góc và KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và.. CHUYÊN ĐỀ 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trường hợp đường thẳng không vuông góc với mặt phẳn

Trang 1

TUYỆT KỸ GIẾT NHANH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

2018

Chuyên luyện thi Đại học Toán tại Hà Nội

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và

2 Nhận xét

 Để xác định góc giữa hai đường thẳng và , ta có thể lấy điểm nói trên thuộc một trong hai

đường thẳng đó

 Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

 Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của và và thì góc giữa hai đường thẳng

và bằng nếu và bằng nếu

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Cách 1: Từ một điểm trên đường thẳng , kẻ

 Cách 2: Từ một điểm bất kì, kẻ

2 Cách tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số côsin:

 Sử dụng tích vô hướng để tính góc: Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của và thì:

b

a a' b' O

Trang 3

Gọi là trung điểm của

Ví dụ 2 Cho hình hộp Giả sử tam giác và đều có ba góc nhọn

Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , Cạnh bên

vuông góc với mặt đáy Gọi là trung điểm của Tính côsin góc giữa hai đường thẳng và

Ví dụ 4 Cho tứ diện có Gọi lần lượt là trung điểm của và

D'

B

C A'

2 5, 1, 30

2

1 cos , cos

C S

Trang 4

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song song với

(hoặc trùng với )

B Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song song với

C Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn

D Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó

Câu 2 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu và cùng vuông góc với thì

C Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì

D Nếu và cùng nằm trong mặt phẳng song song với thì góc giữa và bằng góc giữa

Câu 5 Cho tứ diện đều có cạnh bằng , là trung điểm của cạnh Gọi là góc

giữa hai đường thẳng và , khi đó bằng:

Câu 6 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , Hình chiếu vuông

góc của trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và

Tính cotan của góc giữa hai đường thẳng ,

C

D B

3 2

1 2

6 2

14 4

Trang 5

Câu 7 Cho hình chóp , có đáy là hình chữ nhật với Tam

giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi là trung điểm của Biết rằng Tính côsin của góc giữa và

Câu 8 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại ,

Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một góc Tính côsin góc tạo bởi và

Câu 9 Cho hình chóp , có đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng ; vuông

góc với đáy và Khi đó, côsin góc giữa và bằng:

Câu 10 Cho hình hộp chữ nhật có , góc tạo bởi với mặt

đáy bằng Gọi là trung điểm của Tính góc giữa hai đường thẳng và

E HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 Chọn A

B sai do thiếu trường hợp trùng với

C sai do góc giữa hai đường thẳng có thể là góc vuông

D sai do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường

thẳng đó

Câu 2 Chọn B

B sai do có thể và chéo nhau

Câu 3 Chọn A

Gọi là trọng tâm tam giác

Vì tứ diện đều nên

7 7

7 8 ' ' '

6

3 2

3 4 ' ' ' '

ABCD A B C D AB a AD a= , = 2 A C'

3 arccos

6

3 arccos

3 3

arccos

4

2 3 arccos

^ ï

G C

D B

A

Trang 6

Câu 5 Chọn A

là đường trung bình của

và là các tam giác đều cạnh bằng

Þ í

=ïî

ï í

ï = = =ï

7 cot

x

M

E H

B S

S

H

Trang 7

', ' ' ', ' ' 30

, ' , ' tan 60 3; ' cot 30 3

' cos , ' cos '

cos

4

a OH HOI

S

C

Trang 8

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Trường hợp đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng góc

giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng

 Bước 1: Tìm điểm chung giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Bước 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

 Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

Từ đó ta có công thức góc theo thứ tự ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO

α d'

d

O H

A ĐỈNH

GIAO ĐIỂM

CHÂN ĐƯỜNG CAO

Trang 10

C VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho tứ diện có cạnh bằng nhau và đôi một vuông góc với nhau Khẳng

định nào sau đây đúng?

Ví dụ 2 Cho hình chóp có là tam giác đều cạnh , cân tại Hình chiếu

vuông góc của xuống mặt là trung điểm của Góc giữa và mặt đáy bằng Tính độ dài đoạn

Ví dụ 3 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên và vuông

góc với đáy Tính sin của góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

ABCD AB BC BD, ,

3 2

15 10

Trang 11

Gọi là trung điểm

Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm Cạnh bên và

vuông góc với mặt đáy Tính tan của góc giữa và mặt phẳng

Ví dụ 5 Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng ,

Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu đường thẳng thì vuông góc với hai đường thẳng trong

B Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì

2 2 tan , tan 2 2

' , ' ' ' , ' '

' ' '

1 tan '

Trang 12

D Nếu và đường thẳng thì

Câu 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với đáy, là trung

điểm của Góc giữa và bằng Tính độ dài đoạn

Câu 3 Cho hình vuông có tâm và cạnh bằng Trên đường thẳng qua và vuông

góc với lấy điểm Nếu góc giữa và có số đo bằng thì độ dài đoạn bằng:

Câu 4 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

Cạnh bên vuông góc với đáy, góc giữa và đáy là Tính độ dài đoạn

Câu 5 Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh Đỉnh cách đều các

đỉnh Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng Tính độ dài đường cao của lăng trụ

Câu 6 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , tam giác là

tam giác đều có bằng cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy

Câu 7 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Tam giác cân tại và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết tạo với đáy một góc , là trung điểm của Côsin góc giữa và mặt đáy là:

Câu 8 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

Cạnh bên và vuông góc với đáy Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Câu 9 Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh Mặt bên là tam giác

đều và Gọi là trung điểm của Côsin góc giữa và là:

3 3

3 10

Trang 13

A B C D

Câu 10 Cho lăng trụ có đáy là hình thoi cạnh , Hình chiếu vuông

góc của xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên

Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

25

52

Þ ^ Þ ^ " Ìý

ï

Ç = ïþ

( ) ( )

a

d a d

aa

üïÞ ^ý

A D

C S

Trang 14

A

C D

C A

S

B

C A

Trang 15

Gọi là trung điểm

M

B S

I H

A

I

K H

B

S

C

D A

D'

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng và , ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

1 Cách 1: Theo định nghĩa

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Cạnh bên và vuông

góc với mặt đáy Tính của góc giữa hai mặt phẳng và

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; cạnh bên

và vuông góc với đáy Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và

3 2

2 5 5

2 5 sin , sin

C A

3 3

3 2

SAC SA AC a= = Þ AH ^SC SBC SB BC a= = 2ÞBH^SC

B

Trang 17

Ví dụ 3 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , chiều cao hình chóp bằng

Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Côsin

của góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

î

ü

Þ ^ ï

Þ ^ Þ ^ ý

ü

Ç = ï

ý ï

B

C S

( ) ( )P Ç Q =c

( )R Éc

( ) ( ) ( ) ( )

ì = Ç ï

í

= Ç

ï ( ( ) ( )P , Q )=(p q, ) ( )

Trang 18

Gọi là trung điểm của Kẻ

Ví dụ 2 Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh Tam giác vuông tại và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy , đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc Tính góc giữa và

^ Þ ^ ï

ü

Þ ^ ï

Þ ^ Þ ^ ý

B

S

C

D A

I

Trang 19

3 Cách 3: Theo định lí về hình chiếu

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , vuông góc

với , Nếu góc giữa và mặt phẳng bằng thì góc giữa mặt phẳng và bằng:

Gọi là trung điểm của là hình vuông

là hình chiếu của lên Đặt

vuông tại

Ví dụ 2 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân với Góc

và là trung điểm của Cosin của góc giữa hai mặt phẳng

S

D A

B

' ' '

BAC=120 ,°BB'=a I CC'(ABC) (AB I' )

2

310

3 2

5 3

Trang 20

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và

là hình chiếu của trên

vuông tại

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho hình hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và

vuông góc với đáy, Góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

Câu 2 Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng và vuông góc

với đáy Để thể tích của khối chóp bằng thì góc giữa hai mặt phẳng

và bằng:

Câu 3 Cho tứ diện có đôi một vuông góc, và

Điểm nằm trên cạnh sao cho Tính góc giữa hai mặt phẳng

và

Câu 4 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại có Gọi

là trung điểm của Mặt phẳng tạo với đáy một góc Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

Câu 5 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , là trung điểm của

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm thuộc sao cho

và Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng:

C' A'

B

C A

35

34arcsin

35

14arcsin

35

3arcsin

10 5

7 7

1 73

2 73

Trang 21

Câu 6 Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng Tính của góc giữa hai mặt

phẳng và

Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , là trung điểm của

cạnh Góc giữa hai mặt phẳng với bằng:

Câu 8 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh , góc ,

Tính tan của góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng và

Câu 9 Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi là tâm của hình vuông

và là góc giữa hai mặt phẳng và Góc thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Câu 10 Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng , Để

góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng thì giá trị của là:

110

110 arctan

11

2 110 arctan

33

2 110 arctan

11

3 2

= + = = =

ü

^ ï

Þ ^ Þ ^ ý

S

Trang 22

4 1

tan 3 3

34 34

OABC ABC

S

K

Trang 23

Câu 5 Chọn A

Câu 6 Chọn D

Gọi Do hình chóp đều nên

Gọi là trung điểm của Tam giác đều nên

Tam giác có , nên vuông tại ,suy ra

1 cos , cos

^ ï

= = =

M

O B

C S

Trang 24

Gọi là tâm hình vuông

Gọi là trọng tâm

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng

Suy ra hình chiếu của lên mặt phẳng nằm trên đoạn

thẳng và

Kẻ

Câu 8 Chọn A

Từ giả thiết suy ra tam giác đều cạnh

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Do nên suy ra cách đều các đỉnh của tam giác

hay là tâm của tam gác đều

2 2 110 1

2 110 tan , tan

S

C

B A

I K

'

, ' ' , , ' '

' tan tan ' 2

^ ï

ü

Ç = ï

ý ï

Trang 25

Gọi là trọng tâm của là tâm đường tròn ngoại tiếp

^ ^ þ

= = Þ = = + =

O I

B'

C'

A C B

A'

Trang 26

CHUYÊN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT

PHẲNG

1 Định nghĩa

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với

là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

2 Phương pháp tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm

hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng Việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt

phẳng ta thường dùng một trong các cách sau:

CẤP ĐỘ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM Ở ĐÁY ĐẾN MẶT ĐỨNG

Ví dụ: Làm sao để tìm khoảng cách từ Sơn Tùng đến bức tường?

À, quá dễ, từ Tùng kẻ 1 đường thẳng vuông góc vào tường!

Ta để ý: tường và mặt đất đang vuông góc với nhau thì ta mới có thể kẻ vuông góc vào tường

( ) ( ) ( ;( ) )

Trang 27

Ta có phương pháp như sau:

với

(Chú ý: Mặt đứng thường chứa đường cao)

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy Tìm khoảng

cách a) Từ C đến (SAB)

(SAB) là mặt đứng (do chứa đường cao SA) -> Dùng cấp độ 1

 Nên theo phương pháp:

Bước 1: Ta xem có mặt phẳng nào chứa C và vuông góc với (SAB)? Đó chính là

(ABCD)

Bước 2: Mà giao tuyến chung của (SAB) và (ABCD) là AB

Bước 3.Nên từ C ta kẻ 1 đường thẳng vuông góc với AB là xong Mà ta có ngay đó chính

là BC

Từ đó

b) Nhận xét:

(SAD) là mặt đứng (do chứa đường cao SA) -> Dùng cấp độ 1

Bước 1: Ta xem có mặt phẳng nào chứa B và vuông góc với (SAD)? Đó chính là

(ABCD)

Bước 2: Mà giao tuyến chung của (SAD) và (ABCD) là AD

Bước 3.Nên từ B ta kẻ 1 đường thẳng vuông góc với AD là xong Mà ta có ngay đó chính

Trang 28

Từ đó

c) Nhận xét:

(SAC) là mặt đứng (do chứa đường cao SA) -> Dùng cấp độ 1

Bước 1: Ta xem có mặt phẳng nào chứa B và vuông góc với

(SAC)? Đó chính là (ABCD)

Bước 2: Mà giao tuyến chung của (SAC) và (ABCD) là AC

Bước 3.Nên từ B ta kẻ 1 đường thẳng vuông góc với AC là

xong Mà ta có ngay đó chính là BO (do 2 đường chéo hình

vuông sẽ vuông góc với nhau)

Từ đó

d) Nhận xét:

(SAM) là mặt đứng (do chứa đường cao SA)

-> Dùng cấp độ 1

Bước 1: Ta xem có mặt phẳng nào chứa D và vuông

góc với (SAM)? Đó chính là (ABCD)

Bước 2: Mà giao tuyến chung của (SAM) và (ABCD) là AM

Bước 3.Nên từ D ta kẻ 1 đường thẳng vuông góc với AM là xong

Ví dụ 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại với và

a a

B

D

C S

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	2,37 MB