bài tập cận dụng cao môn toán

có cänh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60o.. An chỵ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phâi vuơng gĩc với đáy và song song với nhau.. Tính Bán kín

ĐỀ 1

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Có bao nhiêu giá trð nguyên dương của m để hàm số

y

x

3



 đồng biến trên khoâng 1;?

Câu 2 Cho số phức z thóa mãn z    z z z 2i i z   z   z z 2 4

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức đò trong hệ trục tọa độ Oxy là một đường

thẳng Điểm nào sau đåy thuộc đường thẳng đò?

Câu 3 Tính tích phân

x

x

1000 2

2 1

ln 1





A I ln 210001000 1000 ln 21000

  B I 1000 ln 21000 ln 210011000

 

C I ln 210001000 1000 ln 21000

  D I 1000 ln 21000 ln 210011000

Câu 4 Cho hàm số y x3 mx2 x m 2

3

1 3

     Có tçt câ bao nhiêu giá trð nguyên của m để đồ thð hàm số cắt trục Ox täi 3 điểm phân biệt có hoành

độ x x x1; ; sao cho x2 3 2 x 2 x 2

1  2  3 27?

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu 5 Cho tứ diện ABCD vuông ở D Gọi   , , læn lượt là góc

giữa đường cao DH với các cänhDA DB DC, , Tìm giá trð nhó nhçt của biểu

thức: P cos 2cos cos 2cos cos 2cos

A 3 2 B 8 2 C 2 3 D 6 3.

Câu 6 Cho hình chòp đều S ABC có cänh đáy bằng a, góc giữa

đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60o Gọi A B C', ', ' tương ứng là

các điểm đối xứng của A B C, , qua S Thể tích của khối bát diện có các mặt

ABC A B C A BC B CA C AB AB C CA B, ' ' ', ' , ' , ' , ' ', ' ' là

A a3 3

2 B 2a3 3

3 C a2 3 3 D 4a3 3

3

Câu 7 Cho hàm số y x4 2x C2  và 2 điểm A   0;2 ,B 1;2 Điểm M

thuộc đồ thð  C Diện tích tam giác ABM là S  T với T là đa thức với hệ

số có số mũ cao nhçt dương Giá trð nhó nhçt của T là

A 1

2

Câu 8 Cho số phức thĩa mãn điều kiện z z

z

1

1

   Khi đị z 1

bằng bao nhiêu ?

A 5. B 3. C 1. D. 2.

Câu 9 Giâ sử lưu lượng xe máy qua một độn đường hỉm là:

81 2

24 log 2

/

80 324



(với v là vận tốc trung bình của xe máy khi qua đoạn đường , đơn vị v là

km/giờ) Để lượng xe máy qua độn đường hỉm này lớn nhçt thì vận tốc

trung bình của xe máy là

A 18km h/ B 25km h/ C 30km h/

D 36km h/

Câu 10 Trong các nghiệm  x y; thĩa mãn bçt phương trình

log  2  1 Giá trð lớn nhçt của biểu thức 2x y bằng

A 9

8

Câu 11 Cho D là miền phẳng giới hän bởi các đường :y f x

x2

1 ( ) 1

 ;

x

2

( )

2

  Thể tích khối trđn xoay thu được täo thành khi quay D quanh

trục Ox   được viết dưới däng V m2 n;m n,    thì tích giá trð m n là

A 1

10 B 3

4

Câu 12 Cho số phức z thĩa mãn: z 2i1z  10 và cĩ phỉn

thực bằng 2 lỉn phỉn âo của nĩ Mơđun của z là

A z 5

2

 B z 3

2

 C z  5 D z  3

Câu 13 Một chiếc bánh cĩ hình trụ

đứng, đáy là hình trđn đường kính 12cm,

chiều cao 2cm Bän An phâi cắt chiếc

bánh thành 3 phỉn bằng nhau, cách cắt

phâi tuân thủ quy tắc An chỵ được cắt

đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phâi vuơng gĩc với đáy và song song với nhau Như vậy, theo cách cắt thì sẽ cĩ hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3 miếng cĩ cùng chung thể tích Hĩi không cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gỉn nhçt với giá trð bao nhiêu ?

A 3cm B 3,2cm C 3,4cm D 3,5cm Câu 14 Cho f x dx 

9 0

729



3 0

 

 Tính I f x dx

2 0

3

  ?

Câu 15 Tính Bán kính mặt cæu nội tiếp hình bát diện đều có

cänh bằng a

A 6.

6

a

3

a

3

a

4

a

3

3

       Giá trð nguyên lớn nhçt của m để hàm số đã cho nghðch biến trên 0;3  là

A -1 B -2 C 1 D Không tồn täi Câu 17 Biết rằng phương trình ax3 bx2 cx d 0 a  0 có

đúng 2 nghiệm thực phân biệt Hói đồ thð hàm số y  ax3 bx2 cx d có bao nhiêu điểm cực trð ?

Câu 18 Cho hàm số y  f x ax3 bx2 cx d

đồ thð  C đi qua gốc tọa độ và đồ thð hàm

số y  f x  cho bởi hình vẽ bên Phæn

nguyên giá trð diện tích hình phẳng giới

hän bởi đồ thð  C và trục hoành là

A.6. B.4

C 3. D.2

x

y

2

O

Câu 19 Cho hàm số f x( ) 1 x 1 x

3 2 3 2

  Trong các khẳng đðnh

sau khẳng đðnh nào đúng?

1 f x'( )0 với mọi x

2 f(1) f(2)   f(2017) 2017

3 f x2 1 x 1 x

( )

3 4 3 4

A Khẳng đðnh 1 B Khẳng đðnh 2

C Khẳng đðnh 3 D Không có

Câu 20 Cho phương trình z2 kz  1 0 với k  2,2 tập hợp các

điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm của phương trình trên khi

k thay đổi là

A đường trñn tåm I 2;2 bán kính bằng 1

B đường trñn tâm I 2;2 bán kính bằng 2

C đường trñn đơn vð tåm O 0;0 bán kính bằng 1  

D đường trñn đơn vð tåm O 0;0 bán kính bằng 2  

6 3

6 3



Câu 21 Cho các hàm số y f x  y g x  y f x   

g x

   Nếu các hệ số

gĩc của các tiếp tuyến của các đồ thð các hàm số đã cho täi điểm cị hồnh độ

x  0 bằng nhau và khác 0 thì

A f  0 1

4

 B f  0 1

4

 C f  0 1

4

 D f 0 1

4



Câu 22 Nếu số phức z thĩa mãn z 1thì phỉn thực của

z

1

1 bằng

A 1

2

 C 2. D 2

Câu 23 Cho hình nịn trđn xoay cị đỵnh là S , O là tâm của đường trđn đáy,

đường sinh bằng a 2 và gĩc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 0

60 Gọi

3

SI

OI  Khi đị,

diện tích của thiết diện qua I và vuơng gĩc với trục của hình nĩn là

A a2 2

18

9

18

a

36

a



Câu 24 Biết rằng cĩ một mặt cỉu bán kính R tiếp xúc với các cänh của hình

chĩp S.ABC và tâm I của mặt cỉu nằm trên đường cao SH của hình chịp đị Cho IS R 3 , tính chiều cao của hình chĩp S.ABC?

A 4 3

3 B 3 C 3 1

2

 D 3 7

9



Câu 25 Cho số phức z thô mãn :z z i

i

6 7





  Tìm phỉn thực của số phức z2017?

A 21008 B 21008 C 2504 D 22017

Câu 26 Số tiệm cận của đồ thð hàm số: y x

x2

1 1





 là

Câu 27 Hình chĩp S ABCD cị đáy ABCD là hình vuơng cänh a

và SA a SA ABCD Kẻ AH vuơng gĩc với SB và AK vuơng gĩc với SD

Mặt phẳng AHKcắt SC täi E Tính thể tích khối cỉu ngội tiếp khối

A a3 2

3

3

3

6



Câu 28 Cho hàm số y  f x  cĩ

đồ thð như hình vẽ bên Xác đðnh tçt câ

các giá trð của tham số m để phương

trình f x  m cĩ 6 nghiệm thực

phân biệt ?

A 0m 4. B 0m3. C 3m 4. D m 4

Câu 29 Theo kết quâ của một trung tâm nghiện cứu về mức độ sa

mäc hĩa của hoang mäc Sahara cho biết mức độ sa mäc hĩa của hoang mäc là một hàm phụ thuộc theo nhiệt độ mơi trường: S t2  t 2  e1    2 3t Giâ sử nhiệt độ mơi trường dao động từ 00C đến 500C Hĩi nhiệt độ nào khiến mức độ

sa mäc hĩa lớn nhçt ?

A 0 0 B 1 0 C 2 0 D 3 0

Câu 30 Cho hình chĩp S ABC cị đáy ABC là tam giác vuơng cân

täi B AB BC a 3  , gĩc SAB SCB 900 và không cách từ A đến mặt phẳng SBCbằng a 2 Diện tích mặt cỉu ngội tiếp hình chĩp S ABC là

A 6a2 B 8a2 C 12a2 D 16a2

Câu 31 Cho hàm số y ax 3 bx2 cx d a 0 cị đồ thð như hình

vẽ bên dưới:

Khẳng đðnh nào sau đåy về dçu của a b c d, , , là đúng nhçt ?

A a d, 0. B a  0, c  0 b.

C a b c d, , , 0. D a d, 0, c0

Câu 32 Cho tứ diện S ABC trên độn SA SB SC, , lỉn lượt lçy các

điểm M N P, , sao cho SM 5MA,SN 2NB và SP kPC Kí hiệu V là thể T

tích của khối đa diện T Biết rằng V SMNP 1V SABC

2

 Tìm k ?

A k 1

2

 B k 9 C k 5 D k  4 Câu 33 Phương trình 1 log 9x  3 log9x log3x 1 cĩ bao nhiêu

nghiệm nguyên?

Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm

  S : x 1 2  y 1 2  z12 1 Điểm M a b c ; ;  là điểm thuộc mặt cæu  S

sao cho biểu thức T  3MA2 2MB2 MC2 đät giá trð nhó nhçt Tính tổng

C.a b c 12

5

5

  

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

a2 b2 c2 3 Khoâng cách d từ O đến mặt phẳng ABC lớn nhçt là

A 1 B 1

LỜI GIẢI ĐỀ 1 :

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

y

'

Hàm số y liên tục trên 1; nên nếu y đồng biến trên 1; thì

y'   0, x 1; m2 x2 6x  9, x 1; *

Xét hàm số f x  x2 6x 9 liên tục trên  1; , có

f x' 2x    3 0, x 1; nên f x    f 1 , x 1;  ;f x 16  x 1

Do đò  * m2 16m1;2;3;4(do m nguyên dương)

Thử läi nếu m1;2;3;4 thì y'   0 x 1; nên y đồng biến trên 1;

Vậy cò 4 giá trð của m thóa mãn Chọn A

Câu 2 z    z z z 2i i z   z   z z 2  4 2x  2x 2i2y  2yi 2 4

 

2 2

Xét hàm f t   t t2 1   t

f t

t2

1

  f t luôn đồng biến trên

   , do vậy pương trình đường thẳng cæn tìm là: x y 0  trong các điểm chî cò Q 1; 1   thóa mãn Chọn D

Câu 3 Ta có

x

1000

1000 1000 2 1000

2

1



1000

x

1



Câu 4 Phương trình hoành độ giao điểm:

0

3     3

0

             

        

x

1

0(*)

 



     



Để m thóa mãn điều kiện đề bài thì phương trình (*) cò 2 nghiệm phån biệt x x1, 2

đều khác 1 và x2 x 2

1  2 26

Áp dụng Vi-et ta có x1 x2  3m 1;x x1 2  3m 2

m m

2

2

0









         







m

2 2

0 2

3

 





    





 

m

m

0

9





 

Câu 5

D

A

C

B H

Ta có x y z ta có x DH y DH z DH

cos , cos , cos , : , ,

Trong tứ diện ABCD vuông ở D ta cò hệ thức

x2 y2 z2 1 trong đò 0 x y z, , 1 do đò các gòc ,, đều nhọn

Ta có:    y z x z x y

    

        

2

1 3

2

1

2 2 2 6 18

3

Mặt khác, theo BĐT Cauchy thì :0    x y z 3x2 y2 z2  3

Do vậy P 18 6 3

3

  Đẳng thức xây ra   x y z DA DB DC

tứ diện ABCD vuông cån ở D Chọn D

Câu 6 Gọi O là tâm của đáy, và do chòp S.ABC đều suy ra SO ABC

Dễ dàng tính được  thông qua gòc giữa    

Thể tích khối bát diện là: S ABC SO ABC a3

.

AM  m m; 4 2m2 2;0 BM m1;m4 2m2 2;0

ABM

m m

BM

m

        2 2

,

  1   







m m4 m2 m m4 m2

1

2

2



Xét hàm số T  f m  m4 2m2 2,

 

x

1

 



   

      Chọn B

Câu 8 Đặt z  x yi

Ta có:

x

x

1

1

1

2





  



Khi đò z x 2 y2 9 3

Câu 9

Xét hàm số   v

L v

81 2

24 log 2

80 324



 

L v

2

2 2

324 1944.log 2

 

 

L v

2

2 2

324

 

 

v

v

2

18

18

 

 

 Hàm số L v đät giá trð lớn   nhçt täi v 18 L 18 5, 04  x e gi/ â y

Vậy v 18km h/ Chọn A

Câu 10 TH1 x2 2y2 1 , bçt phương trình tương đương

2   2 1 Không tồn täi max

TH2 x2 2y2 1, bçt phương trình tương đương x2 2y2 2x y Ta có:

2

2

Câu 11 Xét phương trình x x

x x

2 2

1 1

1 2

1

 

    

Như vậy, thể tích cæn tìm sẽ được tính theo công thức: V f x g x dx

1

1





2

2



x

1

10



  với

x

1

2 2 1

1 1









Tính I: Đặt x tan ,t t ;

2 2

 

 

t

2 2

1

(1 tan ) cos

Ta cò thể viết I läi dưới däng:

t

t

2

2 2

2

cos (1 cos 2 )

2

1 tan





2

        m n 1

10

Câu 12 Đặt z  x yi với x y,  Ta có: z x yi 

    Do x  y 2y2 18y2 5 y y x

1

1

2





   

    



2

  hoặcz 1 1i

2

2

Câu 13 Thực chçt bài toàn là chia hình tròn thành 3 phæn bằng nhau như

hình vẽ:

Vì các miếng bánh cò cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phâi bằng nhau và bằng 1

3 diện tích chiếc bánh ban đæu

Trong hình vẽ thì ta cò OA=OB=6 và S S S OA

2

12 3

Đặt AOB=α(0, ) thì ta có: S1 SOAB S OAB

OA OAOB

2





Khoâng cách 2 nhát dao là: x OA.cos 2 3,179185015

2



Câu 14 Đặt t x f t dt  f x dx 

       Đặt x z f  z dz I

2 0

Câu 15

Gọi H là trung điểm BCvà O là tâm hình

vuông ABCD Dựng OKEHOKSBC

Dễ chứng minh tương tự với các mặt khác thì

khoâng cách từ O đến các mặt của bát diện

đều bằng nhau và bằng OKO là tâm và

r OK là bán kính mặt cæu nội tiếp bát diện

đều

Xét

6

a

O

K H

F

E

B A

a

a

Câu 16 Ta có y' x2 2m 2x 2m 3 Để hàm số nghðch biến đã cho nghðch biến trên  0;3 thì phương trình y ' 0 phâi có 2 nghiệm phân biệt

thóa mãn x1   0 3 x2 Suy ra x x xx 

1 2

0

0





  



Áp dụng vi-et giâi ta

được m 3

2



Câu 17 Gọi x1là nghiệm đơn, x2là nghiệm kép của phương trình

ax3 bx2 cx d 0 a  0 Khi đò,

       y2 a x2 x  2 x x 4

      

2

3 2

y

2

1

3 2

 Vì khi qua các điểm

1 2

2 , ,

3



y’ đổi dçu nên đồ thð hàm số cò 3 điểm cực trðChọn A

Cách khác: Xem ax3 bx2 cx d  0 a  0

là phương trình hoành độ giao điểm giữa  C

và Ox

Do phương trình cò 2 nghiệm thực phân biệt

nên  C cắt Ox täi 2 điểm phân biệt (trong đò

có tiếp xúc täi 1 điểm) Giâ sử hệ số a  0 Däng

đồ thð như như hình vẽ Từ đò ta suy ra hàm

y  ax3 bx2 cx d cò 3 điểm cực trð

Câu 18 Ta có f x  3ax2 2bx c Đồ thð hàm y  f x  là hàm chẵn

  Mà

 

 

2

6

3

    

         

  

  



Do đồ thð  C đi qua gốc tọa độ nên C  0 C :y   x3 2x

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và trục hoành:

x

x

2 0

2

 



 

Diện tích hình phẳng cæn tìm là: S x xdx

2 3 2



Câu 19 Ta có  

f'





Dễ thçy f' 0  ln2 ln2 0

16 16

(1) sai

Đặt t x x

t

1

2 2

   và t 0 Ta xét hàm số   t

g t

1

  trên 0;

Ta có    

t

2

8 '

3

1

0

1





 Lập bâng biến thiên ta có

g t g 1  1, t 0;

Vậy f x  1, x f(1) f(2) f(2017) 2017 20

Dễ dàng kiểm tra (3) sai vì x2 x

Câu 20 Phương trình cò các nghiệm:z k k i

2 1

2

  

2 2

2

  



Phæn thực: x k

2

  Phæn âo: y k

2

4 2



  (  2 k 2) Điểm M x y , thóa x y k k

1



 M thuộc đường trñn đơn vð x2 y2 1 tâm O 0;0 bán kính   R 1

Câu 21 Theo giâ thiết ta có:

    f        g  g f        

g

2 2

2

0

Câu 22 Gọi z  x yi x y, , R

Do đò  

1

Re

Câu 23 Gọi A là một điểm thuộc đường trñn đáy hình

nón Thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình

nón là một hình trñn cò bán kính như hình vẽ Gọi diện

tích này là S Theo giâ thiết ta cò đường sinh td

0

60

SAO Trong tam giác vuông SAO có

a

cos 60

2



2 2

td

Câu 24

Vì SH (ABC) và I SH nên H cách đều các cänh AB, BC, CA hay H là tåm đường trđn nội tiếp tam giác ABC Mặc khác, vì I cách đều SA, SB, SC nên ta cĩ ASH BSH CSH kéo theo SHA, SHB, SHC là các tam giác vuơng

bằng nhau Vì vậy ta cị HA HB HC tức là H cũng đồng thời là tåm đường trđn ngội tiếp tam giác ABC Điều này cho thçy ABC là tam giác đều

Đặt x HI Gọi K là trung điểm của AC ta cĩ HK AC và IH AC nên

AC (SHI) suy ra AC IK Nĩi cách khác IK là bán kính Ta

cĩ HK  IK2 IH2 HK  1x2 (1)

Kẻ IM SA täi M, ta cĩ AH IM AH x

3 (2) 2



Tam giác AHK vuơng täi K với A 30  cho HK

AH

1 2

 , theo đị lçy (1) chia cho

(2) theo vế: thu được x x

x

2

2

   

4 3 3

  

Câu 25 Gọi số phức z  a bi a b( ,  )  z a bi thay vào (1) ta cĩ

a bi

i

6 7

 

  a bi (a bi)(1 3 )i 6 7i

10 10 3 ( 3 ) 12 14

9 3 (11 3 ) 12 14

Câu 26 Ta cĩ:

2 1 1

1 lim lim

1









x x

x y

x

nên x 1 là tiệm cận đứng của đồ thð hàm số

x

y

x

2 2

1

1





   nên x  1 khơng là tiệm cận đứng của đồ thð hàm số

Ta cĩ:

2

2

1 1

1

x

y

x

x

x



x

1 1 1





x

y

x

2

2

1



x

1 1 1





Như vậy y1 và y 1 là hai tiệm cận ngang của đồ thð hàm số

Vậy đáp án là cị 3 tiệm cận Chọn C

Câu 27

Ta cị thể nhận thçy được B, D nhìn AC dưới một gịc 900

Dễ tính được 5; KD 2 3

5 5

AK

1 5

Ta cĩ SC SD2 CD2 tam giác SCD vuơng täi D Khi đị tam giác KDC vuơng täi D: KC CD2 KD2 a 6

5

Ta cĩ AK2KC2 AC2 Vậy AKC 0

90

 Chứng minh tương tự thì

AHC 900 Vậy AC chính là đường kính mặt cỉu ngội tiếp khối ABCDEHK

Mà AC a 2 OA a

2

Câu 28

Phỉn đồ thi của hàm y  f x  chính là giữ läi phỉn đồ thð

   

Vậy 3m4 thĩa yêu cỉu bài tốn  Chọn C

Câu 29 Giâ sử f t   S  t 2  t 2  e1    2 3t