Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết)

Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết)

L ƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO

10 Bài toán GTLN-GTNN có ch ứa tham số ……… m

y = - x æçççè p- ÷xö÷÷ø y3=sin cosx 2x+tanx

Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

Câu 5. Đường cong trong hình bên mô tả đồ

thị của hàm số y=Asin(x+ +a) B (với , , a

là các hằng số và 0; ) Tính

2

p

aÎ ê úéêë ùúû12

trục của nó cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng

cách (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến h

mặt nước được tính theo công thức h= y trong đó:

với là thời gian quay của guồng với

A n=1 B n=45 C n=46 D n=91

4

p a

Vấn đề 2 Tìm nghiệm của phương trình

A cos 2x-2 sin 2x=2 B sin 2x-2 cos 2x=2.

C cos 2x-2 sin 2x= -2 D sin 2x-2 cos 2x= -2

Câu 14 Cho hai phương trình cos3x- =1 0 1( ) và cos 2 1 2 ( ) Tập các nghiệm của

î þ cos 2x+ 3 sin 2x-2 cosx=0

đương với phương trình cos 2( x- =a) cos x

Câu 19. Phương trình 2n+ 1cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2x x x x n x=1 với nÎ * có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx=0 B sinx=sin 2 n x C sinx=sin 2n+1x D sinx=sin 2n+2x

diễn các nghiệm của phương trình tan tan 1

Vấn đề 3 Nghiệm dương nhỏ nhất Nghiệm âm lớn nhất

Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+2 cos2x=1 có dạng p b a với

là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau Tính

,

A S=3 B S=7 C S=15 D S=17

Câu 22 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin 1 cot 2 có dạng

với a b, là các số nguyên, a<0 và a b, nguyên tố cùng nhau Tính S= +a b

Câu 24 Cho phương trình sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x) Tổng nghiệm

âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

-b

p a b,

cùng nhau Tính S= +a b

A S=2 B S=3 C S=4 D S=7

sinx+sin 2x+sin 4x+ + sin 2 x=

p

=

Vấn đề 4 Số nghiệm của phương trình

Câu 31 Phương trình 2 cos2x+2 cos 22 x+2 cos 32 x- =3 cos 4 2 sin 2x( x+1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018)?

Câu 32 Phương trình ( )( ) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

2 cos 3 7 cos 3cos 0

6

.6

A 3 B C D

7

.5

.70

.35

p

a a

ç+ ççè - ÷÷ø =

Câu 52. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4x=m.tanx có nghiệm x¹k p.

mÎ -éê ùú

1;4 2

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình m cos 4x=cos 32 x m+ sin2x

có nghiệm thuộc khoảng 0;

Câu 57. Cho phương trình mx2+4p2=4p2cos x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham

số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng m 0; bằng

Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên để phương trình m 3cos( 1) 1 có nghiệm?

+¥

1

20

Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình m f(2 sinx+ =1) f m( ) có nghiệm?

Câu 60. Cho hàm số f x( ) liên tục trên ,

thỏa f x( )>3 với mọi x>5 và f x( )<-3 với

mọi x<-2, có đồ thị như hình bên Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

có đúng nghiệm thuộc khoảng

Câu 63. Cho phương trình msin2x-3sin cosx x m- - =1 0 Gọi là tập tất cả các giá trị S

nguyên m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng nghiệm thuộc 3 0;3 Tổng

có đúng nghiệm thuộc đoạn ? (sinx-1 2 cos) ( 2x-(2m+1 cos) x m+ )=0 4 [0;2p]

có nghiệm là Giá trị của bằng

Câu 76. Cho phương trình sin 2x-cos 2x+sinx+cosx- 2 cos2x m m+ - =0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm ?m

Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=2 cos3x-cos 2x trên đoạn

Câu 86. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

Tính cos 2 sin 3

2

7.2

9.2

11.2

Câu 90 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=sin2018x+cos2018x lần lượt là

Vấn đề 10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m

cos 2

x a x y

x

=

+trị lớn nhất bằng ?1

Câu 94. Gọi là tập tất cả các giá trị thực của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm S m

số y= sin4x+cos 2x m+ bằng Hỏi tập có bao nhiêu phần tử?2 S

8.

Câu 96. Cho hàm số y= f x( ) xác định trên , thỏa mãn (tan ) 1sin 2 cos 2 với

2

2+

çè ø cos 2x+cos 2y+2 sin(x+ =y) 2

Giá trị nhỏ nhất của P cos4x cos4 y bằng

p

2

p

5

p

Câu 98 Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a2+ + =b2 c2 4 Tìm giá trị lớn nhất M

trong tất cả các hàm số y= +a b sinx+c cosx với 0;

4

x æç pùúÎçç úè û

Câu 100. Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn cos(x+ + + =y 1) 3 cos 3( )xy +9xy- -3x 3 y

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=x y( +2) bằng

9

.21

.21+

HẾT

-L ƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO

10 Bài toán GTLN-GTNN có ch ứa tham số ……… m

çè ø y3=sin cosx 2x+tanx

Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

4 cos 2

Lời giải Kiểm tra ta có và là các hàm số lẻ Chọn B.y1 y3

Câu 3 Trong các hàm số y1=sin ; x y2=sin 2 ; x y3=tan ; x y4=cotx có bao nhiêu hàm số

A y=sin 2x B y=cos x C y= -sinx D y= -cos x

Lời giải Khi x=0 thì y=1. Chọn B.

Câu 5. Đường cong trong hình bên mô tả đồ

thị của hàm số y=Asin(x+ +a) B (với , , a

là các hằng số và 0; ) Tính

2

p

aÎ ê úéêë ùúû12

p a a

Ta thấy A=0 không thỏa mãn hệ Do đó ( )3 sin 1

3

B A

p a

æ ö÷ ç

Nhận xét: Cách trắc nghiệm: nhìn đồ thị đoán được A=2; B= -1 (dựa vào min – max)

và dùng dữ kiện đồ thị đi qua gốc tọa độ suy ra

6

p

a =

trục của nó cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng

cách (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến h

mặt nước được tính theo công thức h= y trong đó:

với là thời gian quay của guồng với

Cách trắc nghiệm thay từng đáp án vào và bấm máy so sánh

Câu 7. Gọi là số nguyên thỏa mãn n (1 tan1 1 tan 2+ 0) ( + 0) (1 tan 45+ 0)=2 n Khẳng định nào sau đây đúng?

A nÎ[ ]1;7 B nÎ[8;19 ] C nÎ[20;26 ] D nÎ[27;33 ]

Lời giải Ta có biến đổi: (1 tan1 1 tan 2+ °) ( + °) (1 tan 45+ °)

( )45

cos1 sin1 cos 2 sin 2 cos 45 sin 45

2 sin 1 45 2 sin 2 45 2 sin 45 45

cos 44 cos 43 cos 2 cos1 sin 90

Vấn đề 2 Tìm nghiệm của phương trình

t t

A cos 2x-2 sin 2x=2 B sin 2x-2 cos 2x=2

C cos 2x-2 sin 2x= -2 D sin 2x-2 cos 2x= -2

Lời giải Phương trình tương đương với (2 sin2x+2 cos2x)-2.2 sin cosx x+(2 cos2x- =1) 0

î þ cos 2x+ 3 sin 2x-2 cosx=0

đương với phương trình cos 2( x- =a) cos x

Lời giải Ta có cosx+cos 2x+cos3x= Û0 2 cos 2 cosx x+cos 2x=0

và các điểm này không trùng nhau nên

Lời giải Vì x=k p không là nghiệm của phương trình đã cho nên nhân hai vế phương trình cho sin ,x ta được 2n+ 1(sin cos cos 2 cos 4 cos8 cos 2x x) x x x n x=sinx

2 sin 2 cos 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

2 sin 2 cos 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

2 sin 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

diễn các nghiệm của phương trình tan tan 1

ç+ ççè + = Û÷÷ø + - =

 Nghiệm x=arctan 3+k p biểu diễn trên đường tròn lượng giác

là hai điểm M N, (xem hình vẽ)

Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+2 cos2x=1 có dạng p b a với

là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau Tính

Û = ççè - Û ê÷÷ø ê = +êêë

1414

a

S b

với a b, là các số nguyên, a<0 và a b, nguyên tố cùng nhau Tính S= +a b

N

M

x x



thỏa mãnloại

44

a

S b

2 sin 3 cos 2 2 sin 3 cos

2 sin 3 cos 2 cos 0

é =êê

Câu 24 Cho phương trình sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x) Tổng nghiệm

âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

Suy ra nghiệm õm lớn nhất là ; nghiệm dương nhỏ nhất là Chọn A.

Lời giải Phương trỡnh Û4 cos3 cos 2x x+2 cos3x=1

2 cos5( cos ) 2 cos3 1

2 cos 2 cos3 2 cos5 1

 Nhận thấy sinx= Û =0 x k p(kẻ ) khụng thỏa món phương trỡnh

 Nhõn hai vế cho sin x ta được 2 sin cosx x+2 sin cos3x x+2 sin cos5x x=sinx

k x

p

p p

ộờ =ờ

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là 1 8. Chọn B.

77

a

S b

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trỡnh đó cho là x= +p4 k2p (kẻ )

cú điểm biểu diễn trờn đường trũn lượng giỏc Chọn B

a

S b

p ỡ = -ùù

- ắắđớù =ùợ ắắđ =

-Câu 28. Cho phương trình 2017( 2018 2018 ) ( ) cos 2 Nghiệm

x

-Do đó phương trình Û22017(sin2018x+cos2018x) (sinx+cosx)cosx=(sinx+cosx)cosx

Ûcosx(sinx+cos 2x)éê 2017(sin2018x+cos2018x)- =1ùú 0

a

S b

p¾¾®ì =ïï ¾¾® =

íï =ïî

sinx+sin 2x+sin 4x+ + sin 2 x=

p

=

Lời giải Điều kiện: x¹0

Phương trình sin sin

Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm phân biệt nên phương 3trình ( )1 có nghiệm phân biệt 3 ¾¾® đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm x=0nên phương trình đã cho có nghiệm Chọn B.2

Vấn đề 4 Số nghiệm của phương trình

Câu 31 Phương trình 2 cos2x+2 cos 22 x+2 cos 32 x- =3 cos 4 2 sin 2x( x+1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018)?

Lời giải Phương trình Û +(1 cos 2x) (+ +1 cos 4x) (+ +1 cos 6x)- =3 2 cos 4 sin 2x x+cos 4x

( )

cos 6 cos 2 2 cos 4 sin 2

2 cos 4 cos 2 2 cos 4 sin 2 0

2 cos 4 cos 2 sin 2 0

Lời giải Điều kiện: (1 2 cos+ x)sinx¹0

Phương trình Û -1 cosx-2 cos2x=sinx+2 sin cosx x

Câu 33 Phương trình sin (3 9 2 16 80) 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên

2 2

- ++

2

.cos sin 2 cos

4

x x

cos 4 0

x x x

ïïïï ¹íïï

ïîPhương trình Ûtan 4x-tan 2x=4 tan 1 tan 4 tan 2x( + x x)

tan 4 tan 2 4 tan (vì )

1 tan tantan 2 tan 1 0tan 0

.2

Lời giải Phương trình tương đương với sinx=k2 , p kÎ 

Vì - £1 sinx£1 nên suy ra k=0, khi đó phương trình trở thành

.6

.2

6cos 2 3

-loại

t t

.35

p

Lời giải Nhận thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế phương trình với cos x ta được

2

2 sin 3 4 cos 3cos cos

2 sin 3 cos3 cos

2

14 7

22

k x

p p p

.6

.3

Câu 44 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin3 2 sin trên đoạn

.2

.4

Nhận thấy cosx=0 không thỏa mãn phương trình

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được ( )3 ( 2 )

tanx- =1 4 tanx tan x+1

1 cos cos 1 2 cos cos cos 1

2 cos cos cos 0

2

2cos

32

Lời giải Phương trình tương đương với msin 2x+2 cos 2x= +m 3.

p

a a

a a

Û3 tan( 2x+cot2x+ +1) tanx+cotx=m.

Đặt t=tanx+cot x Điều kiện: t ³2

mÎ -éê ùú

1;4 2

mÎ -æçç ö÷÷

÷

çè ø mÎ -( 1;4 )

Lời giải Điều kiện cosx¹0

Vì x¹k p nên sinx¹0 Khi đó ( )* Û4 cos2x(2 cos2x- =1) m

Đặt t=cos ,2x với ì ¹ïïíïcosx x k p¹0 suy ra Phương trình trở thành

êë

cossin

1

1

-¥

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm 2 1 1

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình m cos 4x=cos 32 x m+ sin2x

có nghiệm thuộc khoảng 0;

Û4 cos 22 x- = +2 1 4 cos 23 x-3cos 2x+ -(1 cos 2x m)

Û(cos 2x-1)m=4 cos 23 x-4 cos 22 x-3cos 2x+3 ( )*

Đặt t=cos 2 ,x với 0; 3;1 Khi đó

3

;1 , 2

3;1 ,2

ïïïïïî

Vậy để phương trình m=f t( ) có nghiệm khi và chỉ khi mÎ( )0;1 Chọn C.

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình m 2 sinx m+ cosx= -1 m có nghiệm thuộc đoạn x ;

ïïï

-ïïïî

Do đó yêu cầu bài toán - £2 2m£ Û - £ £6 1 m 3. Chọn C.

Câu 57. Cho phương trình mx2+4p2=4p2cos x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham

số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng m 0; bằng

Suy ra f x( ) đồng biến trên 0; nên

-Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên để phương trình m 3cos( 1) 1 có nghiệm?

2

m

f éë x+ + = -ùû

Lời giải Đặt t=3cos(x+ + ¾¾1) 1 ®- £ £2 t 4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với tÎ -[ 2;4] thì - £1 f t( )£3

Câu 59 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình m f(2 sinx+ =1) f m( ) có nghiệm?

Lời giải Đặt t=2 sinx+ ¾¾1 ®- £ £1 t 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với tÎ -[ 1;3] thì - £2 f t( )£2

Do đó để phương trình có nghiệm Û - £2 f m( )£2 Cũng từ bảng biến thiên suy ta nhận mọi giá trị từ đến khi và chỉ khi

Câu 60. Cho hàm số f x( ) liên tục trên ,

thỏa f x( )>3 với mọi x>5 và f x( )<-3 với

mọi x<-2, có đồ thị như hình bên Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

+¥

1

20

Lời giải Đặt t=3sinx+ ¾¾2 ®- £ £1 t 5.

Dựa vào đồ thị ta thấy f x( ) đồng biến trên [-1;5] nên (3sin 2) ( ) 3sin 2

t

éê =

êê = êë

- < £ < < Ûíïïï - >>

ïî

có đúng nghiệm thuộc khoảng

Lời giải Phương trình viết lại sin 2x+sinx+cosx- =2 m

Đặt sin cos 2 sin , suy ra

4

t= x+ x= æççx+ ÷pö÷÷

çè ø sin 2x= -t2 1.

Suy ra f t( ) đồng biến trên (0; 2ùúû và kết luận f( )0 < £m f( )2 ¬¾®- < £- +3 m 1 2.

Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm

khác với yêu cầu có nghiệm

Dựa vào đường tròn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu

bài toán Û phương trình ( )* có đúng một nghiệm thuộc t

Câu 63. Cho phương trình msin2x-3sin cosx x m- - =1 0 Gọi là tập tất cả các giá trị S

nguyên m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng nghiệm thuộc 3 0;3 Tổng

2

tan x+3 tanx m+ + =1 0

Đặt t=tanx, ta được phương trình bậc hai t2+ + + =3t m 1 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc 0;3 phương trình có

 Với 0;2 2 0;4 Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu bài

có đúng nghiệm thuộc đoạn ? (sinx-1 2 cos) ( 2x-(2m+1 cos) x m+ )=0 4 [0;2p]

Lời giải Phương trình ( )( )( )

sin 11

2cos

Với m=0, phương rình cosx=0 có hai nghiệm x=p2 (trùng

với nghiệm đã tính) và 3 thuộc

2

x= p [0;2 p]Vậy có hai giá trị của thỏa mãn Chọn B.m

Câu 66. Cho phương trình sin4x+cos4x+cos 42 x=m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm thuộc đoạn m 4 ;

cos sin

O

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với ( )* có hai nghiệm phân biệt thuộc t [-1;1 )Xét hàm f t( )=4t2+t trên [-1;1 ) Ta có '( ) 8 1 '( ) 8 1 1.

sin 1cos cos 0 1

Đặt t=cosx, với xÎ[0;2p]¾¾® Î -t [ 1;1] Phương trình ( )1 trở thành t2- = -t m ( )2

Phương trình sinx=1 có đúng nghiệm 1 thuộc đoạn

3

1

116-

18-

5

2

1

14-

12

0 +

0

0

0

cossin

Yêu cầu bài tốn tương đương với:

 Trường hợp 1: Phương trình ( )* cĩ một nghiệm t1= -1 (cho ra một nghiệm ) và x

một nghiệm 0< <t2 1 (cho ra bốn nghiệm ) (Hình 1).x

ê =- ¾¾® = Ỵêë

loạithỏa

 Trường hợp 2: Phương trình ( )* cĩ một nghiệm t1=1 (cho ra hai nghiệm ) và một x

nghiệm - < £1 t2 0 (cho ra ba nghiệm ) (Hình 2).x

ê = ¾¾® = Ï êë

-loạiloại

Vậy 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn Do Chọn D.

Lời giải Phương trình ( )2

sin 2 3 cos 2 sin 2

biểu diễn trên đường trịn lượng giác là 4

 Với t=2 thì phương trình sin 2 1 cho ta các nghiệm cĩ số vị trí biểu diễn trên

đường trịn lượng giác là 2

 Với t= -2 thì phương trình sin 2 1 cho ta các nghiệm cĩ số vị trí biểu diễn

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ( )* có duy nhất một nghiệm t

thuộc khoảng (-2;2) hoặc phương trình ( )* có hai nghiệm là -2 và 2

 Trường hợp 1: Phương trình ( )* có đúng nghiệm thuộc 1 (-2;2)

Û íï - - =ïïîVậy [ 10;10] { } có giá trị Chọn B

2

0;3;4;5; ;100

m m

m

m m

+¥

2

0

0

2

Û(m+sin 3x)+sin(m+sin 3x) (= 3sinx)+sin 3sin ( x)

Xét hàm f t( )= +t sint trên  Ta có f t'( )= +1 cost³ " Î ¾¾0, t  ®hàm số f t( ) đồng biến

Suy ra m+sin 3x=3sinx¾¾® =m 4 sin3xÎ -[ 4;4 ] Chọn D.

Lời giải Phương trình Û +m 33m+3sinx=sin3x

Û +m 3sinx+33m+3sinx=sin3x+3sin x

Xét hàm f t( )= +t3 3 , t " Î t Hàm này đồng biến nên suy ra

(3 3sin ) (sin ) 3 3sin sin sin3 3sin

có nghiệm là Giá trị của bằng

-Lời giải Phương trình Û(m+ + +1 1 sinx)+ m+ + +1 1 sinx = +(1 sinx)+ +1 sin x

Xét hàm số f t( )= +t2 t với tÎ +¥[0; ) Hàm này đồng biến trên [0;+¥) nên suy ra

( 1 1 sin ) ( 1 sin )

f m+ + + x = f + x