THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây : 1 Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.. Làm sao ta có thể đếm được

LỚP T P HU N Ậ Ấ

LỚP T P HU N Ậ Ấ

CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN PHÚ

TỔ TOÁN

Tháng 8/2008

THIẾT KẾ BÀI GIẢNG : ĐOÀN NGỌC DŨNG

CHƯƠNG I :

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

_ Nắm vững các công thức về thể tích của khối hộp chữ nhật, thể tích của khối chóp, thể tích của khối lăng trụ.

_ Biết áp dụng các công thức tính thể tích để tính thể tích các khối đa diện phức tạp hơn, bằng cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Làm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?

Những Kim tự tháp thời kì đầu được xây vào khoảng 2750 trước công nguyên, chúng được gọi là Kim tự tháp bậc thang vì mỗi mặt của n ó không thực sự là những tam giác mà tập hợp nh ững bậc thang đ á to lớn.

1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?

Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.

1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?

Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.

Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây :

1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối

đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.

3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.

 SGK trang 23 :

2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.

V = V 1 + V 2

C D

E

C D

E

C D

C’

D’

3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.

1

11

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

(SGK trang 23)

Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 4, 3 như sau :

Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp,

ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.

8

43

Nếu gọi 1 (đơn vị thể tích) là thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 (đơn vị dài) thì thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 x 4 x 3 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?

Làm sao ta có thể đếm được có bao nhiêu khối lập phương đơn vị như vậy ?

V = 1 (đơn vị thể tích)

Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?

Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật trên ?

8

43

Như vậy, trong trường hợp ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương.

Ta có công thức : V = a.b.c

Định lý 1 : Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước.

Trong trường hợp a, b, c là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng Như vậy một cách tổng quát, ta có :

D’

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

A B

C D

Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.

Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các

tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng

MN là một cạnh của khối lập phương.

• Bài giải :

A B

C D

S

S’

H

M• •NS

B

CD

PQ

A

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

• Bài giải :

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

• Bài giải :

Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.

Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các

tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng

MN là một cạnh của khối lập phương.

Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm

của AB và BC thì M và N lần lượt nằm

trên SM’ và SN’ nên :

3

2 '

N ' M

MN '

SN

SN '

a2

1AC

2

1'

N'

3

2

a 2

2

a 3

2

MN = ⋅ =

⇒

2 a

2 2



C D

Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Giả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.

Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của

BC và B’C’.

D’

D

Khi đó, phép đối xứng qua đường thẳng

OO’ biến khối lăng trụ ABC.A’B’C’

thành khối lăng trụ DCB.D’C’B’.

Khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

(với các kích thước a, b, h) có thể tích

gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.

Vậy thể tích của khối lăng trụ là : VABC.A'B'C' = 1 abh (đvtt)

O

O’

Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Giả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.

Ghép khối lăng trụ đã cho ABC.A’B’C’

với khối lăng trụ A 1 B 1 C 1 A 1 ’B 1 ’C 1 ’ bằng

nó sao cho :

Khi đó, ta được hình hộp chữ nhật

ABA 1 C.A’B’A 1 ’C’ có thể tích gấp đôi thể

tích khối lăng trụ đã cho.

B 1 ≡ C, C 1 ≡ B, B 1 ’ ≡ C’, C 1 ’ ≡ B’,

A 1 ∈ (ABC), A 1 ’ ∈ (A’B’C’)

Định lý 2 : Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

• S đáy hay B : diện tích mặt đáy.

• h : chiều cao của khối chóp (h

là khoảng cách từ đỉnh của

khối chóp tới mặt phẳng chứa

đáy của khối chóp)

A

B

C

D H

h

Chú ý :

6

1

V = AB.BC.CD

• Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB,

SC vuông góc với nhau từng đôi một

thì có :

• Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC,

CD vuông góc với nhau từng đôi một

thì có :

1

V = SA.SB.SC

CS

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :

Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :

3

1

V = AB.BC.CD

3 1

V = SA.SB.SC

Xét tứ diện đều ABCD cạnh a, có đỉnh

là A và đáy là tam giác đều BCD có

Gọi H là tâm của tam giác đều BCD,

vì ABCD là hình tứ diện đều nên AH

vuông góc mp(BCD) ⇒ AH là đường

cao của hình chóp.

3

2

a 3

a a

2

3

a 3

2 a

BH AB

AH

2 2

2 2

Ví dụ 3 : Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a.

• Bài giải :

Xét khối tám mặt đều ABCDEF cạnh a.

Gọi AO là chiều cao của khối chóp

2

aa

3

2AO

S3

12AO

.V

.2V

3 2

BCDE BCDE

a

2 a

2

2

a a

OE AE

AO

2 2

2 2

E

F

Chia khối tám mặt đều này thành hai

khối chóp tứ giác đều E.ABCD và

F.ABCD cạnh a.

O

Tính thể tích khối chóp E.ABCD

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.

?2

Để giải bài toán, ta trả lời ba câu hỏi sau :

a) Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành

ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng

(A’BC’) và (A’BC), hãy kể tên ba khối tứ

diện đó.

b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có

thể tích bằng nhau.

c) Từ đó suy ra công thức V = S.h Hãy

phát biểu thành lời công thức đó.

A

A’

C B

C’ B’

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.

?2

A

A’

C B

C’ B’

a) Chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện

đó là : A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’.

b) Hai khối tứ diện A’.ABC và B.A’B’C’ có

hai mặt đáy bằng nhau (∆ABC = ∆A’B’C’)

và hai chiều cao bằng nhau (đều bằng

chiều cao h của khối lăng trụ) nên chúng

có thể tích bằng nhau.

Hai khối tứ diện A’.BB’C’ và A’.BCC’ có diện tích đáy bằng nhau (∆BB’C’ = ∆BCC’) và chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách từ A’ đến mp(BCC’B’)) nên chúng có thể tích bằng nhau.

Vậy thể tích ba khối tứ diện nói trên bằng nhau.

Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.

?2

c) Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được phân

chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng

nhau A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’.

Suy ra thể tích khối lăng trụ bằng ba lần

thể tích khối chóp A’.ABC.

A

A’

C B

C’ B’

V ABC.A’B’C’ = 3.V A’.ABC = 3 S ABC h = S.h

3

1

Vậy thể tích khối lăng trụ tam giác bằng tích số diện tích đáy và chiều cao.

• Xét khối lăng trụ có đáy là một đa

giác bất kì Vì bất kì đa giác nào

cũng có thể phân chia được thành

các tam giác không có điểm trong

chung nên có thể phân chia khối

lăng trụ đó thành các khối lăng trụ

tam giác có cùng chiều cao.

Tổng các thể tích của chúng chính là

thể tích của khối lăng trụ ban đầu.

Định lý 3 : Thể tích của một khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó.

A

B

CDE

A’

B’

C’D’

E’

Từ đó suy ra định lý sau đây :

B A’

C

Ví dụ 4 : Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA’ và BB’ Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó.

• Bài giải :

Vì hai khối chóp C’.MNBA và

C’.MNB’A’ có cùng chiều cao và có

mặt đáy bằng nhau nên V C’.MNBA bằng

1 V

3

2 V

V C '.MNB' A' = ⋅ C'.ABB' A' = ⋅ =

⇒

2

1 2

1

V 3

2 V

3

1

V ABC.MNC' = − C '.MNB' A' = − =

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

IV THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

Bài toán : (SGK trang 26)

Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :

Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :

3

1

V = AB.BC.CD

3 1

V = SA.SB.SC

• Câu 1 : Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng :

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

HÌNH HỌC 12

96 Thể tích của khối lập phương đó là :

3

4

3

a ) c

3

3

2

a ) d

3

k lần thì thể tích của nó tăng lên :







Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

Ứng dụng trong đời sống thực tế.

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

Ứng dụng trong đời sống thực tế.

Làm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?

Để tìm thể tích của Kim tự tháp chỉ còn cách là tính tổng thể tích của từng bậc hay mỗi tầng , với mỗi tầng là một khối hình hộp chữ nhật được tập hợp bởi các khối lập phương

Xét một Kim tự tháp với cạnh đáy bằng 10 và chiều cao bằng 10

Đỉnh là một khối lập phương và các tầng là là một khối hình hộp

cạnh đáy = chiều cao

cạnh đáy = 1 + 1 = 2

cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3

10

Thể tích của tầng trên cùng là : V 1 = B.h = (1 2 ).1 = 1

cạnh đáy = chiều cao

cạnh đáy = 1 + 1 = 2

cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3

10

10

Cứ tiếp tục theo cách này thì thể tích của kim tự tháp là :

(đvtt) 385

.1 10 1

9

.1 4 1

3 1

2 1

1

2 102

10 1

Ta xét một Kim tự tháp khác với cạnh và chiều cao bằng Kim tự tháp trước nhưng có 100 bậc thay cho 10 bậc Khi đó, chiều cao mỗi tầng là và thể tích mỗi tầng là như sau : B.h

10

1 100

10

=

2 102

10 1

Theå tích cuûa taàng ñænh = 10 1 2⋅ 10 1

3 10

1 10

1 3

2 2

2 102

10 1

Thể tích của tầng thứ 99 =

10

1 10

99 10

1 10

1 99

2 2

100 10

1 10

1 100

2 2

⋅⋅

⋅ +

6 dm

6 dm

dm4

1

dm4

1

Một cái hộp có kích thước bên ngoài mỗi cạnh bằng 6dm Những mặt bên và mặt đáy của cái hộp có độ dầy bằng 1/4 dm Cần bao nhiêu thể tích cát để lấp kín cái hộp ngang với bề mặt đỉnh hộp ?

Một khối được tạo bởi 100 khối lập phương nhỏ Sáu mặt ngoài của khối là màu xanh Có bao nhiêu khối lập phương nhỏ có :

1) Một mặt màu xanh 2) Hai mặt màu xanh.

3) Ba mặt màu xanh 4) Không có mặt màu xanh.

Hình sau gồm các hình lăng trụ đứng Hãy tính thể tích của nó với các kích thước được cho trên hình.

7

3

3 1 6

_ Làm các bài tập 4 đến 6 trang 31 sách Hình học 12.

_ Làm các bài tập 15 đến 25 trang 27 đến trang 29 sách Hình học 12.

_ Làm hoàn chỉnh các ví dụ 1, 2, 3, 4 từ trang 24 đến trang 27 sách Hình học.

BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

Tổ Toán TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

xin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô đã theo dõi

phần báo cáo của chúng tôi.

Kính chúc tất cả các Thầy cô đạt được nhiều sức

khỏe tốt và xin hẹn gặp lại.

*************