,x=1,x=3

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y cos( )πx y, 0,x 0,x 1

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=cos ,2x y=0,x=0,x=π

A.

22

2

π

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2ln ,x y=0,x=1,x e=

Câu 17 Khi cho hình phẳng D trong hình vẽ quay quanh trục Ox, ta được khối

tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay đó

Trang 5

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x y= 3; =0;x=1

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=ln ;x y=0;y=1;x=0

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số: y= −4 x y2; = −3 ;x y=0

Câu 22 Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đườngy=0,y=1,y x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?= 2

đườngy=1,y=2,y=4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?2

đườngx=0,x=1,y x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?= 2

đườngx=0,x=1,y=0,y2 =x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?3

Trang 6

đườngx=0,y e y e xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?= , = x

A.V =π(e−1) B V =πe−1 C.V =π(e−2) D V =πe−2

đườngy=0,y= − +x2 4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

đườngy x y= , 2 =4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

đườngx=0,y x y= , = −4 x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

A.V =πe−2 B V =π(e−2) C.V =2π D V =2 (π e−2)

Câu 31 Hình phẳng ( )H giới hạn bởi hai đường x= − +y2 5 và y= −3 x Thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trụcOy là?

A.153

5

.5

.15

.5π

Câu 32 Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các

π

5π

Câu 33 Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )P y x= 2−4 +4,x y=0,x=0,x=3. Thể tích

khi quay ( )H quanh trục Oxlà

33.5π

Trang 7

Câu 34 Gọi S là miền giới hạn bởi ( )C :y x Ox và haiđường thẳng = 2, x=1,x=2 Tính Thể

tích vật thể tròn xoay khi S quay quanh trục Ox

π

D.31 1

5π +

Câu 35 Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường y x= 2– 2x , y=0, x=0, x=1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng?

Câu 36 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= +3 1, y=0,x=0 và x=1

quay quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng

Câu 37 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

=4

y

x, y 0, = x 1, x 4 quanh trục = = Oxlà:

Câu 38 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn

bởi các đường y= x−1 , trục hoành, x=2,x=5 quanh trục Ox bằng:

A

5 21

−

∫ x dx B.5( )

21

−

∫ x dx C. 2( 2 )2

11+

∫ y dy

21

Câu 40 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +1 x, Ox, x=0, x=4

quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Trang 8

Câu 2 Cho hình ( )H giới hạn bới các đường = x; =0; =0; =1

y e y x x Thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình ( )H quanh trục Ox là :

Câu 3 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=sinx ; x=0; y=0và x=π Thể tích vật thể

tròn xoay sinh bởi hình ( )H quay quanh Ox bằng bao nhiêu?

A.

24

Trang 9

C.81

215π

Câu 11 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng( )H giới hạn bởi

Câu 12 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn parabol

( )P y x: = 2−1 và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox bằng bao nhiêu đơn vị thể tích?

A.5

3

Câu 13 Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau quanh trục Ox : 2

Câu 14 Tính thể tích sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol

2( ) :C y ax x a= − ( >0)

A.

510

Câu 16 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Oy hình phẳng

giới hạn bởi các đường: y x= −2 4x+3,y=0 bằng:

Trang 10

Câu 17 Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đườngy=0,y= − +x2 4x xung quanh trục Ox thì khẳng định nào sau đây là đúng?

π

Câu 19 Cho hình phẳng( )S giới hạn bởi Ox Oy y, , =3x+2 Thể tích của khối

tròn xoay khi quay ( )S quanh Oy là:

10

π (đvtt) C 81

5

π (đvtt) D 72

10π (đvtt)

Trang 11

Câu 24 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàmsố

Câu 25 Thể tích của khối tròn xoay tạo lên bởi lên hình phẳng ( )H giới hạn bởi

các đường y= − +x2 2 ; y=1và trục Ox khi quay xung quanh Ox là

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A– ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b a b, ( , ∈¡ ,a b< ) Gọi V là thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y f x= ( );y=0;x a x b= ; =xung quanh trục Ox Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Trang 12

Câu 2 Cho hai hàm sốy f x= ( ), y g x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b a b, ( , ∈¡ ,a b< ) và thoả mãn

( ) > ( ) > ∀ ∈0; [ ],

f x g x x a b Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình ( )H giới hạn bởi

( )C y f x: = ( ) , ( )C' :y g x= ( ) đường thẳng x a x b= ; = quay quanh trục Ox Hỏi V được tínhbởi công thức nào sau đây?

Ta có f x( ) >g x( ) > ∀ ∈0; x [ ]a b, nên ( 2( ) 2( ) )d

b

a

V =π∫ f x −g x x Chọn B

Câu 3 Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D trong hình vẽ xung quanh trục Ox được

tính bằng công thức nào sau đây?

Trang 13

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ;a b Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị

hàm sốy= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x a x b= , = khi quay xung quanh trục Ox là:

Câu 5 Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y= f x y( ); =0 và x a x b= ; = khi

quay quanh trục Ox

Câu 6 Cho 2 hàm số y= f x( ) và y=g x( ) liên tục trên [ ]a b , có đồ thị lần lượt là ; ( )C ,1 ( )C , và2

thỏa mãn f x( )>g x( ) 0,> ∀ ∈x [ ]a b; Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox

hình phẳng giới hạn bởi ( ) ( )C1 , C , các đường thẳng 2 x a x b= , = Khi đó V được tính bởi công

thức nào sau đây ?

Trang 14

Câu 8 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi

0

81

10d

0

12

35d

V =π∫ − +x x + − x= π

Chọn A.

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2 ,x y x2 = 3

A.1536π

256π

V =π∫ x − x x= π

Chọn B.

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x y= 3, =0,x=1

Hướng dẫn giải

Ta có: x3 = ⇔ =0 x 0

Thể tích:

1 6 0

1.7d

V =π∫x x= π

Chọn D.

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2x2−3;y=1;y=2;x=0

Trang 15

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số xy=9,y=0,x=1,x=3

3 2 1

81

54 d

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y cos( )πx y, 0,x 0,x 1

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=cos ,2x y=0,x=0,x=π

A.

22

2

π

2 2

hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=2ln ,x y=0,x=1,x e=

Trang 16

x x x e e

= −∫ = − + =Suy ra I= −e 2

Vậy V =4π(e−2)

Chọn D.

Câu 17 Khi cho hình phẳng D trong hình vẽ quay quanh trục Ox, ta được khối

tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay đó

Trang 17

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x y= 3; =0;x=1

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=ln ;x y=0;y=1;x=0

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số: y= −4 x y2; = −3 ;x y=0

Trang 18

đườngy=0,y=1,y x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?= 2

đườngy=1,y=2,y=4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?2

đườngx=0,x=1,y x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?= 2

Trang 19

đườngx=0,x=1,y=0,y2 =x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?3

đườngy=0,y= − +x2 4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 20



= ⇔  =y

y y y

Vậy thể tích :

2 0

128d

= ∫ − y =

Chọn đáp án B

đườngy x y= , 2 =4x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

=



= ⇔  =y

y y y

Vậy thể tích :

2 0

128d

= ∫ − y =

Chọn B

đườngx=0,y x y= , = −4 x xung quanh trục Oy thì khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 21

Chọn đáp án D

Câu 31 Hình phẳng ( )H giới hạn bởi hai đường x= − +y2 5 và y= −3 x Thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trụcOy là?

A.153

5

π

B.143 5

π

C.153 15

π

D.152 5π

π

5π

Câu 33 Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )P y x= 2−4 +4,x y=0,x=0,x=3 Thể tích

khi quay ( )H quanh trục Oxlà

33.5π

Câu 34 Gọi S là miền giới hạn bởi ( )C :y x Ox và haiđường thẳng = 2, x=1,x=2 Tính Thể

tích vật thể tròn xoay khi S quay quanh trục Ox

π

D.31 1

5π +

Trang 22

Thể tích :

2 4 1

31d5

V π x x π

Chọn đáp án C

Câu 35 Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường y x= 2– 2x , y=0, x=0, x=1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng?

15

V π x x dx π

Chọn A

Câu 36 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= +3 1, y=0,x=0 và x=1

quay quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng

Ta có 1( 3 )2

0

231

Câu 38 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn

bởi các đường y= x−1 , trục hoành, x=2,x=5 quanh trục Ox bằng:

A

5

21

−

∫ x dx B.5( )

21

−

∫ x dx C. 2( 2 )2

11+

∫ y dy

21

−

∫ x dx

π

Trang 23

Câu 39 Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đườngx= −5,x=0,y=0,y= − 25−x2 xung quanh trục Ox thì khẳng định nào sauđây là đúng?