các bài tập vận dụng cao môn toán

Người ta dựng các hình chữ nhật OABC trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ như hình vẽ, với A thuộc trục hoành, C thuộc trục tung, B thuộc đồ thị y e= −x.. Tìm diện tích lớn nhất của

ĐỀ 4

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1. Cho x y, là số thực dương thỏa mãn lnx+lny≥ln(x2+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = +x y ?

A P =6 B P 2 2 3= +

C P 2 2.= D P = 17+ 3

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm

A 1; 2;1 ,− B 0;2; 1 ,( − ) C 2; 3;1 ( − ) Điểm M thỏa mãn T MA MB MC= 2− 2+ 2

nhỏ nhất Tính giá trị của P =x M2 +2y M2 +3z M2 ?

A P =101. B P =114. C P =134 D P =162

Câu 3.Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y mx x m2

1

+

= + có

giá trị lớn nhất trên đoạn 2;3  bằng 5

6

A

m

m

3 3 5

 =



 =



B  =

 =



3 2 5

m

m C m 3.= D m 3.

5

=

Câu 4.Với ab 0> thỏa mãn ab a b 1+ + = thì giá trị nhỏ nhất của

P =a4+b4 bằng

A ( )4

2 2 1+

Câu 5. Cho hàm số f x thỏa mãn( ) f x′′( ) =12x2+6x−4 và f ( )0 =1,

( )

f 1 = 3 Tính f( )−1 ?

A f( )− = −1 5 B f( )− =1 3 C f( )− = −1 3 D f ( )− = −1 1

Câu 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O ,

AB =a , ·BAD 60= °, SO ⊥(ABCD) và mặt phẳng (SCD tạo với mặt đáy)

một góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD ?

A

S ABCD

a V

3

3 24

S ABCD

a V

3

3 8

C

S ABCD

a V

3

3 12

S ABCD

a V

3

3 48

Câu 7.Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) x x

x

và thỏa mãn F 4( ) =50 Tính giá trị của biểu thức F 2 ? ( )

A 2 2 2+ B 1 2 2+

Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD

có điểm A( ) (1;1;1 ,B 2;0;2 ,) C(− −1; 1;0 ,) (D 0;3;4) Trên các cạnh AB AC AD, ,

lần lượt lấy các điểm B C D ', ', ' thỏa : AB AC AD

AB'+ AC'+AD'= 4 Viết phương trình mặt phẳng (B C D ' ' ' biết tứ diện AB C D) ' ' ' có thể tích nhỏ nhất ?

A x16 +40y−44z+39 0= B x16 +40y+44z−39 0=

C x16 −40y−44z+39 0= . D x16 −40y−44z−39 0= .

Câu 9. Cho hàm số F x ax bx cx( )= 3+ 2+ +1 là một nguyên hàm của

hàm số f x ( ) thỏa mãn f(1) 2,= f(2) 3, (3) 4= = Hàm sốF x( ) là

A F x 1x2 x

2

= + + B F x 1x2 x

2

C F x( ) 1x2 x 1

2

= − − + D F x( ) 1x2 x 1

2

Câu 10. Trong không gian Oxyz cho 5 A(1; 2;3 ;− ) (B −1;0;2 ;) C 1;5;0 ;( )

D 0; 1;2 ;− E 2016;2017;2018 Hỏi từ 5 điểm này tạo thành bao nhiêu mặt( )

phẳng ?

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình

mặt cầu tâm I 2;3; 1( − ) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng ( )d có phương

trình: ( )d y t x t

11 2

25 2

 = +



=



 = − −



tại hai điểm A, B sao cho AB =16 là

A (x−2) (2+ y−3) (2+ z+1)2 =280 B (x+2) (2+ y+3) (2+ z−1)2=289

C (x−2) (2+ y−3) (2+ z+1)2=17. D. (x−2) (2+ y−3) (2+ z+1)2=289.

t

2

4 0

A 15 B 10. C 11

17. 2

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất

phương trình (1 2 )(3+ x −x) >m+2x2−5x−3 nghiệm đúng với mọi

2

∈ − 

A m 1> B m 0> C m 1< D m 0<

Câu 14. Cho hệ tọa độ Oxy và đồ thị

hàm số y e= −x Người ta dựng các hình

chữ nhật OABC trong góc phần tư thứ

nhất của hệ tọa độ như hình vẽ, với A

thuộc trục hoành, C thuộc trục tung, B

thuộc đồ thị y e= −x Tìm diện tích lớn

nhất của hình chữ nhật có thể vẽ được

bằng cách trên?

A e1 12

2

−

e

e

1

Câu 15. Biết rằng

b

dx

0

6 = 6

0

=

∫ Khi đó biểu thức a b+2 có giá trị bằng

Câu 16. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD ;

M N, lần lượt là trung điểm của A B ' ' và A D' ' Tỉ số thể tích của khối

A ABD' và khối OMND C B' ' ' bằng

A 4

4

5. 7

D 3

7

Câu 17. Một bình đựng nước dạng hình nón ( không có nắp đáy

đựng đầy nước Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của

nó Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào

ra ngoài là 16 (dm3)

9

π Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy

của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R của bình nước?

A R =3(dm). B R = 4(dm). C R =2(dm). D R =5(dm)

Câu 18. Cho hàm số y ax bx cx d= 3+ 2+ + có đồ thị trong hình bên

Hỏi phương trình ax3+bx2+cx d+ + =1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A Phương trình không có nghiệm.

B Phương trình có đúng một nghiệm.

C Phương trình có đúng hai nghiệm.

D Phương trình có đúng ba nghiệm.

Câu 19. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu

diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z2−( )z 2 =4

A Là hai đường hyperbol (H1): y

x

1

= và (H2) y

x

1

= −

B Là đường hyperbol (H1): y

x

1

=

C Là đường hyperbol (H2):y

x

1

= −

D Là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 4.

Câu 20. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCD cạnha có hai đỉnh liên tiếpA B, nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng

ABCD

( ) tạo với đáy hình trụ góc 45 Diện tích xung quanh 0 S hình trụ xq

và thể tích V của khối trụ là

A

xq

π

xq

π

C

xq

π

xq

π

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu

diễn số phức ω thỏa mãn điều kiện ω = −(1 2i z) +3, biết z là số phức thỏa mãn z 2+ = 5

A.(x−1) (2+ y−4)2 =125 B.(x−5) (2+ y−4)2 =125

C.(x+1) (2+ y−2)2=125 D.(x−5) (2+ y−2)2=125

Câu 22. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD

có độ dài các cạnh như sau: AB CD a BC= = , =AD b AC= , =BD c=

2

2 2

=

C.R a2 b2 c2.

2

4

=

Câu 23. Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kỳ hạn 3

tháng, với lãi suất 0,65% một tháng theo phương thức lãi kép Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ

A 8 năm 11 tháng B 19 tháng.

C 18 tháng D 9 năm.

Câu 24. Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất Biết rằng cường độ sáng

C của bóng điện được biểu thị bởi công thức C csin2

l

α

= (αlà góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c: hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào

nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách

nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là

A 1m B 1,2m C 1.5m D 2m.

Câu 25. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay ( )H , một

mặt phẳng chứa trục của ( )H cắt ( )H theo một thiết diện như trong

hình vẽ bên Tính thể tích của ( )H (đơn vị cm3)?

A V( )H =23π. B V( )H =13π . C

( )H

3

π

= D V( )H =17π.

Câu 26. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình

(như hình vẽ) quanh trục DF ?

A 10 a3

9

7

2

π . D a3

3

Câu 27. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình

x2 2 1x m x2 2 2x m

4 − + − 2 − + +3 − =2 0 có bốn nghiệm phân biệt?

A (−∞;1) B (−∞;1) (∪ 2;+∞) C  +∞2; ) D (2;+∞)

Câu 28. Một người gửi 88 triệu đồng vào ngân hang theo thể thức

lãi kép kỳ hạn 1 quý với lãi suất 1,68% (quý) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó có được 100 triệu cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu (giả sử rằng lãi suất không đổi)?

Câu 29. Cho hàm số f x( ) =x2.6 x+ 1 Xét các khẳng định sau:

Khẳng định 1 f x( ) > ⇔1 2lnx+(x+1 ln6 0.) >

Khẳng định 2 f x( ) >x2 ⇔ > −x 1.

Khẳng định 3 f x( ) > ⇔6 lnx2+xln6 0.>

Khẳng định 4 f x( ) 6x x 1

6

> ⇔ >

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng ?

A 0 B 4 C 3 D 1.

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

∆ = = Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ∆ và cách

( )

A 1;1;3 một khoảng lớn nhất?

A ( )P : 15− x−12y+21z−28 0.= B.( )P : 15x+12y+21z−28 0.=

C ( )P : 15x+12y−21z−28 0.= D.( )P : 15− x+12y+21z+28 0.=

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương

trình ( x2 ) (mx2 x m x)

log 7 +7 ≥log +4 + , ∀ ∈¡

A m∈(2;5 B.m∈ −( 2;5 C m∈ 2;5) D.m∈ − 2;5)

Câu 32. Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước

có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ,

trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính

20cm, miệng xô là đường tròn bán kính 30cm,

chiều cao xô là 80cm Mỗi tháng A dùng hết

10 xô nước Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước

mỗi tháng, biết giá

nước là 20000 đồng/1m3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?

A 35279 đồng B 38905 đồng.

C 42116 đồng D 31835 đồng.

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy Góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng ( ABCD là ) 450, gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD ?

A 5

2

a

3

a

2

a

3

a

Câu 34. Gọi z1 và z2là các nghiệm của phương trình z2−2z+10 0=

Gọi M N P , , lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 và số phức k x iy= +

trên mặt phẳng phức Để tam giác MNP là tam giác đều thì số phức k là

A. k

k

1 27

1 27

é = +

ê

ê

ê =

-ë

B. k i

1 27

1 27

é = + ê

ê

ê = -ë

C. k i

27 27

é = +

ê

ê

ê =

-ë

D k i

27 27

é = ê ê

ê = -ë

Câu 35. Số tiệm cận của đồ thị hàm số

x

x x

y

x

2 1

1

1



= 

 −

neáu neáu

LỜI GIẢI ĐỀ 4

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Từ lnx+lny≥ln(x2+y) ⇔xy x≥ 2+y Ta xét:

+ Nếu 0< ≤x 1 thì y xy≥ ≥x2+ ⇔ ≥y 0 x2 mâu thuẫn

x

2

1

−

x

2

1

≥ +

=

−

x

2

1

= +

− xét trên (1;+∞)

f x

x

x

2 2

2

−

=





=

+





Vậy

( ) f x( ) f

1;

2

∞

+

Câu 2. Giả sử:M x y z( ; ; )

2

2 2

2



uuuur

uuuur

uuuur

(x 1)2 x2 (x 2)2 (y 2) (2 y 2) (2 y 3)2 (z 1) (2 z 1) (2 z 1)2

(x2 6x 5) (y2 14y 17) (z2 6z 1)

(x 3)2 4 (y 7)2 32 (z 3)2 8 4 32 8 44

Dấu " "= xảy ra ⇔ =x 3, y= −7, z = 3

Khi đó M(3; 7;3− ) ⇒P =x M2 +2y M2 +3z M2 =134⇒Chọn C.

( )

3

2

'

TH1 m y y( ) m

2;3

5

6

 

 

TH2 m y y( ) m

2;3

 

 

Câu 4. Ta có :

4

(a4 b4) (a b)4 a4 b4 1 4( ) (4 )4

16

Câu 5. Ta có:

f x′′ =12x2+6x− ⇒4 f x′ =4x3+3x2−4x c+ ⇒ f x =x4+x3−2x2+cx d+

Vì f( )0 =1, 1( ) = ⇒ =3 d 1;c=2 Vậy f( )− = − ⇒1 3 Chọn C.

Câu 6.

·

a

2

Trong (ABCD , dựng OI) ⊥CD

Ta có CD OI CD ( )SOI CD SI



Do đó, ( (SCD) (, ABCD) ) =(SI OI, ) =SIO· = °60

Tam giác OCI vuông tại I nên

OA

Tam giác SOI vuông tại O nên:

OI

3

Vậy

.

( ) ( )

x

Khi đó F ( )4 =52+C =50⇔C = −2

Vậy F ( )2 = +4 2 2+C = +4 2 2 2 2 2 2− = + ⇒Chọn A.

Câu 8. Áp dụng bất đẳng thức AM GM− ta có :

AB AC AD

AB AC AD

' ' ' 27

ABCD

' ' ' ' ' ' 27

64

Để V AB C D' ' ' nhỏ nhất khi và chỉ khi AB AC AD

4

AB' 3AB B' 7 1 7; ;

uuuur uuur

Lúc đó mặt phẳng (B C D' ' ' song song với mặt phẳng ) (BCD và đi qua)

B' 7 1 7; ;

4 4 4

 ⇒(B C D' ' ' : 16) x+40y−44z+39 0= ⇒Chọn A.

Câu 9. Ta có f x( )=F x'( ) 3= ax2+2bx c+

và

a

0

1

2

 =

Vậy F x 1x2 x

2

Câu 10. Không có bốn điểm nào đồng phẳng Do đó, có 3 điểm tạo

thành 1 mặt phẳng và có tất cả: C3

5 =10 mặt phẳng⇒Chọn D.

Câu 11. Đường thẳng( )d đi qua M(11; 0; 25− )và có VTCP ur =(2;1; 2− )

Gọi H là hình chiếu của I trên (d)

u

,

r uuur

2

2

Phương trình mặt cầu: (x−2) (2+ y−3) (2+ z+1)2 =289⇒Chọn D.

Câu 12.

Ta có: I xf x dx

2 2 1

0

= ∫ = Đặt t x f t dt( ) I f x dx( )

2

1

I f y dy I f x dx

f( )t

t

16 3

9

3

4 3 3

3 2

Vậy = + + = 6 1 3 17

Câu 13. Đặt t = (1 2 )(3+ x −x)khi x 1;3 t 0;7 2

Thay vào bất phương trình ta được f t( )=t2+ >t m

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có : m 0< ⇒Chọn D.

Câu 14. Gọi B be( ); −b ,b>0thuộc đồ thị hàm số Suy ra A b( );0 ,C( )0;e−b

Diện tích hình chữ nhật OABC là: S be= −b Khảo sát hàm trên ta được

S

e

1

Câu 15. +Ta có

b

0

+Tính

a

x

xe dx

0

a

0

Câu 16.

Do S ABD =S A B D' ' '

S ' ' ' S ' ' ' S 'B'

Ta có:

A MN

A B D

S

S

'

'B' ' ' ' ' ' '

Suy ra: S MND C B' ' ' 7S ABD

4

ABD

A ABD OMND C B

MND C B

d A ABCD S V

' ' ' '

' ' '

3

1 ; ' ' ' ' 3

=

ABD

MND C B

S

S ' ' '

4 7

Câu 17. Gọi R bán kính đáy hình nón

r bán kính đáy khối trụ

SH= 3R; IH=2R, HS=R ( hình vẽ )

1

0

S

S H

I K

V khối trụ: V R R R

2

π

ax3 +bx2 +cx d+ + = ⇔1 0 ax3+bx2 +cx d+ = −1

Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

y ax= 3+bx2+cx d+ có đồ thị như trên đề bài và y= −1 là đường thẳng đi qua ( )0; 1− song song với trục Ox Từ đồ thị ta thấy có 3 giao điểm vậy

phương trình có ba nghiệm ⇒Chọn D

Câu 19. Gọi M x y( ), là điểm biểu diễn số phức z x yi x y R= + ( , ∈ )

x

2

Câu 20. GọiM N , theo thứ tự là trung điểm củaAB vàCD Khi đó:

OM ⊥AB và O N' ⊥DC

Giả sử I là giao điểm củaMN và OO '

Đặt R OA h OO= , = '

+ Trong IOM∆ vuông cân tạiI nên: OM OI 2IM

2

a 2 a 2 2 a2 a2 3a2

= ÷   + ÷ = + = .

xq

2 2

π

Câu 21. Gọi M x y x y( ); , , ∈¡ thì M biểu diễn cho số phức ω = +x yi.

i

Theo giả thiết

Suy ra (x−1) (2+ y−4)2 =125⇒Chọn A

Câu 22.

Tứ diện đều được sinh ra từ một hình hộp chữ

nhật có các đường chéo được tô màu như hình

vẽ Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 1 nửa

đường chéo dài hình hộp và:

C

Câu 23. Lãi suất theo kỳ hạn 3 tháng là 3.0,65% =1,95%

Gọi n là số kỳ hạn cần tìm Theo giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ

nhất thỏa 20(1 0,0195)+ n −20 20> Ta được n 36= chu kỳ, một chu kỳ là 3 tháng, nên thời gian cần tìm là 108 tháng, tức là 9 năm

Câu 24.

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn MN là đường kính của mặt bàn

Ta có sin h

l

α = và h2= −l2 2, suy ra cường độ sáng là:

2

3

2

l

−

4 2

6

l

−

−

C l = ⇔ =l l> Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi l= 6 , khi đó h= ⇒2 Chọn D

Câu 25.

Thể tích khối trụ là V tru =Bh=π1 4.52 =9π Thể tích khối nón là

non

3

6 3

π π

= = Thể tích phần giao là: V p giao. 1 2

3

2 1.2

3

π

9

3

Câu 26. Ta có EF AF.tan a.tan30 a 3

3

β

Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích

2

3 2

1

π

Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể

tích V DC BC2 a a2 a3

2 =π =π =π

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh

3

1 2

10

Câu 27. Đặt t =2(x− 1)2 t( ≥1)

Phương trình có dạng: t2−2mt+3m− =2 0 *( )

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

1,2

2





Câu 28. Gọi n n( ∈¥ là số quý để người đó có được 100 triệu)

n

88 1 0,0168+ =100⇒ =7,6 Do n∈ ⇒ =¥ n 8

Do 1 năm có 4 quý nên sau 2 năm thì người đó có được 100 triệu ⇒

Chọn D

Câu 29. Ta thấy ngay khẳng định 1 và 3 là sai vì tập xác định của

( )

f x >1 và f x( ) >6 là ¡ Trong khi đó, tập xác định của bất phương

trình 2lnx+(x+1 ln6 0) > là (0;+∞) và tập xác định của bất phương

trình xln 2+xln6 0> là ¡ \ 0 { }

Một số sai lầm như sau:

Sai lầm 1 f x( ) > ⇔1 x2.6x+ 1> ⇔1 ln(x2.6x+ 1) >ln1

( )

x

Từ đó dẫn đến khẳng định 1 đúng Chú ý, phép biến đổi

( )

x2.6+ 1> ⇔1 ln x2.6+ 1 > ln1 chỉ đúng khi ta biết được chắc chắn

x

x2.6+ 1> 0 Tuy nhiên x2.6x+ 1≥ 0, x∀ ∈¡ do đó ta không thể biến đổi

( )

x2.6+ 1> ⇔1 ln x2.6+ 1 > ln1 được

Sai lầm 2 f x( ) > ⇔6 x2.6x+ 1 > ⇔6 x2.6x > ⇔1 ln(x2.6x) >ln1

x

Xét khẳng định 2, ta có f x( ) >x2⇔ x2.6x+ 1>x2

x

1

6+ 1

Xét khẳng định 4, ta có f x( ) > 6x ⇔x2.6x+ 1> 6x

x x

x

2

1 6

1 6



>





 < −





⇒ khẳng định 4 sai ⇒Chọn A.

Câu 30.

Vì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P)

là thay đổi nên cần tìm một đại lượng là

hằng số sao cho AH ≥const

Nhận thấy đề cho điểm A 1;1;3 và ( )

đường thẳng ∆ Vậy khoảng cách từ A

đến ∆ hằng số Từ đó định hướng được

cách làm

Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống ( )P ,∆ Tam giác AHK vuông tại H ⇒AH ≤AK =d A;( )∆

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi H ≡K ⇔( )P qua A và nhận AK làm vtpt

Vì K ∈ ∆ nên K t( ;1 2 ;2 2+ t + t)

AK t 1;2 ;2t t 1

⇒ uuuur= − − Mà AK ⊥ ∆ do đó AK uuuuur uur ∆ =0

t 2 1 2t 2 2 2t 0

( )P : QuaK − −2 1 2; ; 

 ÷, và có n − −5 4 7; ; 

ur