các bài tập vận dụng cao môn toán

Người ta dựng các hình chữ nhật OABC trong góc phæn tư thứ nhçt của hệ tọa độ như hình vẽ, với A thuộc trục hoành, C thuộc trục tung, B thuộc đồ thị x y e.. Tìm diện tích lớn nhçt c

ĐỀ 4

ƠN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho x y, là số thực dương thơa mãn lnx lny  lnx2 y

Tìm giá trị nhơ nhçt của P  x y ?

Câu 2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm

A 1; 2;1 , B 0;2; 1 ,   C 2; 3;1    Điểm M thơa mãn T MA2 MB2 MC2 nhơ nhçt Tính giá trị của P x M2 2y M2 3z M2 ?

A P 101. B P 114. C P 134 D P 162

Câu 3 Tìm tçt câ giá trị của tham số m để hàm số y mx

1





 cĩ giá trị lớn nhçt trên độn 2;3  bằng 5

6

A m

m

3 3 5

 



 



B  

 



3 2 5

m m

C m 3. D m 3

5



Câu 4 Với ab 0 thơa mãn ab a b  1 thì giá trị nhơ nhçt của

P a4 b4 bằng

A  4

2 1 B  4

2 2 1 C  4

2 1 D  4

2 2 1

Câu 5 Cho hàm số f x  thơa mãnf x  12x2 6x 4 và f  0 1,

 

f 1  3 Tính f 1 ?

A f    1 5 B f   1 3 C f    1 3 D f   1 1

Câu 6 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O,

AB a , BAD 60 , SO ABCD và mặt phẳng SCD täo với mặt đáy một gĩc 60 Tính thể tích khối chĩp S ABCD ?

A V S ABCD a

3

.

3 24

3

.

3 8



C V S ABCD a

3

.

3 12

3

.

3 48

Câu 7 Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x x

x

3 2

và thơa mãn F 4  50 Tính giá trị của biểu thức F 2 ?

C 4 3 2

2

3



Câu 8 Trong khơng gian với hệ trục tộ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD

cĩ điểm A  1;1;1 ,B 2;0;2,C 1; 1;0 , D 0;3;4 Trên các cänh AB AC AD, , lỉn lượt lçy các điểm B C D', ', ' thơa : AB AC AD

AB'  AC'  AD' 4 Viết phương trình mặt phẳng B C D' ' ' biết tứ diện AB C D' ' ' cĩ thể tích nhơ nhçt ?

A.16x 40y44z 39 0 B.16x 40y 44z 39 0

C.16x 40y 44z 39 0 D.16x 40y 44z39 0

Câu 9 Cho hàm số F x( )ax3 bx2 cx 1 là một nguyên hàm của

hàm sốf x thơa mãn f (1)2, f(2) 3, (3)f 4 Hàm sốF x( )là

2

2

   

2

2

Câu 10 Trong khơng gian Oxyz cho 5 A1; 2;3 ;  B 1;0;2 ; C 1;5;0 ; 

D 0; 1;2 ; E 2016;2017;2018  Hơi từ 5 điểm này täo thành bao nhiêu mặt phẳng ?

Câu 11 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình

mặt cỉu tâm I 2;3; 1   sao cho mặt cỉu cắt đường thẳng  d cĩ phương trình:

 d y x t t

11 2

25 2

  







   



täi hai điểm A, B sao cho AB 16 là

A x 2 2  y3 2  z 12 280 B x 2 2  y 3 2  z12 289

C x 2 2  y3 2  z 12 17 D x 2 2  y 3 2  z12 289

t

2

( ) 3; ( ) 1; 3

4

0

2

Câu 13 Tìm tçt câ các giá trị thực của tham số m sao cho bçt

phương trình (1 2 )(3 x x) m2x2 5x 3 nghiệm đúng với mọi

x 1; 3

2

  

 ?

Câu 14 Cho hệ tọa độ Oxy và đồ thị

hàm số y ex Người ta dựng các hình chữ

nhật OABC trong góc phæn tư thứ nhçt của

hệ tọa độ như hình vẽ, với A thuộc trục

hoành, C thuộc trục tung, B thuộc đồ thị

x

y e Tìm diện tích lớn nhçt của hình chữ

nhật có thể vẽ được bằng cách trên?

A e1 12

2



e

e1

Câu 15 Biết rằng b dx

0

6 6

 và a xe dx x a

0



 Khi đó biểu thức a  b có giá trị bằng

Câu 16 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD;

M N, læn lượt là trung điểm của A B' ' và A D' ' Tî số thể tích của khối

A ABD' và khối OMND C B' ' ' bằng

A 4

7 C 5

7

Câu 17 Một bình đựng nước däng hình nón ( không có nắp đáy

đựng đæy nước Biết rằng chiều cao của bình gçp 3 læn bán kính đáy của nó Người ta thâ vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào ra ngoài là

16

( )

9

 Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và

khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R của bình nước?

A R  3(dm). B R 4(dm) C R 2(dm). D R 5(dm)

Câu 18 Cho hàm số y ax 3 bx2 cx d có đồ thị trong hình bên

Hôi phương trình ax3 bx2 cx d  1 0 có bao nhiêu nghiệm?

A Phương trình không có nghiệm

B Phương trình có đúng một nghiệm

C Phương trình có đúng hai nghiệm

D Phương trình có đúng ba nghiệm

Câu 19 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu

diễn các số phức z thôa mãn điều kiện: z2  z 2 4

A Là hai đường hyperbol (H1): y

x

1

 và (H2) y

x

1

 

B Là đường hyperbol (H1): y

x

1



C Là đường hyperbol (H2):y

x

1

 

D Là đường tròn tåm O(0;0) bán kính R = 4

Câu 20 Cho mô t hình tru tròn xoay và hình vuôngABCDca nha co

hai đi nh liên tiê pA B, n m trên đươ ng tròn đáy thứ nhå t cu a hình tru , hai đînh còn la i n m trên đường tròn đáy thứ hai của hi nh tru M t ph ng (ABCD) ta o

vơ i đa y hi nh tru go c 450 Diê n tích xung quanh S hình tru và thê tích xq V của khô i tru là

;



;



;



;



Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu

diễn số phức  thôa mãn điều kiện  1 2 i z 3, biết z là số phức thôa mãn z 2 5

A.x 1 2  y 42 125. B.x 5 2  y 42 125

C.x 1 2  y22 125. D.x 5 2  y 22 125

Câu 22 Tính bán kính mặt cỉu ngội tiếp tứ diện gỉn đều ABCD

cĩ độ dài các cänh như sau: AB CD a BC, AD b AC, BD c

A.R ab bc ca

2

 

2 2

 



2

 

4

 



Câu 23 Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kỳ hän 3

tháng, với lãi suçt 0, 65 một tháng theo phương thức lãi kép Hơi sau bao lâu

vị khách này mới cĩ số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đỉu gửi ngân hàng? Giâ sử người đĩ khơng rút lãi ở tçt câ các định kỳ

A 8 n m 11 tháng B 19 tháng

C 18 tháng D 9 n m

Câu 24 Nhà Nam cĩ một chiếc bàn trịn cĩ bán kính bằng 2 m

Nam muốn mắc một bĩng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhçt Biết rằng cường độ sáng C của bĩng điện được biểu thị bởi cơng thức C csin2

l



 (là gĩc täo bởi tia sáng tới mép bàn và

mặt bàn, c: hằng số tỷ lệ chỵ phụ thuộc vào nguồn sáng, l không cách từ mép

bàn tới bĩng điện) Không cách nam cỉn treo bĩng điện tính từ mặt bàn là

Câu 25 Một nút chai thủy tinh là một khối trịn xoay  H , một

mặt phẳng chứa trục của  H cắt  H theo một thiết diện như trong hình vẽ bên Tính thể tích của  H (đơn vị cm3)?

A V H 23 B V H 13 C V H 41

3



 D V H 17

Câu 26 Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay mơ hình

(như hình vẽ) quanh trục DF ?

A 10 a3

9

 B 10 a3

7

2

3



Câu 27 Tìm tập hợp tçt câ các tham số m sao cho phương trình

x2 2x 1 m x2 2x 2 m

4    2   3  2 0 có bốn nghiệm phân biệt?

A ;1 B ;1  2; C  2;  D 2;

Câu 28 Một người gửi 88 triệu đồng vào ngân hang theo thể thức

lãi kép kỳ hän 1 quý với lãi suçt 1,68% (quý) Hôi sau ít nhçt bao nhiêu n m người đó có được 100 triệu câ vốn lẫn lãi từ số vốn ban đæu (giâ sử rằng lãi suçt không đổi)?

Câu 29 Cho hàm số f x  x2.6 x 1 Xét các khẳng định sau:

Khẳng định 2 f x x2   x 1.

f x 6 x 1

6

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng ?

A 0 B 4 C 3 D 1

Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

   Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua  và cách A 1;1;3 

một khoâng lớn nhçt?

A  P : 15 x 12y 21z28  0 B. P : 15x 12y 21z 28 0

C  P : 15x 12y 21z 28 0 D. P : 15 x 12y 21z28  0

Câu 31 Tìm tçt câ các giá trị thực của tham số m để bçt phương

trình  x2  mx2 x m x

log 7 7 log 4  ,  

A m2;5 B.m  2;5 C m 2;5 D.m  2;5

Câu 32 Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có

hình däng và kích thước giống như hình vẽ, trong

đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20cm, miệng xô

là đường tròn bán kính 30cm, chiều cao xô là

80cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hôi A

phâi trâ bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá

nước là 20000 đồng/1m3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?

A 35279 đồng B 38905 đồng

C 42116 đồng D 31835 đồng

Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

cänh a, cänh SA vuông góc với mặt đáy Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng ABCD là  450, gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính khoâng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD ?

2

a

3

a

2

a

3

a

h

Câu 34 Gọi z1 và z2là các nghiệm của phương trình z2 2z 100

Gọi M N P, , læn lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 và số phức k  x iy trên mặt phẳng phức Để tam giác MNP là tam giác đều thì số phức k là

A. k

k

1 27

1 27

1 27

27

27

27

Câu 35 Số tiệm cận của đồ thị hàm số

x

x x

y

x

x

1 2

1 1



 

 

neáu neáu

LỜI GIẢI ĐỀ 4

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Từ lnx lny  lnx2 yxy x2 y Ta xét:

+ Nếu 0 x 1 thì y xyx2   y 0 x2 måu thuẫn

x

2

1

1



Vậy P x y x x

x

2

1

 





x

2

1

 

 xét trên 1;

f x

x

x

2

2

2 2

( )

2 2

2

4 1

2 1

















Vậy

 f x  f

1;

2 2

2





Chọn B

Câu 2 Giâ sử:M x y z ; ; 

2

2

1; 2; 1



T x 12 y 22 z 12 x2 y 2 2 z 1 2  x 2 2 y 32 z 12

x 12 x2 x 22 y 2 2 y 2 2 y 32 z 1 2 z 1 2 z 12

x2 6x 5 y2 14y 17 z2 6z 1

x 32 4 y 72 32 z 32 8 4 32 8 44

Dçu " " xây ra  x 3, y  7, z  3

Khi đó M3; 7;3 P x M2 2y M2 3z M2 134 Chọn C

Câu 3

3

2

'

  Ta có 2 trường hợp là

2;3

5

6

 

 

2;3

 

 

Chọn B

Câu 4 Ta có :

4

a4 b4 a b4 a4 b4 1 4  4 4

16

Câu 5 Ta có:

f x 12x2 6x  4 f x 4x3 3x2 4x c f x x4 x3 2x2 cx d

Vì f 0 1,f 1   3 d 1;c 2 Vậy f    1 3 Chọn C

Câu 6

ABCD ABD

a

2 sin sin 60

2

Trong ABCD, dựng OI CD

Ta có CD OI CD  SOI CD SI



Do đó,  SCD , ABCD  SI OI,  SIO 60

Tam giác OCI vuông täi I nên

OA

Tam giác SOI vuông täi O nên:

OI

3

Vậy V S ABCD S ABCD SO a a a

.

Câu 7 Ta có F x  f x dx  x x dx x x x C

x

Khi đó F 4 52C 50 C  2

Vậy F 2  4 2 2C  4 2 2 2  2 2 2 Chọn A

AB AC AD AB AC AD

AB AC AD 3 AB AC AD

AB AC AD

AB AC AD

' ' ' 27

ABCD

  V AB C D' ' ' 27V ABCD

64

Để V AB C D' ' ' nhô nhçt khi và chî khi

4

   AB' 3AB B' 7 1 7; ;

Lúc đó mặt phẳng B C D' ' ' song song với mặt phẳng BCD và đi qua 

B' 7 1 7; ;

4 4 4

 B C D' ' ' : 16 x40y 44z 39  0 Chọn A

Câu 9 Ta có f x( )F x'( )3ax2 2bx c

và

a

0

1

2

 



Vậy F x 1x2 x

2

Câu 10 Không có bốn điểm nào đồng phẳng Do đó, có 3 điểm täo thành 1

mặt phẳng và có tçt câ: C3

5 10 mặt phẳngChọn D

Câu 11 Đường thẳng d đi qua M11; 0; 25 và có VTCP u 2;1; 2 

Gọi H là hình chiếu của I trên (d)

u

,

2

2

Phương trình mặt cæu: x 2 2  y 3 2  z12 289Chọn D

Câu 12

Ta có: I xf x dx

2

2 1

0

( ) 3

   Đặt t x f t dt  I f x dx 

2

1

I f y dy I f x dx

 

t

16

3

9

3

   Đặt t x I f x dx 

4

3 3

3 2

Vậy     6 1 3 17

Câu 13 Đặt t  (1 2 )(3 x x)khi x 1;3 t 0;7 2

      

Thay vào bçt phương trình ta được f t( )t2  t m

Bâng biến thiên

Từ bâng biến thiên ta có : m 0 Chọn D

Câu 14 Gọi B b e ; b ,b 0thuộc đồ thị hàm số Suy ra A b ;0 ,C 0;eb

Diện tích hình chữ nhật OABC là: S b e b Khâo sát hàm trên ta được

S

e

1

max  Chọn D

Câu 15 +Ta cób dx b

0

6   6 1

+Tínha xe dx x

0

 Đặt u x x du x dx

a

xe dx xe e dx e e a a

0

Câu 16

Do

ABD A B D

MND C B B C D MND

ABD MND

Ta có:

A MN

MND A B D ABD

A B D

S

S

'

' ' '

O

N

M A'

B'

D'

C'

D A

B

C

Suy ra: S MND C B' ' ' 7S ABD

4

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

d A ABCD S V

V

d O A B C D S

'

' ' '

' ' '

1

3 1

; ' ' ' ' 3

ABD

MND C B

S

4 7

Câu 17 Gọi R bán kính đáy hình nón

r bán kính đáy khối trụ

SH= 3R; IH=2R, HS=R ( hình vẽ )

1

4

 



 

f t

0

49 14 2 8



S

S

H

I K

V khối trụ: V R R R

2



 

ax3 bx2 cx    d 1 0 ax3 bx2 cx   d 1

Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

y ax3 bx2 cx d có đồ thị như trên đề bài và y  1 là đường thẳng đi qua

 0; 1 song song với trục Ox Từ đồ thị ta thçy có 3 giao điểm vậy phương trình có ba nghiệm Chọn D

Câu 19 Gọi M x y , là điểm biểu diễn số phức z  x yi x y , R

Ta có : z  z xyi x y y

x

2

Câu 20 GọiM N, theo thư tư la trung điê m cu aAB vàCD Khi đó:

OM AB và O N' DC

Giâ sử I là giao điê m củaMN và OO '

Đ t R OA h , OO'

+ TrongIOM vuông cân täi I nên: OM OI 2IM

2

R2 OA2 AM2 MO2 a a a a a

2

 

      

xq

2

2 2



Chọn D

Câu 21 Gọi M x y x y ; , ,  thì M biểu diễn cho số phức   x yi

i

Theo giâ thiết

z 2 5 2 7 2 6i 5 x 2y 7 2 2x y 6 2 625

Suy ra x 1 2  y42 125Chọn A

Câu 22

Tứ diện đều được sinh ra từ một hình hộp chữ nhật

cĩ các đường chéo được tơ màu như hình vẽ Khi đĩ

bán kính mặt cỉu ngội tiếp là 1 nửa đường chéo

C

R 1 x2 y2 z2 1 a2 b2 c2

x

z

y

a

a

c c

Câu 23 Lãi suçt theo kỳ hän 3 tháng là 3.0,65 1,95

Gọi n là số kỳ hän cỉn tìm Theo giâ thiết ta cĩ n là số tự nhiên nhơ nhçt thơa

n

20(1 0, 0195) 2020 Ta được n  36 chu kỳ, một chu kỳ là 3 tháng, nên thời gian cỉn tìm là 108 tháng, tức là 9 n m

Chọn D

Câu 24

h l

α

Đ

Gọi h là độ cao của bĩng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bĩng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn MN là đường kính của mặt bàn

Ta cĩ sin h

l

  và 2 2

2

h  l , suy ra cường độ sáng là: C l( ) c l23 2 (l 2)

l



6

2

l

l l





C l   l l Lập bâng biến thiên ta thu được kết quâ C lớn nhçt khi l  6 , khi đĩ h2Chọn D

Câu 25

Thể tích khối trụ là V tru Bh 2

1 4.5 9

   Thể tích khối nón là

non

2 4 1

3

6 3





  Thể tích phæn giao là: V p giao. 1 2

3

2

1 2

3



Vậy V H 16 2 41

9

3

Câu 26 Ta có EF AF.tan a.tan 30 a 3

3



Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF täo ra một hình nón có thể tích

2

3 2

1



Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD täo ra một hình trụ có thể tích

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục

DFlà V V V a a a

3

10

Câu 27 Đặt t 2(x1)2 t 1

Phương trình có däng: t2 2mt 3m 2 0 * 

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phån biệt

 phương trình (*) có hai nghiệm phån biệt lớn hơn 1

1,2

2

3 2 0





Chọn D

Câu 28 Gọi n n   là số quý để người đó có được 100 triệu

Ta có  n

n

88 1 0, 0168 100  7,6 Do n  n 8

Do 1 n m có 4 quý nên sau 2 n m thì người đó có được 100 triệu Chọn D

Câu 29 Ta thçy ngay khẳng định 1 và 3 là sai vì tập xác định của f x  1

và f x 6 là Trong khi đó, tập xác định của bçt phương trình

x x

2 ln  1 ln 6 0 là 0; và tập xác định của bçt phương trình

x2 x

ln  ln 6 0 là \ 0  

Một số sai læm như sau:

1 6  1 ln 6  ln1

x

ln ln 6  0 2 ln 1 ln 6 0

Từ đó dẫn đến khẳng định 1 đúng Chú ý, phép biến đổi

x2.6 1  1 ln x2.6 1  ln1 chî đúng khi ta biết được chắc chắn x

x2.6 1  0 Tuy nhiên x2.6x 1 0, x  do đó ta không thể biến đổi

x2.6  1  1 ln x2.6  1  ln1 được

Sai lầm 2 f x  6 x2.6x 1  6 x2.6x  1 lnx2.6x ln1

x

ln ln 6 0 ln ln 6 0

      Từ đó dẫn đến khẳng định 3 đúng

Xét khẳng định 2, ta có f x  x2 x2.6x 1 x2

x

1

6  1



khẳng định 2 sai

Xét khẳng định 4, ta có   x x x

f x x2 1

6 6  6

x x

x

2

1 6

1 6









  





 khẳng định 4 sai Chọn A

Câu 30

Vì khoâng cách từ A đến mặt phẳng (P) là

thay đổi nên cæn tìm một đäi lượng là hằng

số sao cho AH const

Nhận thçy đề cho điểm A 1;1;3  và đường

thẳng  Vậy khoâng cách từ A đến 

hằng số Từ đó định hướng được cách làm

P

A

H

K

Gọi H, K læn lượt là chån đường vuông góc kẻ từ A xuống  P , Tam giác AHK vuông täi H AH AK d A; 

Dçu = xây ra khi và chî khi H K  P qua A và nhận AK làm vtpt

Vì K  nên K t ;1 2 ;2 2 t  t

AK t 1;2 ;2t t 1

    Mà AK   do đó AK u  0