gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.chứng minh AM vuông góc với BP và tính V CMNP 9/ : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh bằng a.. Tớnh khoản
Trang 1Thể tích khối đa diện
1/ cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b và hợp với đáy một góc α.
cos sin 4
b
α α b/ tính diện tích xung quanh của khối chóp đó 3 cos2 2
3(4 3cos ) 4
xq
b
2/ cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc α
a/ tính thể tích khối chóp 43 3 tan 2 3
(1 tan )
α
=
+ b/ tìm giá trị lớn nhất của thể tích của khối chóp max 4 3 3
27
a
V = , α = 450
3/ cho kối chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = a, SA ⊥ (ABCD), SC hợp với đáy một góc α và hợp
Với mặt bên (SAB) một góc β
a/ cmr :
2
cos sin
a SC
=
− b/ V cho p/ =? 1. 3sin sin2 2
3 cos sin
a
=
−
4/ cho khối chóp S.ABCD có hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy; SA = a , đáy là hình thoi
cạnh a và góc A = 1200
a/ cmr hai tam giác SBC và SDC bằng nhau
b/ tính diện tích xung quanh của khối chóp 2 7
2
xq
S =a +
c/ tính V khối chóp, từ đó suy ra khoảng cách từ D đến mặt (SBC) 3 3,
12
a
V = ( ,( )) 21
7
a
5/ cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là α gọi M là trung điểm
của SC , mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N tính thể tích khối chóp S.ABMN theo α và a 1 3
tan 16
6/ cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang, ã ã 0
ABC =BAD = BA =BC =a AD = a cạnh bên SA vuô ng góc với đáy và SA = a 2 gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Cmr tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng
7/ cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE,N là trung điểm của BC cm MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng MN và AC
8/ cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với
đáy gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.chứng minh AM vuông góc với BP và tính V CMNP
9/ : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O cạnh bằng a SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Tớnh khoảng cỏch giữa đừơng thẳng AC và SD
10/Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a; SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), gọi
I là trung điểm cạnh BC Mặt phẳng qua A vuụng gúc với SI cắt SB,SC lần lượt tại M,N Biết rằng
SABC
V
4
1
= Hóy tớnh VSABC
Trang 211/ Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng a, khoảng cỏch từ tõm O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng
6
a
Tớnh thể tớch và diện tớch toàn phần của hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’
12/ cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy tam giác ABC vuông tại A ,AB =a AC, =a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) laf trung điểm của cạnh BC tính theo a thể tính khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đờng thăng AA’ , B’C’
13/ Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng a, khoảng cỏch từ tõm O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng
6
a
Tớnh thể tớch và diện tớch toàn phần của hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a 14/ Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của A’ lờn mặt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuụng gúc với AA’, cắt hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ theo 1 thiết diện cú diện tớch bằng
8
3 2
a Tớnh thể tớch hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ 15/ Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và
2
a
SA= Mặt phẳng (P) qua A và vuụng gúc SC, (P) cắt cỏc cạnh SB,SC,SD lần lựơt tại M,N,K Tớnh diện tớch tứ giỏc AMNK
16/: Cho hỡnh nún cú đỉnh S, đỏy là đường trũn tõm O, SA và SB là hai đường sinh biết SO=3, khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tớch tam giỏc SAB bằng 18 Tớnh thể tớch và diện tớch xung quanh của hỡnh nún đó cho
17/ Cho hỡnh trụ cú đỏy là hỡnh trũn tõm O và O’ Gọi A, B là hai điểm lần lượt thụục 2 đường trũn (O),(O’) Dựng đường sinh BB’ Biết thể tớch của hỡnh trụ là πa3;
3
3
2a
AB= ; khảong cỏch từ tõm O’ đến AB’ là
6
33
a
Tớnh bỏn kớnh đỏy và đường cao của hỡnh trụ đó cho
18/ Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a BAD∧ =60° và A’A=A’B=A’D=a
1) Tớnh thể tớch và diện tớch toàn phần của hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’
2) Tớnh diện tớch mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABD
19/ Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng a; AA’=a 2 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và A’C’ và gọi (P) là mặt phẳng qua MN và vuụng gúc với (BCC’B’) Tớnh diện tớch thiết diện của (P) và lăng trụ
20/ Cho tứ diện OABC cú OA,OB,OC vuụng gúc nhau từng đụi một và OA=OB=OC=a Gọi K,M,N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB,BC,CA Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN)
1) Chứgn minh CE vuụng gúc mặt phẳng (OMN)
2) Tỡnh diện tớch tứ giỏc OMIN theo a
21/ Cho hỡnh chúp S.ABC đỏy ABC là tam giỏc cõn cú AB=AC=3a, BC=2a Cỏc mặt bờn đều hợp với đỏy 1 gúc 600, hỡnh chiếu H của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) ở trong tam giỏc ABC
1) Chứng minh H là tõm đừơng trũn nội tiếp tam giỏc ABC
2) Tớnh thể tớch hỡnh chúp S.ABC
22/ : Cho hỡnh chúp đều S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 2a Cạnh bờn SA=a 5 Một mặt phẳng (P) chứa AB và vuụng gúc mặt phẳng (SCD) (P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’
1) Tớnh diện tớch tứ giỏc ABC’D’
2) Tớnh thể tớch của hỡnh đa diện ABCDD’C’
Trang 323/ Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và BAC∧ = 120 o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 và tớnh khoảng cỏch d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
24/ / Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với đỏy, ãACB = 600, BC= a, SA
= a 3 Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC
25/ Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng 2a, cạnh bờn AA’ = a 3 Gọi E là trung điểm của
AB Tớnh khỏang cỏch giữa A’B’ và mp(C’EB)
26/ Cho hỡnh S.ABC cú SA ⊥ (ABC), ∆ABC vuụng tại B, SA = AB = a, BC = 2a Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB và SC Tớnh diện tớch ∆AMN theo a
27/ Cho khối chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại B Biết SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) AB = a,
BC = a 3 và SA = a Một mặt phẳng qua A vuụng gúc SC tại H và cắt SB tại K Tớnh thể tớch khối chúp S.AHK theo a
28/ Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên
SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , SD = a
1 Chứng minh rằng tam giác SBC vuông Tính diện tích tam giác SBC
2 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
29/ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA⊥(ABCD) H,I,K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD
a/ Chứng minh rằng BC⊥(SAB); HK⊥(SAC)
b/ Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA=2a
30/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc giữa SC với (SAB) là 300
1 Tính thể tích khối chóp
2 Tìm tâm và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
31/ Cho tứ diện SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A, SB vuông góc với mặt phẳng đáy
1 CMR: AC ⊥ SA
2 Dựng qua B mặt phẳng vuông góc với SC, cắt SA, SC tại A’, C’ CMR : BA’ ⊥ (ACS)
3 CMR : A, B, C, A’, C’ cùng nằm trên một mặt cầu
4 Nếu thêm vào ∆ABC cân (AB = AC) và SA = AB = AC = a Tính các cạnh của ∆A’B’C’ và VBAA’C’C
32/ Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A, D SA ⊥ mp đáy AB = SA = 2a, AD = DC = a
1 CMR tam giác SBC vuông và (SBC) ⊥ (SAC)
2 Dựng mặt phẳng (P) qua AC cắt SA tại M, N Tứ giác MNCD là hình gì Khi nào là hình chữ nhật Lúc đó tính thể tích khối chóp S.MNCD
33/ Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC A B C , cú cạnh AB ' ' ' =a Tớnh thể tớch của khối lăng trụ, biết rằng
AB ⊥BC
a/Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC A B C ,cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn ở A , mặt bờn ' ' ' BB C C là hỡnh ' ' b/ vuụng cú diện tớch bằng 2a Tớnh thể tớch của khối lăng trụ 2
34/ Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S ABCD cú cạnh đỏy là a Gọi SH là đường cao của hỡnh chúp Khoảng cỏch từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC bằng b Tớnh :)
1 Thể tớch của hỡnh chúp S ABCD
Trang 42 Thể tớch mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S ABCD.
35/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều
1 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2 Qua A dựng mặt phẳng (α) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình chóp
36/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a Chứng minh rằng:
a) Đáy ABCD là hình vuông
b) Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
37/ Trên các tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, lầnlợt lấy các điểm khác O là M, N và S với
OM m,ON n,OS a.= = = Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m n a+ =
1 a) Tính thể tích của hình chóp S.OMN
b) Xác định vị trí của các điểm M và N sao cho thể tích trên đạt giá trị lớn nhất
2 Chứng minh: ãOSM MSN NSO 90=ã =ã = 0
38/ Cho hai hình chóp SABCD và S’ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía với mp(ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lợt là trung điểm H của của AD và trung điểm K của
BC Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = SH’ = h
39/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đường cao SB=a 2, đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a Gọi M là hỡnh chiếu của B trờn SD, mặt phẳng (BCM) cắt SA tại N Tớnh thể tớch của khối chúp S.BMN
40/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, ãBAD 60 ,= o SA vuụng gúc với mặt phẳng
(ABCD , ) SA a= Gọi C ' là trung điểm của SC Mặt phẳng ( )P đi qua AC ' và song song với BD, cắt cỏc cạnh
SB, SD của hỡnh chúp lần lượt tại B', D ' Tớnh thể tớch của khối chúp S.AB'C 'D '
41/ Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' cú A '.ABC là hỡnh chúp tam giỏc đều, cạnh đỏy AB a,= cạnh bờn A 'A b.= Gọi α
là gúc giữa hai mặt phẳng (ABC và ) (A 'BC Tớnh tg) α và thể tớch của khối chúp A '.BB'C 'C
42/ Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A 'B'C 'D ' cú cỏc cạnh AB AD a, AA ' a 3
2
= = = và gúc ãBAD 60 = o Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh A 'D ' và A 'B' Chứng minh AC ' vuụng gúc với mặt phẳng (BDMN Tớnh)
thể tớch khối chúp A.BDMN
44/ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a, AD 2a,= = cạnh SA vuụng gúc với đỏy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đỏy một gúc 60 Trờn cạnh SA lấy điểm M sao choo AM a 3
3
= Mặt phẳng (BCM)
cắt cạnh SD tại điểm N Tớnh thể tớch khối chúp S.BCNM
45/ Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a, gọi SH là đường cao của hỡnh
chúp Khoảng cỏch từ trung điểm I của SH đến mặt bờn (SBC) bằng b Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD
46/ Cho hỡnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' cú cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC ' sao cho CK 2a
3
Mặt phẳng ( )α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tớnh thể tớch của hai khối đa diện đú
Trang 547/ Cho hình chóp S.ABC có SA =3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC bằng 1200.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
48/ Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, cạnh SA vuụng gúc với đỏy, ãACB = 600, BC= a, SA
= a 3 Gọi M là trung điểm cạnh SB Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC