các bài tập vận dụng cao môn toán

Phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng BB’D’D một góc lớn nhất là C.. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đá

ĐỀ 8

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phần tô đậm quay quanh đường thẳng AH

bằng:

A 20 a3 3

217

216

π

C bc

2 2

2 2

π

bc

2 2

2 2

3

π +

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M 1;2;1 Viết( )

phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại

A, B, C sao cho

OA2 OB2 OC2

1 + 1 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất

A ( )P :x+2y+3z =8 B ( )P :x y z+ + = 4

C ( )P :x+2y z+ =6 D ( )P : x y z 1.

1 2 1+ + =

Câu 3. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định với lãi suất 0.6%/tháng và lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn Hỏi sau bao lâu thì người đó thu được số tiền gấp hơn ba ban đầu?

A.184 tháng B 183 tháng C 186 tháng D.185 tháng

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ , biết A 0;0;0 , ( ) B 1;0;0 , ( ) D 0;1;0 và ( ) A ' 0;0;1 ( )

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng CD’ và tạo với mặt phẳng (BB’D’D) một góc lớn nhất là

C x+2y z+ − =3 0 D x+3y z+ − =4 0

Câu 5. Cho hình chóp S ABC có SA ⊥(ABC), AB 1= , AC =2 và

·BAC 60 = ° Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC Tính bán

kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C , M , N

3

3

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y x= + mx2+1 có tiệm cận ngang?

A 0<m<1 B.m= −1 C.m 1> D m 1=

Câu 7. Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3

4chiều cao của nó Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó

A V9 1= 8V2 B V3 1=2V2 C V16 1= 9V2 D V27 1= 8V2

Câu 8. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm

A 2;3;2 ,B 6; 1; 2 ,− − C − −1; 4;3 ,D 1;6; 5 − Gọi M là một điểm nằm trên

đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất Khi đó toạ

độ điểm M là

A M 0;1; 1 ( − ) B M 2;11; 9 ( − ) C M 3;16; 13 ( − ) D M(− −1; 4;3 )

Câu 9. Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 0= và

đồ thị hàm số y x= 2−mx, với m là tham số thực dương Tìm m sao cho thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh

trục Ox bằng 16

15

π ?

A m 1.= B m 2.= C.m 4.= D m 3.=

Câu 10. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có

đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy

của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ) Tính chiều cao x của khối nón

này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0< <x h?

A x h

3

3

3

Câu 11. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm I , bán kính R,

chiều cao hình nón là R 3

2 AB là một dây của đáy sao cho khoảng cách giữa I và mặt phẳng (SAB là R 3)

4 Độ dài dây AB là

A AB R 3.= B AB =2R 3. C AB R 3.

3

= D AB R 3.

4

=

Câu 12. Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng

km h

30 / đến km h40 / Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh để xe chuyển động chậm dần đều

với vận tốc v t( ) 10 5 ( / )= − t m s Hỏi khi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến chướng ngại vật?

Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA 2 3a .

3

= Gọi D là điểm đối xứng của B qua C Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABD

A R a 39.

7

= B R a 35.

7

= C R a 37.

6

6

=

Câu 14. Cho a 0> ; b 0> ; a 1≠ ; b 1≠ ; n R *∈ , một học sinh tính biểu thức

n

p

1 1 1 log log log

= + + + theo các bước sau

P =log a+log a2+ + log a II n

b

P =log aa a2

III n

b

P =log a1 2 3 + + + + IV P =n n( +1)logb a

Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1; 1;1( − ),

B 0;1; 2− và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ( )Oxy Giá trị lớn

nhất của biểu thức T = MA MB− là

Câu 16. Cho số phức z = + + + +1 ( ) ( )1 i 1 i 2+ + + ( )1 i 26 Phần thực

của số phức z là

A 2 13 B − +(1 2 )13 C −213 D (1 2 )+ 13

Câu 17. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD=60cm Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy

Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?

x

2 2

1

+ , biết F x là một nguyên hàm( )

của hàm số f x thỏa ( ) F 0( ) =6 Tính F 3

4

 

 ÷

 .

A 125

16 B

126

16 C

123

16 . D

127

16 .

Câu 19. Cho hàm số y = x2+ −3 x xln Gọi M N; lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2  Khi đó tích M N là

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm

A 1; 2;0 ,− B 0; 1;1 ,( − ) C 2;1; 1 ,( − ) D 3;1;4 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng( )

cách đều bốn điểm đó?

Câu 21. Số phức z thỏa mãn z2 + = + +1 z z 3 và số phức w = z – 8 có

môđun nhỏ nhất Tổng phần thực các số phức z thỏa mãn bài toán là

A 5 B 7 C 10. D 14.

Câu 22. Một cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất

BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường một đoạn CH=0,5m Chiều dài bé nhất của thang là

A Xấp xỉ 5,602m.

B Xấp xỉ 5,5902m

C Xấp xỉ 5,4902m

D Xấp xỉ 6,5902m.

Câu 23. Trên một đoạn đường giao thông

có 2

con đường vuông góc với nhau tại O như

hình vẽ Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí

M cách vị trí đường OE 125 m và cách đường OH

1km Vì lý do thực tiễn, người ta muốn làm một đoạn

đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá để làm

100m đường là 150 triệu đồng Chọn vị trí A và B để

hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất Hỏi chi

phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ?

Câu 24. Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm)

Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là

A 91125(cm3).

91125 ( ).

C 108000 3(cm3).

3

13500 3( ).

π

Câu 25. Cho ABC∆ đều cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật

MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai

cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình

chữ nhật có diện tích lớn nhất ?

A BM 2a

3

4

3

4

Câu 26. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng A

A V 16a3.

3

3

3

A

P Q

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có AB =3a;AD =6 ;a AC =9 ;a

BAC =DAC =BAD =600 Tính thể tích của tứ diện ABCD?

A 27 2a3

2

3

1

3

2 2

Câu 28. Cho hàm số y x= 4−2 1( −m x2) 2+m+1 Tìm tất cả các giá

trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực

trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất

2

2

Câu 29. Cho 2 số phức z z

z

z z

2 2

1

1

−

 

−  ÷

 

=

+

; z z

z

z z

2 2

2

1

−

  +  ÷

 

=

+

với z x yi= + , x y, ∈¡ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.z1và z2 là số thuần ảo B.z2 là số thuần ảo

C.z1 là số thuần ảo D.z1và z2 là số thực

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm

số y x= 3−(2m+1)x2+(m 32− m+2)x+4 có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung?

A 1≤m≤2 B m 2> C m 1< D 1<m<2

Câu 31. Cho hai số thực x y, thỏa mãn x y 0> > và x y xy 7+ + ≥ Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thứcP ( xy y2) x2 1(x y)2

4

A 25 B 25 ln26+ C 25 ln26− + D ln26.

Câu 32. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các phương trình mặt

phẳng ( )αm : 3mx+5 1−m y2 +4mz+20 0=

Xét các mệnh đề sau:

(I) Với mọim∈ − 1 1;  thì các mặt phẳng ( )αm luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi

(II) Với mọi m 0≠ thì các mặt phẳng ( )αm luôn cắt ( )Oxz

(III) d O;  ( )αm  = 5 m∀ ∈ − 1 1; 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (I) và (III).

C Chỉ (II) và (III) D Cả 3 đều đúng

Câu 33. Công suất P (đơn vị W ) của một mạch điện được cung cấp

bởi một nguồn pin V 12 được cho bởi công thức P =12I −0,5I2 với I (đơn

vị A ) là cường độ dòng điện Tìm công suất tối đa của mạch điện

Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho các điểm I 1;0;0 và đường( )

thẳng d:x 1 y 1 z 2

− = − = + Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A (x )2 y2 z2 20

1

3

1

3

C (x 1)2 y2 z2 16

4

3

Câu 35. Cho hàm số y x x x

2

3 2

3 2 1

=

− − + Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

B Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng 1 tiệm cận

ngang

C Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

LỜI GIẢI ĐỀ 8

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1. Thể tích khối tròn xoay do tam giác ABC quay xung quanh

2 1

π

 

Thể tích của khối cầu do hình tròn ( )O quay xung quanh AH là:

3

3 3

2

π

Vậy thể tích của khối tròn xoay theo yêu cầu của đề bài là:

Câu 2. Ta có: P

= + + = + = , với H là hình

chiếu của O lên AB, K là hình chiếu của O lên HC Dễ dàng chứng minh

OK vuông góc (P) Do đó P min ⇔ OK lớn nhất ⇔

K trùng M, suy ra OM vuông góc mặt phẳng (P) Vậy phương trình mặt phẳng ( )P :x+2y z+ =6

x y z

a + + =b c 1

2

2 2 2

1 2 1 1 1 2 1 1 4 1  1 1 1

OA2 OB2 OC2

6

Dấu “=” xảy ra a

1 2 1

1,b 2,c 1

Câu 4. Tìm được C(1;1;0 , ' 0;1;1 và ) (D ) nur(BB D D’ ’ ) =(1;1;0).

Giả sử mặt phẳng (P) : Ax By Cz D+ + + =0, (A2+B2+C2 >0)

(P) chứa đường thẳng CD’ suy ra C =A D; = − −A B Ta có

A2 B2

cos , ' '

2 2

+

=

+ Góc lớn nhất khi cos nhỏ nhất ta

chọn được A =1;B = − ⇒1 C =1,D =0 Vậy ( )P :x y z− + = 0 ⇒ Chọn A.

Câu 5.

Gọi K là trung điểm của AC suy ra :

AK =AB =KC =1

ABC

90 1

Theo giả thiêt ·ANC = °90 2( )

* Chứng minh ·AMC = °90 3( )

Thật vậy, ta có:BC ⊥SA BC; ⊥AB ⇒BC ⊥(SAB) (⇒ SBC) (⊥ SAB)

Từ ( ) ( ) ( )1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A , B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm

2

Câu 6.

- Nếu m 0= thì y x 1= + Suy ra, đồ thị của nó không có tiệm cận ngang

- Nếu m 0< thì hàm số xác định mx x

Do đó, xlim→±∞y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

- Với 0<m<1 thì

x2

1 lim lim 1

→+∞ →+∞

x2

1 lim lim 1

→−∞ →−∞

  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang

- Với m 1= thì y x= + x2+1

x2

1 lim lim 1 1

→+∞ →+∞

y

x

x

2

2

→−∞ →−∞ →+∞

+ −

Suy ra đường thẳng y 0= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi

x→ −∞.

- Với m 1> thì

x2

1 lim lim 1

→+∞ →+∞

x2

1 lim lim 1

→−∞ →−∞

  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang ⇒Chọn D.

Câu 7. Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là

2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r

Bản chất của bài toán chính là bài toán mặt phẳng

cắt mặt cầu theo một thiết diện tọa độ Oxyz

Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách

từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng h

2 Bán kính đường tròn đáy hình trụ là AI OA2 OI2 h 3.

2

Thể tích của quả bóng bàn là

h

1

π

Thể tích của chiếc chén là V r h c h h h

2

3 2

2

3 .2 3

π

Vậy tỉ số V V h h V V

3 2 3 3 9

Câu 8. Tam giác MAB có độ dài cạnh AB=4 3 không đổi, do đó

chu vi bé nhất khi và chỉ khi MA MB+ bé nhất

(4; 4; 4 ,) (2;10; 8)

Vì uuur uuurAB CD

nên AB CD⊥ , suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc

của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD Từ đó tìm ra điểm M(0;1; 1− ) ⇒ Chọn A.

Câu 9. Phương trình hoành độ giao điểm x2 mx 0  =x x m0



2

0

π

15

π

= nên m5 16 m5 32 m 2,

30 15

π = π ⇔ = ⇔ = thỏa mãn m 0> ⇒Chọn B.

Câu 10. Từ hình vẽ ta có J B IA =OJ OI = h x h− ⇒J B = R h x( h− ).

Thể tích khối nón cần tìm là: V R h x x

h

2

2 2

1

( )

3π

Xét hàm số V x R h x x x h

h

2

2 2

1 ( ) ( ) , 0

3π

h

2 2

1

Bảng biến thiên:

x 0 h

3 h

V x'( ) + 0 − 0

V x( ) R h

2

4 81

π

0 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao

của nó là x h

3

= ; Vmax 4 R h2

81

π

Câu 11. Gọi M là trung điểm của AB và IH là đường cao SIM∆ .

Vì AB SI AB (SIM) AB IH



Vì IH AB ( ) ( ( ) ) R

3

4



SIM

∆ vuông tại I

IH2 SI2 IM2

R IM

2

3 3

AMI

∆ vuông tại I MA2 IA2 IM2 R2 R2 3R2

4 4

2

Câu 12. Gọi t là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe

dừng hẳn Ta có: 10 5− t = ⇔ =0 t 2

Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là:

I t dt t t m

2 2

5 (10 5 ) 10 10 ( )

2

∫ Vậy người điều khiển xe phải phanh cách chướng ngại vật ít nhất 10 ( )m ⇒ Chọn A.

Câu 13.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG ⊥ (ABC )

Do CB CA CD= = nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Gọi I ∈d là tâm mặt cầu cần tìm, đặt

IC = ⇒x SK = SG x −

Kẻ IK SG IK CG AG 2 a 3 a 3 SG SA2 AG2 a

3 2 3

a

6

= + = ⇒ Chọn C.

Câu 14. Vì 1 2 3 + + + + =n n n( 2+1) nhưng theo biến đổi ý D thì

n n n

1 2 3 + + + + = ( +1) ⇒Chọn D.

Câu 15. A, B nằm về hai phía của mặt phẳng ( )Oxy Gọi C là điểm đối

xứng của B qua mặt phẳng ( )Oxy Ta có C 0;1;0 ( )

max

Câu 16.

i

i

i

27

13 13

13 13

1 1 1 1

1 1 1 (2 ) 1 1 2 2 1

2 (1 2 )

Vậy phần thực là 213⇒Chọn A.

Câu 17. AP =AN =x NP; =60 – 2x

ANP

S∆ = p p a p b p c( − )( − )( − ) = 30(30−x)(30−x x)(2 −30)

x x x

3

30 30 2 30

3

ANP

S∆ ≤ 30.1000 100 3= ⇔ 30− =x 2x−30⇔ =x 20⇒Chọn A.

Câu 18. Đặt t = x2+ ⇒1 tdt =xdx.

x

x

2 2

1

+

= + + + + F(0) 6= ⇒C =0 Vậy F 3 125

4 16

 

=

 ÷

Câu 19. Tập xác định D =(0;+∞) .

Ta có y x ( x ) x x x

2

3

x

2

2

3

3

x

2 2

3 ln 0 3

+ Nên hàm

số nghịch biến trên 1;2  Khi đó M =y( )1 =2;N =y( )2 = 7 2ln2−

Vậy M N =2 7 4ln2− ⇒Chọn B.

Câu 20. Ta có ABuuur = −( 1;1;1 ,) ACuuuur=(1;3; 1 ,− ) ADuuur = (2;3;4).

Khi đó AB ACuuur uuuur,  = − ( 4;0; 4− ) suy ra AB AC AD ,  = −24 0≠

uuur uuuur uuur

Do đó A B C D, , , không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện

Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ)

⇒Chọn C.

Câu 21. Gọi z a bi a b R= + ( , ∈ )

2

z 7 4 ;i z 7 4i

Câu 22. Đặt BH =x x 0( > ) . Ta có

2 2 2 16

Vì DH / / AC nên

2

2

+

x

x

2

2

+

Xét hàm số f x( ) x x

x

2

2

+

= + + trên (0;+∞) Ta có f x liên tục ( )

trên (0;+∞) và có

( )

x

f x

x

2

3 2

2

16 '

4

− +

f x = ⇔ =x f x > ⇔ >x f x < ⇔ < <x

Suy ra

x

0;

5 5

2

∈ +∞

Câu 23. Đặt OA x 1= > Vẽ MK OA⊥ tại K

suy ra AK = −x 1,AM = (x−1)2+0,1252

Ta có AK AM x ( )

1 0,125 1

− Khảo sát hàm trên ta

được ABmin 5 5( )km x 1,25

8

= ⇔ = Vậy chi phí cần là 2,0963 (tỷ đồng)⇒

Chọn C.

Câu 24.

Gọi I là trung điểm BC R là bán kính đáy hình trụ

V MQ R2 3x2 x V 13500 3 cm3

8

π

Câu 25. Gọi H là trung điểm của BC ⇒BH =CH = a2

Đặt BM = x 0 x a

2

< <

Ta có: MN =2MH = −a 2 ,x QM =BM tan600 =x 3

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

S x( ) (= a−2 )x x 3=a x3 −2 3x2

a

S x( ) 3(a 4 ), ( ) 0x S x x

4

Bảng biến thiên:

Vị trí điểm M: BM a

4

Câu 26. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể, ta sẽ đi tính thể tích

vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: x2+ y2 = a và x2 2+ z2 =a a2( > 0)

0 0

A