khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai cơng cụ sau và nĩ liênquan với nhau : Bài tốn 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh đến một mặt bên Phương pháp xác đ

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM

ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

I) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN :

 Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng tốnrất quan trọng trong chương vuơng gĩc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đềthi Đại Học

Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai cơng cụ sau và nĩ liênquan với nhau :

Bài tốn 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d

BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh , DỰNG AHd( H d� ).BƯỚC 3 : Dựng AISH I SH � .Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh , A là hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh trên mặt đáy

Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau ,một đường thuộc mặt phẳng náy vuơng gĩc với giao tuyến thì sẽ vuơng vuơng vớimặt phẳng kia

 Đây là bài tốn cơ bản nhưng vơ cùng quan trọng trong việc tính khoảng cách từ một đểm đến một mặt phẳng Hầu như tính khoảng cách từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thơng qua điểm này dựa vào cơng thức của bài tốn 2

Ví dụ điển hình : Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với đáy (ABC) Hãy

xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).

Ta cĩ BC là giao tuyến của mp(SBC) và (ABC)

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng AHBCtại

Mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SAH)

theo giao tuyến SH cĩAISH

nên AImp SBC �d A ,mp SBC    AI

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau :

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thểtính khoảng cách đến mặt phẳng (P) KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếucủa đỉnh

Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.

II) BÀI TẬP MẪU

Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuônggóc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết

SE, trong mp(SAE) dựng AF SE tại F Suy ra

AF AS AE 3a 3a a � 

Kết luận d A , SBC    AF a 2

2

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và SBC� =

300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

LỜI GIẢI

H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm

B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm

với mặt phẳng (SAC) tại C Nên bước đầu tiên ta

phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) ,

sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để

tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) Cách

làm cụ thể như sau :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC

Do SBC  ABC vuông góc với nhau theo giao

tuyến BC nên SHmp ABC 

Trong SBHvuông tại H có SH SB.sin30 0a 3, BH SB.cos30 03a.Trong mp(ABC) dựng HG AC tại G Ta có AC HG AC SHG

ABC 60 Gọi M là trung điểm BC Biết SA = SB = SC = a 5.

a) Tính chiều cao của hình chóp

b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB)

LỜI GIẢI

a) Tính chiều cao của hình chóp.

Vì ABC vuông tại A, M trung điểm của BC

nên có MA MB MC  (1)

Theo đề SA SB SC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là hình chiếu vuông

góc của S lên mp(ABC)

CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC).

Trong mp(ABC) dựng MF AB tại F, có AB MF AB (SMF)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD

là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) làđiểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Gọi M là trung điểm của AB Biếtrằng SA=2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30o Tính theo akhoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)

Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên

mp(ABCD) Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc

Muốn tính khoảng cách từ M đến mp(SBC), ta phải tính khoảng cách từ H

(hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBC) trước, sau đó sử dụng

công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp(SBC)

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữađường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (ACC'A') (B – 2014 )

LỜI GIẢI

Gọi H là trung điểm của AB Theo đề bài ta có

A 'H ABC

Có HC là hình chiếu vuông góc của A'C trên

mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A'C và mặt

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N

và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC Gọi H là giao điểm của CN

và DM, biết SH ABCD ,SH a 3  Tính khoảng cách từ điểm C đến mặtphẳng (SBP)

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SBP), ta phải tính khoảng cách từ H (hình

chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBP) trước, sau đó sử dụng công

4

HI HK HS a 3a 3a �  Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBP) tại K, có

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông

góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 600 I trung điểm của BC , H làhình chiếu vuông góc của A trên SI

a) Chứng minh tam giác ABH vuông

b) Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặtphẳng ABH

Kết luận tam giác ABH vuông tại H

AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) , nên góc giữa SB và(ABC) là góc SBA 60 �  0 �SA AB.tan60 02a 3

b) Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH

Ta có AHSBC  �ABH  SBC , từ I thuộc BC kẻ IKHB K HB �  ,

mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (ABH) và (SBC) , nên suy ra

IK  ABH Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABH) là IK

Trong SAIvuông tại A có SI SA2AI2 12a23a2a 15 ,

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (ABH) là

A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có

a) Khoảng cách từ O đến (SAB)

Do S.ABCD là hình chóp đều nên

� , hai mặt phẳng này vuông

góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SOI)

dựng OHSI tại H �OH SAB Vậy

Trong SAO vuông tại O : SO SA2AO2  16a22a2a 14

Trong SOI vuông tại O :

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằngnhau, nên         a 210

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng

a, SA vuông góc với đáy Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

+ Trong tam giác vuông SAO có: 12 12 12 12 22 AH 10a

5

AH SA AO 2a a � Vậy     a 10

d A , SBD

5

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD)

ở câu a) ta có CBSAB�d C,mp SAB   CB a

 Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại

Vì CE ABP nên d C, SAB   d E, SAB   a

Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB)

Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A , sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA a 6 a) Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD)

Trong ACDvuông tại C có AC AD2CD2 4a2a2a 3

Trong tam giác vuông SAC có 12 12 12 12 12 AH a 3

d AD, SBC

7

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC Góc giữamặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách từ D đếnmặt phẳng (SBM)

BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có

BMAN, BMSHnên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN

và SH là góc SHA 45�  0

Tam giác SAH vuông cân tại A �AH AS a 

Trong tam giác vuông ABM:

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a , SA

vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a Gọi I , J là trung điểm của SC và AB

a) Chứng minh IO(ABCD) b) Tính khoảng cách từ I đến CJ

LỜI GIẢI

a) Chứng minh IO(ABCD)

Trong tam giác SAC có OI là đường trung

bình của tam giác Nên có :

Khoảng cách từ I đến CJ là HI Gọi G BO CJ  � nên G là trọng tâm của tam

giác ABC ,với OG 1OB a 2

Trong COG vuông tại O có 12 12 12 2 18 202 2 2 OH a

OH OC OG a a a �  20

Trong OIH vuông tại O : 2 2 a2 a2 a 30

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = a, đáy ABC là tam giác

vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3

a) Tính khoảng cách từ AA' đến (BCC'B')

b) Tính khoảng cách từ A đến (A'BC)

c) Chứng minh AB(ACC'A') và tính khoảng cách từ A' đến (ABC')

LỜI GIẢI

a) Tính khoảng cách từ AA' đến mp(BCC'B').

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các đường thẳng

AA’, BB’, CC’ vuông góc với các đáy (ABC) và

Tam giác ABC vuông tại A có AC BC2AB2 a

và AH.BC AB.AC AH a 3.a a 3

�BC SAB � SBC SAB , hai mặt phẳng

này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB trong

mp(SAB) dựng AHSBtại H�AHSBC Vậy

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,

SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD) Gọi I , M là trung điểm của SC , CD a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) b) Tính khoảng cách từ I đến (SBD).c) Tính khoảng cách từ A đến (SBM)

mặt phẳng này vuông góc với nhau theo

giao tuyến SO, trong (SAO) dựng

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại S , nên có:

d A , SBM AJ

53

Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a Từ trung điểm H của

AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH = a

a) Đáy được vẽ lại ở hình 2 Dễ dàng chứng minh CD AC

với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng AHSC,H SC� �AHSCD Vậy d A , SCD    AH

Trong SAC có 2 2 2 2 2 2

AH

AH AC AS  2a 4a 4a �  3.Kết luận     2a

5

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với BAD 120�  0, BD = a ,

SAđáy (ABCD), góc giữa mp(SBC) và mp đáy là 600 Tính:

a) Đường cao của hình chóp b) Khoảng cách từ A đến (SBC)

LỜI GIẢI

a) Gọi O AC BD � , trong (ABCD) dựng

AI AH AS a 3a 3a � 

Kết luận d A , SBC    AI a 3

4

Câu 20: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABC BAD� � 900 , BA = BC = a,

AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếuvuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính ( theo a)khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

LỜI GIẢI

Gọi M trung điểm của AD có MA MC MD MC 1AD

2

  �  ,vậy tam giác

ACD vuông tại C Có CD AC CD SAC CD SC

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

LỜI GIẢI

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Ta có SBD cân tại S có O là trung điểm

của BD nên SO BD ; ABCD là hình thoi nên

BDAC �BDSAC

mà BD�ABCD � SAC  ABCD

b) Chứng minh tam giác SAC vuông:

Ta chứng minh SO = AO = OC.

 Do ABD cân tại A có BAD 60�  0�ABD đều.

 ABD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến AO a 3

“Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,SA ABCD ,

SA AB a,AD a 2   , Gọi H là trung điểm SB

a) Chứng minh:SCD  SAD ,AH SC

b) Xác định và tính góc giữa SC vàABCD

c) Gọi G là trọng tâm của tam giácSAB Tính khoảng cách từ G đếnSAC 

LỜI GIẢI

a) Chứng minh:AEC  SBC.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng SC vàSAB

c) Tính góc giữa hai mặt phẳngSBC vàABC

Từ (1) và (2) suy ra AE (SAB) ,

mà AE (ACE)� �(ACE) (SAB)

Có SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB), do đó góc giữa SC và(SAB) là góc CSB�

Trong SBC vuông tại B có tanCSB� BC a 6 3 CSB 60� 0

d) Theo giả thuyết có SAB vuông cân tại A�E trung điểm của SB

Gọi H trung điểm của AB Dựng HIAC,I AC�



� SA (ABCD)

Trong SAB vuông cân tại A �SB AB 2 a 2 

Trong SBC vuông tại B có BH là đường cao

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,

AB 2a.AD a,   SA ABCD ,SA 3a  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lênSB

a) Chứng minh:SBC  SAB

b) Vì (SBC) và (SAB) vuông góc với nhau theo

giao tuyến SB, trong mp(SAB) có

AH�SB�AH(SBC)

Như vậy có CH là hình chiếu vuông góc của

AC trên mp(SBC), nên góc giữa AC và (SBC) là

góc ACH�

Trong SAB vuông tại A có 12 12 12 12 12 AH 6a 13

13

AH AB AS 4a 9a � Trong hình chữ nhật ABCD có AC AB2AD2a 5

Trong ACH vuông tại H có



Câu 26: Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a,ACB 60�  0 Dựng hai đoạn BB’ = a, CC’ = 2a cùng vuông góc với mp(P) và ở cùng một bênvới (P) Tính khoảng cách từ:

a) C đến mp(ABB’) b) Trung điểm B'C đến mp(ACC’)

Ta có CH AC'    CH ABC' d C, ABC'    CH

Câu 27: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy, BAD 120�  0 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA 45�  0 Tính khoảng cách

Câu 28: ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC 30�  0, SBC là tamgiác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách

d H ,mp SAB

 

�d C,mp SAB 2d H ,mp SAB 2.a 39 a 39

Câu 29: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảngcách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

theo giao tuyến BC , suy ra SHmp ABCD 

Do AB // CD và H AB� , nên

d A ,mp SCD d H ,mp SCD

Gọi G trung điểm của CD và I là hình chiếu

vuông góc của H trên SG

Giả sử O.ABC là tứ diện vuông tại O (OA OB, OB  OC, OC OA)

Khi đó đường cao OH của tứ diện OABC được tính theo công thức

DựngODBC D BC � , dựng OHAD H AD � 

Ta có �� �BC ODBCAO�BCAOD

Hai mặt phẳng (ABC) và (AOD) vuông góc với

nhau theo giao tuyến AD có OHAD nên suy ra

Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002

Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) , biết

AC AD 4cm  ,AB 3cm,BC 5cm  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(BCD)

LỜI GIẢI

Ta có BC2AB2AC225�ABC vuông tại A

Tứ diện ABCD có đôi một vuông góc với nhau tại A

Do tứ diện OSBC vuông tại O

OB OC,OC OS,OS OB   nên

9a + 42

a + 423a = 6429a Suy ra d(O;(SBC)) = 3a

8

Tính khoảng cách từ A mặt phẳng (SBC) thì ta sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách Vì 2 điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBC) tại C nên có :

Vì hai đểm A và D' nằm trên đường thẳng có giao điểm

với mp(DA'C') tại O nên có

3

Câu 4: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a,cạnh bên AA ' a 2 Gọi M là trung điểm của BC

7 Kết luận d(AM ; BC' ) = a 7

7b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C) các bạn lanh mắt tính khoảngcách từ B đến mặt phẳng (AB'C) trước vì BB'AC là tứ diện vuông , sau đó sử dụngcông thức tỉ số khoảng cách thì tính được khoảng cách từ M Ta tính như sau :

Vì đề bài cho chưa có góc nào để có tứ diện vuông , nên

ta phải dựng thêm đường thẳng để có tứ diện vuông Vì

ABC đều nên ta nghĩ ngay đến kẻ đường cao của tam giác

Gọi O và O' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' Ta

có ngay tứ diện vuông tại O

Gọi P là giao điểm của OO' với CN

Vì B'M // AN suy ra B'M // mp(CAN) nên

d MB',CN d MB', CAN d B', CAN d B, CAN

Muốn tính khoảng cách từ B đến (ACN) thông qua khoảng cách từ O đến (ACN)Mặt phẳng (ACN) và mặt phẳng (ACP) như nhau

Ta có OA ,OP , OC đôi một vuông góc tại O nên O.ACP là từ diện vuông tại Onên có

Câu 6: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 90� �  0 ,

AB BC a , AD 2a    Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a 2.Gọi H làhình chiếu vuông góc của A trên SB Tính d(H; (SCD))

LỜI GIẢI

Gọi M là giao điểm của AB với CD ; K là giao

điểm của AH với SM Dể thấy B là trung điểm của

Từ đó d(H ,(SCD))d(A ,(SCD))= KH

KA =13

Tứ diện A.SDM vuông tại A nên : 2 1

d (A;(SCD))= 12

AS + 12

AD + 12

AM = 12aSuy ra d(A,(SCD)) = a .Vậy d( H,(SCD))= a

3

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi K là trung

điểm của DD' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D

Gọi M là trung điểm của BB'

Ta có A'M // KC nên

d(CK,A 'D) = d(CK, (A 'MD))

= d(K, (A 'MD))

Gọi N là giao điểm của AK với A 'D , P là

giao điểm của AB với A 'M

Khi đó d(A ,(A 'MD))d(K ,(A 'MD))= NK

NA = 12Suy ra d(CK; A 'D) = 1d(A;(A 'MD))

2) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng :

Nếu có đường thẳng d lần lượt vuông góc với cả hai đường thẳng a và b chéonhau lần lượt tại M và N , thì đường thẳng d gọi là đường vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau a và b , còn độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau

Có hai dạng toán chính của bài này là :

Dạng 1 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau

Dạng 2 : Xác định đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau

Chúng ta lần lượt xét các phương pháp giải cụ thể của hai dạng trên như sau :

DẠNG 1 :Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Thường xảy ra những trường hợp sau đây :

1) Nếu đường thẳng a thuộc một mặt phẳng (P) , và đường thẳng b song song vớimặt phẳng (P) Thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng bđến mặt phẳng (P) , CHỌN một điểm M thích hợp thuộc b sao có có thể tính

khoảng cách dễ dàng đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ M đến (P) là khoảngcách giữa hai đường a và b

Chú ý : Nếu không tìm được một mặt phẳng chứa đường thẳng này và songsong với đường thẳng kia , thì ta phải dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này

và song song với đường thẳng kia

2) Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) , đường thẳng b thuộc mặt phẳng(Q) Mà hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau , thì khoảng cách giữa a và bbằng khoảng cách (P) và (Q)

3) Cụ thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, với a là cạnhbên còn b là một cạnh của đáy Cách làm như sau :

Gọi I là giao điểm của đường thẳng a với mặt đáy Từ I dựng đường thẳng  songsong với b Lúc đó b song song với mặt phẳng (P) chứa a và  Chọn một điểm Mtrên b sao cho có thể tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ M đếnmặt phẳng (P) bằng khoảng cách giữa a và b

Thông qua các ví dụ sau các bạn sẽ hiểu rõ hơn :

Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 2a  ,hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M

là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữahai đường thẳng AB và SN theo a

LỜI GIẢI

Ta có mp SAB �mp SAC SA, và hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùngvuông góc với mặt phẳng (ABC) Suy ra SAmp ABC  Mặt phẳng qua SM vàsong song với BC cắt AC tại N , suy ra MN // BC và N trung điểm của AC

Trong tam giác ABC có MN 1BC a,BM 1AB a

Xét SABvuông tại A : SA AB.tan60 02a 3

Tính khoảng cách giữa AB và SN , đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh

bên SN và cạnh đáy AB Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia Cách dựng theo phương pháp 3 ở trên :

Có N là giao điểm của cạnh bên SN với mặt đáy (ABC) Từ N kẻ Nx AB P , suy

ra AB mp SNxP  ( vì Nx�SNx )

Nên d AB,SN d AB,mp SNx    d A ,mp SNx   

Chú ý : A là hình chiếu của đỉnh, còn mặt phẳng (SNx) là mặt phẳng bên, các bạn xem lại phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên một mặt phẳng bên ở bài khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong (ABC) dựng AINxtại I Vì Nx AI Nx SAI SNx  SAI

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữađường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa haiđường thẳng SA và BC theo a

Tính khoảng cách giữa SA và BC , đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh

bên SA và cạnh đáy BC Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia Cách dựng theo phương pháp 3 ở trên :

A là giao điểm của cạnh bên SA với mặt đáy (ABC) Từ A Kẻ Ax BCP , suy ra

BC mp SAxP ( vì Ax�SAx )

Nên d BC,SA d BC, SAx    d B, SAx   

BC song song với mặt phẳng (SAx) thì khoảng cách mọi điểm trên đường thẳng

BC đến mặt phẳng (SAx) đều bằng nhau Vì sao Thầy lại chọn điểm B mà không chọn điểm khác chẵn hạn là C , là vì điểm B nằm trên đường thẳng có chứa điểm

H là hình chiếu của đỉnh , việc tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên (SAx) là rất dễ dàng Thông qua công thức tính tỉ số khoảng cách thì ta tính được khoảng cách từ B.

Nên trên lý thuyết Thầy có nói chọn điểm M thích hợp có thể tính khoảng cách đến mp(P), cụ thể ở bài này là điểm B.

Trong (ABC) dựng HIAxtại I

Vì Ax HI Ax SHI SAx SHI

Hai mặt phẳng (SAx) và (SHI) vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong(SHI) dựng HKSI,K SI� �HKSAx Vậy d H ,mp SAx    HK.

Trong AIHvuông tại I có HI HA.sin600 2a. 3 a 3

Trong SIHvuông tại H có 12 12 12 92 92 242 HK a 7

HK HS HI 21a 3a 7a �  24.Đường thẳng đi qua hai điểm B và H có giao điểm với mặt phẳng (SAx) là A nên

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC =

SD = a 2 Gọi I, K là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh (SIK)(SBC)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD