THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Hãy tính diện tích xung quang của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'.. Câu 17 : Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuôn

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – NÓN TRỤ XOAY

Câu 1 : Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Tính tỉ số giữa thể tích của khối hộp đó và thể tích của

khối tứ diện ACB'D'

Câu 2 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E, F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D' Mặt

phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H') trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A' Tính tỉ số thể tích đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H')

Giải

* Gọi I là giao điểm của EF với A'B', J là giao điểm của EF với A'D', AI cắt BB' tại I, AJ cắt DD' tại M.

Câu 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a các cạnh bên SA, SB, SC tạo với

đáy một góc 600 Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

Giải

a) Hạ đường cao SH của hình chóp S.ABC

=> H là tâm của ABC đều cạnh a

Theo giả thiết �SAH ca��nhbe� n ma�, t�a� y 600

Tam giác vuông SAH:

Câu 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt

SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D' Biết  , ' 2

Giải

Gọi SH là đường cao của S.ABCD

SH cắt (P) tại H', H là giao điểm của AC và BD

Câu 5 : Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB'

và DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

Chọn đáp án đúng:

32

Vậy thể tích phần hình hộp nằm dưới mp(CEF) là V A B C D EFC' ' ' ' V KIC C' 2V A B IE' '

Câu 6 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M là trung điểm của A'B', N là

trung điểm của BC

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

Giải

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

Ta có

2 D

1

M ADN

55144

144

a V

a MaxV  tương ứng với

4



 

Câu 8 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a trên đường thẳng vuông góc với

mp (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa 2 mp (ABC) và (SBC) bằng 600 Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a

Gọi H là trung điểm của BC

Vì ABC vuông cân � AH BC

Gọi I là trung điểm của AD

J là trung điểm của BC

2

a

Suy ra AJD cân tại J nên trung tuyến IJ AD 1

Suy ra BIC cân tại I nên trung tuyến IJ BC 2

Từ (1), (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AD và BC

Vậy B A' 2AI2 B I' 2 �AB I' vuông tại A.

b) Tính cosin của góc giữa hai mp (ABC), (AB'I)

Ta có

2 '

3

4cos



Chương II KHỐI ĐA DIỆN

Câu 11 : Một hình nón có đường cao bằng 20 cm, bán kính đáy r = 25cm.Tính diện tích xung

Câu 12 : Cho hai điểm cố định A, B gọi l là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và

cách B một đoạn không đổi bằng d với d nhỏ hơn AB Đường thẳng l luôn nằm trên mặt nón

có trục là đường thẳng AB có góc ở đỉnh A gấp bao nhiêu lần góc   BAH� :

Ta thấy đường l thay đổi nhưng luôn luôn qua A và tạo với đường

thẳng AB góc không đổi  Do đó đường thẳng l luôn nằm trên mặt

nón có trục là đường thẳng AB có góc ở đỉnh A bằng 2

Câu 13 : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Hãy tính diện tích xung quang của

khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'

Chọn đáp án đúng:

56

a

58

Câu 14 : Một khối trụ có bán kính đáy bằng r có thiết diện qua trục là một hình vuông Tính

diện tích xung quanh của khối trụ đó

a) Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên đường sinh của hình

trụ chính là đường cao và bằng 2r Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là

2

xq

S  rl r (đvdt)

12 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h50cm

Tính diện tích xung quanh của hình trụ

Chọn đáp án đúng:

A 10000 cm2 B 7500 cm2 C 2500 cm2 D 5000 cm2

Giải

a) Ta có: S xq 2rl 2 50.50 5000   cm2

Câu 15 : Một hình nón xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.

Tính diện tích toàn phần của hình nón đó

Chọn đáp án đúng:

a) Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân ASB cạnh SA SB a  nên hình nón có

Đường sinh là SA SB a l   , bán kính đáy 2

2

a

r , chiều cao

22

r2

Câu 16 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc �SAB  450

Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S

Đặt r OA SO h SA SB SC l ,  ,    là đường sinh của hình nón Gọi I là trung điểm của

đoạn AB Ta có SOA vuông tại O: SA2 SO2OA2 �l2  r2 h2  1

Câu 17 : Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD có cạnh a, nội tiếp mà hai

đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc

450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó

Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ta có

' OB' OC' OD' R

Vậy O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của 3 hình hộp ABCD.A'B'C'D'

* Tam giác vuông ABC: AC a 2b2

* Tam giác vuông A'AC:

a

Vậy O cách đều năm điểm S, A, B, C, D

Nên O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và 2

2

a

Câu 20 : Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần

lượt tại A, B và C, D Gọi OM = d Tính MA.MD theo R và d

  cắt mặt cầu (O; R) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Trong mặt phẳng   ta có hai đường thẳng qua M cắt (C) lần

Trong đó d= OM, R bán kính mặt cầu (Ta dễ thấyM�OAB ) vì M�AB

Câu 21 : Cho hình lăng trụ tam giác đều có 9 cạnh đều bằng a Tính diện tích của mặt cầu đi

qua 6 đỉnh của lăng trụ

a

53

a

103

a



Giải

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đều ABC và A'B'C' Nên đường thẳng GG'

là trục của hai tam giác đó

Gọi O là trung điểm của GG' thì ta có

Do đó O là tâm mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ

Ta gọi M là trung điểm của BC thì 3

a

S   (đvdt)

Câu 22 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống

mặt phẳng (BCD).Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A) 6

2

a

B) 63

a

C) 66

a

D) 64

a

Giải

b) Gọi   là mặt phẳng trung trực của cạnh AB,   cắt AB tại trung điểm M và   cắt

Câu 24 : Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là a Góc giữa mặt bên và đáy là  Tính

thể tích và diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp trong hình chóp theo a và 

Suy ra  

2 2

Câu 25 : Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB a a   0

làm đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Ax, N trên By sao cho AM BN 2a Xác định tâm I và tính theo a bán kinh R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách giữa hai đường AM và BI

AH

Câu 26 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)

vuông góc với nhau và góc � 0

Vậy AH là trục của tam giác vuông DBC

Do đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên AH và ta có

Câu 27 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a Xác

định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó

a

53

a

23

a



Gọi J và I' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đáy lăng trụ

Như vậy I và I' đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn nội tiếp các tam

giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng II'

Ta suy ra trung điểm O của đoạn II' chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi

qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho Mặt cầu này có bán kính

Câu 29 : Cho hình cầu tâm O, bán kính R, đường kính SS' Một mặt phẳng vuông góc với

SS' cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H, cho tam giác ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này, cho SH = x Xác định x để SABC là một tứ diện đều, trong trường hợp này hãy tính thể tích của nó

Câu 30: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Nhị

diện cạnh SB là nhị diện vuông Biết SB a 2, góc �BSC 45 0, góc

Vậy A, B cùng nhìn SC dưới 1 góc vuông nên bốn điểm S, A, B, C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là trung điểm O của SC, bán kính

2

SC

R Ta có tam giác SBC vuông tại B và �B CS 450

Nên SBC vuông cân tại B �SC SB 2a 2 2 2a