các bài tập vận dụng cao môn toán

Một khối nĩn khác cĩ đỵnh là tâm cûa đáy và cĩ đáy là là một thiết diện song song vĆi đáy cûa hình nĩn đỵnh O đã cho hình vẽ.. Ta gập tçm nhơm theo 2 cänh MN và PQ vào phía trong đến khi

ĐỀ 8

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho tam giác ABC là tam giác đều cänh a Thể tích cûa khối

tròn xoay sinh ra bći phæn tô đậm quay quanh đþąng thẳng AH bằng:

217

216



b c

2 2

2 2



b c

b c

2 2

2 2

3





Câu 2 Trong không gian vĆi hệ trýc tọa độ Oxyz, cho M 1;2;1  Viết

phþĄng trình mặt phẳng (P) qua M cắt các trýc Ox, Oy, Oz læn lþĉt täi A, B,

C sao cho

OA2 OB2 OC2

  đät giá trị nhô nhçt

A  P :x 2y 3z 8 B  P :x   y z 4

Câu 3 Một ngþąi gāi tiết kiệm vào ngân hàng khoâng tiền cố định vĆi lãi suçt 0.6%/tháng và lãi suçt hàng tháng đþĉc nhập vào vốn Hôi sau bao lâu thì ngþąi đó thu đþĉc số tiền gçp hĄn ba ban đæu?

Câu 4 Trong không gian vĆi hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phþĄng

ABCD.A’B’C’D’ , biết A 0;0;0  , B 1;0;0  , D 0;1;0  và A' 0;0;1  PhþĄng

trình mặt phẳng (P) chĀa đþąng thẳng CD’ và täo vĆi mặt phẳng (BB’D’D)

một góc lĆn nhçt là

A x y z  0 B x y z   2 0

Câu 5 Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB 1, AC 2 và

BAC 60  Gọi M , N læn lþĉt là hình chiếu cûa A trên SB, SC Tính bán kính R cûa mặt cæu đi qua các điểm A, B, C , M , N

3

3

Câu 6 Tìm tçt câ các giá trị thăc cûa tham số m để đồ thị hàm số

y x mx2

1

   có tiệm cận ngang?

Câu 7 Một quâ bĩng bàn và một chiếc chén hình trý cĩ cùng chiều cao Ngþąi ta đặt quâ bĩng lên chiếc chén thçy phỉn ć ngồi cûa quâ bĩng cĩ chiều cao bằng 3

4chiều cao cûa nĩ Gọi V1, V2 lỉn lþĉt là thể tích cûa quâ bĩng

và chiếc chén, khi đĩ

A V9 1 8V2 B V3 1 2V2 C V16 1 9V2 D V27 1  8V2

A 2; 3;2 ,B 6; 1; 2 ,  C  1; 4; 3 ,D 1; 6; 5  Gọi M là một điểm nằm trên đþąng thẳng CD sao cho tam giác MAB cĩ chu vi bé nhçt Khi đĩ tộ độ điểm M là

A M 0;1; 1    B M 2;11; 9    C M 3;16; 13    D M 1; 4;3 

Câu 9 Ký hiệu  H là hình phẳng giĆi hän bći đþąng thẳng y  0 và đồ

thị hàm số y x 2 mx, vĆi m là tham số thăc dþĄng Tìm m sao cho thể tích

V cûa khối trịn xoay thu đþĉc khi quay hình  H xung quanh trýc Ox bằng 16

15

A m 1. B m 2 C.m  4 D m 3

Câu 10 Cho hình nĩn đỵnh O, chiều cao là h Một khối nĩn khác cĩ đỵnh

là tâm cûa đáy và cĩ đáy là là một thiết diện song song vĆi đáy cûa hình nĩn đỵnh O đã cho (hình vẽ) Tính chiều cao x cûa khối nĩn này để thể tích cûa

nĩ lĆn nhçt, biết 0 x h?

3

3

3

Câu 11 Cho hình nĩn đỵnh S cĩ đáy là hình trịn tåm I , bán kính R, chiều cao hình nĩn là R 3

2 AB là một dây cûa đáy sao cho không cách giĂa

I và mặt phẳng SAB là R 3

4 Độ dài dây AB là

3

4



Câu 12 Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào không

km h

30 / đến 40km h/ Khi gặp chþĆng ngäi vật, để đâm bâo an tồn, ngþąi điều khiển xe máy phâi phanh để xe chuyển động chậm dỉn đều vĆi vận tốc

v t( ) 10 5 ( / )  t m s Hơi khi gặp chþĆng ngäi vật, ngþąi điều khiển xe máy phâi bắt đỉu phanh khi cách chþĆng ngäi vật ít nhçt một không bao xa để

xe máy dÿng hẳn trþĆc khi đến chþĆng ngäi vật?

Câu 13 Cho hình chĩp tam giác đều S ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cänh a, cänh SA 2a 3

3

 Gọi D là điểm đối xĀng cûa B qua C. Tính bán kính R cûa mặt cỉu ngội tiếp hình chĩp S ABD

7

7

6

6



Câu 14 Cho a  0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; nR *, một học sinh tính biểu thĀc

n

p

    theo các bþĆc sau

log log log

b

P a a a2

log



b

P log a1 2 3     IV P n n( 1)logb a

Bän học sinh trên đã giâi sai ć bþĆc nào

Câu 15 Trong khơng gian vĆi hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 1;1  ,

B 0;1; 2 và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy Giá trị lĆn nhçt

cûa biểu thĀc T  MA MB là

Câu 16 Cho số phĀc z  1    1 i 1i 2   1i 26 Phỉn thăc cûa

số phĀc z là

A 213 B  (1 2 )13 C 213 D (1 2 ) 13

Câu 17 Cho một tçm nhơm hình chĂ nhật ABCD cĩ AD=60cm Ta gập tçm nhơm theo 2 cänh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau nhþ hình vẽ dþĆi đåy để đþĉc một hình lăng trý khuyết 2 đáy

60cm

A,D

P

B

B,C

N

M

N

Q

P

Tìm x để thể tích khối lăng trý lĆn nhçt ?

x

2 2

1

 , biê t F x  la mơ t nguyên ha m

cu a ha m sơ f x  tho a F 0  6 Ti nh F 3

4

 

 

 

A 125

16 B 126

16 C 123

16 D 127

16

Câu 19 Cho hàm số y  x2  3 xlnx Gọi M N; lỉn lþĉt là giá trị lĆn nhçt và giá trị nhơ nhçt cûa hàm số trên độn 1;2  Khi đĩ tích M N là

Câu 20 Trong khơng gian vĆi hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A 1; 2;0 ,  

B 0; 1;1 , C 2;1; 1 ,   D 3;1;4  Hơi cĩ bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đĩ?

Câu 21 Số phĀc z thơa mãn 2z    1 z z 3 và số phĀc w = z – 8 cĩ mơđun nhơ nhçt Tổng phỉn thăc các số phĀc z thơa mãn bài tốn là

A 5.

Câu 22 Một cái thang AB để nĩ cĩ thể tăa vào tþąng AC và mặt đçt BC, ngang qua cột đĈ DH cao 4m, song song và cách tþąng một độn CH=0,5m Chiều dài bé nhçt cûa thang là

A Xçp xỵ 5,602m

B Xçp xỵ 5,5902m

C Xçp xỵ 5,4902m

D Xçp xỵ 6,5902m

Câu 23 Trên một độn đþąng giao thơng cĩ 2

con đþąng vuơng gĩc vĆi nhau täi O nhþ hình

vẽ Một địa danh lịch sā cĩ vị trí đặt täi M, vị trí M cách

vị trí đþąng OE 125 m và cách đþąng OH 1km Vì lý do

thăc tiễn, ngþąi ta muốn làm một độn đþąng thẳng AB

đi qua vị trí M, biết rằng giá để làm 100m đþąng là 150

triệu đồng Chọn vị trí A và B để hồn thành con đþąng

vĆi chi phí thçp nhçt Hơi chi phí thçp nhçt để hồn thành con đþąng là bao nhiêu ?

A 1,9603(tỷ đồng) B 2,3965 (tỷ đồng)

C 2, 0963(tỷ đồng) D 3(tỷ đồng)

Câu 24 Bän A muốn làm một chiếc thùng hình trý khơng đáy tÿ

nguyên liệu là mânh tơn hình tam giác đều ABC cĩ cänh bằng 90 (cm) Bän

muốn cắt mânh tơn hình chĂ nhật MNPQ tÿ mânh tơn nguyên liệu ( vĆi M, N thuộc cänh BC; P và Q tþĄng Āng thuộc cänh AC và AB) để täo thành hình trý cĩ chiều cao bằng MQ Thể tích lĆn nhçt cûa chiếc thùng mà bän A cĩ thể

làm đþĉc là

A 91125 cm3

( )

91125 ( ).

2 cm

C 108000 3 cm3

( )

3

13500 3

( )



Câu 25 Cho ABC đều cänh a Ngþąi ta dăng một hình chĂ nhật

MNPQ có cänh MN nằm trên BC, hai đînh P, Q theo thĀ tă nằm trên hai

cänh AC và AB cûa tam giác Xác định vị trí cûa điểm M sao cho hình chĂ

nhật có diện tích lĆn nhçt ?

3

4

3

4

Câu 26 Tính thể tích vật thể täo đþĉc khi lçy giao vuông góc hai

ống nþĆc hình trý có cùng bán kính đáy bằng A

3

16 3

3

2 3

3

4 3

Câu 27 Cho tĀ diện ABCD có AB 3a;AD 6 ;a AC  9 ;a

BAC DAC BAD 600 Tính thể tích cûa tĀ diện ABCD?

A 27 2a3

12 C 1 a3

12 D 2a3

2

Câu 28 Cho hàm số y x4 2 1 m x2 2 m 1 Tìm tçt câ các giá

trị cûa tham số thăc m để hàm số có căc đäi, căc tiểu và các điểm căc trị cûa

đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lĆn nhçt

2

2

Câu 29 Cho 2 số phĀc

z z z

z z

2 2

1

1



 

  

 



z z z

z z

2 2

2

1



 

  

 



vĆi z  x yi, x y,  Mệnh đề nào sau đåy đúng?

A.z1và z2 là số thuæn âo B.z2 là số thuæn âo

C.z1 là số thuæn âo D.z1và z2 là số thăc

Câu 30 Tìm tçt câ các giá trị thăc cûa tham số m để đồ thị cûa hàm số

y x3 (2m 1)x2 (m23m 2)x 4 có hai điểm căc đäi và căc tiểu nằm về hai phía cûa trýc tung?

A

P

Q

Câu 31 Cho hai số thăc x y, thôa mãn x  y 0 và x  y xy 7 Tìm giá trị lĆn nhçt cûa biểu thĀcP  xy y2 x2 1x y2

4

Câu 32 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các phþĄng trình mặt phẳng

 m : 3mx 5 1m y2 4mz 20 0

Xét các mệnh đề sau:

(I) VĆi mọi m  1 1;  thì các mặt phẳng  m luôn tiếp xúc vĆi một mặt cæu không đổi

(II) VĆi mọi m  0 thì các mặt phẳng  m luôn cắt  Oxz

(III) d O;   m   5 m   1 1; 

Khẳng định nào sau đåy đúng?

Câu 33 Công suçt P(đĄn vị W) cûa một mäch điện đþĉc cung cçp bći một nguồn pin 12V đþĉc cho bći công thĀc P 12I 0,5I2 vĆi I (đĄn vị A) là cþąng độ dòng điện Tìm công suçt tối đa cûa mäch điện

Câu 34 Trong không gian Oxyz, cho các điểm I 1;0;0 và đþąng thẳng

     PhþĄng trình mặt cæu  S có tâm I và cắt đþąng thẳng

d täi hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

1

3

    B.x 2 y2 z2 20

1

3

1

4

    D.x 2 y2 z2 5

1

3

2



   Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận đĀng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số không có tiệm cận đĀng và có đúng 1 tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đĀng và 2 tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đĀng và 1 tiệm cận ngang

LỜI GIẢI ĐỀ 8

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Thể tích khối tròn xoay do tam giác ABC quay xung quanh AH

2 1



Thể tích cûa khối cæu do hình tròn  O quay xung quanh AH là:

3

3 3

2



Vậy thể tích cûa khối tròn xoay theo yêu cæu cûa đề bài là:

V V V

2 1

Câu 2 Ta có: P

OA2 OB2 OC2 OH2 OC2 OK2

      , vĆi H là hình chiếu cûa O lên AB, K là hình chiếu cûa O lên HC Dễ dàng chĀng minh OK

vuông góc (P) Do đó P min  OK lĆn nhçt 

K trùng M, suy ra OM vuông góc mặt phẳng (P) Vậy phþĄng trình mặt phẳng  P :x2y z 6

Cách khác: Ta có  P là mặt phẳng chắn 3 trýc tọa độ nên có däng

x y z

2

OA2 OB2 OC2

6

Dçu “=” xây ra a

a b c

1 2 1

1, b 2, c 1

T  3T0  3T0 T0 1r  n log1 3 Chọn A

Câu 4 Tìm đþĉc C1;1;0 , ' 0;1;1 D và nBB D D’ ’  1;1;0

Giâ sā mặt phẳng (P) : Ax By Cz D  0,A2 B2 C2 0

(P) chĀa đþąng thẳng CD’ suy ra C A D;   A B Ta có

P BB D D

A2 B2

cos , ' '

2 2





 Góc lĆn nhçt khi cos nhô nhçt ta chọn

đþĉc A1;B   1 C 1,D 0 Vậy  P :x y z  0  Chọn A

Câu 5

Gọi K là trung điểm cûa AC suy

ra :AK AB KC 1

 

ABC

90 1

Theo giâ thiêt ANC 90 2 

* ChĀng minh AMC 90 3 

Thật vậy, ta có:BC SA BC; AB BC SAB  SBC  SAB

AM SB AM  SBC AM MC

Tÿ      1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A, B, C , M , N nội tiếp đþąng tròn tåm K, bán

kính KA KB KC KM KN 1AC 1

2

Câu 6

- Nếu m 0 thì y  x 1 Suy ra, đồ thị cûa nó không có tiệm cận ngang

- Nếu m 0 thì hàm số xác định mx x

Do đó,

xlimy

 không tồn täi nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

- VĆi 0m1 thì

x2

1 lim lim 1

;

x2

1 lim lim 1

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

- VĆi m 1 thì y x  x2 1

x y x x

x2

1 lim lim 1 1

y

x

x

2

2

Suy ra đþąng thẳng y  0 là tiệm cận ngang cûa đồ thị hàm số khi x  

- VĆi m 1 thì

x2

1 lim lim 1

x2

1 lim lim 1

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Chọn D

K

B S

Câu 7 Gọi chiều cao cûa chiếc chén hình trý là 2h

và bán kính đþąng tròn đáy cûa hình trý là r Bân chçt

cûa bài toán chính là bài toán mặt phẳng cắt mặt cæu

theo một thiết diện tọa độ Oxyz

Gọi O là tåm cûa quâ bóng bàn, khi đó khoâng cách tÿ O

đến mặt phẳng thiết diện bằng h

2 Bán kính đþąng tròn đáy hình trý là AI OA2 OI2 h 3

2

Thể tích cûa quâ bóng bàn là V R h h

3

1



Thể tích cûa chiếc chén là

c

2

3 2

2

.2



Câu 8 Tam giác MAB có độ dài cänh AB4 3 không đổi, do đó chu vi

bé nhçt khi và chî khi MA MB bé nhçt AB4; 4; 4 ,   CD2;10; 8 

Vì AB CD nên AB CD , suy ra điểm M cæn tìm là hình chiếu vuông góc cûa

,

A cüng là hình chiếu vuông góc cûa B lên đþąng thẳng CD Tÿ đó tìm ra điểm M0;1; 1   Chọn A

Câu 9 PhþĄng trình hoành độ giao điểm x mx x

x m

0  



V x2 mx dx2 x4 mx3 m x dx2 2

2

m

x5 mx4 m x2 3 m5 m5 m5 m5

0



V 16

15



5

5

16

30 15

       thôa mãn

m  0 Chọn B

Câu 10 Tÿ hình vẽ ta có JB OJ h x JB R h x

( )

Thể tích khối nón cæn tìm là: V R h x x

h

2

2 2

1

( )

3

Xét hàm số V x R h x x x h

h

2

2 2

1 ( ) ( ) , 0

3

h

2 2

1

x

R

h

O

I J

A B

Bâng biến thiên:

x 0 h

3 h

V x'( )  0  0

V x( ) 4 R h2

81



0 0 Dăa vào BBT, ta thçy thể tích khối nón cæn tìm lĆn nhçt khi chiều cao cûa nó

là x h

3

2 max

4 81



Câu 11 Gọi M là trung điểm cûa AB và IH là đþąng cao SIM

Vì AB SI AB SIM AB IH

IH SAB d I SAB IH

IH SM

3

4

SIM

IH2 SI2 IM2

:  

R IM

IM2 IH2 SI2 R2 R2 R2

2

M

S

B H

AMI

2

Câu 12 Gọi t là khoâng thąi gian tÿ lúc bắt đæu phanh đến lúc xe dÿng

hẳn Ta có: 10 5 t   0 t 2

Quãng đþąng xe đi đþĉc tÿ lúc bắt đæu phanh đến lúc xe dÿng hẳn là:

2 2

5

2

 Vậy ngþąi điều khiển xe phâi phanh cách chþĆng ngäi vật ít nhçt 10 ( )m  Chọn A

Câu 13

Gọi G là trọng tåm tam giác ABC thì SG ABC 

Do CB CA CD  nên C là tåm đþąng trịn ngội tiếp tam giác ABD Qua

C kẻ đþąng thẳng d song song SG thì d là trýc đþąng trịn ngội tiếp tam giác ABD. Gọi I d là tåm mặt cỉu cỉn tìm, đặt IC  x SK  SG x 

Kẻ IK SG IK CG AG 2 a 3 a 3 SG SA2 AG2 a

a

R x2 a2 37

6

    Chọn C

Câu 14 Vì 1 2 3 n n n( 1)

2



n n n

1 2 3      ( 1) Chọn D

Câu 15 A, B nằm về hai phía cûa mặt phẳng  Oxy Gọi C là điểm đối xĀng cûa B qua mặt phẳng  Oxy Ta cĩ C 0;1;0 

max

T  MA MB  MA MC AC T AC  6 Chọn A

Câu 16

i

i

i

27

13 13

2 (1 2 )

Vậy phỉn thăc là 213Chọn A

Câu 17 AP AN x NP; 60 – 2x

ANP

S  p p a p b p c(  )(  )(  )  30(30x)(30x)(2x 30)

3

3

ANP

S  30.1000 100 3 30 x 2x 30 x 20Chọn A

Câu 18 Đă t t  x2  1 tdt xdx

 

x

x

2 2

1



    2t 5dt t 2 5t C

x2 1 5 x2 1 C

     F(0) 6 C 0 Vå y F 3 125

4 16

 



 

Câu 19 Tập xác định D 0;

2

3

x

2

2

3

3

x

2 2

3

ln 0 3

 Nên hàm số

nghịch biến trên 1;2  Khi đó M y 1 2;N y 2  7 2 ln 2

Vậy M N 2 7 4 ln2Chọn B

Câu 20 Ta có AB   1;1;1 , AC 1;3; 1 ,  AD 2;3;4

Khi đó AB AC,     4;0; 4  suy ra AB AC AD,   24 0

Do đó A B C D, , , không đồng phẳng và là 4 đînh cûa một tĀ diện

Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đînh cûa tĀ diện Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung điểm cûa ba cänh tĀ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cänh tĀ diện (nhþ hình vẽ)

Chọn C

Câu 21 Gọi z  a bi a b , R

2

z 7 4 ;i z 7 4i

Câu 22 Đặt BH  x x 0 Ta có

16

BD DH BH  x 

Vì DH / / AC nên

DA

2

2



x

AB x

x

2

16

2



Xét hàm số   x

f x x

x

2

16

2



   trên 0; Ta có f x  liên týc trên

0; và có

 

x

f x

x

2

3 2

2

16 '

4





Suy ra

x

0;

5 5

2

 

Câu 23 Đặt OA x 1 Vẽ MK OA täi K

suy ra AK  x 1,AM  x 12 0,1252

1 0,125 1

 Khâo sát hàm trên ta đþĉc

 

ABmin 5 5 km x 1,25

8

   Vậy chi phí cæn là 2, 0963 (tỷ đồng)Chọn C

Câu 24

Gọi I là trung điểm BC R là bán kính đáy hình trý

MN x 0 MQ 3 90 x ; R

V MQ R2 3x2 x V 13500 3 cm3

8



Câu 25 Gọi H là trung điểm cûa BC BH CH a

2

Đặt BM = x 0 x a

2

 

Ta có: MN 2MH  a 2 ,x QM BMtan 600 x 3

Diện tích hình chĂ nhật MNPQ là:

S x( ) ( a2 )x x 3 a 3x 2 3x2

a

S x( ) 3(a 4 ), ( )x S x 0 x

4

Bâng biến thiên:

Vị trí điểm M: BM a

4

Câu 26 Gắn hệ trýc tọa độ Oxyz vào vật thể, ta sẽ đi tính thể tích vật thể

V giĆi hän bći hai mặt trý: x2  y2  a và x2 2  z2 a a2 0

Hình vẽ trên mô tâ một phæn tám thĀ nhçt cûa vật thể này, vĆi mỗi x 0;a, thiết diện cûa vật thể (vuông góc vĆi trýc Ox) täi x là một hình vuông có cänh

y  a2 x2 (chính là phæn gäch chéo trong hình vẽ) Do đó diện tích thiết diện sẽ là: S x   a2 x2 a2 x2 a2 x x2, 0;a

Khi đó áp dýng công thĀc (*) thì thể tích vật thể cæn tìm sẽ bằng:

x 0

4

a

2

a

 

 

3

8 a

A