các bài tập vận dụng cao môn toán

Cho một hình nón N có góc ở đînh bẳng 600 và bán kính đường tròn đáy bằng r1.. Xét mặt phẳng  P song song với trục cûa hình trụ, cách trục 2cm.. Tính diện tích S cûa thiết diện cûa hìn

ĐỀ 6

ƠN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho a , b là hai số thực dương, khác 1 Đặt

log  , tính

theo m giá trị cûa P a2b b a

3 log log

A m

m

2

2

m

2 12 2

m

2 12 D m

m

2 3 2



Câu 2 Tçt câ các giá trị thực cûa tham số m sao cho hàm số

y   x4 (2m3)x2 m nghịch biến trên không  1; 2 là p

q

;

 



 

  , trong đĩ

phân số p

q tối giân và q 0 Hơi tổng pq là

Câu 3 Một người đỉu tư 200 triệu đồng vào một cơng ty theo

thể thức lãi kép với lãi suçt 14% một năm Hơi sau 3 năm mới rút lãi thì người

đĩ thu được bao nhiêu triệu đồng tiền lãi? (Giâ sử rằng lãi suçt hàng năm khơng đổi)

A 59,9288 triệu đồng B 96,3088 triệu đồng

C 84 triệu đồng D 137,7988 triệu đồng

Câu 4 Cho hàm số y x x x

3

2 3

4 2017

3 2

    Định m để phương

trình 2

'

y m m cĩ đúng hai nghiệm phån biệt thuộc độn [0; ]m ?

A 1 2; 2

3

  

3

C 1 2 2; 2

2

  

  D

1 2 2

; 2 2

  



 

Câu 5 Cho hàm số y  x3 mx 5, m là tham số Hơi hàm số đã cho cĩ

nhiều nhçt bao nhiêu điểm cực trị

Câu 6 Để đồ thị hàm số y x x mx

x

2

2

  



 cĩ hai đường tiệm cận

ngang thì giá trị m là

A  m B m1 C m0;m1 D m0

Câu 7 Cho số phức z thơa mãn z

1 1 2





 , biết z i

3 5 2

  đät giá trị nhơ nhçt Giá trị cûa z là

2

Câu 8 Xét các số thực a , b thơa mãn a  b 1 Tìm giá trị nhơ nhçt Pmin

cûa biểu thức  2  2   

 a

A.Pmin 19 B.Pmin 13 C.Pmin 14 D.Pmin15

Câu 9 Cho 2 đường tròn O ;51  và  O2;3 cắt nhau täi 2 điểm A, B sao cho AB là 1 đường kính cûa đường tròn  O 2 Gọi (D) là hình thẳng được giới hän bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phæn được gäch chéo như hình vẽ) Quay (D) quanh trục O1, O2 ta được 1 khối tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay được täo thành

A V 14

3



3



3



Câu 10 Cho hàm số y x3 6x2 3m 2x m 6 Tìm tçt câ các

giá trị thực cûa m để hàm số có 2 cực trị cùng dçu?

A 23 m 2

4

m

15

2 4

C 21 m 2

4

m

17

2 4

Câu 11 Cho một hình nón (N) có góc ở đînh bẳng 600 và bán

kính đường tròn đáy bằng r1 Mặt cæu (C) có bán kính r2 tiếp xúc với mặt đáy

và mặt xung quanh cûa (N) Tính tî số T r

r

2 1

 ?

A T 1



 B T

1



 C T

3 3

2



Câu 12 Một hộp không nắp được làm từ một

mânh các tông theo mẫu như hình vẽ Hộp có

đáy là một hình vuông cänh x cm, chiều cao h

cm và có thể tích 500 cm3 Giá trị cûa x để diện

tích cûa mânh các tông nhô nhçt là

Câu 13 Cho hình trụ có đường cao h5cm, bán kính đáy r 3cm

Xét mặt phẳng  P song song với trục cûa hình trụ, cách trục 2cm Tính diện tích S cûa thiết diện cûa hình trụ với mặt phẳng  P

5 5

6 5

S  cm C S 3 5cm2. D 2

10 5

x

x h

h

Câu 14 Một sinh viên A gửi tiết kiệm 90 triệu vào tài khoân

ngân hàng với hình thức lãi kép 0.8%/tháng Sau mỗi tháng sinh viên A đều rút một số tiền như nhau Để sau 4 năm học đäi học sinh viên A rút hết tiền trong tài khoân thì mỗi tháng sinh viên phâi rút số tiền là (làm tròn đến nghìn):

A 2264 B 2265 C 2266 D 2267

Câu 15 Khi sân xuçt hộp mì tôm, các nhà sân xuçt luôn để một

khoâng trống ở dưới đáy hộp để nước chây xuống dưới và ngçm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ dưới mô tâ cçu trúc cûa một hộp mình tôm (hình vẽ chî mang tính chçt minh họa) Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có däng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm Nhà sân xuçt đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhçt trong hộp với mục địch thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn nhçt đó ?

A V 36 B V 54 C V 48 D 81

2

Câu 16 Cho hai số phức z z khác 0 thôa mãn z1, 2 2 z z z2

1  1 2  2  0. Gọi

,

A B læn lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z z1, Tam giác 2 OABlà

A Tam giác đều B Tam giác vuông täi O

C Tam giác tù D Tam giác có một góc 300

Câu 17 Từ một tçm tôn hình chữ nhật kích thước 60cm200cm, người ta làm các thùng hình trụ và hình lăng trụ đứng có cùng thể tích 48000cm3

 theo

hai cách sau (xem hình minh họa)

+ Cách 1: Gò tçm tôn thành mặt xung quanh cûa hình trụ

+ Cách 2: Gò tçm tôn thành bốn mặt xung quanh cûa hình lăng trụ tứ giác đều

Kí hiệu V1 là thể tích cûa thùng gò theo cách 1 và V2 là thể tích cûa thùng gò theo cách 2 Tính tî số k V

V

1 2

 ?

Câu 18 Phương trình log2xlog4x log6x log8x log3xlog5xlog7x log9x

có bao nhiêu nghiệm?

Câu 19 Tìm giá trị lớn nhçt cûa tham số m sao cho bçt phương

trình 2cos2x 3sin2x m.3cos2x có nghiệm?

A m4 B m 8 C m 12 D m 16

Câu 20 Biết các số phức z có tập

hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là hình tròn tô đậm như hình

vẽ bên Môđun lớn nhçt cûa số phức

z là

x y

2 1

O

A z

max 1. B

max 2

max 3 D

max 3

Câu 21 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bâng biến thiên như hình

vẽ

y

4

Với m 1;3 thì phương trình f x  m có bao nhiêu nghiệm?

Câu 22 Trong các số phức z thôa mãn z     2 i z 1 4i , tìm số phức z có

mô đun nhô nhçt?

A z  1 2i

B z   1 i.C z  2 2i. D z = -1 + i

Câu 23 Cho hàm số y x3 mx2 m x  C m

     Tìm giá trị cûa

m để đường thẳng  d :y  x 4 cắt  C m täi ba điểm phân A 0;4 , ,B C biệt sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 với điểm K 1;3 ?  

A m 1 137

2



 B m 1 137

2





C m 1 137

2



2

 



Câu 24 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

    và mặt phẳng  P :  x y 2z  3 0 Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc cûa d trên mặt phẳng  P ?

A x 2 y 1 z 1

C x 2 y 1 z 1



Câu 25 Khi một kim lội được làm nĩng đến 6000C bền kéo cûa nĩ giâm đi 50% Sau khi kim lội vượt qua ngưỡng 6000C nếu nhiệt độ kim lội tăng thêm

50C thì độ bền kéo cûa nĩ giâm đi 35% hiện cĩ Biết kim lội này cĩ độ bền kéo

là 280 MPa dưới 6000C và được sử dụng trong việc xây dựng các lị cơng nghiệp Nếu mức an tồn tối thiểu độ bền kéo cûa vật liệu này là 38 MPa thì nhiệt độ

an tồn tối đa cûa lị cơng nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius ?

A 6200C B 6150C C 6050C D 6100C

Câu 26 Cho hàm số f x  2 3 5 x x 1 2 x Xét các khẳng định sau:

Khẳng định 1 f x  1 xln 2 x 1 ln 3 x2 ln 5.

Khẳng định 2 f x 2x   x 1 x2 log 5. 3

5

5 x ln 2 1 ln 3 0

Trong các khẳng định trên, cĩ bao nhiêu khẳng định đúng ?

A 2 B 1 C 3 D 4

Câu 27 Số phức z thơa z  1 2i3i24i3  20i19 Khẳng định nào sau đåy là khẳng định đúng?

A z 19

B z cĩ tổng phỉn thực và phỉn âo bằng 20

C z cĩ phỉn thực bằng 18 và phỉn âo bằng 0

D z 20 2

Câu 28 Để phương trình: x    x

a

2 3  1 2 3  4 0 (a tham số) cĩ 2 nghiệm phân biệt thơa mãn: x1 x2 log2 33, thì giá trị cûa tham số a thuộc

không

A  ; 3 B  3;  C 3; D 0;

Câu 29 Cho số phức z thơa z

i z

1 1

 

 và

z i

z 1

2

 

 Tổng phỉn thực và phỉn

âo cûa z là

Câu 30 Cho hình trụ cĩ thiết diện qua trục là hình vuơng ABCD cänh

2 3 cm với AB là đường kính cûa đường trịn đáy tåm O Gọi M là điểm thuộc cung AB sao cho 0

60

ABM  Khi đĩ, thể tích V cûa khối tứ diện ACDM

là

A V  6 3cm 3. B V 2 3cm 3 C 3

V 3cm

Câu 31 Bçt phương trình 2x3 3x2 6x 16  4 x 2 3 cĩ tập nghiệm

là  a b Hơi tổng ; a b cĩ giá trị là bao nhiêu?

Câu 32 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCDlà hình thoi cänh

Tính bán kính mặt cỉu ngội tiếp hình chĩp S ABC

A 41a

6 a

Câu 33 Mặt phẳng  P đi qua trung điểm cûa đường cao cûa một khối nĩn

 N chia khối nĩn đĩ thành hai phỉn Nếu biết rằng ,  P vuơng gĩc với trục

cûa khối nĩn  N thì tỵ số thể tích cûa hai phỉn đĩ bằng

A 1

7 B 1

8 C 1

3 D 1

4

Câu 34 Cho hai số phức z z1, thơa mãn z2 1  z2 1 Tính z1 z22  z1 z22

A 0 B 1. C 2. D 4.

Câu 35 Đặtlog 32 a và log 52 b Tính P log 2403 theo a và b?

A P a b

a

 

a

4

 

a

3

 

 D P a b

a

2 3

LỜI GIẢI ĐỀ 6

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Ta có loga b m b a

m

1

m

2

2

2



Chọn B

Câu 2 Tập xác định D Ta có y  4x3 2(2m 3)x

Hàm số nghịch biến trên (1; 2) 0, (1; 2) 2 3 ( ), (1; 2)

2



Lập bâng biến thiên cûa g x( )trên (1;2) g x( ) 2 x   0 x 0

Bâng biến thiên

2

11

2

Dựa vào bâng biến thiên, kết luận: m min ( )g x m 5

2

5 2 7

p   q Chọn C

Câu 3 Số tiền người đó rút được sau 3 năm là  3

200 1 14% 296, 3088

triệu Do đó số tiền lãi là 296, 3088 200 96, 3088 triệu đồngChọn B

Câu 4 Ta có: y' m2 m x2 3x  4 m2 m

Đặt   2  

3 4

Yêu cæu bài toán :

m m

m

m

m m

m

m

2

2

2

3 3

2 2

7 7

4

4

4 3

2

1 2 2

1 2 2 2

;2

2 2









        

 







 

 

      





 

  



3 2

2

ym m

7 4 4

3

2

Chọn B

Câu 5 Ta có: 6

5

Suy ra:

3 5

5

3

3x x m x



    và hàm số không có đäo hàm täi x  0

TH1: m 0 Ta có: y x

x

5 3

5 0

   vô nghiệm và hàm số không có đäo hàm täi

x  0

x  0 

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH2: m  0 Ta có: 5 3

5 3

0

3 3

x mx





      





Bâng biến thiên

x

 0 m

3 

y   0 

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH3: m0 Ta có: 5 3

5 3

0

3 3

x mx





        

 



x 

3

m

  0 

y  0  

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số

mChọn B

Câu 6 Xét

x

m x

2 2 2

2



     

 và x

m x

2 2 2

2



    



Để hàm số có hai tiệm cận ngang thì  1 m  1 m (thôa với mọi m)

Vậy  m R thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Chọn A

Câu 7

Gọi z  a bi z  2i a b , R

 

 

z

z i

b

2 2 2 2

1

2



                



        



           

      

Min z 3 5i 2 5 b 1 a 1 z 1 i

          z 5

2

Câu 8 Ta có

 

2

2 2

2

log 3log   2 log  3log   4 log   3log  

             

          

b b

2

4 1 log  3log  

      

 

 a b  b

a b

b

Đặt loga 0

b

t b (vì a  b 1), ta có P  t t f t 

2 3 2 3

4 1  4 8  4

     t  t   t t t

f t t

Vậy   1

0

2

f t t Khâo sát hàm số Pmin f 1 15

2

 

 

Câu 9 Gọi V1 là thể tích cûa khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng

D1 được giới hän bởi các đường y  9x 4 ,2 y 0,x 4,x 7 quay trục hoành V x  dx

7

2 1

4

     



Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D2 được giới hän bởi các đường y x y2 x x

25 , 0, 4, 5

5

2 2

4



   

Khi đó thể tích khối tròn xoay cæn tính bằng

1 2

        

3 

' 3 12 3 2

y  x  x m ; y'  0 y' x2 4x m 2 0

Hàm số có 2 điểm cực trị x x1, 2    ' 0 m2

Ta có : y 1y x' 2 m 2 2 x 1

3

Điểm cực trị tương ứng : A x m 1; 2 2 x1 1  và B x 2;m 2 2 x2 1 

Có : y y1 2 m 224x x1 2 2x1 x21

Với : 1 2

1 2

4 2

x x

x x m

 



  

1 2 2 4 17

Hai cực trị cùng dçu y y1 2  0m 2 2 4m17 0 m

m

17 4 2

 





 

 



Kết hợp điều kiện ta được : 17 m 2

4

Câu 11

Giâ sử thiết diện qua trục cûa nón là tam

giác ABC đều, với A là đînh nón, BC là

đường kính đáy nón, gọi H là tåm đáy Khi

đó thiết diện cûa mặt cæu (C) là đường tròn

B

O A

C H

giác ABC Ta có OH r HC2, r1, HOC vuông täi H có góc OCH 300 nên

r

T

r

0 2

1

3 tan 30

3

Câu 12

Thể tích cûa hộp là: V x h2 500(cm3)

Do đó h x

x2

500

, 0

Diện tích cûa mânh các tông dùng làm hộp là:

x

2 2 2000

( ) 4   ,  0

3

2000 2( 1000)



Bâng biến thiên

Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhçt, ta lçy độ dài cänh đáy hình hộp là x = 10

(cm) Chọn C

Câu 13

Giâ sử mặt phẳng  P cắt hình trụ theo thiết

diện là hình chữ nhật ABB A  như hình vẽ

Gọi OH AB täi H, khi đó OH2cm

Trong OHA có 2 2

5

Khi đó AB2HA2 5

Vậy diện tích cûa thiết diện cûa hình trụ với

2 5.5 10 5

ABB A

Câu 14 Tiền gốc là A, lãi r%/tháng ; n tháng

Sau n tháng thì sinh viên còn số tiền ở ngån hàng là:

n n

C

r

0

.(1 ) 48

0, 8

 

 



 



x2265

Câu 15 Khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:

 

 

S x

300

x

x h

h

200

R

Thể tích vắt mì tôm được tính bằng 2

V B hr h

Ta có: h 6 r h 18 3r

3

2 18 3 3 2



     với 0 r 6

r

9

4

 Với r4 thì V đät giá trị lớn nhçt

khi đó V  48 Chọn C

Câu 16 z3 z3 z 3 z 3

1 2 1 2

Mặt khác z z 2 z2 z z z2 z z z z

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

(  ) (   )    z1 z22  z z1 2

AB2 OAOB OA2

   AB OA OB   OAB đều Chọn A

Câu 17

C 2002R R V R h

2 2

.60

Gò thành 4 mặt xung quanh 4 hình vuông => 1 cänh cûa hình vuông:

4

2 60.50 150000

V

1 2

4



Câu 18 Đặt log2x   t x 2 t

t 1 log 2 log 2 log 24 6 8 t log 2 log 2 log 2 log 23 5 7 9

cos sin cos

2 x3 xm.3 x

m

cos cos

3

   

   

   

Đặt t  cos , 02x  t 1

50 50 50 50

60

200

(1) trở thành

m

3

   

   

    (2) Đặt

f t( ) 2 3 1

   

     

   

Ta có (1) có nghiệm (2) có nghiệm

t [0;1]



Chọn A

Câu 20

Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên

OA OB  z OB  3. Vậy z

max  3

 Chọn C

y

B

x

2 1

O

A

Câu 21 PT f x   m là phương trình

hoành độ giao điểm cûa đồ thị hàm số

 

y f x và đường thẳng y m song song

trục hoành có đồ thị ở hình bên

Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT

 

f x m có bçy nhiêu nghiệm

 

m 1;3 thì hai đồ thị có 4 giao điểm, suy ra

PT f x  m có 4 nghiệm

Câu 22

Trong các số phức z thôa mãn z    2 i z 1 4i , tìm số phức z có Gọi

             

                

                

          

Câu 23 Phương trình hoành độ giao điểm cûa  C m và (d) là:

y x3 2mx2  m3 x   4 x 4

2

0

Để    d  C m täi ba điểm phån biệt A, B, C thì phương trình

 

x2 2m m  2 0 1 cĩ 2 nghiện phån biệt khác 0

 

m

m m

m

2 0

2

 

     

     



Vì B C,  d nên: x   y 4 0

 

d K BC

2 2

1 3 4

 

 

Vì A 0;4 nên   x x B, C là hai nghiệm cûa (1) nên

2



 (Viét)

Ta cĩ: BC  x C x B 2  y C y B2  2x C x B2  2x B x C2 4x x B C

 m2 m  m2 m  

        

 S KBC   

BC

d K BC

16 3

2



         Kết hợp với  * m 1 137

2



 

Câu 24 Ta cĩ :    d  P M1;0; 2 

n  u n;   1; 7;4

  u  n n; p   18; 6; 6    6 3;1;1 

thẳng : x 1 y z 2 x 2 y 1 z 1

Câu 25 Độ bền kéo là 280 Mpa dưới 6000C Đến 6000 độ bền kéo cûa nĩ giâm đi 50% cịn 140 Mpa Nhiệt độ kim lội tăng 50C thì độ bền kéo cûa nĩ giâm đi 35% nên ta cĩ

n

n

35

100

 

   

 

Suy ra n 3 Mỗi chu kỳ tăng 50C  3 chu kỳ tăng 150 Nhiệt độ an tồn tối

đa là 6150CChọn B

Câu 26 Xét khẳng định 1, ta cĩ   1 2

1 2 3 5x x x 1

ln 2 3 5  ln1 ln2 ln 3  ln 5  0

xln2 x 1 ln 3 2 x ln 5 0

xln 2 x 1 ln 3 x 2 ln 5

      khẳng định 1 đúng