Từ một miếng bìa hình vuông có cänh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập läi phæn còn läi cûa t m bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cänh đáy bằng x xem hình
Trang 1ĐỀ 5
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là
trung điểm cänh SA. Mặt phẳng qua M và song song với ABCD, cắt các cänh SB SC SD, , læn lượt täi N P Q, , Gọi
S ABCD
V1 V. và
S MNPQ
V2 V . Khẳng định nào sau đåy đúng?
Câu 2 Cho các s phư c z w, tho a mãn z 2 2i z 4i , w iz 1
Giá trị nhô nhå t cûa w là
A 2
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ
nhậtABCD A B C D có điểm A trùng với gốc tọa độ,B a( ;0;0),
D(0; ;0), (0;0; )a A b với (a 0,b 0) Gọi M là trung điểm cûa cänh CC Giâ sử
a b 4, tìm giá trị lớn nhçt cûa thể tích khối tứ diện A BDM ?
A maxV A MBD 64
27
B maxV A MBD 1
C maxV A MBD 64
27
64
Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,, cho ba điểm A 0;2;0 ,
B 1;1;4 và C 3; 2;1 Mặt cæu S tâm I đi qua A B C, , và độ dài OI 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa độ) Bán kính mặt cæu S là
Câu 5 Cho hình lập phương ABCD ABC D ’ ’ ’ ’ Mặt phẳng BDC’chia khối lập phương thành 2 phæn có tî lệ thể tích phæn nhô so với phæn lớn là
A.1
10
Câu 6 Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép
kỳ hän một quý với lãi suçt 1, 65% một quý Hôi sau bao låu người đó có được
ít nhçt 20 triệu đồng (câ vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đæu? (Giâ sử lãi suçt
kh ng thay đổi)
A 4 năm 1 quý B 4 năm 2 quý
Câu 7 Cho số thực x thôa log log2 8x log log8 2x Tính giá trị
cûa P log2x2?
Trang 2A P 3
3
3
Câu 8 Tìm tçt câ các giá trị thực cûa tham số m sao cho không 2;3 thuộc tập nghiệm cûa bçt phương trình x2 x2 x m
log 1 log 4 1?
A m 12;13 B m 12;13
C m 13;12 D m 13; 12
Câu 9 Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sơng
như hình vẽ Không cách từ A và từ B đến bờ sơng lỉn lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ s ng để lçy nước mang về B Độn đường ngắn nhçt mà người đĩ cĩ thể đi là
Câu 10 Cho số phức z thơa mãn i z i
z
2 42
1 5 3 15 Mệnh đề nào dưới đåy đúng?
Câu 11 Ba tia Ox Oy Oz, , đ i một vuơng gĩc Gọi C là điểm cố định
trên Oz , đặt OC 1 hai điểm A B, thay đổi trên Ox Oy, sao cho
OA OB OC Tìm giá trị nhơ nhçt cûa bán kính mặt cỉu ngội tiếp tứ diện
O ABC ?
Câu 12 Một miếng bìa hình trịn cĩ bán kính là 20 cm Trên biên
cûa miếng bìa, ta xác định 8 điểm
A B C D E F G H, , , , , , , theo thứ tự chia đường
trịn thành 8 phỉn bằng nhau Cắt bơ theo các
nét liền như hình vẽ để cĩ được hình chữ thập
ABNCDPEFQGHM rồi gçp läi theo các nét
đứt MN NP PQ QM, , , täo thành một khối hộp
khơng nắp Thể tích cûa khối hộp thu được là
Trang 3A.4000 2 2 4 2 2
2
3
2
C 4000 2 2 4 2 2 D
3
4000 2 2
Câu 13 Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vu ng cån täi
A và AB AC SBSC a, SBC ABC Tính bán kính cûa mặt cỉu ngội tiếp hình chĩp?
A a 2
2
Câu 14 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng
ABC A B C ' ' ' cĩ A a ;0;0 , B a ;0;0 , C 0;1;0,B'a;0;b với a b, dương thay đổi thơa mãn a b 4 Không cách lớn nhçt giữa hai đường thẳng B C' và
AC ' là
2
Câu 15 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp
chữ nhật ABCD A B C D cĩ điểm A trùng với gốc cûa hệ trục tọa độ,
B a( ;0;0), D(0; ;0)a , A(0;0; )b (a 0,b 0) Gọi M là trung điểm cûa cänh CC Giá trị cûa tỵ số a
b để hai mặt phẳng (A BD ) và MBD vuơng gĩc với nhau là
Câu 16 Tìm tçt câ các giá trị thực cûa tham số m để phương
2 log log 3 log 3 cĩ nghiệm thuộc 32; ?
B.m 1; 3
C m 1; 3
D.m 3;1
Câu 17 Trong mặt phẳng P cho đường trịn C đường kính
AB 2R Gọi M là một điểm di động trên đường trịn Kẻ MH vuơng gĩc với
AB täi H với AH x 0 x 2R Dựng đường thẳng vuơng gĩc với P täi
M Trên đường thẳng đĩ lçy điểm S sao cho MS MH Xác định giá trị lớn nhçt bán kính mặt cỉu ngội tiếp tứ diện SABM ?
Câu 18 Cho số phức z 1 i2 i4 i2n i2016,n M đun
cûa số phức z bằng
Trang 4Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cæu
S :x2 y2 z2 2x 2y 4z 1 0 và mặt phẳng P :x y 3z m 1 0
Tìm tçt câ m để P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
lớn nhçt?
Câu 20 Cho z z1, là hai số phức thôa mãn z2 2 z i
1 4 2 16 20 Gọi ,
là hai nghiệm cûa phương trình x2 z x z m
2 7
, trong đó m là số phức Giá trị lớn nhçt cûa m là
Câu 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
A 1;2; 1 , B 0;4;0 và mặt phẳng P có phương trình: x y2 2z 2017 0 Phương trình mặt phẳng Q qua hai điểm A B, và täo với mặt phẳng P
một góc nhô nhçt có phương trình là
A Q : x y z 4 0 B Q : x y z 4 0
C Q : x2 y 3z 4 0 D Q : x y z2 4 0
Câu 22 Từ một miếng bìa hình
vuông có cänh bằng 5, người ta cắt 4
góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập läi
phæn còn läi cûa t m bìa để được một
khối chóp tứ giác đều có cänh đáy
bằng x (xem hình vẽ bên)
Câu 23 Trong chương trình
nông thôn mới, täi một xã X có xây
một cây cæu bằng bê t ng như
hình vẽ Tính thể tích khối bê tông
để đổ đû cây cæu (Đường cong
trong hình vẽ là các đường
Parabol)
Câu 24 Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng đi qua trọng
5m 2m 0,5m
Trang 5tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB täi D, cắt AC täi E Mặt
phẳng đi qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phỉn, tỵ số thể tích (số bé
chia cho số lớn) cûa chúng bằng
A 2
27
Câu 25 Tìm tçt câ giá trị cûa m để đồ thị hàm số y mx mx
x
2
cĩ ba tiệm cận?
2
2
2
Câu 26 Tìm tçt câ các giá trị cûa tham sốm để đồ thị hàm số
y x4 2mx2 m4 cĩ ba điểm cực trị là ba đỵnh cûa tam giác đều?
0 3
3 3
Câu 27 Tam giác vuơng cĩ diện tích lớn nhçt là bao nhiêu nếu tổng cûa
một cänh gĩc vuơng và cänh huyền bằng hằng số a 0?
A a2 2
6
Câu 28 Một lỉn nhà âo thuật gia Dynamo đến New York anh ngẫu hứng
trình diễn khâ năng bay lơ lửng trong khơng trung cûa mình bằng cách di
truyển từ tịa nhà này đến tồ nhà khác và trong quá trình anh di chuyển đçy
cĩ một lỉn anh đáp đçt täi một điểm trong không cách cûa hai tịa nhà ( Biết
mọi di chuyển cûa anh đều là đường thẳng ) Biết tịa nhà ban đỉu Dynamo
đứng cĩ chiều cao là a m( ), tịa nhà sau đĩ Dynamo đến cĩ chiều cao là
b m ( ) a( b) và không cách giữa hai tịa nhà là c m( ) Vị trí đáp đçt cách tịa
nhà thứ nhçt một độn là x m( ) hơi x bằng bao nhiêu để quãng đường di
chuyển cûa Dynamo là bé nhçt?
a b.
ac x
a b
3
ac x
a b .
3( )
Câu 29 Một cái tháp hình nĩn cĩ chu vi đáy bằng 207,5 m Một
học sinh nam muốn đo chiều cao cûa cái tháp đã làm như sau Täi thời điểm
nào đĩ, cậu đo bĩng cûa mình dài 3,32 m và đồng thời đo được bĩng cûa cái
tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5 m Biết cậu học sinh đĩ cao 1,66 m, hơi chiều
cao cûa cái tháp dài bao nhiêu m?
A.h 103,75 51, 875
C.h 103,75 25,94
Câu 30 Cho đồ thị hàm số y ax 4 bx3 c đät cực đäi täi A 0;3 và
Trang 6cực tiểu B 1;5 Tính giá trị cûa P a 2b4c?
Câu 31 Tìm tçt câ các giá trị cûa m để phương trình
2
log 2 log 3 1 0 có 2 nghiệm x x1, sao cho x x2 1 2 27
A m 4
3
3
D m 1
Câu 32 Cho mặt cæu S x( ) : 2 y2 z2 2x 4z 1 0 và đường thẳng
z m t
2
Tìm m để d cắt S täi hai điểm phân biệt A B, sao cho các
mặt phẳng tiếp diện cûa S täi A và täi B vuông góc với nhau
A m 1 hoặc m 4 B m 0 hoặc m 4
C m 1 hoặc m 0 D m 1 hoặc m 4
Câu 33 Cho tứ diện ABCD có cänh CD 2AB AB, a BC, h Thể tích cûa khối tròn xoay täo thành khi quay hình ABCD quanh cänh CD
bằng
27
Câu 34 Chị Hoa gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suçt 0,6%/tháng Sau mỗi tháng, chọ Hoa đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi Sau một số tròn tháng thì chị Hoa rút hết tiền
câ gốc lẫn lãi Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chị Hoa không rút thêm một đồng nào kể câ gốc lẫn lãi và lãi suçt kh ng đổi Vậy tháng cuối cùng chị Hoa sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?
A 1840270 đồng B 3000000 đồng
C 1840269 đồng D 1840268 đồng
Câu 35 Một đường dåy điện được nối từ nhà máy điện trên đçt
Trang 7liền ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đâo Khoâng cách ngắn nhçt từ C đến đçt liền là BC=1km, khoâng cách từ A đến B là 4km Người ta chọn một vị trí
là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dåy điện đi từ A đến S, rồi từ S đến
C như hình vẽ dưới đåy Chi phí mỗi km dåy điện trên đçt liền mçt 3000USD, mỗi km dåy điện đặt ngæm dưới biển mçt 5000USD.Hôi điểm S phâi cách A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dåy điện là ít nhçt?
ĐỀ 5
Trang 8ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1
Dễ thçy, N P Q, , læn lượt là trung điểm các
cänh SB SC SD, ,
Ta có:
S MNPQ S MNP
S ABCD ABC
S MNPQ S MNP
S ABCD S ABC
.
2
2
V1 8V2
N M
S
A
B
Câu 2 Đă t z a bi a, b , khi đo z 2 2i a 2 b 2 i
và z 4i a b 4 i
Nên ta co 2 2 2 2
a2 b 2 a b 4 a b 2 b 2 a
w iz 1 a bi i 1 1 b ai w a b 1 a a 1
w
2
min
2
Câu 3 Ta có: C a a( ; ;0), ( ;0; ), (0; ; ), ( ; ; )B a b D a b C a a b M a a; ;b
2
Suy ra: A B ( ;0; ),a b A D (0; ; ),a b AM a a; ; b
2
A MBD
Do a b, 0 nên áp dụng BĐT C si ta được:
a b 1a 1a b 3 1a b2 a b2 64
maxV A MBD 64
27
Câu 4 Phương trình mặt cæu S có däng:
x y z ax by cz d
Vì 4 điểm , , ,O A B C thuộc mặt cæu S nên ta có hệ:
A S
B S
C S
2 2 8 18 0
6 4 2 14 0
b d
a b c d
a b c d
OI OI a b c
Suy ra a 1;b0;c 2;d 4 R 3 Chọn B
Câu 5
Trang 9Nhìn vào hình vẽ ta có thể thçy 2 phæn cûa hình lập phương
ABCD ABC D ’ ’ ’ ’chia bởi mặt phẳng (BDC’) gồm hình chóp BCC D’ và phæn còn läi Tî lệ cæn tính sẽ là BCC D
ABCD A B C D BCC D
V T
'
Giâ sử hình lập phương có cänh là 1 V ABCD A B C D 3
Hình chóp BCC’D có đáy là tam giác vu ng cån DCC’, đînh B, đường cao BC
V ' 1.BC S ' 1.1.1.1.1 1
T
1
1 6
1 5
1
6
Chọn C
Câu 6 Số tiền cûa người çy sau n kỳ hän là
n
T 15 1 1,65
100
Theo đề bài, ta có
n
1 100
Câu 7 Đặt t log2x Ta có:
log log log log log log
1 3 1 3
t2 27
2
2 2
2 2
1
Hệ trên thôa mãn
x 2;3
x
m
m Min f x2 3 khi x
Câu 9 Gọi A B', ' læn lượt là hình chiếu cûa A B, lên bờ sông, gọi H là hình
BH 487 118 369m AH AB2 BH2 492m
Gọi M là nơi trên bờ s ng để người A đi quâng đường ngắn nhçt
Giâ sử A M' x B M' 492x
Trang 10Ta cĩ
2
Tổng độn đường người đĩ đi được là x2 1182 492x2 4872
Áp dụng bçt đẳng thức Mincopxky ta cĩ
Chọn C
Câu 10
z
2 42
Chọn C
Câu 11
2 2
min
Chọn A
Câu 12 Hình hộp cỉn tính cĩ đáy là hình vu ng MNPQ (độ dài cänh hình vuơng này chính là AB) và chiều cao AM Gọi O là tåm đường trịn Ta cĩ gĩc
Áp dụng định lý cosin vào tam giác AOB ta tính được AB 20 2 2
Mặt khác, tam giác AMH vuơng cân täi M, suy ra AM 10 2 2 2
Thể tích khối hộp là : V AM AB2
Câu 13
Trang 11Do đĩ kẻ SD BC SD ABC hi đĩ SD chính là đường cao cûa hình chĩp Nhận thçy do tam giác ABC vu ng cån täi A do đĩ D là tåm đường trịn ngội tiếp tam giácABC hi đĩ đường thẳng qua D vu ng gĩc với mặt phẳng (ABC) chính là trục đường trịn cûa mặt phẳng đáy Suy ra SD chính là trục đường trịn cûa mặt phẳng đáy Hai tam giác SBC và ABC là hai tam giác
vu ng cån täi S và A hi đĩ ta cĩ: DS DB DC DA a
2
được tåm và bán kính R a
2
Câu 14 CC'AA'C0;1;b
d AC C
a2 b2
4
2 2 2 2 2
AB DC C a a; ;0 C a a b' ; ; M a a; ;
2
Cách 1
Ta cĩ MB 0; a; b
2
; BD a a; ;0 và A B' a;0;b
Ta cĩ u MB BD; ab ab; ; a2
2 2
và BD A B a2 a2 a2
Chọn v 1;1;1 là VTPT cûa A BD'
b
2
Cách 2
với X là trung điểm
BD A BD' ; MBD A X MX' ;
a a
X ; ;0
2 2
là trung điểm BD
a a
A X' ; ; b
2 2
,
a a b
2 2 2
Trang 12A BD' MBDA X' MX A X MX' 0
a 2 a 2 b2
0
a
Câu 16 Điều kiện: x 0 hi đó phương trình tương đương:
2
log 2 log 3 log 3
Đặt t log2x với x 32log2x log 322 5 hay t 5
Phương trình có däng t2 2t 3 m t 3 *
hi đó bài toán được phát biểu läi là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm
t 5”
Với t 5 thì (*) t 3 t 1 m t 3 t 3. t 1 m t 3 0
t
t
1
3
Ta có t
t
Vậy phương trình có nghiệm với 1m 3.Chọn A
Câu 17
Vì nằm trên đường tròn đường kính AB
nên tam giác MAB vuông täi M, do vậy áp
dụng công thức tam diện vuông:
C
4
Vì MHmax R do vậy: R cmax R 5
2
Chọn B
S
M
Câu 18
i
i
1008 2 2
2
1
1
Câu 19 Mặt cæu S có tâm I 1;1; 2 Để P cắt mặt cæu S theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhçt thì P đi qua tåm I cûa mặt cæu S Do I P nên 1 1 3 2 m 1 0 m 7
Chọn B
Trang 13Câu 20
Theo vi-et:
z
1
2
4
2 7
4 5i m 7 Do đó tập hợp điểm
biểu diễn số phức m là đường tròn tâm I 4;5 bán
kính R 7
Đường thẳng OI cắt đường tròn täi 2 điểm A và B với O nằm giữa B và I Ta
Giá trị lớn nhçt cûa m khi M A nên :
max
m OA OI IA 7 41 Chọn A
Câu 21 Nhận xét: 00 ( ),( )P Q 900, nên góc ( ),( )P Q nhô nhçt
khicos ( ),( ) P Q lớn nhçt Q : ax b y ( 4)cz 0;A( )Q a 2b c
a2 b2 c2 a2 b2 c2
cos ( ),( )
3
Nếu b P Q P Q 0
0 cos ( ),( )
3
Dçu bằng xây ra khi b c a; c, nên phương trình
Q :x y z 4 0 Chọn B
Trang 14Câu 22
x M
Ta có SA(ABCD) nên AM là hình chiếu cûa SM trên mặt phẳng
ABCD
( )SM ABCD;( )SMA 600
ABC
có AB BC a và ABC 600 nên ABCđều
Mà M là trung điểm cûa BC nên AM AB 3 a 3
AM
Thể tích khối chóp I.ABCD là V I ABCD. 1.d I ABCD S ;( ) ABCD
3
a
d I ABCD S SAS
3
Câu 23
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ
y
Trang 15Gọi P y ax2 c
1 : là Parabol đi qua hai điểm A 19;0 ,B 0;2
2
a a
b b
2
2 1
8 19
8
361 2
361 2
2
Gọi P y ax2 c
2 : là Parabol đi qua hai điểm C 10;0 ,D 0;5
2
2
2 2
19
2
Câu 24
Ta có: ADE
ABC
2 2 4
3 3 9
Mặt khác:
V ' 1d A ADE'; S 1d A ABC'; 4S
ABC ABC A B C
A ADE
A B C CEDB ABC A B C
A B C CEDB
V
V
'
' ' '
Chọn B
E
A'
B'
C'
C
B A
Câu 25 Ta có
m m
x
x
1
m m
x
x
1
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang thì m 0