bài tập cận dụng cao môn toán

An chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phải vuông góc với đáy và song song với nhau.. Tính Bán kính mặt cầu nội tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a.A. Cho hình nón tròn xo

ĐỀ 1

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

y

x

3

=

+ đồng biến trên khoảng (1;+∞)?

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn (z z+ + + +z z 2i i z z) ( ( )− + − +z z 2) =4

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức đó trong hệ trục tọa độ Oxy là một

đường thẳng Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng đó?

A.M ( )−1;2 B.N(− −1; 2 ) C.P 1;1 ( ) D.Q 1; 1 ( )−

Câu 3. Tính tích phân

x

x

1000

2

2 1

ln 1

=

+

A I ln210001000 1000ln 21000

1001

1000 1000

C I ln210001000 1000ln 21000

1001

1000 1000

3

1 3

trị nguyên của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1; ; sao cho x2 3 2 x2 x2

1 + 2 + 3 <27?

Câu 5. Cho tứ diện ABCD vuông ở D Gọi , ,α β γ lần lượt là góc

giữa đường cao DH với các cạnhDA DB DC, , Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P cos 2cos cos 2cos cos 2cos

A 3 2 B 8 2 C 2 3 D 6 3.

Câu 6. Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa

đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC bằng ) 60 Gọi A B C o ', ', ' tương

ứng là các điểm đối xứng của A B C , , qua S Thể tích của khối bát diện

có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C CA B, ' ' ', ' , ' , ' , ' ', ' ' là

A a3 3.

3

2 3.

3 C a2 3 3 D a

3

4 3. 3

Câu 7. Cho hàm số y x= 4−2x C2( ) và 2 điểm A( ) ( )0;2 ,B 1;2 Điểm M

thuộc đồ thị ( )C Diện tích tam giác ABM là S T= với T là đa thức

với hệ số có số mũ cao nhất dương Giá trị nhỏ nhất của T là

A 1

2

− B 3.− C 3

Câu 8. Cho số phức thỏa mãn điều kiện z = z1 = −z 1 Khi đó z 1+

bằng bao nhiêu ?

A 5. B 3. C 1 D. 2.

Câu 9. Giả sử lưu lượng xe máy qua một đoạn đường hầm là:

81 2

=

(với v là vận tốc trung bình của xe máy khi qua đoạn đường , đơn vị v

là km/giờ) Để lượng xe máy qua đoạn đường hầm này lớn nhất thì vận

tốc trung bình của xe máy là

A km h18 / B km h25 / C km h30 /

D km h36 /

Câu 10. Trong các nghiệm ( )x y; thỏa mãn bất phương trình

log + 2 + ≥1 Giá trị lớn nhất của biểu thức x y2 + bằng

A.9

9

9

8.

Câu 11. Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :

y f x

x2

1 ( )

1

x

y g x( ) 2

2

= = Thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D

quanh trục Ox  được viết dưới dạng V =mπ2+nπ;(m n,  ∈¡ thì tích giá trị)

mn là

A 1

3

2

1 4

Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn: z+(2i −1)z = 10 và có phần

thực bằng 2 lần phần ảo của nó Môđun của z là

A z 5

2

= B z 3

2

= C z = 5 D z = 3

Câu 13. Một chiếc bánh có hình trụ

đứng, đáy là hình tròn đường kính

12cm, chiều cao 2cm Bạn An phải

cắt chiếc bánh thành 3 phần bằng

nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc

An chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt

phẳng 2 nhát dao phải vuông góc với đáy và song song với nhau Như vậy, theo cách cắt thì sẽ có hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3 miếng có cùng chung thể tích Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gần nhất với giá trị bao nhiêu ?

A 3cm B 3,2cm C 3,4cm D 3,5cm.

Câu 14. Cho f x dx( )

9 0

729

=

3 0

2 0

3

A 414 B 72 C 342 D 216.

Câu 15. Tính Bán kính mặt cầu nội tiếp hình bát diện đều có

cạnh bằng a

A 6.

6

a

3

a

3

a

4

a

V =

3

3

nguyên lớn nhất của m để hàm số đã cho nghịch biến trên 0;3  là

A -1 B -2 C 1 D Không

tồn tại

Câu 17. Biết rằng phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 a( ≠ 0) có

đúng 2 nghiệm thực phân biệt Hỏi đồ thị hàm số y= ax3+bx2+cx d+

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 18. Cho hàm số y= f x( ) =ax3+bx2+cx d+

(a b c, , ∈¡,a≠ 0) có đồ thị ( )C Biết

rằng đồ thị ( )C đi qua gốc tọa độ và đồ

thị hàm số y= f x′( ) cho bởi hình vẽ

bên Phần nguyên giá trị diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C và trục

hoành là

A.6 B 4.

C 3 D.2.

sau khẳng định nào đúng?

1 f x'( ) 0≠ với mọi x∈¡

2 ff(1)+ (2) + + f(2017) 2017=

3 f x( )2 1 x 1 x

A Khẳng định 1 B Khẳng định 2.

C Khẳng định 3 D Không có.

Câu 20. Cho phương trình z2+kz+ =1 0 với k∈ − 2,2 tập hợp các

điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm của phương trình trên khi k thay đổi là

A đường tròn tâm I ( )−2;2 bán kính bằng 1

B đường tròn tâm I ( )−2;2 bán kính bằng 2

C đường tròn đơn vị tâm O 0;0 bán kính bằng 1.( )

D đường tròn đơn vị tâm O 0;0 bán kính bằng 2.( )

Câu 21. Cho các hàm số y f x y g x y( ) ( ) f x( ) ( )

g x

6 3

6 3

−

góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có

hoành độ x 0= bằng nhau và khác 0 thì

A f( )0 1

4

4

4

4

≥

Câu 22. Nếu số phức z thỏa mãn z =1thì phần thực của

z

1

1− bằng

A.1

1 2

Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường

tròn đáy,

đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng

0

60 Gọi I là một điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho tỉ số

1

3

SI

OI = Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục của

hình nón là

A a2 2

18

9

18

a

36

a

Câu 24. Biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh

của hình

chóp S.ABC và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp đó Cho IS R 3= , tính chiều cao của hình chóp S.ABC?

A 4 3.

3 B 3 C 3 1

2

+ D 3 7

9

+

i

6 7

+

−

thực của số phức z2017?

A −21008 B 21008 C 2504 D 22017

x2

1 1

+

=

Câu 27. Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

và SA = a SA ⊥(ABCD) Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với

SD Mặt phẳng (AHK cắt SC tại E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp)

khối ABCDEHK ?

A a3 2.

3

3

3

π D a3 2.

6

π

Câu 28. Cho hàm số y= f x( ) có

đồ thị như hình vẽ bên Xác định tất

cả các giá trị của tham số m để

phương trình f x( ) =m có 6 nghiệm

thực phân biệt ?

A 0<m< 4. B 0<m< 3. C 3<m<4. D m 4.>

Câu 29. Theo kết quả của một trung tâm nghiện cứu về mức độ sa mạc hóa của hoang mạc Sahara cho biết mức độ sa mạc hóa của hoang mạc là một hàm phụ thuộc theo nhiệt độ môi trường:

S t2 t e2 1 − + 2 3

∆ = − − Giả sử nhiệt độ môi trường dao động từ 00C đến

500C Hỏi nhiệt độ nào khiến mức độ sa mạc hóa lớn nhất ?

A 0 0 B 1.0 C 2 0 D 3 0

Câu 30. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B AB BC a 3= = , góc ·SAB =SCB· = 900 và khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (SBC bằng a 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp)

S ABC là

A 6πa2 B 8πa2 C 12πa2 D 16πa2

Câu 31. Cho hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ (a≠ 0) có đồ thị như hình

vẽ bên dưới:

Khẳng định nào sau đây về dấu của a b c d, , , là đúng nhất ?

A a d, >0. B a > 0, c> >0 b.

C a b c d, , , > 0. D a d, >0, c<0

Câu 32. Cho tứ diện S ABC trên đoạn SA SB SC, , lần lượt lấy các

điểm M N P , , sao cho SM = 5MA ,SN =2NB và SP =kPC Kí hiệu V là T

thể tích của khối đa diện T Biết rằng V SMNP 1V SABC

2

A k 1

2

= B k 9= C k 5= . D k 4=

Câu 33. Phương trình 1 log+ 9x− 3log9x = log3x−1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A 0;1;1 , B(3;0; 1 ,− ) (C 0;21; 19− ) và mặt cầu có phương trình:

( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ z−1)2 =1 Điểm M a b c( ; ; là điểm thuộc mặt cầu) ( )S sao cho biểu thức T = 3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính

tổng a b c+ + ?

A a b c 0.+ + = B a b c 12.+ + = C.

a b c 12

5

5

+ + =

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

A a;0;0 ;B 0; ;0 ;b C 0;0; với a b c c , , là những số dương thay đổi sao cho

a2+b2+c2 =3 Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABC lớn nhất là)

A 1 B 1

1

3 D 3.

LỜI GIẢI ĐỀ 1 :

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

y

'

Hàm số y liên tục trên (1;+∞) nên nếu y đồng biến trên (1;+∞) thì

y' 0,≥ ∀ ∈x 1;+∞ ⇔ m2≤x2+6x+ ∀ ∈9, x 1;+∞ *

Xét hàm số f x( ) =x2+6x+9 liên tục trên  +∞1; ), có

f x' =2x+ > ∀ ∈3 0, x 1;+∞ nên f x( ) ( )≥ f 1 ,∀ ∈x 1;+∞) ( );f x =16⇔ =x 1

Do đó ( )* ⇔m2≤16⇒m∈{1;2;3;4} (do m nguyên dương)

Thử lại nếu m∈{1;2;3;4} thì y' 0> ∀ ∈x (1;+∞) nên y đồng biến trên

(1;+∞) Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn ⇒Chọn A.

Câu 2.

(z z+ + + +z z 2i i z z) ( ( )− + − +z z 2) = ⇔4 (2x+ 2x+2i ) (2y+ 2yi +2) =4

( )

2 2

Xét hàm f t( ) = +t t2+1 ( ) t

f t

t2

1

+ ⇒ f t( ) luôn đồng biến trên

các điểm chỉ có Q 1; 1 ( )− thỏa mãn⇒ Chọn D.

Câu 3. Ta có

x

1000

1000 1000 2 1000

2

1

+

1000

x

1000 1000

1

+

Câu 4. Phương trình hoành độ giao điểm:

x3 mx2 x m

x 1x2 1 m x m 2

x

x2 m x m

1

0(*)

 =





Để m thỏa mãn điều kiện đề bài thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân

biệt x x1, đều khác 1 và x2 2 x2

1 + 2 <26

Áp dụng Vi-et ta có x1+x2= 3m−1;x x1 2= −3m−2

m m

x x x x

2

2

1 2 1 2













m

2 2

0

3

 ≠







 { }

m

m

m2

9

<

Câu 5.

Ta có x y z ta có x DH y DH z DH

Trong tứ diện ABCD vuông ở D ta có hệ thức

DA2 DB2 DC2 DH2

x2+y2+z2 =1 trong đó 0<x y z, , <1 do đó các góc α,β,γ đều nhọn

Ta có:(x y z P) (x y z) y z x z x y

x2 y2 z2

y z x z x y y z x z x y

2

1 3

2

1

3

Mặt khác, theo BĐT Cauchy thì :0< + + ≤x y z 3(x2+y2+z2) = 3

3

≥ = Đẳng thức xảy ra⇔ = = ⇔x y z DA =DB =DC

tứ diện ABCD vuông cân ở D ⇒Chọn D.

Câu 6. Gọi O là tâm của đáy, và do chóp S.ABC đều suy ra

SO ⊥ ABC

Dễ dàng tính được SO a= thông qua góc giữa (· ( ) )

SA ABC; =600 Thể tích khối bát diện là: S ABC SO ABC a3

.

Câu 7. Xét các điểm trong hệ trục tọa độ Oxyz: A(0;2;0 ,) (B 1;2;0)

M m m; 4−2 ;0m2

AMuuuur = m m; 4−2m2−2;0 BMuuuur= (m−1;m4−2m2−2;0)

ABM

m m

BM

m

  1   

∆

−

= uuuur uuuur

m m4 m2 m m4 m2

1

2

2

∆

Xét hàm số T = f m( ) =m4−2m2−2, f m′( ) = 4m3−4m

x

1

 =

 ⇒MinT =Minf m( ) ( )= f ± = − ⇒1 3 Chọ

n B.

Câu 8. Đặt z x yi= +

Ta có:

x

x

2 2 2 2

1

1

1

2



=

− + =



4 4

Câu 9.

Xét hàm số L v( ) v

81 2

24 log2

= + + với v 0>

( )

L v

2

2 2

324 1944.log2

− +

L v

2

2 2

324

− +

v

v

18

 =

nhất tại v 18= ⇒L( )18 =5,04  (x e gi/ â y)

Vậy v=18km h/ ⇒Chọn A.

Câu 10. TH1 x2+2y2 <1 , bất phương trình tương đương

x y x2 y2

2 + ≤ +2 <1 Không tồn tại max

TH2 x2+2y2 >1, bất phương trình tương đương x2+2y2 ≤2x y+ Ta có:

2

2

x

2 2

1 1

1 2

1

 =

Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức:

V f x g x dx

1

1

( ) ( )

π

−

2

2

+

( x ) dx x ( x ) dx

1

V I 1

10

π

x

1

2 2 1

1 1

−

= +

∫

Tính I: Đặt x tan ,t t ;

2 2

π π

2 2

cos

Ta có thể viết I lại dưới dạng:

t

2

2 2

2

2

1 tan

+

+

10

Câu 12. Đặt z x yi= + với x y, ∈R Ta có: z x yi= −

z+ 2i −1 z = 10⇔ +x yi +(2i −1) (x yi− ) = 10⇔ 2y+2(x y i+ ) = 10

y2 x y 2

y2 x y 2

1

2







z 1 1i

2

2

2

nhau như hình vẽ:

Vì các miếng bánh có cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phải bằng nhau và bằng 1

3 diện tích chiếc bánh ban đầu

Trong hình vẽ thì ta có OA=OB=6 và S1 S2 S3 .OA2 12

3

Đặt AOB=α (0, )∈ π thì ta có: S1+S∆OAB =S OAB

OA

π

π

Khoảng cách 2 nhát dao là: x OA.cos 2 3,179185015

2

α

Đặt x z f z dz( ) I

2 0

Câu 15.

Gọi H là trung điểm BC và O là tâm hình

vuông ABCD Dựng OK⊥EH⇒OK⊥(SBC)

Dễ chứng minh tương tự với các mặt khác

thì khoảng cách từ O đến các mặt của bát

diện đều bằng nhau và bằng OK⇒O là

tâm và r OK= là bán kính mặt cầu nội tiếp

bát diện đều

Xét

6

a

OK OH OE

Câu 16. Ta có y'=x2+2(m−2)x+2m+3 Để hàm số nghịch biến đã cho nghịch biến trên [ ]0;3 thì phương trình y' 0= phải có 2 nghiệm

phân biệt thỏa mãn x1≤ ≤ ≤0 3 x2 Suy ra (x x x) (x )

1 2

0

0







Áp dụng

vi-et giải ta được m 3

2

−

Câu 17. Gọi x1là nghiệm đơn, x2là nghiệm kép của phương trình

ax3+bx2+cx d+ =0 a≠ 0 Khi đó,

y ax3 bx2 cx d a x x x x 2

= + + + = − − y2 a x x2( ) (2 x x )4

a x x x x x x x x

2

3 2

a x x x x x x x

y

a x x

2

1

x x

x x 1 2

1 2

2 , ,

3

+

y’ đổi dấu nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị⇒Chọn A.

Cách khác: Xem ax3+bx2+cx d+ =0 a( ≠ 0)

là phương trình hoành độ giao điểm giữa

( )C và Ox

Do phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

nên ( )C cắt Ox tại 2 điểm phân biệt (trong

đó có tiếp xúc tại 1 điểm) Giả sử hệ số

a 0> Dạng đồ thị như như hình vẽ Từ đó ta suy ra hàm

y= ax3+bx2+cx d+ có 3 điểm cực trị

Câu 18. Ta có f x′( ) =3ax2+2bx c+ Đồ thị hàm y= f x′( ) là hàm chẵn

b 0

( )

( )

2

3

 ′ ÷= ⇒ + = ⇒ = −



f x = ∫f x dx′ = ∫ −3x2+2 dx = − +x3 2x C+

Do đồ thị ( )C đi qua gốc tọa độ nên C = 0⇒( )C :y= − +x3 2x

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành:

x

x

2

 =



= ±

Diện tích hình phẳng cần tìm là: S x xdx

2 3 2

−

x 2 ln22 2 ln22

f'

−

−

( )

f' 0 ln2 ln2 0

t

1

= → = và t > 0 Ta xét hàm số g t( ) t

t t

1

(0;+∞)

t

t 2 t 2

2

8 '

3

1

0

−

−

± Lập bảng biến thiên ta có

g t g 1 1, t 0;

2

Vậy f x( ) 1, x ff(1) f(2) (2017) 2017 20

Dễ dàng kiểm tra (3) sai vì x2 x

1

2

z

2 2

2

=

Phần thực: x k

2

= − Phần ảo: y 4 k2

2

−

Điểm M x y( ), thỏa x y k k

1

−

⇒ M thuộc đường tròn đơn vị x2+y2 =1 tâm O 0;0 bán kính R 1( ) =

⇒Chọn C

Câu 21. Theo giả thiết ta có:

( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( )g ( )g f ( ) ( ) ( ) ( )

g

2 2

2

0

Câu 22. Gọi z x yi x y R= + , ,( ∈ )

1

Re

Câu 23. Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy

hình nón Thiết diện qua I và vuông góc với trục

của hình nón là một hình tròn có bán kính như hình

vẽ Gọi diện tích này là S Theo giả thiết ta có td

đường sinh SA a 2= và góc giữa đường sinh và

mặt phẳng đáy là ·SAO =600 Trong tam giác vuông

SAO có OA SAcos600 a 2

2

⇒

td

S πIB π   π

Chọn C.

Câu 24.

Vì SH ⊥(ABC) và I ∈SH nên H cách đều các cạnh AB, BC, CA hay H là

tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặc khác, vì I cách đều SA, SB,

SC nên ta có · ASH =BSH· =CSH· kéo theo SHA, SHB, SHC là các tam

giác vuông bằng nhau Vì vậy ta có HA HB= =HC tức là H cũng đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điều này cho thấy ABC

là tam giác đều

Đặt x HI= Gọi K là trung điểm của AC ta có HK ⊥AC và IH ⊥AC

nên AC ⊥(SHI) suy ra AC ⊥IK Nói cách khác IK là bán kính Ta có

HK = IK2−IH2 ⇔HK = 1−x2 (1)

Kẻ IM ⊥SA tại M, ta có AH IM AH x

SH SM

2

+

Tam giác AHK vuông tại K với µA 30= ° cho HK AH = 12, theo đó lấy (1) chia

x

2

2

4 3 3

= + =

Câu 25. Gọi số phức z a bi a b= + ( , ∈¡ )⇒ = −z a bi thay vào (1) ta

i

6 7

+ −

a b= = ⇒ = + ⇒1 z 1 i z2017 = (1+i)4 504 1+ = −i 4504 1+ =i 21008+21008i

1

1 lim lim

1

+

→

+

−

x x

x y

x nên x 1= là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số

x

y

x

2 2

1

1

+

−

đứng của đồ thị hàm số

2

1

x

y

x

→+∞

x

1 1 1

+ +

x

y

x

2

2

1

→−∞

x

1 1 1

+ +

Như vậy y=1 và y = −1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đáp án là có 3 tiệm cận ⇒Chọn C.

Câu 27.

Ta có thể nhận thấy được B, D nhìn AC dưới một góc 900.

Dễ tính được

2 3

5; KD

SD a

SD a

SC = SA2+AC2 =a 6

SA2 AD2 AK2

5

Ta có SC =SD2+CD2 ⇒tam giác SCD vuông tại D Khi đó tam giác KDC vuông tại D: KC CD2 KD2 a 6

5

Ta có AK2+KC2 =AC2 Vậy AKC =900 Chứng minh tương tự thì

AHC =900 Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối

ABCDEHK

2

Câu 28.

Phần đồ thi của hàm y= f x( ) chính là giữ lại phần đồ thị

( ) ( )

y= f x f x, ≥0 và lấy đối xứng qua trục hoành phần f x( ) <0

Vậy 3<m<4 thỏa yêu cầu bài toán ⇒ Chọn C.

Câu 29. Giả sử f t( ) = ∆S = t( 2− t e2 − 1 ) − + 2 3t

t

f t t e t t e

t

'

0

;

3

− +



=



Ta thấy max f t( ) = 3 =0,1f ( ) ⇒Chọn D.

Câu 30.

Gọi H là trung điểm SB Do tam giác

SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy

ra HA HB= =HS =HC

Suy ra H là tâm mặt cầu.Gọi I là hình

chiếu của H lên (ABC)

Do HA=HB=HC, suy ra IA IB= =IC

Suy ra I là trung điểm AC

Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra IP ⊥BC

(IHP) BC

⇒ ⊥ , dựng IK ⊥HP ⇒IK ⊥(HBC)

d A SBC, a 2 d I SBC, 2 IK 2

IK IH IP

2