Một lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên’ ’ ’ BB = a, hình chiếu của B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.’ ’ a Tính góc hợp bởi cạnh bên với
Trang 1Hình lăng trụ:
1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C cạnh đáy a, góc của AB với mp’ ’ ’ ’ (BCC B ) bằng ’ ’ α
Chứng minh Sxq của lăng trụ bằng
α
α
α sin
3 sin sin
2
3a2
2 Cho lăng trụ đứng OAB.O A B với AOB là tam giác vuông cân tại O có BA = a,’ ’ ’ mặt bên ABB A là hình vuông.’ ’
a) Tính Sxq và V của lăng trụ
b) Gọi I là trung điểm AB, α là mặt phẳng qua I, vuông góc với AB Xác’
định thiết diện của α với lăng trụ và tính diện tích của thiết diện này c) Tính tỉ số thể tích α chia lăng trụ
3 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh AB = a, AA = h Gọi I là trung’ ’ ’ ’
điểm của AB, J là hình chiếu của I trên AC
a) Xác định thiết diện của lăng trụ voéi mp (IJC ).’
b) Tính diện tích thiết diện này
4 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.’ ’ ’ Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC , C A ’ ’ ’
a) Dựng thiết diện của mp (MNE) với lăng trụ Chứng minh các mp (MNE), (AA B B) vuông góc với nhau.’ ’
b) Tính diện tích thiết diện
5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C cạnh đáy a bán kính đ’ ’ ’ ờng tròn ngoại tiếp 1 mặt bên là a
a) Tính V, Sxq của lăng trụ
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
6 Chiều cao của 1 lăng trụ tứ giác đều là h Từ 1 đỉnh ta vẽ 2 đ ờng chéo của 2 mặt bên kề nhau, góc của 2 đờng chéo ấy bằng α
a) Chứng minh góc BCA = góc B CB và tính V lăng trụ.’
b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp (ACB ) cắt lăng trụ.’
Lăng trụ xiên:
7 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A’ ’ ’ ’ xuống mp (ABC) là tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và góc BAA =’
450
a) Tính V lăng trụ
b) Chứng minh BCC B là hcn.’ ’
c) Tính Sxq của lăng trụ
8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC có tâm O Hình’ ’ ’ chiếu của C trên (ABC) là O Tính V của lăng trụ biết rằng k/c từ O đến CC là d’ ’
và số đo nhị diện cạnh CC là 2’ ϕ.
9 Một lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên’ ’ ’
BB = a, hình chiếu của B xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.’ ’
a) Tính góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ Tính V lăng trụ
b) Chứng minh mặt bên AA C C là hcn.’ ’
10 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC có tâm O Hình’ ’ ’ chiếu của A trên (ABC) là O Biết k/c từ O đến mặt bên ABB A là d, góc nhị diện’ ’ ’ cạnh AA là 2’ ϕ
Trang 2Chứng minh V lăng trụ đó bằng 2ϕ 2ϕ
cos 4 3 cos 4
27
−
d
Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập ph ơng:
11 Cho hình hộp ABCD.A B C D có 6 mặt là các hình thoi cạnh a, hình chiếu’ ’ ’ ’ vuông góc H của A trên mp (ABCD) nằm trong hình thoi ABCD, các cạnh xuất’ phát từ A của hình hộp đôi một tạo với nhau góc α
a) Chứng minh H nằm trên đờng chéo AC
b) Tính diện tích các mặt chéo ACC A và BDD B ’ ’ ’ ’
c) Tính V của hình hộp ABCD.A B C D’ ’ ’ ’
12 Cho hình lập phơng ABCD.A B C D’ ’ ’ ’
a) Tính góc của mp (A BD) và mp (ABCD)’
b) Chứng minh AC ’⊥ (A BD)’
13 Cho hình lập phơng ABCD.A B C D ’ ’ ’ ’ Lấy điểm M trên cạnh BC, mp (MB D)’ cắt A D tại N.’ ’
a) Chứng minh NB MD là hbh.’
b) Chứng minh MN ⊥ C D’
c) Gọi H là h/c của A trên MN Khi M chạy trên đoạn BC, tìm tập hợp
điểm H
14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đ’ ’ ’ ’ ờng chéo là d Biết CA hợp với’ các mp (ABCD), (ABB A ) các góc ’ ’ a, b Chứng minh V hình hộp là:
V = d3 sin α sin β cos( α + β ) cos( α − β )
15 Trong các hình hộp cn có cùng V, hình nào có diện tích toàn phần min
16 Cho hình hộp ABCD.A B C D Chứng minh: (BA C ) // (ACD ) và ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ chia đờng chéo B D thành 3 đoạn bằng nhau ’
17 Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phơng các đờng chéo bằng tổng bình phơng các cạnh
18 Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 60’ ’ ’ ’ 0 Chân
đờng vuông góc hạ từ B xuống mp (ABCD) trùng với giao điểm các đ’ ờng chéo của đáy Cho BB = a.’
a) Tính góc của cạnh bên và đáy
b) Tính V và Sxq của hình hộp
19 Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a Gọi M là điểm trên cạnh A D và’ ’ ’ ’ ’ ’
A M = x (0 < x < a) Mp (MAC) cắt C D tại N ’ ’ ’
Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó theo a và x
20 Trong tất cả các hình hộp cn có cùng diện tích toàn phần, hình nào có V max?
21 Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a ’ ’ ’ ’
a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AA và BD’ ’
b) Điểm M di động trên cạnh AA Mp (MBD ) cắt CC tại N Tứ giác’ ’ ’ BMD N là hình gì? Xác định điểm M để diện tích tứ giác BMD N min.’ ’ Tính Smin đó
22 Cho hình hộp cn ABCD.A B C D có cạnh AB = a, AD = h M, N lần l’ ’ ’ ’ ợt là 2
điểm trên 2 cạnh AB BC Mp (MDD ) cắt A B tại M , mp (NDD ) cắt B C tại N và’ ’ ’ ’ ’ ” ’ ’ các mp đó chia hình hộp thành 3 phần có V bằng nhau
a) Tính AM, CN theo a, b
Trang 3b) Tính tỉ số V 2 khối đa diện DMND M N và BMNB M N ’ ’ ’ ’ ’ ’
c) Tìm hệ thức giữa a và b để các mp (DMM ) và (NMM ) vuông góc với’ ’ nhau
23 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy a, chiều cao h Một mp a’ ’ ’
di động qua A cắt các cạnh bên BB , CC lần l’ ’ ợt tại K, L sao cho tam giác AKL vuông tại K Tìm đk mà a, h phải thỏa để bài toán có nghĩa Khi đó tìm max, min của diện tích thiết diện AKL
24 Cho lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thang cân, AB = 2a, CD = a’ ’ ’ ’
và góc BAD = 600 Trên các cạnh AA và BB lần l’ ’ ợt lấy các điểm M, N sao cho
AM = 2x, BN = 2y Trên các cạnh DD và CC lần l’ ’ ợt lấy các điểm P, Q sao cho
DP = x, CQ = y
a) Chứng minh MP cắt NQ tại I trên mp (ABCD)
b) MNPQ là hình gì? Tính các cạnh của tứ giác theo a, x, y
c) Tính y theo a và x để MNPQ là hình thang vuông tại M và P Trong T.H này hãy tính cosin của góc giữa 2 mp ABCD và MNPQ theo a, x
25 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D cạnh đáy a, góc của 1 đchéo với đáy’ ’ ’ ’
là 600
a) Tính V và Sxq của lăng trụ
b) Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BB và DD Chứng minh’ ’
MN, AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn và MN ’ ⊥ AC Suy ra’ hình dạng của thiết diện tạo bởi mp (C MN) và lăng trụ Tính diện tích’ thiết diện
c) Tính góc của mp (C MN) và đáy.’
26 Cho hình hộp ABCD.A B C D Gọi O là trung điểm của đ’ ’ ’ ’ ờng chéo AC Tìm vị’ trí của 1 điểm M trong không gian sao cho tổng các bình phơng các k/c từ M đến các đỉnh của hình hộp min
27 Cho hình hộp ABCD.A B C D có: ’ ’ ’ ’
AB = a, AD = b, AA = c và BD = AC = CA = ’ ’ ’ ’ a2 +b2 +c2
a) Chứng minh ABC D là hcn và ABCD A B C D là hình hộp cn.’ ’ ’ ’ ’ ’
b) Gọi a, b, c là 3 góc tạo bởi 1 đờng chéo và 3 mặt cùng qua 1 đỉnh thuộc 1 đ/chéo Chứng minh: Sin2a + Sin2b + Sin2c = 1
28 Cho hình lập phơng ABCD A B C D có đ’ ’ ’ ’ ờng chéo bằng a
a) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các đờng thẳng AC và DC'
b) Gọi G là trọng tâm tam giác A C D Mp (GAC) cắt hình lập ph’ ’ ’ ơng theo hình gì? Tính diện tích hình này
c) Điểm M di động trên cạnh BC Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của
A trên DM’
Hình chóp đều:
29 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên là a, góc ở đáy của mặt bên
là a Chứng minh V của hình chóp là: V = cos sin( 30 ) sin( 30 )
3
−
α α
a
30 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b hợp với đáy 1 góc a
a) Tính V hình chóp
b) Tính Sxq của hình chóp đó
Trang 431 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc của đờng cao và mặt bên là a, trung đoạn có độ dài là d Chứng minh Stp của hình chóp là: )
2 4 ( cos sin
8d2 α 2 π −α
32 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l, mặt bên hợp với đáy góc a
a) Tính V của hình chóp
b) Chứng minh rằng V
27
3
4l3
≤ Với giá trị nào của a thì đẳng thức xảy ra?
33 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng a Gọi O là tâm của mặt đáy
a) Tính Sxq của hình chóp
b) Chứng minh chiều cao hình chóp bằng: cot 1
2
2α−
g a
c) Xác định góc a để O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
34 Một hình chóp tam giác đều có trung đoạn d, góc của mặt bên và đáy là a Chứng minh rằng Stp của hình chóp là:
2 cos cos 3
6 d2 α 2α
Hình chóp có 1 cạnh bên vuông góc đáy:
35 Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hcn có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc đáy; cạnh bên SC hợp đáy góc a và hợp với mặt bên 1 góc b
a) Chứng minh rằng 2 α 2 β
2 2
sin cos −
SC
b) Tính V hình chóp S.ABCD
36 Cho hình chóp S.ABCD có 2 mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy;
SA = a, ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200
a) Chứng minh 2 tam giác SBC và SDC bằng nhau
b) Tính Sxq của hình chóp S.ABCD
c) Tính V hình chóp S.ABCD, từ đó suy ra k/c từ D đến mp (SBC )
37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn, chiều cao SA = h, 2 mặt bên SBC, SCD lần lợt tạo với đáy các góc a, b Tính V hình chóp
38 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, B là chân đờng cao của hình chóp
a) CMR 3 mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông và SC2 = SB2
+ BA2 + AC2
b) Biết SB = h, góc ASC = a và nhị diện cạnh AC là b Tính V hình chóp theo h, a, b
38 Cho tứ diện S.ABC với các mặt SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tơng ứng là 24a2, 30a2, 40a2 Hãy tính V tứ diện ấy
Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy:
39 Cho hình chóp S.ABC có (SBC) vuông góc đáy, 2 mặt bên SAB, SAC cùng hợp đáy góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của S lên mặt ABC là trung điểm của cạnh BC
b) Tính V của hình chóp S.ABC
Trang 540 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy
a) Tính V hình chóp đó
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SC với mặt đáy của hình chóp
41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình cn với AB = a, BC = b Mặt bên SBC là tam giác vuông tại S và vuông góc với đáy Biết góc SBC = a
a) Tính V hình chóp
b) Tính tổng diện tích các mặt bên SAB, SCD
Hình chóp cụt:
42 Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh bên là l và hợp với đáy’ ’ ’ ’ góc a, diện tích đáy lớn bằng 4 lần diện tích đáy nhỏ
a) Tính V hình chóp cụt
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đó
43 Cho biết diện tích 2 đáy của 1 hình chóp cụt là S1, S2 Tính diện tích của thiết diện trung bình (tức là thiết diện qua trung điểm của 1 cạnh bên và // với đáy)
Hình nón:
44 Tính Stp hình nón có đờng sinh là l và đờng sinh hợp với đáy góc a
45 Gọi V, V1, V2 là thể tích các vật thể tròn xoay tạo ra bởi 1 tam giác vuông khi quay quanh cạnh huyền và các cạnh góc vuông Chứng minh rằng:
2 2
2 1 2
1 1 1
V V
V = +