Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu 1... Khoảng cách từ O đến đường thẳng là độ dài đoạn OH.. Tính khoảng cách d từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.. Lời giải tham khảo Gọi Gi
Trang 1KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU
Dạng 113 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1(2;3;1) và đường
−
−
y
1
M đến đường thẳng
∆
A 10 2
3
=
d . B 10 3
3
=
d . C d= 103 D 10 5
3
=
d .
Lời giải tham khảo
Đường thẳng ∆ qua M0(−2;1; 2− ) và có VTCP ar=(1;2; 2− ⇒) uuuuuuurM M0 1=(4;2;2)
Ta có: uuuuuuur rM M a0 1; = − ( 8;10;6)
2 2 2
0 1
;
3
r uuuuuuur r
a M M
d M
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
−
z
d x y Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O(0;0;0) đến đường
thẳng ( )d
A d= 3 B d= 2. C d=0 D d=1
Lời giải tham khảo
Lập PT mp đi qua O(0;0;0) vuông góc ( )d và cắt ( )d tại H
Trang 2Khoảng cách từ O đến đường thẳng là độ dài đoạn OH
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8)
và điểm C sao cho uuurAC=(0;6;0) Tính khoảng cách d từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA
A d=4 B d=5 C d=6 D d=7
Lời giải tham khảo
Từ uuurAB=(0;0;6) và A(2;0;0) suy ra C(2;6;0) , do đó I(3;1;4) .
Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua I và vuông góc với OA là: x− =1 0
⇒Tọa độ giao điểm của ( )P với OA là K =(1;0;0).
⇒Khoảng cách từ I đến OA là IK=5
Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;0;5) và hai mặt
phẳng ( )P : 2 –x y+3z+ =1 0,(Q x y z) : + – + =5 0 Tính khoảng cách d từ M đến giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q
A 9 14
7
=
d B 529
19
=
d C 529
19
=
d D 529
19
=
d .
Lời giải tham khảo
Gọi Giao tuyến là đường thẳng ( )t VTCP của ( )t là tích có hướng của hai vectơ
pháp tuyến của ( )P và ( )Q
Giao tuyến ( )t qua A(− −2; 3;0)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ( )t
19
Trang 3 Dạng 114 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2; 3− ) và mặt
phẳng ( )P x: −2y+2z+ =3 0 Tính khoảng cách d từ M đến ( )P
A d=1 B d=2 C d=3 D d=4
Lời giải tham khảo
• ( ,( )) 1.1 2.2 2.( 3) 32 2 2 2
d d M P
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P : 2x−2y z− + =3 0 và điểm A(1; 2;13 − ) Tính khoảng cách d từ A đến ( )P
A 1
2
=
d B 4
3
=
d C d=4 D 2
3
=
d
Lời giải tham khảo
4
3 ( 2) ( 1)
− − −
d d A P
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :3x+4y− =5 0
Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( )P
A d= 5. B d=1 C d=5 D d= −1
Lời giải tham khảo
•
( ,( ))
5 1
9 16
−
+
O P
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(− −2; 4;3) và mặt
phẳng ( )P có phương trình 2 – x y+2 3 0.z− = Tính khoảng cách d từ điểm M
đến mặt phẳng ( )P
Trang 4A d=3 B d=2 C d=1 D d=11.
Lời giải tham khảo
( ,( )) 2( 2) – –( )4 2 3 1
3
4 1
.3 3 4
+ +
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ( )1
d
( )2
− +x = =y z−
d ( )P : 2x+4y−4z− =3 0 Gọi A là giao điểm của ( )d và 1 ( )d 2
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( )P
A. 4
3
=
d . B 7
6
=
d . C 13
6
=
d . D 5
3
=
d .
Lời giải tham khảo
A P
y
y
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(2;4;5), mặt phẳng
( )P x: −2y+2z+ =6 0 và đường thẳng : 1 3 2
−
−
y
có hành độ nhỏ hơn 2, nằm trên đường thẳng d có khoảng cách từ M tới mặt phẳng ( )P bằng EM
A M(1; 2;3− ). B M(1;2;3). C M(17;6;11). D M(−17;6; 11− ).
Lời giải tham khảo
Đặt điểm M(− +1 2 ;3t −t;2+t Tìm t từ phương trình ) d M( ,(P)) =EM
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P : 2x y− −3z+ =1 0
và điểm A(1; 2; 3 − − ) Tính khoảng cách d từ A đến ( )P
A d= 14. B d=2 7. C d=14 D d= 7.
Lời giải tham khảo
Trang 5Mặt phẳng ( )P : 2x y− −3z+ =1 0 và điểm A(1; 2; 3 − − )
Khoảng cách d từ A đến ( )P : 2 2 9 1 14
14
+ + +
d
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P : 2x y− +5z+ =4 0 và điểm A(2; 1;3− ) Tính khoảng cách d từ A đến ( )P
A 24
13
=
d . B 24
14
=
d . C 23
14
=
d . D 23
11
=
d .
Khoảng cách d từ A đến ( )P : 2 2 9 1 14
14
+ + +
d
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3 ; 1 ;2− ) và mặt
phẳng ( )P : 4x y− +3z+ =2 0 Tính khoảng cách d từ A đến ( )P
21
=
26
=
d C d= 26 D d= 21
Lời giải tham khảo
( )
( )2
26 26
d A P
Dạng 115 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song
( )α x y z+ – + =5 0 và ( )β : 2x+2 – 2y z+ =3 0 Tính khoảng cách d giữa hai mặt
phẳng ( )α và ( )β ?
A 7 3
6
=
d B 7
6
=
d C 17
6
=
d D d=2 2.
Lời giải tham khảo
Trang 6Chọn M(0;0;5)∈mp( )α Tính được: d(( );( )α β ) (=d M;( )β ).
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( )P :2x+3y+6z−18 0,= ( )Q : 2x+3y+6z+10 0= Tính khoảng cách d giữa hai mặt
phẳng ( )P và ( )Q
A. d=6. B. d=5. C d=3. D d=4.
Lời giải tham khảo
Lấy A(9;0;0) ( )∈ P
(( );( )) ( ;( )) 2.9 3.0 6.0 102 2 2 4
d P Q d A Q
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( )P :2x+2y− − =z 11 0 và ( )Q :2x+2y z− + =4 0 Tính khoảng cách d giữa hai mặt
phẳng ( )P và ( )Q
A d=3 B d=5 C d=7 D d=9
Lấy A(−2;0;0) ( )∈ Q
(( );( )) ( ;(P)) 2.( 2) 3.0 6.0 112 2 2 5
d P Q d A
Trang 7 Dạng 116 Bài toán về góc
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0 ,) (B 0;1;0 ,) (0;0;1 ,) (−2;1 1;− )
Lời giải tham khảo
2
uuur uuur uuur uuur
uuur uuurABCD
AB CD AB CD
AB CD ⇒(AB CD, ) =450
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
(3;2;6 ,) (3; 1,0 ,− )
A B C(0, 7,0 ,− ) (D −2,1; 1 − ) Gọi ( )d là đường thẳng đi qua hai điểm A , D và ϕ là góc giữa ( )d và (ABC Tính sin) ϕ
2
=
sinϕ B 10
8
=
sinϕ C 10
5
=
sinϕ D 10
2
=
sinϕ
Lời giải tham khảo
(0;3;6); ( 3; 6;3)
1
9
r uuur uuur
Vtpt mp ABC n BA BC
Ta có a ADr uuur= = − − −( 5; 1; 7) là vtcp của đường thẳng AD
- Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC , ) 00≤ ≤ϕ 900
5
75 30
− + −
r r
r ran
a n
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P x: +2y z− + =5 0 và đường thẳng ( ) : 3 1 3
+
đường thẳng ( )d và mặt phẳng ( )P
Trang 8A α =45 o B α =30 o C α =60 o D α =120 o
Lời giải tham khảo
Gọi vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của ( )P và ( )d lần lượt là , n u Góc r r
giữa ( )d và ( )P được tính theo công thức cos .
=
r r
r rnu
n u
α
Trang 9 Dạng 117 Bài toán về hình chiếu
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và đường
thẳng
6 4 2 1
:
2
= −
= − −
= − +
x t
y t
z t
d Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng d
A (2; 3; 1 − − ) B (2;3;1 ) C (2; 3;1 − ) D (−2;3;1 )
Lời giải tham khảo
Gọi H là hình chiếu của A lên d H(6 4 ; 2− t − − − +t; 1 2t)
(5 4 ; 3 ; 2 2 ;) ( 4; 1;2)
d
AH t t t u
uuuur uuuur uur
d
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2;5− )và đường thẳng
( ) : 5 28 4
= − +
= −
=
x t
y t
z t
thẳng ( )d
A (4; 1;3− ) B (−4;1; 3− ) C (4; 1; 3− − ) D (− − −4; 1; 3)
Lời giải tham khảo
Giải hệ gồm PT đường thẳng ( )d và PT mp ( )P Ta được tọa độ hình chiếu.
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2 3
:
= +
=
= −
∆
x t y
z t
và
điểm A(−1;2; 1 − ) Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm A lên ∆
Trang 10A I(3;1;2 ) B I(2;2;2 ) C I(1;2;1 ) D I(4;2;1 )
Lời giải tham khảo
Gọi I(1 ;2;3+t −t Tìm t từ phương trình ) uur rAI u. =0, với u là véc tơ chỉ phương củar
∆
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;0 ;− ) (B 4;1;1).
Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.
19
=
OH . B 86
19
=
OH . C 19
86
=
OH . D 19
2
=
OH .
Lời giải tham khảo
Ta có: uuurAB(3;3;1) PTĐT AB là : 1 32 3 (1 3 ; 2 3 ; ) (1 3 ; 2 3 ; )
= +
=
uuuur
x t
y t H t t t OH t t t
z t
Vì 3 1 3( ) (3 2 3) 0 3
19
⊥ ⇒ + + − + + = ⇒ =
uuuur uuuur
uuuur
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (1,2, 1 ,− ) (0,3,4 ,)
A B C(2,1, 1 − ) Tính độ dài đường cao h từ A đến BC
A h= 6 B 33
50
=
h C h=5 3 D 50
33
=
h
Lời giải tham khảo
Phương trình tham số BC :
2 2 1
1 5
= +
= − −
x t
y t
z t
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên
BC Nên M ∈BC và d(A BC; ) =AM;uuuurAM ⊥uuurBC⇒uuuur uuurAM BC =0
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;7; 9− ) và mặt phẳng ( )P x: +2y−3z− =1 0 Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên ( )P
A H(2;2;1 ) B H(1;0;0 ) C H(−1;1;0 ) D H(4;0;1 )
Trang 11Lời giải tham khảo
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( )P là
2
9 3
= +
= +
= − −
x t
d y t
z t
Toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( )P là nghiệm hệ
z
1 2
7 2
0
9 3
= −
= +
= − −
x y
x
x t
y t
z
z t
Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3− ) và mặt
phẳng ( )P : 2x+2y z− + =9 0 Tìm tọa độ điểm ’A đối xứng với A qua mặt phẳng
( )P
A. A′ − −( 7; 6;1). B A′ − −( 6; 7;1).
Lời giải tham khảo
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng ( )P
Điểm H là trung điểm của AA ′
Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1− − ) và mặt
phẳng ( )P : 16x−12y−15z− =4 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; 1; 1− − )
lên mặt phẳng ( )P Tính độ dài đoạn AH
A 11
25
=
AH B 11
5
=
AH C 22
25
=
AH D 22
5
=
AH
Lời giải tham khảo
( ,( )) 16.2 ( 12)( 1) ( 15)( 1) 42 2 2 11
5
Trang 12Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
(2;3;1 ,) (1;1; 1 ,− )
A B C(2;1;0) và D(0;1;2) Tìm tọa độ chân đường cao H của tứ
diện ABCD xuất phát từ đỉnh A
A H(2;1;0). B H(1;2;1). C H(1;1;2). D H(2;1;1).
Lời giải tham khảo
Viết phương trình mặt phẳng (BCD và đường thẳng AH từ đó tìm được giao điểm)
H
Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P : 2x y z− + + =1 0 và hai điểm A(−1;3;2 ,) (B −9;4;9) Tìm tọa độ điểm M trên ( )P sao cho (MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.+ )
A M(−1;2; 3− ). B M(1; 2;3− ). C M(−1;2; 3− ). D M(−1;2;3).
Lời giải tham khảo
Ta có A B nằm cùng phía đối với mặt phẳng ( )P
Gọi ’A là điểm đối xứng của A qua ( )P , ta có: MA’=MA
Do đó MA MB MA+ = '+MB A B≥ ' ⇒min(MA MB+ )=A B khi ' M là giao điểm của
’
A B và ( )P
+ Tìm được A’ 3;1;0 ( ) Phương trình đường thẳng
3 12
1 3 9 :
= −
= +
′
=
x t
y t
z t
A B
+ M(−1;2;3).
Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1:
1 1 2= =y
x z
−
y
đoạn thẳng MN ngắn nhất.
A. 3 3 6; ; , 69 17 18; ;
Trang 13C 3 3 6; ; , 69 17 18; ;
Lời giải tham khảo
1 ; ;2
∈ ⇔
M d M t t t và N d∈ 2⇔N(− −1 2 '; ';1t t +t')
MN ngắn nhất ⇔ MN là đoạn vuông góc chung của d và 1 d2
3
35
=
t
t t
ĐÁP ÁN KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU