khoảng cách và góc

Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là Lời giải Chọn C... Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện tích tam giác MABbằng 6 Lời giải Chọn B... Tìm phương trình đường thẳng đ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2 KHOẢNG CÁCH

§3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :

Cho đường thẳng D :ax+by+ = và điểm c 0 M x y Khi đó khoảng cách từ M đến ( )( 0; 0) D được tính bởi công thức: 0 0

2 2 ( ,( )) ax by c

d M

D =

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng.

Cho đường thẳng :V ax+by+ =c 0 và M x y( M; M) Ï D,N x y( N; N) Ï D Khi đó:

- M, N cùng phía với D Û (ax M +by M +c ax) ( N +by N +c) >0

- M, N khác phía với D Û (ax M +by M +c ax) ( N +by N +c) <0

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :

1:a x1 by1 c1 0

D + + = và D2 :a x2 +by2 +c2 = là: 0

a x by c a x by c

= ±

2 Góc giữa hai đường thẳng:

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b Khi a song song

hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 0

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng D và 1 D có phương trình 2 D1:a x1 +by1 +c1 = và0

2:a x2 by2 c2 0

D + + = được xác định bởi công thức ( ) 1 2 1 2

1 1 2 2

+

D D =

Câu 1: Cho điểm M x y và đường thẳng ( 0; 0) ∆:ax by c+ + =0 với a2+b2 >0 Khi đó

khoảng cách d(M;∆) là

; 2 2 2

M

ax by c d

∆

=

0 0

M

ax by c d

a b c

∆

=

M

ax by c d

a b

∆

=

0 0

M

ax by c d

a b

∆

=

Lời giải Chọn D.

Xem lại công thức ở sách giáo khoa

Câu 2: Khoảng cách từ điểm M(15;1)đến đường thẳng : x 2 3t

y t

= +



5

Lời giải Chọn C.

Đường thẳng có phương trình tổng quát là: x−3y− =2 0

3

Chương

Trang 2

Vậy ( , ) 15 3 2 10 10

1 9 10

Câu 3: Khoảng cách từ điểm M(5; 1− ) đến đường thẳng ∆: 3x+2y+ =13 0 là

13 D 2 13

Ta có: ( , ) 15 2 13 26 2 13

4 9 13

Câu 4: Khoảng cách từ điểm M( )0;1 đến đường thẳng ∆: 5x−12y− =1 0 là

Ta có: ( , ) 12 1 1

25 144

Câu 5: Cho ba điểm A( )0;1 , B(12;5) , C(−3;5) Đường thẳng nào sau đây cách đều ba

điểm A, B , C ?

A 5x y− + =1 0 B 2x−6y+21 0= C x y+ =0 D x−3y+ =4 0

Lời giải Chọn B.

Ta có d(A;∆) =d(B;∆) =d(C;∆) =2, với ∆: 2x−6y+21 0=

Câu 6: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2đường thẳng:

1: 3x 2y 6 0

∆ − − = và∆2: 3x−2y+ =3 0

2

Giả sử M m( ;0)

Ta có: ( 1) ( 2)

4 9 4 9

1 2

m

Vậy 1;0

2

M 

 .

Câu 7: Khoảng cách từ điểm M( )2;0 đến đường thẳng : 1 3

2 4

= +



2

Lời giải Chọn A.

Đường thẳng có phương trình tổng quát là: 4x−3y+ =2 0

Vậy ( , ) 8 2 2

16 9

Câu 8: Khoảng cách từ điểm M(1; 1− )đến đường thẳng ∆: 3x−4y− =17 0 là

Trang 3

A 2

5

Ta có: ( , ) 3 4 17 2

16 9

Câu 9: Khoảng cách từ điểm M( )1;0 đến đường thẳng ∆: 3x+4y− =1 0 là

25

Ta có: ( , ) 3 1 2

5

16 9

đường thẳng ∆: 3x−4y− =3 0 là

25

Ta có: ( , ) 3 4 3 2

16 9

đường thẳng : 1

6 8

x y

14

6 8

x y

∆ + = ⇔8x+6y−48 0=

Ta có: (O, ) 48 4,8

64 36

đường thẳng ∆: 3x y+ + =4 0 là

A 2 10 B 3 10

Ta có: ( , ) 3 1 4 3 10

5

1 9

điểm O( )0;0 đến đường thẳng ∆: 4x−3y− =5 0 là

5

Trang 4

Ta có: ( , ) 5 1

16 9

Câu 14: Cho hai điểm A(1; 2− ), B(−1;2) Đường trung trực của

đoạn thẳng AB có phương trình là

Gọi là M trung điểm của đoạn AB ⇒M( )0;0

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm M và có vtpt uuurAB(−2; 4)

nên có phương trình là: x−2y=0

đường thẳng ∆: cosx α+ysinα +3 2 sin( − α) =0 là

sinα+cosα .

Ta có: ( , ) 3sin 3 2 sin( ) 6

1

Trong các điểm M(1; 3− ), N( )0;4 , P( )8;0 , Q( )1;5 điểm nào cách xa đường thẳng ∆ nhất?

Ta có: ( , ) 7 30 152 2 38

149

7 10

( , ) 40 152 2 25

149

7 10

+

( , ) 7 50 152 2 42

149

7 10

+

( , ) 56 152 2 41

149

7 10

+

(2; 1)

A − , B( )1;2 , C(2; 4− )

2

Ta có: uuurAB= −( 1;3)⇒ AB= 10, uuurAC =(0; 3− ⇒) AC=3, BCuuur= − ⇒(1; 6) BC= 37

Trang 5

3 10 37 2

⇒ =

3 10 37 10 37 3 3 10 37 3 10 37 3

( )3;2

A , B( )0;1 , C( )1;5

2

Ta có:BCuuur=( )1;4 ⇒BC= 17

Phương trình đường thẳng BC: 4x y− + =1 0

S BC d A BC

(3; 4)

A − , C( )3;1 , B( )1;5

Ta có:BCuuur=(2; 4− ⇒) BC = 20

Phương trình đường thẳng BC x: −2y− =1 0

S BC d A BC

BC của tam giác ABC biết A( )1; 2 , C( )4;0 , B( )0;3

5

Ta có:BCuuur=(4; 3− )

Phương trình đường thẳng BC: 3x+4y− =12 0

Câu 21: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1: 7x y+ − =3 0và

2: 7x y 12 0

Lấy M( )0;3 ∈ ∆1

Ta có: 1 2 ( 1 2) ( 2)

3 12 3 2

2

1 49

1: 3x 4y 0

∆ − = và ∆2: 6x−8y−101 0= là

Trang 6

A 1,01 B 101 C 10,1 D 101.

Lấy M( )0;0 ∈ ∆1

Ta có: 1 2 ( 1 2) ( 2)

101 101

10

36 64

1: 5x 7y 4 0

∆ − + = và ∆2: 5x−7y+ =6 0 là

74

Lấy M( )2;2 ∈∆1

Ta có: 1 2 ( 1 2) ( 2)

10 14 6 2

25 49 74

(3; 1)

A − , B( )0;3 Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M

đến đường thẳng AB bằng 1

2

M 

Ta có: uuurAB= −( 3;4)

Phương trình đường thẳng AB: 4x+3y− =9 0

Gọi M m( ;0) ( , ) 4 9 1

5

m

1 7 2

m m

=





⇔

 =



2

M 

  vàM( )1;0

thẳng nào sau đây cách đều A và B?

Vì ( , ) ( , ) 4

2

d B ∆ =d A ∆ =

( )3;0

A , B(0; 4− ) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện tích tam giác

MABbằng 6

Trang 7

Ta có: uuurAB= − −( 3; 4)

Phương trình đường thẳng AB: 4x−3y− =12 0

Gọi M(0;m) 1 ( , ) 6

2

MAB

S∆ d M AB AB

m+

8

m m

=



⇔  = − ; Vậy M( )0;0 vàM(0; 8− )

( )1; 2

A , B( )4;6 Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện tích tam giác

MABbằng 1

3

M 

Ta có: uuurAB=( )3;4

Phương trình đường thẳng AB: 4x−3y+ =2 0

Gọi M(0;m) 1 ( , ) 1

2

MAB

S∆ d M AB AB

m−

0 4 3

m m

=





⇔

 =



Vậy M( )0;0 và 0;4

3

M 

∆ + + = Tìm m>0 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆

bằng 1

C m=6 D m= −4 hoặc m= −16

Ta có ( , ) 1 3 4 1

5

m

∆ = ⇔ = ⇔  = −m m=64(loai)

Vậy m=6

∆ + − = Tìm m sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ bằng

1

A m=31 hoặc m=11 B m=21 hoặc m=31

C m=11 hoặc m=21 D m= ±11

Ta có ( , ) 1 6 20 1

5

m

31

m m

=



⇔  =

phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2là:

A x− =1 0 và21x−20y− =1 0 B x y+ − =2 0và 21x−20y− =1 0

C 2x y− − =1 0và 21x−20y− =1 0 D − + =x y 0.và 21x−20y− =1 0

Lời giải

Trang 8

Chọn A.

Phương trình đường thẳng∆ cần tìm đi qua điểm Acó dạng:

( 1) ( 1) 0( 2 2 0)

a x− +b y− = a +b ≠

Ta có d B( , ) 2 2a2 5b2 2

a b

+

2

0 20 21

b

=





⇔

 = −



Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : x− =1 0, 21x−20y− =1 0

Câu 31: Cho hai điểm A( )3; 2 , B(−2;2) Tìm

phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 3 là:

Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm A có dạng:

( 3) ( 2) 0( 2 2 0)

a x− +b y− = a +b ≠

Ta có ⇒d B( ,∆ =) 3 25a 2 3

a b

−

+

2 2

16a 9b

3 4 3 4

 =



⇔ 

 = −



Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 3x+4y− =17 0, 3x−4y− =1 0

3 :

2

d

= +



 = +

 và cách đường thẳng ∆: 2x y− − =3 0 một khoảng là 2 5 và a>0

Khi đó ta có a b+ bằng

Ta có: uuurAB= −( 3;4)

Phương trình đường thẳng AB: 4x+3y− =9 0.

Gọi A(3+t;2+t) ( , ) 1 2 5

5

t

11( )

t

t loai

=



⇔  = − ⇒A(12;11) 23

a b

⇒ + =

Câu 33: Cho hai điểm A( )3; 2 , B(−4;1) , C( )0;3 Tìm phương trình đường thẳng đi qua

A và cách đều B và C

A x y+ − =5 0 và 3x+7y−23 0= B x y+ − =5 0 và 3x−7y+ =5 0

Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm A có dạng:

( 3) ( 2) 0( 2 2 0)

a x− +b y− = a +b ≠

Ta có d B( , ) d C( , ) 7a b2 2 32a b2

a b a b

+ = − +



a

=



⇔  = −

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : y− =2 0, x−2y+ =1 0

Trang 9

Câu 34: Bán kính của đường tròn tâm I(0; 2)−

và tiếp xúc với đường thẳng ∆:3x−4y−23 0= là:

Ta cóR d I= ( ,∆ =) 3

Câu 35: Với những giá trị nào của mthì đường thẳng ∆: 4x+3y m+ =0 tiếp xúc với

đường tròn ( )C : x2+y2− =9 0

Đường tròn ( )C có tâm I( )0;0 , bán kính R=3

Đường thẳng ∆tiếp xúc với đường tròn ( )C ⇔ =R d I( ,∆) 3

5

m

và tiếp xúc với đường thẳng ∆:3x+4y+ =1 0 là:

Ta cóR d I= ( ,∆ =) 3

và cách đường thẳng 1 1

x− = y+

một khoảng bằng 10 ?

A 3x y+ + =6 0 B x+3y+ =6 0 C 2 3

1

= +



 = +

x y

∆ = ⇔ − − = Lấy M( )7;1 ∈∆

Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng : x−3y C+ =0(C≠ −4)

Theo bài ra ta có: d M d( , ) = 10 4 10

10

C

+

14

C C

=



⇔  = −

Phương trình đường thẳng d cần tìm là : x−3y− =14 0, x−3y+ =6 0

trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

( )3;0

Ox A

∆ ∩ = , ∆ ∩Oy=B( )0;5

OAB

S∆ = OA OB× = =

Trang 10

Câu 39: Cho đường thẳng ∆ − + =:x y 2 0 và các

điểm O( )0;0 , A( )2;0 Ttìm điểm O′đối xứng với O qua ∆

∆ − + = có vtcp ur =( )1;1

Phương trình đường thẳng OO′ đi qua điểm O và có vtpt urlà: x y+ =0

Có OO′∩ ∆ = −I( 1;1) Vì I là trung điểm của OO′ nên suy ra O′ −( 2;2)

khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng 5

13:d: 5x−12y+ =4 0 và

: 4x 3y 10 0

A x−9y− =14 0 và 3x−5y− =6 0 B 9x−5y− =6 0 và 9x y− + =14 0

Gọi M x y ( ; )

( , ) 5 ( , )

13

d M d = d M ∆ 5 12 4 5 4 3 10

x− y+ x− y−

9 15 6 0

x y



2:x y 4 0

∆ − − = , ∆3:x−2y=0 Biết điểm M nằm trên đường thẳng ∆3sao cho khoảng cách từM đến ∆1bằng hai lần khoảng cách từ M đến ∆2 Khi đó tọa

độ điểm M là:

A M(− −2; 1) và M(22;11) B M(−22; 11− )

C M(− −2; 1) D M( )2;1 và M(−22; 11− )

Lấy M(2 ;t t)∈ ∆3

11

t t

=



⇔  = − ⇒M( ) (2;1 ;M −22; 11− )

( )2; 2

A , B( )5;1 Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng ∆ −:x 2y+ =8 0 sao cho

diện tích tam giác ABC bằng 17

A C(12;10) và 76; 18

5 5

C− − 

 . B C(−12;10)

5 10

C 

Ta có: uuurAB=(3; 1− )

Phương trình đường thẳng AB x: +3y− =8 0.

Trang 11

Gọi C c(2 −8;c) 1 ( , ) 17

2

CAB

S∆ d C AB AB

2 10

c−

10 18 5

c c

=





⇔

 = −



Vậy C(12;10) và 76; 18

5 5

C− − 

điểm O( )0;0 , A( )2;0 Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc

OMA ngắn nhất

3 3

M− 

2 4

;

3 3

M− 

Nhận xét O và A nằm về cùng một phía so với đường thẳng ∆

Gọi điểm O′ là điểm đối xứng với O qua đường thẳng ∆

Ta có OM MA O M MA O A+ = ′ + ≥ ′ Vậy độ dài đường gấp khúc ngắn nhất khi

M =O A′ ∩ ∆

Phương trình đường thẳng OO x y′ + =: 0

Có OO′∩ ∆ = −I( 1;1) Vì I là trung điểm của OO′ nên suy ra O′ −( 2;2)

Phương trình đường thẳng AO x′ +: 2y− =2 0

2 4

;

3 3

Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2x−3y+ =5 0,

3x+2y− =7 0 và đỉnh A(2; 3− ) Tính diện tích hình chữ nhật đó

Gọi d: 2x−3y+ =5 0; ∆: 3x+2y− =7 0

Nhận xét d ⊥ ∆, A(2; 3− ∉ ∆) d;

Diện tích hình chữ nhật là : ( , ) ( , ) 4 9 5 6 6 7 126

13

Oxy, tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên hai đường thẳng song song: d1: 3x−4y+ =6 0 và d2: 6x−8y− =13 0

Lấy M(−2;0)∈d1

Nhận xét cạnh hình vuông có độ dài là: ( 1 2) ( 2)

12 13 5

a d d d d M d − −

Diện tích hình vuông là : 2 25

4

S a= =

Trang 12

Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy , cho ABC∆ có A(1; 1− ) , B(−2;1) , C( )3;5 Tính diện tích ∆ABK với Klà trung

điểm của AC

2

ABK

S∆ = vdt C S∆ABK =10đ( vdt) D S∆ABK =5đ( vdt)

Ta cóK( )2; 2

( 3; 2)

AB= −

uuur

⇒Phương trình cạnh AB: 2x+3y+ =1 0

Ta có: 1 ( , ) 1 4 6 1 13 11

KAB

Oxy, cho hai đường thẳng x y+ − =1 0 và 3x y− + =5 0 Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I( )3;3

Gọi hình bình hành là ABCD và d x y: + − =1 0; ∆: 3x y− + =5 0

Không làm mất tính tổng quát giả sử d∩ ∆ = A(−1;2), B∈∆, D d∈

Ta cód∩ ∆ =A(−1; 2) Vì I( )3;3 là tâm hình bình hành nên C( )7;4

( )8; 2

AC =

uuur

⇒Đường thẳng AC có pt là: x−4y+ =9 0

Do BC//∆ ⇒Đường thẳng BC đi qua điểm C( )7;4 và có vtpt nr=(3; 1− )có pt là:

3x y− − =17 0

Khi đó 9; 7

2 2

d∩BC B=  − 

9

14 9 2

17

ABCD

S∆ d B AC AC

+ +

Oxy ∆ABCcó đỉnh A(2; 3 ,− ) B(3; 2− ) và diện tích ABC∆ bằng 3

2 Biết trọng tâm

G của ABC∆ thuộc đường thẳng d: 3x y− − =8 0 Tìm tọa độ điểm C

C C(−1;1)và C(−2;10) D C(−1;1)và C(2; 10− )

( )1;1

AB=

uuur

⇒Đường thẳng AB có pt là: x y− − =5 0 Gọi G a a( ;3 − ⇒8) C a(3 −5;9a−19)

1

CAB

a a

a

∆

=

Vậy C(1; 1− )và C(−2;10)

Trang 13

Câu 49: Cho đường thẳng : 21∆ x−11y− =10 0

Trong các điểm M(20; 3− ), N( )0;4 , P(−19;5), Q( )1;5 điểm nào cách xa đường thẳng ∆ nhất?

Ta có: ( , ) 21.20 33 102 2 443

562

21 11

Ta có: ( , ) 44 102 2 44

562

21 11

Ta có: ( , ) 399 55 102 2 464

562

21 11

Ta có: ( , ) 21 55 102 2 44

562

21 11

Oxy, cho hai đường thẳng ∆1:x y− + =1 0,∆2: 2x y+ − =1 0 và điểm P( )2;1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Pvà cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt tại hai điểm A, Bsao cho P là trung điểm AB

Ta có ∆ ∩ ∆ =1 2 I( )0;1

Vì A∈∆ ⇒1 A a a( ; +1) Vì P( )2;1 là trung điểm của đoạnAB ⇒B(4−a;1−a) Mặt khác 2

;

2 8

;

3 3

=  ÷ uuur

⇒Đường thẳng AP: 2x y+ − =5 0có pt là: 4x y− − =7 0

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,7 MB