BT: Khoảng cách và góc

Khoảng cách và góc trong hình học phẳngI.. PT đ ờng phân giác trong của góc A của ∆ABC Để viết PT đờng phân giác trong của góc A của ∆ABC ta có các cách sau: C1 Gọi D là chân đờng phâ

Khoảng cách và góc trong hình học phẳng

I Kiến thức cơ bản:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng ∆ :ax+by+c=0 là:

d(∆;M)= 0 0

2 2

+

Chú ý: Nếu bài toán cho phơng trình đờng thẳng d dới dạng ptts thì ta chuyển sang

pttq rồi tính khoảng cách theo công thức

2 Điều kiện cần và đủ để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đ ờng thẳng

Bài toán: Cho đờng thẳng ∆ và hai điểm M(x M;y M) và N( ;x y N N)không nằm trên

∆ Hãy xét vị trí tơng đối của hai điểm M,N đối với đờng thẳng ∆

Kết luận:

+) Hai điểm M, N nằm về cùng phía đối với đờng thẳng ∆

(ax M by M c ax).( N by N c)

+) Hai điểm M, N nằm khác phía đối với đờng thẳng ∆

(ax M by M c ax).( N by N c)

3 Ph ơng trình đ ờng phân giác của góc tạo bởi hai đ ờng thẳng:

Bài toán: Cho hai đờng thẳng cắt nhau ∆ 1 :a x b y c1 + 1 + = 1 0

∆ 2 :a x b y c2 + 2 + = 2 0

Viết pt các đờng phân giác của các góc tạo bởi hai

hai đờng thẳng ∆ 1; ∆ 2

Kết luận: Phơng trình hai đờng phân giác d1;d2 của các góc tạo bởi hai đờng thẳng ∆ 1; ∆ 2 có dạng:

1 21 2 1 2 22 2 2

Chú ý: 1.Đờng phân giác có tính chất: Mỗi điểm nằm trên đờng phân giác của góc

tạo bởi hai đờng thẳng cắt nhau∆ 1; ∆ 2 đều cách đều hai đờng thẳng ∆ 1; ∆ 2

2 Lấy một điểm bất kì M thuộc ∆ 1 Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với

đ-ờng phân giác d1 cắt ∆ 2 tại điểm M’ Khi đó ta có: M và M’ đối xứng với nhau

qua d1

4 PT đ ờng phân giác trong của góc A của ∆ABC

Để viết PT đờng phân giác trong của góc A của ∆ABC ta có

các cách sau:

C1) Gọi D là chân đờng phân giác của góc A

Tính toạ độ điểm D theo hệ thức véc tơ: DB AB DC

AC

= −

Sau đó viết pt đờng phân giác đi qua hai điểm A, D

C2, 1) Viết pt đờng phân giác d1;d2 trong và ngoài của góc A trong tam giác ABC

2)+ Nếu B và C nằm khác phía đối với đờng thẳng d1thì d1 là đờng phân giác trong của góc A

+ Nếu B và C nằm cùng phía đối với đờng thẳng d1thì d2 là đờng phân giác trong của góc A

5 Góc giữa hai đ ờng thẳng:

Góc giữa hai đờng thẳng : ∆ 1 :a x b y c1 + 1 + = 1 0

∆ 2 :a x b y c2 + 2 + = 2 0

Kí hiệu là: (∆ 1; ∆2) hoặc ã

1 2 ( ; ∆ ∆ )

Khi đó: 1 2 2 1 22 1 22 2

1 1 2 2

cos( ; )

.

+

∆ ∆ =

1

1

O

= +



∆  = +

2 1

2

' :

'

O O



∆  = +

thì 1 2 2 1 22 1 22 2

1 1 2 2

cos( ; )

.

+

∆ ∆ =

(Vì cos( ; ∆ ∆ 1 2 )=cos( ; )n nur uur1 2 = cos( ; )u uur uur1 2

2 Nếu ∆ 1: y k x b= 1 + 1 và ∆ 2: y k x b= 2 + 2 thì ta có thêm công thức:

1 2

1 2

1 2

tan( ; )

1

k k

−

∆ ∆ =

+

II Các dạng toán th ờng gặp:

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến khoảng cách

Bài 1: Tính d(M;∆) biết:

a M(1;1) và ∆: x-y-2=0

b M(2;1) và ∆: 1 1

−

c M(1;5) và ∆: 2

4

=



 = +



Bài 2: Cho hai điểm A(1;1) và B(3;6) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và cách B một

khoảng bằng 2

Bài 3: Cho đờng thẳng d: 8x-6y-5=0 Viết pt đờng thẳng ∆ song song với d và cách d một

khoảng bằng 5

Bài4: Cho 3 điểm A(1;1), B(2;0), C(3;4) Viết pt đờng thẳng đi qua A và cách đều hai điểm

B,C

Dạng 2: Các bài toán liên quan ĐK để hai điểm cùng phía, khác phía đối

với một đ ờng thẳng

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(2;3),C(3;-6) và đờng thẳng ∆: x-2y-3=0

a Xét xem đờng thẳng ∆ cắt cạnh nào của tam giác

b Tìm điểm M trên ∆ sao cho MA MB MCuuur uuur uuuur+ + nhỏ nhất

Bài 6: Cho hai điểm P(1;6) , Q(-3;-4) và đờng thẳng ∆: 2x-y-1=0

a Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho MP+MQ nhỏ nhất

b Tìm toạ độ điểm N trên ∆ sao cho NP NQ− lớn nhất

Bài7: Cho đờng thẳng ∆m: (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0 và hai điểm A(2;3), B(1;0)

a CMR: ∆m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

b Xác định m để ∆m có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB

c Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng ∆m là lớn nhất

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đ ờng thẳng

Bài 8: Tìm các góc của một tam giác biết pt các cạnh tam giác đó là:

x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1

Bài 9: Viết pt đờng thẳng :

a Qua A(-2;0) và tạo với đờng thẳng d: x+3y-3=0 một góc 45 0

b Qua B(-1;2) và tạo với đờng thẳng d: 2 3

2

= +



 = −

 một góc

0 60

Bài 10: Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đờn thẳng 2

1 2

= +



 = −

 và 3x+4y+12=0

bằng 45 0

Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, biết pt các đờng thẳng AB, BC lần lợt là:

x+2y-1=0 và 3x-y+5=0 Viết pt đờng thẳng AC biết rằng đờng thẳng AC đi qua

điểm M(1;-3)

(Nêu các cách giải)

Bài 12: Cho hai đờng thẳng ∆ 1: 2x-y+5=0 và ∆ 2: 3x+6y-1=0 và điểm M(2;-1) Viết pt đờng

thẳng ∆ đi qua M và tạo với hai đờng thẳng ∆ 1; ∆ 2 một tam giác cân có đỉnh là

giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2

(Nêu các cách giải)

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến đ ờng phân giác của góc

Bài 13: Cho hai đờng thẳng ∆ 1: 2x+3y+1=0 và ∆ 2: 3x+2y-3=0

a Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi ∆ 1 và ∆ 2

b Viết pt đờng phân giác của góc nhọn tạo bởi ∆ 1 và ∆ 2

c Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi ∆ 1 và ∆ 2 chứa điểm M(0;1) hoặc góc đối

đỉnh với nó

Bài 14: Cho ba điểm A(2;0); B(4;1); C(1;2)

a CMR: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b Viết pt đờng phân giác trong của góc A

c Tìm toạ độ tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 15: Biết các cạnh của tam giác ABC có pt :

AB: x-y+4-0; BC: 3x+5y+4=0; AC: 7x+y-12=0

a Viết pt đờng phân giác trong của góc A

b Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC

Bài 16: Viết pt các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đờng cao và đờng phân giác trong

qua đỉnh A và C lần lợt là ∆ 1: 3x-4y+27=0 và ∆ 2: x+2y-5=0

III Bài tập về nhà:

Bài 17: Lập pt đờng thẳng qua điểm A(2;1) tạo với ∆ 1: 2x+3y+4=0 một góc bằng 45 0

Bài 18: Cho hai đờng thẳng ∆ 1: 2x-y+1=0 và ∆2: x+2y-7=0 Lập pt đờng thẳng d đi qua gốc

toạ độ sao cho đờng thẳng d tạo với ∆ 1 và ∆2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm

của ∆ 1 và ∆2 Tính diện tích tam giác cân đó

Bài 19: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đờng chéo nằm trên đờng thẳng có pt

7x-y+8=0 Lập pt các cạnh và đờng chéo thứ hai của hình vuông

Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(4

5 ;7

5) Hai đờng phân giác trong của góc B và C lần

l-ợt có pt x-2y-1=0 và x+3y-1=0 Viết pt cạnh BC của tam giác

Bài 21: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có pt theo thứ tự là: x+2y-1=0 và

3x-y+5=0 Tìm pt cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;-3)

Bài 22: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3;1), pt đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ A

theo thứ tự có pt là: x+3y+12=0 và x+7y+32=0 Lập pt các cạnh của tam giác ABC Bài 23: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) Lập pt đờng thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q

tới đờng thẳng đó bằng 3

Bài 24: Cho P(3;0) và hai đờng thẳng ∆ 1: 2x-y-2=0 và ∆ 2: x+y+3=0 Gọi d là đờng thẳng

qua P cắt ∆ 1 và ∆ 2 lần lợt tại A và B.

Viết pt của d biết PA=PB

Bài 25: Cho hai điểm A(1;3) và B(3;2) Lập pt đờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B

tới đờng thẳng đó bằng 1

Bài 26: (B-05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;1); B(4;-3) Tìm điểm

C thuộc đờng thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6 Bài 27: (A-06) Cho các đờng thẳng

d1: x+y+3=0; d2: x-y-4=0; d3: x-2y=0

Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d3sao cho: d(M; d1)=d(M; d2)

Bài 28: (B-07) Cho điểm A(2;2) và các đờng thẳng d1: x+y-2=0; d2: x+y-8=0

Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân

tại A

Bài 29: (B-08) Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông

góc của C trên đờng thẳng AB là điểm H(-1;1), đờng phân giác trong của góc A có

pt x-y+2=0 và đờng cao kẻ từ B có pt 4x+3y-1=0

Bài 30: (Thử ĐH HH4-CTC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết

A(5;2) Phơng trình đờng trung trực cạnh BC, đờng trung tuyến CC’ lần lợt là

1

d : x+y-6=0 và d2: 2x-y+3=0

Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC