Tổng hợp các câu hỏi vận dụng cao môn toán

Đây là đề tổng hợp toàn bộ chương trình 12, và kèm theo là nhưng câu hỏi vận dụng cao nhằm mục đích giúp các bạn và thầy cô ôn tập kiến thức toán học 12 để phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia các nămChúc các bạn học tập tốt

Bản tổng hợp này gồm nững câu hỏi Tự biên soạn và sưu tầm từ

các thầy cô trên mạng, các đề thi thử cửa các trường Lời giải

trong này được giải lại hoàn toàn bởi chính người viết

Do đây là là bản demo nên có thể có sai soát mong các bạn bỏ qua

Câu 43 : Cho 2 phương trình 2

3810

x x x d b

8

.2

02

x x a

x x b

Câu 47 : Cho phương trình m2 sin x2m1 cos x 1 2 với m là tham số thực Tống các giá trị

m thỏa mãn phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 1 2

 

Từ đó ta có phương trình sau :

sin sin xcos cos xcos cosxcos     x   2k k 

Nếu x x thuộc cùng 1 họ nghiệm thì 1, 2 1 2 2 '

m m

f  C   3

15

f   D   5

13

Tương tự tiếp tuyến  C2 tại x0   1 y 6x 1 f f  1 6x 1 f f 1  f  3 7

 Tiếp tuyến  C3 tại x0   1 y 4 ' 3f  x 1 f  3  y 12x5

Nếu m   3 0 m0 để y' 0 Không thoả yêu cầu bài toán

Để thoả yêu cầu bài toán ta cần

23

2 02

23

; 22

Biện luận số nghiệm số nghiệm f x m ( dùng bảng biến thiên )

Phương trình có 1 nghiệm khi 3

1

m m





  

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 1  m 3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 1

3

m m

2 3

Áp dụng : Dựa vào bảng biến thiên và nhận xét trên ta có :

Để phương trình  2 có 3 nghiệm khác x  và x 2 và thuộc đoạn ; 2   0

Câu : Tống giá trị m nguyên thuộc 2; 2 để phương trình 3 3

sin xcos xm có đúng 3 nghiệm trong

 0;

Giải :

sin xcos x m sinxcosx 3sin cosx x sinxcosx m

Đặt sin cos 2 sin 1; 2

4

t x x x  t  

  với x 0; Phương trình trở thành : 3

 

f t

2

2 2

t   và x 0;

Với t 2 hoặc t  1;1 Phương trình có 1 nghiệm

Với t1; 2 Phương trình có 2 nghiệm

 Để phương trình có 3 nghiệm x 0;  f t 2m có 2 nghiệm t t1, 2với t1  1;1 và t2 1; 2

Từ bản biến thiên và nhận xét trên 2 2 2 1

C yx  x  x thỏa d tiếp xúc với  C tại 2 điểm

phân biệt Vậy d đi qua điểm nào sau đây :

d y x Với giá trị m thuộc

khoảng nào sau đây thì d tiếp xúc với  C m tại 2 điểm phân biệt

*  xx A xx B 0

1

4

x x

m m

171

C yax bx c a Biết  C có 3 điểm cực trị , điểm cực tiểu của  C có toạ

độ là  0;3 và tiếp tuyến của  C với Ox có phương trình y 8 3x24 Tính S  a b c

Câu : Cho hàm số 3 2  

yx ax bx c C Biết  C cắt Oy tại điểm A, C có đúng 2 điểm chung với

Oxlà M N và tiếp tuyến tại điểm , B đi qua A Tính S  a b c biết SABC 1

Do SABC 1 A Ox C Ox có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn

Nếu tại M là nghiệm kép  Tiếp tuyến sẽ là Ox   A O A Ox Vô lí

Vậy tại N sẽ là nghiệm đơn 3 2   2

Biết rằng a b c, , là giá trị thực để hàm số liên tục

tại x0 1 Giá trị của c thuộc khoảng nào sau đây :

g x  x ax  x b

Ta có x 1 là nghiệm kép của phương trình '  0    1 0 1

3' 1 0

g x

b g

31

2 6

, 11

x x

x b c

x x

x x

Vậy để f x  liên tục tại x1  

Câu : Cho hàm số y x 1

x

  có đồ thị  C Gọi giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến song

song của  C là A( nếu có ) Giá trị của A gần với số nào sau đây

x

x x x

Dấu "  " xảy ra khi 1

4

12

x   -

 Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của  C Tiếp tuyến bất kì

của đồ thị hàm số  C cắt 2 đường tiệm cận của  C tại 2 điểm A B, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp

M M M

Ta có I1; 2 là giao điểm 2 tiệm cận

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M là  

 2 

1:

11

M M

M M

x

x x

m

m m

 Nếu y'0 với  ;1 2;    m  1;1   * đồng biến hoặc nghịch biến trên

Với x 2 y'0 với   m  1;1miny y 2 2m2 với   m  1;1

Với x 1 y'0 với   m  1;1minyy 1  m 1 với   m  1;1

  với  x  1; 2  Không tôn tại giá trị nhỏ nhất

Vậy giá trị nhỏ nhất của y đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m3

f x  m  m x m x   x m , dễ thấy f là hàm sơ cấp và xác định trên nên f cũng liên

tục trên Do đó f liên tục trên  0;1

       Tồn tại a b,  để f a f b      0 f x 0 có nghiệm trên

 là hàm đồng biến trên  f x 0có tối đa 1 nghiệm

Vậy f x 0 có duy nhất 1 nghiệm trên

f  m f  m  m

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất trên  0;1 thì f    0 f 1 0

Câu : Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số

2

23

mx y

m f

Câu : Cho hàm số 3 2  

yx  x  x C Gọi A B A,  B là 2 điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến tại

đó có hệ số góc là k Biết AB6 , tổng các giá trị k thoả yêu cầu bài toán là :

  là trung điểm của đoạn thẳng AB

Vậy đường thẳng AB đi qua điểm cố định I1; 1  Gọi k1 là hệ số góc của AB

 1

Chọn ngẫu nhiên 5 bạn từ 21 bạn mà không tính thứ tự ta có C215 cách

Ta giải bài này bằng phương pháp phần bù, nghĩa là ta tìm số cách chọn mà không có cặp nào trong 5 bạn là

C S 201720172 D

2017

2017 12

Nếu a b c không xảy ra thì phương trình x a x b x c  0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt y cắt

Ox ít nhất tại 2 điểm ykhông đồng biến trên

a   b c y x a thoả yêu cầu bài toán

Câu : Cho các số x y, thoả log 2 2 2 24 2 2 1

x  y y x y  và 2 2 1

02

x y     x y m với m là 1 số thực bất kì sao chỉ tồn tại duy nhất 1 cặp  x y thoả mãn điều kiện trên Gọi tổng số phần tử ; m thoả mãn là S Giá trị của S là :

A S 0 B S  1 C S 2 D S 4

Giải : Điều kiện : 2x  y 1 0

Do chia thành 3 đội nên không tính thứ tự các đội

Trường hợp 1 : Đội của A và B chỉ có 2 nữ, trong đó có A

+ Chọn ngẫu nhiên 1 nữ vào đội của A và B có : C cách 31

+ Chọn ngẫu nhiên 1 nam vào đội của A và B có : C cách 71

+ Chọn tiếp ngẫu nhiên 3 nam cho đội tiếp theo : C cách 63

+ 3 bạn nam còn lại vào nhóm cuối cùng có : 1 cách

+ 2 bạn nữ mỗi bạn vào 1 nhóm có 1 cách, do các nhóm không tính thứ tự

Vậy ở trường hợp 1 có : C C C31 17 63.1 cách

Trường hợp 2 : Đội của A và B chỉ 1 nữ đó là A

+ Chọn ngẫu nhiên 2 nam vào đội của A và B có : C cách 72

+ Chọn ngẫu nhiên 2 nữ vào đội tiếp theo có : C cách 32

+ Chọn tiếp ngẫu nhiên 2 nam cho đội đó có : C cách 53

+ Các thành viên còn lại vào đội cuối cùng  Có 1 cách

Trong không gian Oxyz, xét điểm M a b c O , ,  , 0;0;0 , A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1

Với a b c, ,  0;1 thì điểm M sẽ chạy tung tăng trong hình lập phương cạnh bằng 1 có thể tích là V

Vì a b c  1 nên M chạy trong phần không gian chứa đỉnh O và bờ mặt phẳng x   y z 1 0

Câu : Cho a b c, , là 3 số thực thỏa a b c, ,  0;1 Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 3 số a b c, , sao cho

Trong không gian Oxyz, xét điểm M a b c O , ,  , 0;0;0 , A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1

Với a b c, ,  0;1 thì điểm M sẽ chạy tung tăng trong hình lập phương cạnh bằng 1 có thể tích là V

16

O

V V

P (nếu có) Đáp án nào sau đây là đúng :

Trong mặt phẳng phức Oxy gọi , , A B C lần lượt là điểm

biểu diễn của số phức w z z , ,1 2

  Vậy z thuộc đường thẳng có véctơ chỉ 2

phương là 1; 7  và đi qua điểm D nhưng không lấy

    Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng    1 , 2

Gọi A A lần lượt là điểm đối xứng của A qua 1, 2     1

Trong mặt phẳng phức gọi A B lần lượt là điểm biểu diễn số ,

Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là  1;1 và đi

qua điểm Y4; 2  nhưng w 4 2i

 2 : 6 0

      loại đi điểm Y4; 2 

Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u

Ta có E2;1 , F 1; 2  2u  2 i 3u 1 2i 6 22ME3MF6 2

Mà 2ME2MF2EF 6 2 Vậy dấu " " xảy ra khi và chỉ khi MF 0 M1; 2 

P MA MB MC MD

     với AB2CD6 2 Ta cần tìm Pmin

Gọi E F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành , MCDE MBAF ,

Gọi E là điểm đối xứng của E qua '  2 , F là điểm đối xứng của F qua '  1

''

Câu : Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 5, chiều cao bằng 5 Điểm M thay đổi ' ' 'trên đoạn AB sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với AB cắt đoạn ' BC tại N Xác định tỉ số '

Gọi   là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB

Gọi P Q N, , lần lượt là giao điểm của   và BC AB BC, , '

Câu : Cho một hình nón tròn xoay có tỉ lệ giữa bán kính đáy và chiều cao là 3 : 4 nội tiếp một hình chóp cho trước, đỉnh của hình chóp và hình nón trùng nhau Gọi V V1; 2 lần lượt là thể tích của khối chóp và khối nón đó Giả sử tồn tại một khối cầu có thể tích là V3 sao cho hình chóp đã cho ngoại tiếp khối cầu này Khi

đó V V V1: 2: 3 là bao nhiêu , biết rằng diện tích toàn phần của hình chóp là 3 h 2 (h là chiều cao của hình nón tròn xoay )

A 12 : 8 : 3 B 12 : 8 : 5 C.16 : 8 : 3 D 16 : 8 : 5

Giải :

Gọi S là đỉnh hình nón thì S cũng là đỉnh của hình chóp

Hình nón có R non 3 ,a h4a đường sinh l5 (a Pytago)

Trong mặt phẳng đáy của hình nón, gọi  P là đa giác ngoại tiếp đường tròn đáy, và  P có nửa chu vi là

V  hR  a  V

Gọi  S là mặt cầu nội tiếp hình nón có tâm I, bán kính R S  S cũng nội tiếp hình chóp

Vẽ đường kính AB của đường tròn đáy hình nón thì SAB   S là 1 đường tròn  C có tâm là tâm đường

tròn nội tiếp SABI và có R C R S R noitiep SAB

Ta có: SAB SAB.  C 12 .  C 32

a

S  p R  h ABR  (với p SAB là nửa chu vi SAB )

Vậy thể tính của khối cầu là:  

3 3

Mà ABAD ABD cân tại A  ABD đều

Gọi M là trung điểm cạnh AB SM AB AB SMD

      

0 0

32

Câu 124: Cho hình chóp S ABC có: SA6,SB2,SC4,SBC90 ,0 ASC120 ,0 AB2 10 Gọi

là mặt phẳng qua B , trung điểm N của SC, vuông góc với mặt phẳng SAC và cắt  SA tại M Tính tỉ số

Trong HKC gọi I là hình chiếu của K trên HCKI SAC  BKI  SAC

Mà BNBKI    P  BKI

Trong SAC gọi  M INSA Ta sẽ tính tỉ số SM

SA để suy ra được tỉ số thể tích đề bài yêu cầu!!!

HCK

 vuông tại KHK  HC2KC2 2 2 với KCSB2,HC2 3

Đồng thời KI là đường cao của tam giác vuông

2

2

IH KH HCK

IC KC

 

   

  Gọi JSA sao cho

Giải:

ABAC ABC cân tại A

Gọi M là trung điểm của BCAM BCSBC  ABC

Mà SBC  ABC nên AM SBC

SAAB ASB cân tại A

Gọi N là trung điểm của SBANSB

a

S  R  

-

Câu : Khối chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SASBSCa Khi thể tích của khối chóp

 là bao nhiêu?

Giải:

Câu 56 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng ABC, đáy ABC thỏa mãn điều kiện:

Ta có AHB vuông tại H , AKC vuông tại K

Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB AC, M N, là tâm đường tròn

ngoại tiếp AHB,AKC

Ta còn có Mx Ny là đường trung trực của, AB AC,   I MxNy

Vậy I vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC vừa là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCHK

IA cũng vừa là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC vừa là bán kính tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCHK

Vậy để tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp A BCHK , ta cần xác định được bán kính R của đường

tròn ngoại tiếp ABC

Trong ABC, ta có: cos cos cos sin cos sin sin 

180 sin sin cot cot

sin sin 2 sin 2 sin

 S1 là mặt cầu ngoại tiếp của S ABCD S A B C D, , , ,    S1 1

 S2 là mặt cầu ngoại tiếp của S CDM S C D M, , ,    S2 2

Gọi , 'O O lần lượt là tâm của ABCD A B C D , ' ' ' '

Trong mặt phẳng ACC A' ', gọi ,I J lần lượt là giao điểm của A O O C với ' , ' AC'

Ta có:

21

' '/ /

1' 3

B D  ACC A CO B D CO CO là đường cao của CB D' '

Đồng thời CO' là đường trung tuyến của CB D' ' (O' là trung điểm B D' ') nên CB D' ' cân tại C

21' '

21' '