Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ABCD, M là trung điểm củaBC.. Gọi SH là chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên SBC bằngb.. là hình chóp tứ giác
Trang 1HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I CHỦ ĐỀ 2.3 Thể tích khối chóp đều.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1 [2H1-2.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 450 Thể tích V khối chóp S ABCD là:
A 1 3
24
3
9
a
3
2
a
3
6
a
V =
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (ABCD), M là trung điểm củaBC
.
45
2 S ABCD 6
SMH = ⇒SH =HM = ⇒V =
Câu 2 [2H1-2.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng a 3có thể tích bằng:
2
6
a
6
6
a
6
2
a
3
1
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
ABC đều cạnh a=>AM =
2
3
a => AO=
3
3
a .
SO =SA AO = a − 2
3
3
8 2
a
6
Câu 3 [2H1-2.3-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là
kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập Chiều cao của kim tự tháp này là 144 m , đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230 m Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp Biết một lần vận chuyển gồm 10 xe, T =5 xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2,5.103kg m Số lần vận chuyển đá để xây dựng kim tự tháp là:/ 3
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 2Thể tích kim tự tháp là 1 2 2539 200 3
3
0.7V =1777 440m
Gọi x là số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp thì
3
.10.6000
2,5.10
x
x
Câu 4 [2H1-2.3-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho tứ diện đều ABCD Biết khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (BCD) bằng 6 Tính thể tích V của tứ diện ABCD
A V =27 3 B 27 3
2
2
V = D V =5 3
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a
Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD
Ta có
2
4
BCD
S∆ = Thể tích của tứ diện ABCD là 1 . 1 9 3. .6 9 3
Câu 5 [2H1-2.3-3] [BTN 163] Cho hình chóp tam giác đều S ABC , cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo
với mặt đáy một góc 60 Tính thể tích V của hình chóp o S ABC
Trang 3A
3
3 24
a
3
3 6
a
3
3 2
a
3
3 12
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi các điểm như hình vẽ Theo đề suy ra ¶ 0
60
SIA=
AI = ⇒HI = ⇒SH = Vậy
3
3 24
a
Câu 6 [2H1-2.3-3] [BTN 163] Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng
a Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC là:)
3
a
2
a
2
a
5
Hướng dẫn giải Chọn A.
( , ) ( ,( ) ) 2 ( ,( ) )
d AD SBC =d A SBC = d O SBC với Olà tâm hình vuôngABCD
Gọi I là trung điểm BC BC OI BC (SOI) (SBC) (SOI)
BC SO
⊥
⊥
Ta có (SBC) (∩ SOI) =SI , kẻ OH ⊥SI tại H⇒OH ⊥(SBC)⇒d O SBC( ,( ) ) =OH
,
2
6 2
OH
3
a
d AD SBC = OH =
Trang 4Câu 7 [2H1-2.3-3] [BTN 173] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là
chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC bằngb )
Tính thể tích V của khối chóp S ABCD
ab V
=
3
2
a b V
=
ab V
=
2 16
ab V
=
Hướng dẫn giải Chọn B.
Vì S ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra H là tâm của hình vuông ABCD
Gọi M là trung điểm BC, K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
Ta có: BC SH BC (SHM)
⇒ ⊥ , mà HK⊥SM ⇒HK ⊥(SBC)
Suy ra HK =2IJ =2b, ta có
16
SH
3
2
a b V
=
Câu 8 [2H1-2.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho ( )H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các
cạnh bằng a Thể tích của ( )H bằng.
A
3
2 6
3
a
3
3 4
3 2
Hướng dẫn giải Chọn A.
Tính diện tích ABCD: S ABCD =a2
O D
A
C
B S
a a
Trang 5Xác định chiều cao:
Gọi O= AC∩BD⇒SO là chiều cao của khối chóp
SOA
a
SO= SA −AO = a − =a Vậy:
3 2
SABCD ABCD
Câu 9 [2H1-2.3-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
bằng a Thể tích khối chóp đó bằng:
A
3 3 3
2 3
2 2
2 6
Hướng dẫn giải Chọn D.
.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO⊥(ABCD)
2
a
2
a
Câu 10 [2H1-2.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 450 Thể tích V khối chóp S ABCD là:
A 1 3
24
3
9
a
3
2
a
3
6
a
V =
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (ABCD), M là trung điểm củaBC
.
45
2 S ABCD 6
SMH = ⇒SH =HM = ⇒V =
Câu 11 [2H1-2.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng a 3có thể tích bằng:
Trang 6A 3
2
6
a
6
6
a
6
2
a
3
1
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
ABC đều cạnh a=>AM =
2
3
a => AO=
3
3
a
SO =SA AO = a − 2
3
3
8a2
a
6
Câu 12 [2H1-2.3-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Hình chóp tam giác đều S ABC có AB= ,a
góc giữa SA và đáy bằng 300 Thể tích khối chóp là
A 3 2
12
72
12
36
a
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vì S ABC là hình chóp tam giác đều nên SO^(ABC)
Ta có OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC nên ) (SA ABC· ,( ))=SAO· =300.
Trang 7Tam giác ABC đều, cạnh a nên
2 3 4
ABC
a
2
a
Xét tam giác vuông SAO , ta có tan· 3
3
SAO
·
SO
Thể tích S ABC là.
Câu 13 [2H1-2.3-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2a
là
A
3 2 12
3
3
3 6
Hướng dẫn giải Chọn C.
Giả sử khối tứ diện đều là ABCD như hình bên.
Tam giác đều ABC cạnh a có.
ABC
SD =a
Tam giác SAO vuông tại O có.
2
4
Thể tích cần tìm
3 2
Câu 14 [2H1-2.3-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho tứ diện đều ABCD Biết khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (BCD) bằng 6 Tính thể tích V của tứ diện ABCD
A V =27 3 B 27 3
2
2
V = D V =5 3
Trang 8Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a
Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD
Ta có
2
4
BCD
S∆ =
Thể tích của tứ diện ABCD là 1 1 9 3 .6 9 3
Câu 15 [2H1-2.3-3] [BTN 163] Cho hình chóp tam giác đều S ABC , cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo
với mặt đáy một góc 60 Tính thể tích V của hình chóp o S ABC
A
3
3 24
a
3
3 6
a
3
3 2
a
3
3 12
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi các điểm như hình vẽ Theo đề suy ra ¶SIA=600
AI = ⇒HI = ⇒SH = Vậy
24
a
Câu 16 [2H1-2.3-3] [BTN 163] Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng
a Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC là:)
3
a
2
a
2
a
5
Hướng dẫn giải Chọn A.
Trang 9( )
( , ) ( ,( ) ) 2 ( ,( ) )
d AD SBC =d A SBC = d O SBC với Olà tâm hình vuôngABCD
Gọi I là trung điểm BC BC OI BC (SOI) (SBC) (SOI)
BC SO
⊥
⊥
Ta có (SBC) (∩ SOI) =SI , kẻ OH ⊥SI tại H⇒OH ⊥(SBC)⇒d O SBC( ,( ) ) =OH
,
2
6 2
OH
3
a
d AD SBC = OH =
Câu 17 [2H1-2.3-3] [BTN 175] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là
trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD bằng ) 3
6
a
Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD và thể tích của khối chóp ) S ABCD
A ( ,( )) 3
2
O SCD
a
2
S ABCD
a
2
O SCD
a
6
S ABCD
a
C ( ,( )) 3
4
O SCD
a
6
S ABCD
a
4
O SCD
a
2
S ABCD
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi I là trung điểm của CD
Kẻ OK, GH SI⊥ ⇒OK⊥(SCD GH), ⊥(SCD)
Trang 10( ) (0, SCD)
a
OK = GH ⇒OK =
2
SO
OI OK
3
3 6
S ABCD
a
Câu 18 [2H1-2.3-3] [BTN 173] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là
chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC bằngb )
Tính thể tích V của khối chóp S ABCD
ab V
=
3
2
a b V
=
ab V
=
2 16
ab V
=
Hướng dẫn giải Chọn B.
Vì S ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra H là tâm của hình vuông ABCD
Gọi M là trung điểm BC, K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
Ta có: BC SH BC (SHM)
⇒ ⊥ , mà HK⊥SM ⇒HK ⊥(SBC)
Suy ra HK =2IJ =2b, ta có
16
SH
3
2
a b V
=
Câu 19 [2H1-2.3-3] [BTN 171] Thể tích hình tứ diện đều có cạnh bằng a là:
A
3
a
12
a
6
a
3
12
a
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 11Gọi I là trung điểm BA A là trọng tâm , ' ∆ABC.
Ta có 3, BA' 2
diện tích tam giác BCD là
2
a
S = CD AI = Trong tam giác ABA vuông tại '' A ta có:
2
A A= AB −A B = a − =
Thể tích tứ diện là:
x ABC
Câu 20 [2H1-2.3-3] [BTN 167] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
x x> Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng 6 ( 0)
2
a
a> khi x bằng.
2
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Gọi O= AC∩BD, ta có SO⊥(ABCD)
//
AD BC
AD SBC d AD SC d AD SBC d A SBC
BC SBC
Ta có
( ;; ) 2
2
OC
=
M là trung điểm BC⇒OM ⊥BC⇒BC⊥(SOM) (⇒ SBC) (⊥ SOM)
6
a
OH ⊥SM ⇒OH ⊥ SBC ⇒OH =d O SBC = Lại có:
Câu 21 [2H1-2.3-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a
và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 Tính thể tích V của khối chóp
A 3 3
8
a
24
a
4
a
6
a
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 12Gọi hình chóp tam giác đó là S ABC kẻ , SH ⊥(ABC) tại H
Gọi ',A B C lần lượt là chân đường cao hạ từ H xuống BC, CA, AB.', '
Xét ∆SHA SHB SHC', ∆ ', ∆ ' đều vuông tại H có SH chung
SB H =SC H =SA H = ⇒HSC =HSA =HSB
Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Tam giác ABC đều cạnh 3 2
'
ABC
AB BC CA
2
a
Tam giác SHA vuông tại H và ·' ' 600 '.tan 60
2
a
HA S = ⇒SH =HA =
a
Câu 22 [2H1-2.3-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình chóp tam giác đều S ABC Biết SA a= và
· 90o
ASB= Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
3
a
2
a
3
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC
S
A
B
C M H
E
I
Trang 13Do S ABC là hình chóp đều nên SH ⊥(ABC) và SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong mặt phẳng (SHA kẻ trung trực của SA cắt SH tại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu)
ngoại tiếp hình chóp S ABC
Ta có ASAB vuông cân tại S có SA a=
2
AB a
2
a AM
3
a AH
3
a
Lại có SHA SEI SA SH
SI SE
SI SH
Câu 23 [2H1-2.3-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho tứ diện đều S ABC Gọi G , 1 G , 2 G lần lượt là3
trọng tâm của các tam giác ∆SAB,∆SBC, ∆SCA Tính 1 2 3
.
S G G G
S ABC
V
A 1
2
1
2
81.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC, CA Ta có
1 2 3
1 2 3
SG G G
SG G G SMNP SABC SMNP
V
Câu 24 [2H1-2.3-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho khối chóp đều S ABC có cạnh bên bằng a
và các mặt bên hợp với đáy một góc 45° Tính thể tích của khối chóp S ABC theo a
A 3
3
a
5
25
25
Hướng dẫn giải Chọn C.
Trang 14Gọi O là trọng tâm tam giác ABC⇒SO⊥(ABC)
I là trung điểm của BC⇒(·(SBC) (, ABC) ) =SIO· = °45
x là độ dài cạnh của tam giác ABC ( x>0 )
OI = AI = SI = SC −IC = a −
Trong tam giác SOI có: cos45 3 2 2 2 5 2 12 2 2 15 .
5
SO OI= = a 2 3 3 3 2.
ABC
x
.
S ABC
a
Câu 25 [2H1-2.3-3] [Cụm 6 HCM] Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a
A 3 2
6
3
4
2
Hướng dẫn giải Chọn A.
Giả sử cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a
Diện tích đáy ABCD : 2
ABCD
2
a
2
Vậy thể tích khối chóp tứ giác đều là:
3 2
Trang 15Câu 26 [2H1-2.3-3] [THPT CHUYÊN VINH] Cho hình chóp đều S ABCD có đáy bằng 2a, khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a 3 Thể tích khối chóp đều S ABCD bằng
A 4a3 3 B 3 3
3
3
a . D a3 3
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có CD/ /AB⇒CD/ /(SAB)
Suy ra d CD AB( ; ) =d CD SAB( ;( ) ) =d C SAB( ;( ) ) =2d O SAB( ;( ) ) ( ;( ) ) 3
2
a
d O SAB
Gọi I là trung điểm AB⇒SI ⊥AB (tam giác SAB cân tại S)
Dựng OH ⊥SI (với H∈SI) Khi đó ta có:
;
2
OH SI
⊥
2
3 a
3 3
4
a
OH OI
a
Trang 16Vậy
3 2
3.4
a