các bài tập vận dụng cao môn toán

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của t m bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x xem hìn

ĐỀ 5

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt phẳng ( )α qua M và song song với (ABCD ,)

cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại N P Q, , Gọi V1=V S ABCD. và

S MNPQ

V2 =V . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2. Cho các số phức z w, thỏa mãn z+ −2 2i = −z 4i , w iz 1= +

Giá trị nhỏ nhất của w là

A 2

3 2

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ

nhậtABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có điểm A trùng với gốc tọa độ,B a( ;0;0),

D a(0; ;0), (0;0; )A′ b với a( >0,b> 0) Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ Giả

sử a b 4+ = , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A BDM′ ?

A maxV A MBD 64

27

C maxV A MBD 64

27

64

′ =

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,, cho ba điểm

( )

A 0;2;0 ,

( )

B −1;1;4 và C 3; 2;1( − ) Mặt cầu( )S tâm I đi qua A B C, , và độ dài

OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa độ) Bán kính

mặt cầu ( )S là

Câu 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ Mặt phẳng (BDC’ chia)

khối

lập phương thành 2 phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là

A.1

1

1

1 10

Câu 6. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép

kỳ hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Câu 7. Cho số thực x thỏa log log2( 8x) =log log8( 2x) Tính giá trị

của P =(log2x)2?

A P 3

3

3

=

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng

( )2;3

thuộc tập nghiệm của bất phương trình (x2 ) (x2 x m)

log +1 >log +4 + −1

?

A m∈ − 12;13 B m∈ 12;13.

C m∈ − 13;12 D m∈ − 13; 12− 

Câu 9. Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông

như hình vẽ Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn ( i z) i

z

2 42

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2< <

Câu 11. Ba tia Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt OC =1 hai điểm A B , thay đổi trên Ox Oy, sao cho

OA OB OC+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện O ABC ?

A 6.

Câu 12. Một miếng bìa hình tròn có bán kính là 20 cm Trên biên của miếng bìa, ta xác định 8 điểm

A B C D E F G H, , , , , , , theo thứ tự chia đường

tròn thành 8 phần bằng nhau Cắt bỏ theo

các nét liền như hình vẽ để có được hình

chữ thập ABNCDPEFQGHM rồi gấp lại

theo các nét đứt MN NP PQ QM, , , tạo

thành một khối hộp không nắp Thể tích

của khối hộp thu được là

A.4000 2( 2 4 2 2)

2

3

2

 − 

C 4000 2( − 2 4 2 2) − D

3

4000 2 − 2

Câu 13. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A và AB =AC =SB =SC =a, (SBC) (⊥ ABC) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?

A a 2.

a.

2

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng

ABC A B C ' ' ' có A a( ;0;0 ,) (B a− ;0;0 ,) (C 0;1;0),B'(−a b;0; ) với a b, dương

thay đổi thỏa mãn a b 4+ = Khoảng cách lớn nhất giữa hai đường

thẳng B C ' và AC ' là

2

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ,

B a ( ;0;0), D a (0; ;0) , A′(0;0; )b a( >0,b> 0) Gọi M là trung điểm của cạnh

CC′ Giá trị của tỉ số a

b để hai mặt phẳng A BD( ′ ) và (MBD vuông góc)

với nhau là

A.1

1

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương

2

log +log − =3 log −3 có nghiệm thuộc 32;+∞) ?

A m∈(1; 3

. B.m∈ 1; 3)

C m∈ − 1; 3)

.

Câu 17. Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn ( )C đường kính

AB =2R Gọi M là một điểm di động trên đường tròn Kẻ MH vuông góc với AB tại H với AH =x (0< <x 2R) Dựng đường thẳng vuông góc với ( )P tại M Trên đường thẳng đó lấy điểm S sao cho MS MH=

Xác định giá trị lớn nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ?

A R 5

2

B R 3

2

R 2

Câu 18. Cho số phức z = + + + +1 i2 i4 i2n + + i2016,n∈¥ Môđun

của số phức z bằng

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( )S :x2+y2+z2−2x−2y+4z− =1 0 và mặt phẳng

( )P :x y+ −3z m+ − =1 0. Tìm tất cả m để ( )P cắt ( )S theo giao tuyến là

một đường tròn có bán kính lớn nhất?

Câu 20. Cho z z1, là hai số phức thỏa mãn z2 2 z i

1 −42 =16 20+ Gọi ,

α β là hai nghiệm của phương trình x2 z x z m

kiện α β− =2 7 , trong đó m là số phức Giá trị lớn nhất của m là

D 8

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm

( ) ( )

A 1;2; 1 ,− B 0;4;0 và mặt phẳng( )P có phương trình:

2 − −2 +2017 0= Phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất có phương trình là

A ( )Q : x y z 4 0+ − + = B ( )Q : x y z 4 0+ − − =

C ( )Q : x y2 + −3z− =4 0 D ( )Q : x y z2 − − − =4 0

Câu 22. Từ một miếng bìa hình

vuông có cạnh bằng 5, người ta

cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau

và gập lại phần còn lại của t m bìa

để được một khối chóp tứ giác đều

có cạnh đáy bằng x (xem hình vẽ

bên)

Câu 23. Trong chương trình

nông thôn mới, tại một xã X có

xây một cây cầu bằng bê tông

như hình vẽ Tính thể tích khối

bê tông để đổ đủ cây cầu

(Đường cong trong hình vẽ là

các đường Parabol)

Câu 24. Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng đi qua trọng

tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D , cắt AC tại E Mặt phẳng đi qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng

5m 2m 0,5m

A 2.

4

4

4 27

Câu 25. Tìm tất cả giá trị của m để đồ thị hàm số y mx mx

x

2 3 1 2

=

+

có ba tiệm cận?

2

< < B 0 m 1

2

< ≤ C m 0.≤ D m 1

2

≥ Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể đồ thị hàm số

y x= 4−2mx2−m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác đều?

0 3

 =



=

 . C.m= 33. D.m= ± 3.

Câu 27. Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của

một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a 0> ?

A a2 2

2

a2

3

a2

3

6 .

Câu 28. Một lần nhà ảo thuật gia Dynamo đến New York anh ngẫu hứng

trình diễn khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách

di truyển từ tòa nhà này đến toà nhà khác và trong quá trình anh di chuyển đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng cách của hai tòa nhà ( Biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng ) Biết

tòa nhà ban đầu Dynamo đứng có chiều cao là a m( ), tòa nhà sau đó

Dynamo đến có chiều cao là b m ( ) a b( < ) và khoảng cách giữa hai tòa

nhà là c m ( ) Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất một đoạn là x m( ) hỏi

x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynamo là bé nhất?

a b.

=

+ B.x= 2(a b ac ).

+ C.x= a b3ac+ . D.

ac x

= +

Câu 29. Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng 207,5 m Một học sinh nam muốn đo chiều cao của cái tháp đã làm như sau Tại thời điểm nào đó, cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo được bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5 m Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao của cái tháp dài bao nhiêu m?

A.h 103,75 51,875

π

π

C.h 103,75 25,94

π

Câu 30. Cho đồ thị hàm số y ax= 4+bx3+c đạt cực đại tại A 0;3 và ( )

cực tiểu B( )−1;5 Tính giá trị của P = +a 2b−4c?

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

( )

2

log − +2 log +3 − =1 0 có 2 nghiệm x x1, sao cho x x2 1 2 =27

A m 4

3

3

Câu 32. Cho mặt cầu S x( ) : 2+y2+z2−2x+4z+ =1 0 và đường thẳng

z m t

2

 = −



=



 = +



Tìm m để d cắt ( )S tại hai điểm phân biệt A B, sao cho

các mặt phẳng tiếp diện của ( )S tại A và tại B vuông góc với nhau.

A m= −1 hoặc m= −4. B m 0= hoặc m= −4

C m= −1 hoặc m 0.= D m 1= hoặc m= −4.

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có cạnh CD =2AB AB, =a BC, =h. Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ABCD quanh cạnh CD

bằng

A 16 ah2.

27π

Câu 34. Chị Hoa gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng

Sau mỗi tháng, chọ Hoa đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi Sau một số tròn tháng thì chị Hoa rút hết tiền cả gốc lẫn lãi Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chị Hoa không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi Vậy tháng cuối cùng chị Hoa sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?

Câu 35. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất

liền ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo Khoảng cách ngắn nhất từ

C đến đất liền là BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ

A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD.Hỏi điểm S phải cách A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất?

A.3,25km B km1 C km2 D.1,5km

ĐỀ 5

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 1.

Dễ thấy, N P Q, , lần lượt là trung điểm các

cạnh SB SC SD, ,

Ta có:

S MNPQ S MNP

S ABCD ABC

S MNPQ S MNP

S ABCD S ABC

.

2

2





N M

S

A

B

V1 8V2

và z 4i a− = + −(b 4 i)

Nên ta có ( ) (2 )2 2 ( )2

w iz 1= + = +a bi i 1 1 b ai+ = − + ⇒ w = a + −b 1 = a + −a 1

w

2

min

2

Câu 3. Ta có: C a a( ; ;0), ( ;0; ), (0; ; ), ( ; ; )B a b D′ ′ a b C a a b′ ⇒M a a ; ;b2÷

Suy ra: A B ( ;0; ),a b A D (0; ; ),a b AM a a; ; b

2

A MBD

A B A D, ( ; ; )ab ab a2 A B A D A M, . 3 2 V 2

⇒ uuuur uuuur = ⇒ uuuur uuuur uuuuur = ⇒ =

Do a b, >0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được:

a b 1a 1a b 31a b2 a b2 64

= + = + + ≥ ⇒ ≤ maxV A MBD 64

27

′

2 2 2 2 2 2 0

x +y + +z ax+ by+ cz d+ =

Vì 4 điểm , , ,O A B C thuộc mặt cầu ( )S nên ta có hệ:

( )

( )

( )

∈







 ∈



b d

+ + =



− + + + + =



 − + + + =



OI = 5⇔OI2 = ⇔5 a2+ + =b2 c2 5

Suy ra a= −1;b=0;c= −2;d = − ⇒ =4 R 3 ⇒Chọn B.

Câu 5.

Nhìn vào hình vẽ ta có thể thấy 2 phần của hình lập phương

ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ chia bởi mặt phẳng (BDC’) gồm hình chóp BCC D’ và phần còn lại Tỉ lệ cần tính sẽ là BCC D

ABCD A B C D BCC D

V T

'

' ' ' ' '

=

−

Hình chóp BCC’D có đáy là tam giác vuông cân DCC’, đỉnh B, đường cao BC V BCC D' 1.BC S DCC' 1.1.1.1.1 1

T

1

1 6

1

6

−

100

=  + ÷

Theo đề bài, ta có

n

1 100

 +  > ⇔ > ≈

( x) ( x) t ( )t

 

1 3

1 3

⇒ = ⇒t2=27

Câu 8.

x

2

2 2

2 2

1

 + > + +  > − − =

⇒  + + > ⇔  < − + =

Hệ trên thỏa mãn ∀ ∈x ( )2;3

x

x

m

m Min f x2 3 khi x

2 3

< <

< <



BH =487 118 369− = m⇒AH = AB2−BH2 =492m

Gọi M là nơi trên bờ sông để người A đi quảng đường ngắn nhất

Giả sử A M' = ⇒x B M' =492−x

Ta có

2







Tổng đoạn đường người đó đi được là x2+1182 + (492−x)2+4872

Áp dụng bất đẳng thức Mincopxky ta có

x2+1182 + 369−x 2+4872 ≥ x+369−x 2+ 118 487+ 2 =779,8

Câu 10.

( ) ( ) ( )

( )( )

z

2 42

Câu 11.

2 2

min

hình

vuông này chính là AB) và chiều cao AM Gọi O là tâm đường tròn Ta

có góc ở tâm AOB 2

π π

= =

Áp dụng định lý cosin vào tam giác AOB ta tính được AB 20 2= − 2.

Mặt khác, tam giác AMH vuông cân tại M, suy ra AM 10 2 2= − 2. Thể tích khối hộp là : V =AM AB 2 =4000 2( − 2 4 2 2) − ⇒Chọn C.

Câu 13.

Do đó kẻ SD ⊥BC ⇒SD ⊥(ABC) Khi đó SD chính là đường cao của hình chóp Nhận thấy do tam giác ABC vuông cân tại A do đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Khi đó đường thẳng qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC) chính là trục đường tròn của mặt phẳng đáy Suy ra SD chính là trục đường tròn của mặt phẳng đáy Hai tam giác SBC và ABC là hai tam giác vuông cân tại S và A Khi đó ta có:

2

2

= ⇒

Chọn B.

Câu 14. CC'uuuur uuuur=AA'⇒C(0;1;b).

a2 b2

4

+

2

uuur uuuur

Cách 1.

Ta có MB 0; ;a b

2

=  − − ÷

uuuur

; BDuuur = −( a a; ;0) và A Buuuur' =(a;0;−b)

Ta có u MB BD; ab ab; ; a2

2 2

r uuuur uuur

và BD A Buuur uuuur; '  = − ( a2;− −a2; a2)

Chọn vr = ( )1;1;1 là VTPT của (A BD' )

b

2

Cách 2.

BD ⇒ (·A BD' ) (; MBD) =(A X MX·' ; )

a a

2 2

  là trung điểm BD

a a

2 2

=  − ÷

uuuuur

, MX a; a; b

= − − − ÷

uuuur

(A BD' ) (⊥ MBD) ⇒A X' ⊥MX ⇒A X MXuuuuuruuuur' = 0

0

   

⇒ − ÷  ÷− + =

   

a

⇒ = ⇒Chọn D.

2

log −2log − =3 log −3

Đặt t =log2x với x≥ 32⇒log2x≥log 32 52 = hay t ≥5

Phương trình có dạng t2−2t− =3 m t( −3) ( ) *

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t≥5”

Với t ≥5 thì (*)⇔ (t−3 ) ( )t+1 =m t( −3) ⇔ t −3.( t+ −1 m t−3) = 0

t

t

1

3

+

−

Ta có t

+ = +

≥ ⇒ < + ≤ + =

< ≤ ⇒ < ≤

Vậy phương trình có nghiệm với 1<m≤ 3.⇒Chọn A.

Câu 17.

Vì nằm trên đường tròn đường kính AB

nên tam giác MAB vuông tại M, do vậy

áp dụng công thức tam diện vuông:

C

4

Vì MHmax =R do vậy:

c

R

2

Câu 18.

( )i

i

1008 2 2

2

1

1

−

−

giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì ( )P đi qua tâm I

của mặt cầu ( )S Do I ∈( )P nên 1 1 3 2+ − ( )− +m− = ⇔1 0 m= −7

Câu 20.

Theo vi-et:

z

1

2

4

α β

αβ

 + =

 = +

2 7

α β− = ⇒ +4 5i m− =7 Do đó tập hợp

điểm biểu diễn số phức m là đường tròn tâm

( )

I 4;5 bán kính R 7=

Đường thẳng OI cắt đường tròn tại 2 điểm A và B với O nằm giữa B và I

Ta có OI = 42+52 = 41 Giá trị lớn nhất của m khi M A≡ nên :

max

m =OA OI= +IA = +7 41⇒Chọn A

Câu 21. Nhận xét: 00 ≤(( ),( )P Q ) ≤900, nên góc (( ),( ) nhỏ nhất khiP Q )

( P Q )

cos ( ),( ) lớn nhất ( )Q : ax b y+ ( −4)+cz= 0;A∈( )Q ⇒ =a 2b c+

a2 b2 c2 a2 b2 c2

cos ( ),( )

3

− −

Nếu b= ⇒0 cos( ( ) ( )P , Q ) = ⇒0 ( ) ( )·P , Q ÷=900

0 cos ( ),( )

3

  +  +  +  +

Dấu bằng xảy ra khi b= −c a; = −c, nên phương trình ( )Q :x y z+ − − =4 0

Câu 22.

ABCD

( )⇒(·SM ABCD;( )) =SMA· =600

ABC

AM

0 3 3

Thể tích khối chóp I.ABCD là V I ABCD. 1.d I ABCD S( ;( ) ) ABCD

3

=

a

3

Câu 23.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi ( )P y ax2 c

1 : = + là Parabol đi qua hai điểm A 19;0 ,B( )0;2

2

( )

a

b b

2

2 1

8

361

2 2

 =  ÷ +  = −



Gọi ( )P y ax2 c

2 : = + là Parabol đi qua hai điểm C( )10;0 ,D 0;5

2

 

 ÷

 

2

2 2

19

2

=  − + ÷ − − + ÷  =

Câu 24.

Ta có: ADE

ABC

Mặt khác:

( )

( )

A ADE

A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB

V

V

' ' ' ' ' ' '

' ' '

E

A'

B'

C'

C B

A

y

Câu 25. Ta có x x x

m m

x

x

m m

x

x

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang thì m 0.>

Khi x= −2⇒ mx2+3mx+ =1 1 2− m

2

< ⇒ − > thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x= −2

2

2

=

(x ) (x )

Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi x→ −2−

y

Từ đó với m 1

2

= thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= −2

Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận 0 m 1

2

⇔ < ≤ ⇒Chọn B.

3

3 0

8 + = ( 2m)3

3 0 8

−

Cạnh góc vuông còn lại là: a x( − )2−x2 Diện tích tam giác

2

a2 ax

3

−

−

Bảng biến thiên:

Tam giác có diện tích lớn nhất bằng 3a2

18 khi cạnh góc vuông

a

3, cạnh huyền a

0 0

Câu 28. Gọi các điểm như hình vẽ ta có quãng đường mà Dynamo đi

là SA SB+ Trong đó SA = a2+x SB2, = b2+(c x− )2

Do đó quãng đường Dynamo phải di chuyển là

( )

S =SA SB+ = a2+x2 + b2+ c x− 2

S = f x = a2+x2 + b2+ c x− 2 (0< <x c)

( )

c x x

f x

c x x

2

a b

+

Lập bảng biến thiên của f x ta được khi ( ) x ac

a b

= + thì quãng đường bé

nhất ⇒Chọn A.

Theo giả thiết ta có 2πR 207,5 R 103,75 OA 207,5 103,75

Vì bóng của cậu học sinh gấp 2 lần chiều cao thật nên

OA 2h 207,5 103,75 2h h 103,75 51,875

⇒ = −

Hàm số đạt cực tiểu tại B(− −1; 5) ta có y' 1( )− = 0;y( )− = −1 5